北师大版九年级上第三章图形的相似导学案

3.1线段的比
学习目标、重点、难点
【学习目标】
两条线段的比；
成比例线段；
比例的基本性质.
【重点难点】
1、两条线段的比；
2、成比例线段；
3、比例的基本性质.
知识概览图
线段的比
新课导引
在现实生活中，我们经常见到形状相同的图形，如下图所示，是我们平时所用的三角板，但同学们手中的三角板和老师手中的三角板有大小之分．
( http: / / www.21cnjy.com )
【问题探究】通过观察上面的图形可以知道这两组三角板有形状相同这一特点．那么，你能知道这两组三角板的对应线段有什么关系吗
【点拨】 形状相同的两组三角板的对应线段成比例．
教材精华
知识点1 两条线段的比
通俗地说，所谓两条线段的比，就是把两条线段的长度相除所得的结果(比值)．
例如：线段AB＝3cm，CD＝5cm，那么线段AB与CD的比是或3∶5.
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比AB∶CD＝m∶n，或写成=．其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项.
拓展 (1)定义中所说的“选用同一个长度单位”应格外引起注意．如果线段AB＝9 mm，线段CD＝10 cm．那么我们就不能说线段AB与线段CD的比是9∶ 10，而应先把它们化成相同单位后再求比值，实际上这里AB与CD的比是9∶100． (2)从本质上讲，m∶n表示的是两数的相除关系，因此也写成．既然是相除关系，那么就可以“约分”，如线段AB与线段CD的比是15∶5，我们就可以说AB与CD的比是3∶1．(3)两条线段的比是有先后顺序的．若写线段AB与CD的比，就必须把表示AB长度的数写在前面或分数线上面(前项)，表示CD长度的数写在后面或分数线下面(后项)．
规律方法小结 本节中所说的“比”是“两条线段的比”，实际上，单纯的两个数之间也可以建立比的关系．例如：甲数为m，乙数为n，那么甲数与乙数的比就是m∶n或．
知识点2 成比例线段
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
拓展 1．(1)比例线段所表示的是四条 ( http: / / www.21cnjy.com )线段的关系，应该注意这个“四”字，一条线段不能构成比例线段，两条线段也不能，三条线段在不重复使用其中某一条的情况下也构不成比例线段．五条和五条以上的线段，只能就其中的某四条来研究是否构成比例线段．(2)比例线段所表示的是一种相等关系，因此表示比例线段的式子中必须有等号存在．
2．(1)为了讨论问题方便，我们再给出两个相关定义：如果线段a，b，c，d成比例，即＝，或a∶b＝c∶d，则a，d叫做比例外项，b，c叫做比例内项．(2)四个数之间也可以构成比例关系．例如：甲数为m，乙数为n，丙数为p，丁数为q，若甲数与乙数的比值恰好等于丙数与丁数的比值，即＝，我们就说这四个数成比例.
知识点3 比例的基本性质
比例的基本性质：如果＝，那么以ad＝bc.
等比性质：如果＝=…＝(b+d+…+n≠0)，那么＝．
合比性质：如果＝，那么＝．
拓展 (1)将比例式转化为乘积式是有条件 ( http: / / www.21cnjy.com )的，并不是比例式的四个字母中任意两个字母的乘积都等于另外两个字母的乘积．那么你认真观察一下，其中有什么规律呢？这个规律是：比例的外项乘积等于内项乘积．(2)使用等比性质时，要注意 b+d+…+n≠0这个条件．
课堂检测
基础知识应用题
1、下列长度的四条线段中，不能成比例的是 ( )
A．a=3，b=6，c=2，d=4 B．a=1，b=，c=，d=
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝2，b＝，c＝，d＝2
2、如果把ad＝bc写成线段的比例式，那么下列式子中错误的是 ( )
A．a∶b＝c∶d B．a∶c＝b∶d C．b∶a＝d∶c D．b∶d＝c∶a
综合应用题
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，求BC∶AC和BC∶AB的值.
