2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线与几何综合题三角形全等、相似问题含位似（课件）25张PPT

(共25张PPT)
陕西 数学
抛物线与几何综合题
2024中考备考重难专题课件
三角形相似、全等问题(含位似)
课件说明
一、课件设计初衷
基于老师在总复习过程中对重难题型有较大的需求，以及纸质图书和板书展示二次函数图象与几何图形等重难点效果不佳而设计重难专题课件. 在制作过程中结合课件能使题图动态化且分步骤展示的特性，有助于学生题图结合梳理题意，理解平面图形的变化过程.
二、课件亮点
1.依据区域考情，针对性选题
按照本地区考情及考法选题，针对性强，有效提高老师备课效率
2.贴近学生实际解题情境，形式符合教学习惯
审题时对题目数字、符号、辅助线、动图等关键信息进行题图批注，帮助学生梳理关键信息，激发学生兴趣，调动积极性
3.含解题思路引导与方法总结，提高课堂互动性
通过问题启发式解题思路点拨，激发学生数学思考与探索. 方法总结使学生复习一类题，会一类题，取得有效的复习成果
三、课件使用场景
适用于中考专题复习或题位复习
抛物线与几何综合题
三角形相似、全等问题(含位似)
课堂练兵
课后小练
1
典例精讲
2
3
类型 年份 题号 题型 分值 几何图形 结合变化 设问形式 考查内容
三角形相似 2021 25 解 答 题 8 直角三角形 点的对称 (1)求点坐标 (2)求满足两个三角形相似时的点坐标 (1)y轴交点(0，c)，与x轴交点，令y=0
(2)抛物线上的点关于对称轴对称的点在抛物线上，得∠C′CO=
∠BOP，需分两种情况讨论计算(对应边成比例)
考情分析
类型 年份 题号 题型 分值 图形形状 结合变化 设问形式 考查内容
三角形相似 2022 24 解 答 题 10 直角三角形 两抛物线关于原点O对称 (1)求抛物线的表达式 (2)求满足两个三角形相似时的点坐标 (1)待定系数法求表达式
(2)根据抛物线关于原点对称特点确定求表达式(a变为相反数，顶点横纵坐标变为相反数)；
△POD与△AOB 均为直角三角形，需分两种情况讨论计算(对应边成比例)
类型 年份 题号 题型 分值 图形形状 结合变化 设问形式 考查内容
三角形全等 2023 24 解 答 题 10 直角三角形 / (1)求抛物线的表达式 (2)求满足两个三角形全等时的点坐标 (1)抛物线上的点坐标性质
(2)得到△PDE和△PDE是直角三角形，需分两种情况讨论计算(等角的三角函数值相等/对应边相等)
典例精讲
例 (2022陕西黑白卷)在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝－x2－x＋2与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，L关于y轴对称的抛物线L′交x轴于点A′，B′(点A的对应点为A′).
(1)求点B，C的坐标；
例题图
令y=0，令x=0分别求出点B，C坐标
注意：点A在点B的左侧
解：(1)令x＝0，解得y＝2，
∴C(0，2).
令y＝0，即－x2－x＋2＝0，解得x1＝－2，x2＝1.
∵点A在点B的左侧，∴B(1，0)；
例 (2022陕西黑白卷)在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝－x2－x＋2与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，L关于y轴对称的抛物线L′交x轴于点A′，B′(点A的对应点为A′).
(2)若抛物线L′的对称轴l交x轴于点D，点P是y轴右侧抛物线L′上一点，过点P作PQ⊥l于点Q，当以P，Q，D为顶点的三角形与△B′OC相似时，求点P的横坐标．
可得抛物线L′的表达式，如何得到？
a ？
顶点坐标？
△PQD是直角三角形
画出草图
两三角形相似，对应边成比例
分△PQD∽△B′OC时，
或△DQP∽△B′OC时,
点P在抛物线L′上，设出点P坐标，代入计算
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几何画板
(2)∵抛物线L与L′关于y轴对称，
∴抛物线L′的表达式为y＝－x2＋x＋2，
∴抛物线L′的对称轴为直线x＝ ，∴D( ，0).
