2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线与几何综合题特殊三角形、四边形问题课件 32张PPT

(共32张PPT)
陕西 数学
抛物线与几何综合题
2024中考备考重难专题课件
特殊三角形、四边形问题
课件说明
一、课件设计初衷
基于老师在总复习过程中对重难题型有较大的需求，以及纸质图书和板书展示二次函数图象与几何图形等重难点效果不佳而设计重难专题课件. 在制作过程中结合课件能使题图动态化且分步骤展示的特性，有助于学生题图结合梳理题意，理解平面图形的变化过程.
二、课件亮点
1.依据区域考情，针对性选题
按照本地区考情及考法选题，针对性强，有效提高老师备课效率
2.贴近学生实际解题情境，形式符合教学习惯
审题时对题目数字、符号、辅助线、动图等关键信息进行题图批注，帮助学生梳理关键信息，激发学生兴趣，调动积极性
3.含解题思路引导与方法总结，提高课堂互动性
通过问题启发式解题思路点拨，激发学生数学思考与探索. 方法总结使学生复习一类题，会一类题，取得有效的复习成果
三、课件使用场景
适用于中考专题复习或题位复习
抛物线与几何综合题
特殊三角形、四边形问题
课堂练兵
课后小练
1
典例精讲
2
3
考情分析
年份 题号 题型 分值 抛物线变化情况 设问形式 解题关键点
2023 24 解 答 题 10 关于y轴对称 (1)求两抛物线表达式 (2)求抛物线与x轴两交点坐标 (3)求满足平行四边形存在的点坐标 (1)轴对称性质，抛物线的对称轴，抛物线的图象，开口方向
(2)两点位置
(3)平行四边形的性质
年份 题号 题型 分值 抛物线变化情况 设问形式 解题关键点
2022 24 解 答 题 10 平移 (1)判断抛物线与x轴交点情况 (2)写满足等腰直角三角形存在的平移过程 (1)待定系数法求抛物线表达式，一元二次方程根的判别
(2)抛物线图象的平移
年份 题号 题型 分值 抛物线变化情况 设问形式 解题关键点
2021 24 解 答 题 10 中心对称 (1)求与坐标轴交点坐标 (2)求抛物线表达式 (3)求不是菱形的平行四边形的面积 (1)抛物线与坐标轴的交点问题
(2)抛物线图象关于中心对称性质
(3)平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分
典例精讲
例 (2022陕西逆袭卷改编)如图，抛物线L：y＝x2＋2x－c的图象与x轴交于A，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C(0，－3)，过点A的直线与y轴交于点D，与抛物线交于点M，且tan∠BAM＝1.
(1)求点A，B的坐标及抛物线解析式;
例题图①
令y=0，求出A、B点坐标
c=3
注意点B在点A的左侧
解：(1)∵C(0，－3)
∴抛物线解析式y＝x2＋2x－3，
令y＝0，即x2＋2x－3＝0，
解得x＝1或x＝－3，
∴A(1，0)，B(－3，0)；
例题图①
例 (2022陕西逆袭卷改编)如图，抛物线L：y＝x2＋2x－c的图象与x轴交于A，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C(0，－3)，过点A的直线与y轴交于点D，与抛物线交于点M，且tan∠BAM＝1.
(2)抛物线M与抛物线L关于y轴对称，求抛物线M与y轴交点坐标；
例题图①
将抛物线L化为顶点式
得到抛物线M解析式
令x=0，求得交点坐标
a
(h，k)
y=a(x－h)2＋k
a
(－h，k)
y=a(x+h)2+k
变化前
变化后
(2)将抛物线L化为顶点式为y＝(x+1)2－4
∵抛物线M与抛物线L关于y轴对称，
∴抛物线M的解析式为y＝(x－1)2－4
令x=0，则y=－3，
∴抛物线M与y轴交点坐标为(0，－3)
例题图①
例 (2022陕西逆袭卷改编)如图，抛物线L：y＝x2＋2x－c的图象与x轴交于A，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C(0，－3)，过点A的直线与y轴交于点D，与抛物线交于点M，且tan∠BAM＝1.
(3)若点P为抛物线L上一动点，E为直线AD上一动点，则是否存在点P，使得以点A，P，E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例题图①
OD=OA
P为抛物线L上一动点，
思考什么情况下三角形APE为等腰直角三角形？
45°
P
①∠AEP＝90°
②∠EPA＝90°
③∠EAP＝90°
分类讨论
E
E
P
E
E
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几何画板
(3)存在．
在Rt△AOD中，∵tan∠BAM＝tan∠OAD＝ ＝1，
∴OD＝OA，∠BAD＝45°.