探索创新题
4、如果，且x+y+z=12，求x，y，z的值.
体验中考
1、小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的 ( http: / / www.21cnjy.com )影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶( )
A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m
2、在比例尺为1∶2000的地图上测得A，B两地间的图上距离为5 cm，则A，B两地间的实际距离为 m．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、答案：C
【解题策略】 解此类问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，若有单位，应先将四条线段的长度单位统一，然后把四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列，再看中间两数的积与两边两数的积是否相等，若相等，说明这四条线段成比例，否则，不成比例．
2、答案：D
【解题策略】 比例的基本性质的逆用(即：等积式转化为等比式)．
3、解：如图4-2所示，在Rt△ABC中，
因为∠C=90°，∠A=45°，
所以△ABC为等腰直角三角形.
所以AC=BC，所以BC∶AC=1∶1.
又因为AB===BC.
所以BC∶AB=BC∶BC=1∶.
【解题策略】 由此题可知等腰直角三角形三边的比为1∶l∶．
4、解：设=k，则x=3k-4，y=2k-3，z=4k-8.
代入x+y+z＝12，得3k-4+2k-3+4k- 8＝12，解得k＝3，
所以x＝3k-4＝3×3-4＝5，
y＝2k-3＝2×3-3＝3，
z＝4k-8＝4×3-8＝4．
【解题策略】 解此题的巧妙办法就是设 ( http: / / www.21cnjy.com )连比式的值为K，则用含k的代数式表示其中的x，y，z，再利用题中的等式求出k的值，进而达到解题的目的.
体验中考
1、分析 本题考查将实际问题转化为数学问题的能力．根据物高：影长＝另一物高：另一影长，可求出小刚手臂举起后的总高度(h)．根据题意，得，所以h＝(m)，所以小刚举起的手臂超出头顶2.2-1.7＝0.5(m)．故选A.
2、分析 根据比例尺＝列方程．设实际距离为xcm，则可知，则x＝10000，即10000 cm＝100 m．故填100．
3.2黄金分割
学习目标、重点、难点
【学习目标】
黄金分割的定义；
黄金分割的求法及画法.
【重点难点】
黄金分割的定义；
黄金分割的求法及画法.
知识概览图
黄金分割
新课导引
五角星是我们常见的图形，如右图所示，它让你感受到了一种美．现实生活中还有很多这样的图案，你能举出一些例子吗
【点拨】在现实生活中，正五边形也会让你感受到一种美，还有许多雕塑、绘画等艺术作品都会给人一种美的享受.
教材精华
知识点1 黄金分割的定义
如图4-6所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，由计算可知，AC∶AB＝∶1≈0.618∶1．
黄金分割的应用：黄金分割不仅应用于艺术创作，还广泛应用于服装设计、汽车制造、建筑设计、几何图形创作等各类工艺造型中．
知识点2 黄金分割的画法
画法1：如图4-7所示，设AB是已 ( http: / / www.21cnjy.com )知线段，以AB为边作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF＝EB；以线段AF为边作正方形AFGH．点H就是AB的黄金分割点．
( http: / / www.21cnjy.com )
画法2：如图4-8所示，已知线段AD，经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB，连接AD，在DA上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，则点C是线段AB的黄金分割点；
课堂检测
基础知识应用题
1、已知线段AB，点P是它的黄金分 ( http: / / www.21cnjy.com )割点，AP＞PB，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB和AB为邻边的矩形面积为S2，则S1与S2之间的大小关系是 ( )
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定
2、已知点C将线段AB黄金分割，且AC＜BC，则BC等于 ( )
A．AB B．AB C． AB D．AB
综合应用题
3、以长为2的线段AB为边作正方形ABCD， ( http: / / www.21cnjy.com )取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图4-10所示．
(1)求AM，DM的长；
(2)试说明AM 2=AD·DM；
(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗
探索创新题
4、如图4-13所示，作线段AB的黄金分割点C．
方法如下：(1)过点B作BD⊥AB，使BD＝AB；
(2)连接AD，在AD上截取DE＝BD；
(3)在AB上截取AC＝AE，则点C是线段AB的黄金分割点．即AC 2＝AB·BC．
你能证明这样得到的C点是黄金分割点吗
体验中考
1、宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤(如图4-14所示)．
第一步：作一个任意正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND为半径画弧，交BC的延长线于点E；
第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F，
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形(可取AB＝2)．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、答案：B.