令y＝－x2＋x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，
∴A′(2，0)，B′(－1，0)，∴OB′＝1.
∵C(0，2)，∴OC＝2.
设P(m，－m2＋m＋2)(m＞0)，则Q( ，－m2＋m＋2)，
∴PQ＝|m－ |，QD＝|－m2＋m＋2|，
∵△B′OC是直角三角形，
∴要使以P，Q，D为顶点的三角形与△B′OC相似，分两种情况讨论：
答题步骤
求抛物线L′的表达式、对称轴
求出点D坐标
设点P坐标
分情况讨论
①当△PQD∽△B′OC时， ，即 ，
解得 ，
∴点P的横坐标为 或 ；
②当△DQP∽△B′OC时， ，即 ，
解得 .
∴点P1的横坐标为 或 .
综上所述，点P的横坐标为 或 或 或 .
方法总结
抛物线与相似三角形存在性问题：
1.当相似关系确定时，设出点坐标，表示出线段长，根据比例关系求解
2.当相似关系不确定时，先确定是否为直角三角形：
若是直角三角形时，则需分两种情况分别讨论对应关系，然后根据对应线段成比
例列式求解；
若不是直角三角形时，注意题干中是否存在隐含的等角关系（一般为特殊角，
30°，45°， 60°，通常通过直线得到），再分类讨论对应关系，根据对应线段
成比例列式求解。
课堂练兵
练习 (2022西安铁一中模拟)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若C(0， ).
(1)请直接写出A、B的坐标；
练习题图
抛物线未知，无法直接代入抛物线求点坐标
∟
4
30°
∟
30°
在△BOC中，
在△AOC中，
AO＝AC·sin ∠ACO
解：(1)A(－2，0)，B(6，0)；
【解法提示】∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，
∴sin ∠ABC＝ ，∴∠ABC＝30°，
∵C(0， )，∴OC＝ .
∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°－∠OCB＝∠ABC＝30°，
∴AO＝AC·sin ∠ACO＝ AC＝2，OB＝ ＝6，
∴A(－2，0)，B(6，0).
练习题图
练习 (2022西安铁一中模拟)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若C(0， )
(2)求经过A、B、C三点的抛物线表达式；
练习题图
C(0， )
A(－2，0)
B(6，0)
直接代入顶点式
(2)∵A(－2，0)，B(6，0)，C(0， )，
∴设抛物线表达式为y＝a(x＋2)(x－6)，代入C(0， )，
得 ＝－12a，解得a＝－ ，
∴y＝－ (x＋2)(x－6)＝－ x2＋ x＋ ；
练习题图
练习 (2022西安铁一中模拟)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若C(0，
(3)l为抛物线对称轴，P是直线l右侧抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△ABC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
练习题图
△PDE是直角三角形
全等三角形对应边相等
当△ACB≌△PDE，AC＝PD，DE＝BC
或△ACB≌△EDP，AC＝DE，PD=BC
点P在抛物线上，设出点P坐标，代入计算
(3)∵A(－2，0)，B(6，0)在抛物线y＝－ x2＋ x＋ 上，
∴对称轴为直线x＝ ＝2.
∵PD⊥l，∴∠PDE＝90°＝∠ACB，
设P(t，－ (t＋2)(t－6))，则PD＝t－2，
①△ACB≌△PDE，则AC＝PD＝4，DE＝BC＝ .
∵PD＝t－2，∴t＝4＋2＝6，∴P(6，0)，∴D(2，0).
∵DE＝ ，∴E(2， )或E(2，－ )；
练习题图
②△ACB≌△EDP，则AC＝DE＝4，DP＝BC＝ .