如解图，分三种情况讨论：
①当AE＝PE时，∠AEP＝90°，
∴∠EPA＝∠EAP＝45°，
∵∠DAB＝45°，
∴此时点P与点B重合，
∴点P的坐标为(－3，0)；
例题解题
②当AP＝PE时，∠EPA＝90°，
∴∠PEA＝∠EAP＝45°，
∴此时点P与点B重合，
∴点P的坐标为(－3，0)；
③当AP＝AE时，∠EAP＝90°，
设AP与y轴交于点F，
则∠OFA＝∠OAF＝45°，
∴OF＝OA＝1，
∴点F的坐标为(0，－1)，
设直线AF的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将A(1，0)，F(0，－1)代入y＝kx＋b中，
∴直线AF的表达式为y＝x－1，
设点P的坐标为(x，x2＋2x－3)，
∴x2＋2x－3＝x－1，
解得x1＝1(舍去)，x2＝－2，
当x＝－2时，y＝－2－1＝－3，
∴点P的坐标为(－2，－3)．
综上所述，满足条件的点P的坐标为
(－3，0)或(－2，－3)．
例 (2022陕西逆袭卷改编)如图，抛物线L：y＝x2＋2x－c的图象与x轴交于A，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C(0，－3)，过点A的直线与y轴交于点D，与抛物线交于点M，且tan∠BAM＝1.
例题图②
(4)抛物线M上存在一点F，抛物线L上存在一点G，使得四边形ABFG为平行四边形，求出F，G两点坐标.
题意可知AB间距离为4
FG=AB=4且FG∥AB
抛物线M和抛物线L关于y轴对称
平行四边形性质
当y相等，
两x关于y轴对称
xF＝－xG
FG在x轴上方、
FG在x轴下方
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几何画板
(4)∵A(1，0)，B(－3，0)∴AB＝4
∵点F在抛物线M上，点G在抛物线L上，且四边形ABFG是平行四边形
∴FG AB，FG=AB=4
∵抛物线M与抛物线L关于y轴对称
∴两抛物线上纵坐标相同的点，横坐标关于y轴对称
∴ ，xF＝－xG
分两种情况讨论，当F、G在x轴上方时，即
xF＝－2时，xG＝2
当F、G在x轴下方时，即
xF＝2时，xG＝－2
例题解图②
将xF＝－2代入抛物线M解析式y＝x2－2x－3可得yF＝5，
xG＝2，yG＝5，此时F(－2，5)，G(2，5)
将xF＝2代入抛物线M解析式y＝x2－2x－3
可得yF＝－3，
xG＝－2，yG＝－3，
此时F(2，－3)，G(－2，－3)
∴综上所述，F(－2，5)，G(2，5)
或F(2，－3)，G(－2，－3).
例题解图②
特殊三角形
四边形问题
探究平行四边形存在性问题的步骤：
1.三定点(A、B、C)，一动点(D)：
分别过点A、B、C作BC、AC、AB的平行线，三条平行线的交点即为所求作的点D
2.两定点(A、C)，两动点(E、F)：
分AC为边和AC为对角线两种情况来讨论：
①AC为边，平移AC，利用平行四边形的对边平行且相等确定点E、F位置
②AC为对角线，取AC中点，利用平行四边形对角线互相平分来确定点E、F位置
方法总结
课堂练兵
练习题图
(1)求点A，B，C的坐标；
练习 综合与探究
如图，抛物线y＝ x2－ x－6与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，点P是抛物线上任意一点，连接PB，PC，BC.
抛物线已知
注意：根据图象中A、C位置判断点坐标
令x=0，求出B点坐标
令y=0，求出A点，C点坐标
解：(1)在y＝ x2－ x－6中，
令y＝0，得 x2－ x－6＝0，
解得x＝－2或x＝8，
令x＝0，得y＝－6，
∴点A(－2，0)，点B(0，－6)，点C(8，0)；
练习题图
练习 综合与探究
如图，抛物线y＝ x2－ x－6与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，点P是抛物线上任意一点，连接PB，PC，BC.
(2)当△PBC的面积为24时，求点P的坐标；
练习题图
求抛物线中图形面积有几种方法？
①直接公式法
②分割法
③补全法
表示S△PBC有几种？
①过点P向直线BC作垂线PF⊥BC，S△PBC＝ BC PF
②过点P作y轴平行线，交BC于点E，S△PBC＝ PE·OC
③过点P向y轴作垂线，交y轴于点G，S△PBC＝梯形面积－S△BOC－S△BPG
铅垂法
×
×
F
E
G
练习 综合与探究
如图，抛物线y＝ x2－ x－6与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，点P是抛物线上任意一点，连接PB，PC，BC.
(2)当△PBC的面积为24时，求点P的坐标；
练习题图
②过点P作y轴平行线，交BC于点E，S△PBC＝ PE·OC
铅垂法
E
是否还有其他情况？
满足S△PBC＝24，P在BC上方
怎么找BC上方点P坐标？
过点P作BC的平行线，向上平移同样的点P到BC的距离，平行线与抛物线的交点即为点P坐标
(2)当点P在直线BC下方时，如解图①，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，设直线BC的表达式为y＝kx＋d，
将点B(0，－6)，C(8，0)代入，得 ，
∴直线BC的表达式为y＝ x－6.