【解题策略】 黄金分割点把线段分成两部分，较长线段是较短线段和整个线段的比例中项．
2、答案：A.
【解题策略】 理解由黄金分割点得到的三条线段的关系．
3、分析 抓住题中的作图过程：便抓住了问题中的数量关系，根据作图过程，层层推进．
解：(1)因为正方形ABCD的边长为2，P是AB的中点，
所以AD＝AB＝2；AP＝1，∠BAD＝90°，
所以PD＝．
因为PF＝PD，所以AF＝-1．
在正方形AMEF中，AM＝AF＝-l，
所以MD＝AD-AM＝3-.
(2)由(1)得AD·DM＝2×(3-)＝6-2，
AM 2=(-1)2＝6-2．所以AM 2＝AD·DM.
(3)图4-10中的M点是线段AD的黄金分割点．
【解题策略】 根据数形结合思想，逐步推理．
4、解：设AB＝a，AC＝x，则AD＝AE+ED＝x+．
在Rt△ABD中，由勾股定理，得，
整理，得x2＝a(a-x)，即AC 2＝AB·BC，所以点C是线段AB的黄金分割点．
【解题策略】 解此题的关键是利用、黄金分割的定义来证明．
体验中考
1、证明：在正方形ABCD中，取AB＝2．
∵N为BC的中点，∴NC＝BC＝1．
在Rt△DNC中，ND＝＝＝．
又∵NE=ND，∴CE=NE-NC=-1，∴．
故矩形DCEF为黄金矩形．
【解题策略】 理解黄金分割的意义．
3.3相似三角形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、对相似三角形的理解和认识
2、相似三角形的定义
3、相似三角形与全等三角形的区别和联系.
【重点难点】
相似三角形的定义
相似三角形与全等三角形的区别和联系.
知识概览图
相似三角形
新课导引
前面我们学习了全等三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )即两个三角形的三角对应相等、三边对应相等，那么根据上节课所学习的相似多边形的概念，你能类比推理出相似三角形的概念吗
【点拨】根据前面学习的有 ( http: / / www.21cnjy.com )关全等三角形及相似多边形的概念，可以类比推出相似三角形的概念：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
教材精华
知识点 相似三角形的定义
三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF．
知识拓展 相似三角形的定义告诉我们： ( http: / / www.21cnjy.com )相似三角形的对应边的比叫做相似比．(1)如果两个三角形的三角对应相等、三边对应成比例，那么这两个三角形相似．
(2)如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等、对应边成比例．
相似三角形与全等三角形．
全等三角形是特殊的相似三角形，它们的相似比是1，但相似三角形不一定是全等三角形．二者的区别与联系如下表所示：
名 称类 别 全等三角形 相似三角形
定义 能够完全重合的两个三角形 对应角相等、对应边成比例的两个三角形
图形特征 形状、大小完全一样 形状一样、大小未必一样
表示方法 △ABC≌△，读作△ABC全等于△ △ABC∽△，读作△ABC相似于△
性质 对应角相等，对应边相等 对应角相等，对应边成比例
相似比 若ABC≌△，则===1 若△ABC∽△，则(k为任何正实数)，相似比有顺序性
对应角、对应边的识别 (1)对应顶点的字母写在对应位置上(2)对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角(3)最大(小)的边(角)与最大(小)的边(角)是对应边(角)
区别与联系 (1)找对应元素的方法一样(2)全等三角形是相似比为l的相似三角形，但相似三角形不一定全等，二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例
课堂检测
基本概念题
1、下列命题正确的是 ( )
A．所有的直角三角形都相似 B．所有的等腰三角形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似 D．以上结论都不正确
基础知识应用题