∵PD＝t－2＝ ，∴t＝ ＋2，
∴－ (t＋2)(t－6)＝－ ( ＋2＋2)( ＋2－6)＝－ ，
∴P( ＋2，－ )，∴D(2，－ ).
∵DE＝4，∴E(2，4－ )或E(2，－4－ ).
综上所述，当P(6，0)时，E(2， )或E(2，－ )；当P(2＋ ，－ )时，E(2，4－ )或E(2，－4－ ).
练习题图
课后小练
练习1 (2022陕西预测卷)在平面直角坐标系中，已知抛物线W：y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)和点B，与y轴交于点C(0，3).
练习1题图
(1)求抛物线W的表达式及点B的坐标；
解：(1)∵抛物线W经过点A(－3，0)和点C(0，3)，
∴ ，
∴抛物线W的表达式为y＝－x2－2x＋3，
当x＝0时，－x2－2x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝－3(舍去)，
∴点B的坐标为(1，0)；
练习1 (2022陕西预测卷)在平面直角坐标系中，已知抛物线W：y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)和点B，与y轴交于点C(0，3).
(2)将抛物线W关于原点对称后得到抛物线W′，点B的对应点为D，点P在抛物线W′上，过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以点D、P、Q为顶点的三角形与△OAC相似，求符合条件的点P的坐标．
(2)∵抛物线W′与抛物线W关于原点对称，
∴抛物线W′的表达式为y＝x2－2x－3，
如解图，
∵点D是点B关于原点的对称点，∴点D的坐标为(－1，0)，
∵点A(－3，0)，点C(0，3)，∴OA＝OC＝3，
解图
∵∠DQP＝∠AOC＝90°，
∴当PQ＝DQ时，△DQP与△AOC相似，
设点P的坐标为(m，m2－2m－3)，则点Q的坐标为(m，0)，
∴PQ＝|m2－2m－3|，DQ＝|m＋1|，
当m2－2m－3＝m＋1时，解得m＝－1(舍去)或m＝4，
∴点P1的坐标为(4，5)，
当－(m2－2m－3)＝m＋1时，解得m＝－1(舍去)或m＝2，
∴点P2的坐标为(2，－3)，
综上所述，符合条件的点P的坐标为(4，5)或(2，－3).
解图
练习2 (2022陕西定心卷)已知抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)和点B，对称轴为直线x＝2.
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴ ，
解得b＝ .
将A(1，0)代入抛物线y＝ x2－ x＋c中，
得0＝ － ＋c，解得c＝ ，
∴抛物线的表达式为y＝ x2－ x＋ ；
练习2 (2022陕西定心卷)已知抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)和点B，对称轴为直线x＝2.
(2)若点C为抛物线对称轴上一点，则在抛物线上是否存在点D，使得△OAC与△OBD位似，且位似中心为点O？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)解法一：存在，
如解图，设直线x＝2与x轴交于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵点B与点A关于直线x＝2对称，A(1，0)，
∴B(3，0)．
练习2题解图
∵△OAC与△OBD位似，且位似中心为点O，
∴
∵DF⊥x轴，
∴DF∥CE，
∴ ，即DF＝3CE，OF＝3OE.
设C(2，m)，则D(6，3m)，
将点D(6，3m)代入抛物线y＝ x2－ x＋ 中得3m＝ ×62－ ×6＋ ＝3，
∴点D的坐标为(6，3)．
练习2题解图
解法二：存在，
如解图，设直线x＝2与x轴交于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵点B与点A关于直线x＝2对称，A(1，0)，∴B(3，0)．
∵△OAC与△OBD位似，且位似中心为点O，
∴ ，AC∥BD，∴∠CAE＝∠DBF.
∵DF⊥x轴，∴∠CEA＝∠DFB＝90°，
∴△CAE∽△DBF，∴ .
∵AE＝2－1＝1，∴BF＝3AE＝3，∴点F的坐标为(6，0)，
当x＝6时，y＝ ×62－ ×6＋ ＝3，
∴点D的坐标为(6，3)．
练习2题解图