设点P(m， m2－ m－6)(0∴PE＝( m－6)－( m2－ m－6)＝－ m2＋3m，
∴S△PBC＝ PE·OC＝ (－ m2＋3m)×8＝－ m2＋12m，
解图①
答题步骤
求BC表达式
设点P坐标
求PE长
点P在直线BC下
点P在直线BC上
当点P在直线BC上方时，如解图②，由平移易求得lP1P2：y＝ x，
联立 ，
此时
综上所述，点P的坐标为(4，－9)
或 ；
解图②
当S△PBC＝24时，即－ m2＋12m＝24，
解得m＝4，此时P(4，－9)；
练习 综合与探究
如图，抛物线y＝ x2－ x－6与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，点P是抛物线上任意一点，连接PB，PC，BC.
(3)若点Q是直线x＝4上一点，是否存在以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
练习题图
当BC为边时
画草图
PQ BC
平移BC满足PQ＝BC
此时P点到直线x=4的距离等于C点横坐标长
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几何画板
练习 综合与探究
如图，抛物线y＝ x2－ x－6与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，点P是抛物线上任意一点，连接PB，PC，BC.
(3)若点Q是直线x＝4上一点，是否存在以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
练习题图
画草图
当BC为对角线时
根据平行四边形对角线互相平分求P点坐标
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几何画板
(3)存在．当以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况：①如解图③，当BC作为平行四边形的一条边时，PQ∥BC，且PQ＝BC，
∵点Q的横坐标为4，∴|xp－4|＝8，解得xp＝－4或xp＝12，
∴P1(－4，9)，P2(12，21)；
②如解图④，当BC为平行四边形的对角线时，
设对角线交于点R，则BR＝CR，∴点R(4，－3)，
∵ ＝4，点Q在直线x＝4上，
∴点P的横坐标为4，此时P3(4，－9)．
综上所述，存在满足题意的点P，点P的坐标为(－4，9)或(12，21)或(4，－9)．
解图③
解图④
课后小练
练习1 (2022陕西原创卷)在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，抛物线L′与抛物线L关于y轴对称．
练习1题图
(1)求抛物线L的表达式；
解：(1)分别将点B(3，0)，C(0，－3)的坐标代入
y＝x2＋bx＋c中得
∴抛物线L的表达式为y＝x2－2x－3；
练习1 (2022陕西原创卷)在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，抛物线L′与抛物线L关于y轴对称．
(2)抛物线L′的顶点为D，在x轴上是否存在一点P，使得以B、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
练习1题图
(2)存在．∵抛物线L′与抛物线L关于y轴对称，
∴抛物线L′的表达式为y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴D(－1，－4)，
设点P的坐标为(m，0)，∴BD2＝(3＋1)2＋[0－(－4)]2＝32，DP2＝(m＋1)2＋(0＋4)2，则PB2＝(m－3)2，
∵△PBD为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当PB＝BD时，即(m－3)2＝32，解得m＝3＋ 或m＝3－ ，
∴P1(3＋ ，0)，P2(3－ ，0)；
②当BD＝PD时，即32＝(m＋1)2＋(0＋4)2，解得m＝3(舍去)或m＝－5，∴P3(－5，0)；
③当PB＝PD时，即(m－3)2＝(m＋1)2＋(0＋4)2，解得m＝－1，∴P4(－1，0)
练习2 (2022陕西黑白卷)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝ x－2分别交x轴、y轴于点A，B，且抛物线与x轴的另一个交点为C(－1，0).
(1)求抛物线的表达式；
练习2题图
解：(1)在y＝ x－2中，当x＝0时，y＝－2.
∴B(0，－2).
令y＝ x－2＝0，得x＝3.∴A(3，0).
设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，
将点B(0，－2)代入，得－2＝－3a，解得a＝ .
∴抛物线的表达式为y＝ (x＋1)(x－3)＝ x2－ x－2；
练习2 (2022陕西黑白卷)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝ x－2分别交x轴、y轴于点A，B，且抛物线与x轴的另一个交点为C(－1，0).
练习2题图
(2)点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)存在．
∵A(3，0)，B(0，－2)，∴AB2＝13.
由(1)可知抛物线的对称轴为直线x＝1，∴设Q(1，m)，
则AQ2＝22＋m2，BQ2＝1＋(m＋2)2，
要使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，则分三种情况讨论：
①当AQ＝AB，即AQ2＝AB2时，四边形ABPQ为菱形，∴22＋m2＝13，
解得m＝3或m＝－3，
∴点Q的坐标为(1，3)或(1，－3)；
②当AB＝BQ，即AB2＝BQ2时，四边形ABQP为菱形，∴13＝1＋(m＋2)2，
解得m＝2 －2或m＝－2 －2，
∴点Q的坐标为(1，2 －2)或(1，－2 －2)，
③当AQ＝BQ，即AQ2＝BQ2时，四边形AQBP为菱形，
∴22＋m2＝1＋(m＋2)2，解得m＝－
∴点Q的坐标为(1，－ ).
综上所述，点Q的坐标为(1，3)或(1，－3)或(1，2 －2)
或(1，－2 －2)或(1，－ ).
练习2题图