2、如图4-42所示，已知△ADE∽△ABC，AD＝3，AE＝2，DE＝1.6，AC＝6，求BC，BD的长．
综合应用题
3、如图4-44所示，AC，BD相交于点O，且AB∥CD，OA＝4，OB＝4，OD＝2，OC＝2，AB＝6，CD＝3，则△AOB与△COD是否相似 为什么
探索创新题
4、说明任意两个等腰直角三角形都相似．
体验中考
1、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，那么x的值， ( )
A．只有1个 B．可以有2个
C．有2个以上，但有限 D．有无数个
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、答案：C
【解题策略】 解此题的关键是根据相似三角形的定义解题．
2、解：因为△ADE∽△ABC，
所以，．
所以BC==4.8，
AB==9．
所以BD＝AB-AD＝9-3＝6．
【解题策略】 灵活运用相似三角形的性质解决问题．
3、解：由AB∥CD可得∠A＝∠C，∠B＝∠D，
且∠AOB＝∠COD(对顶角相等)，
因为，
所以，
所以△AOB与△COD的对应角相等、对应边成比例，
所以△AOB∽△COD．
【解题策略】 本题主要考查相似三角形的定义及平行线性质的综合运用
4、分析 要判定两个三角形是否相似，现在我们只能依靠定义来说明．
解：如图4-45所示，任意作等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形，
∠C＝∠＝90°，设AC＝BC＝m，＝＝n．
( http: / / www.21cnjy.com )
因为∠A＝∠＝45°，∠B＝∠＝45°，∠C＝∠= 90°，
所以三个角对应相等．
由勾股定理得AB＝＝＝m，
===n，
所以，，，
即三条边对应成比例．
所以△ABC与△相似，即任意两个等腰直角三角形都相似．
体验中考
1、分析 可以是直角边，也可以是斜边，因此答案可以有2个．故选B．
3.4探索三角形相似的条件
学习目标、重点、难点
【学习目标】
相似三角形的判定条件
相似三角形的判定方法的作用
【重点难点】
如何判定2个三角形相似
知识概览图
相似三角形的条件
新课导引
你能回想起两个三角形全等的判定方法吗 类比这些方法，你能找到相似三角形的判定方法吗
【问题探究】 证明两个三角形全等的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定方法有“SAS”“SSS”“ASA”“AAS”，类比这些方法，可以找到相似三角形的判定方法，你能用数学语言描述吗
【解答】①两角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
教材精华
知识点1 相似三角形的判定条件一
两角对应相等的两个三角形相似．
用定义来判定两个三角形相似是比较麻 ( http: / / www.21cnjy.com )烦的．因为它要涉及两个三角形的六个角、六条边共12个元素．定义中给出的判定条件是否过多呢 回忆全等三角形的定义和三角形全等的条件，我们很容易产生这样的联想(事实也是如此)：只要从三组角对应相等、三组边对应成比例中选取出部分条件来代替全部条件，就可以判定两个三角形相似．
到底选取哪些条件就可以代替全部条件呢 “ ( http: / / www.21cnjy.com )两角对应相等”就是其中的一个．这样由原来定义中涉及的12个元素变成了只涉及两组角共4个元素，条件大大地减少了．
如图4-50所示，∠A＝∠D，∠B＝∠E，所以△ABC∽△DEF．
拓展 使用本条件时，“两角对应相等 ( http: / / www.21cnjy.com )”中的“对应”二字是可以去掉的，只要此三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形就一定相似．
知识点2 相似三角形的判定条件二
三边对应成比例的两个三角形相似．
当给出的两个三角形中的已知条件以角为主 ( http: / / www.21cnjy.com )时，我们应首先考虑使用“两角对应相等”的判定方法；当给出的已知条件都是边长时，我们应首先考虑使用“三边对应成比例”的判定方法，这种判定方法将涉及的12个元素简化为只涉及6个元素，也是很简便的．
如图4-50所示，，所以△ABC∽△DEF.
拓展 本条件中的“三边对应成 ( http: / / www.21cnjy.com )比例”中的“对应”二字可以去掉，因为在三角形中不会出现另外的情况。如果是四边形或四边形以上的多边形，那么“对应”二字是必须有的．
知识点3 相似三角形判定条件三
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
当给出的已知元素边、角混杂时，常考虑使用“两边对应成比例且夹角相等”的判定方法判定两个三角形相似．
这种方法同样将12个元素简化为6个元素．
如图4-50所示，，∠B=∠E，所以△ABC∽△DEF．
拓展 从形式上看，本条件是两边成比例、一角相等，但这个角必须是这两边的“夹”角，没有这个“夹”字，判定的结果有可能是错误的．
知识点4 相似三角形判定方法的作用
(1)用来判定两个三角形相似．
(2)用来证明角相等、线段成比例．
(3)为计算线段的长度与角的大小创造条件．
知识点5 如何判定两个三角形相似
判定两个三角形相似的思考过程是：
(1)先找对应角相等，可通过平行线或作平行线来寻找．
(2)若只找到一组对应角相等，可判断等角的两边是否对应成比例．
(3)若找不到角相等，则判断三边是否对应成比例．
(4)还可通过相似三角形性质中的传递性来判断．如，若△ABC∽△，△∽△，则△ABC∽△．
借助图形寻找相似的方法是：
(1)有平行线的可围绕平行关系找相等的角。
(2)有公共角、对顶角之类的等角的，可通过余角或补角等关系寻找相等的角，或观察夹这个角的两边是否对应成比例．
(3)有公共边的，可通过旋转其图形，观察特征，来寻找相似的判定条件．
(4)在证明比例式与等积式时，经常要构造三角形相似．
规律方法小结 判定两个三角形相似，至 ( http: / / www.21cnjy.com )少需要下列条件之一，(1)两个角对应相等．(2)三条边对应成比例．(3)两条边对应成比例且夹角相等。理解时，可类比全等三角形的判定方法．在(1)中，只要满足两个角对应相等，这两个三角形就相似，解题时关键是寻找对应角，一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角的余角(或补角)”等相等的角.
课堂检测
基础知识应用题
1、根据下列各组条件，判定△ABC和△是否相似，并说明理由．
(1)AB＝3.5，BC＝2.5，CA＝4，＝24.5，=17.5，＝28；
(2)∠A=35°，∠B＝104°，∠＝44°，∠＝35°； ．
(3)AB＝3，BC＝2.6，∠B＝48°，＝1.5，=1.3，∠＝48°．
综合应用题
2、如图4-54所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线．
(1) △ABC和△BCD相似吗
(2)试说明AD2=DC·AC；
(3)若AC=+1，求BC的长．
探索创新题
3、在Rt△ABC中，斜边AB＝50 cm，AC＝40 cm，以点C为顶点，作一个等边三角形，并且使其他两个顶点及一边在Rt△ABC上．
(1)符合上述条件的等边三角形有几个 请分别画出来；
(2)在这些等边三角形中，哪个面积最大 最大面积是多少 ( ≈1.732，结果精确到0．1 cm2)
体验中考
1、一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底 ( http: / / www.21cnjy.com )边上的高的长为22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图4-57所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是 ( )
A．第4张 B．第5张
C．第6张 D．第7张
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 (1)中给出的是 ( http: / / www.21cnjy.com )两个三角形中的六条边的长，考虑用“三边对应成比例”．(2)中给出的是两个三角形中的两组角，考虑用“两角对应相等”．(3)中给出的是两个三角形中的两组边、一组角，考虑用“两边对应成比例且夹角相等”．
解：(1)因为，
所以△ABC∽△.
(2)因为∠C＝180°-∠A-∠B＝180°-35°-104°＝41°，
两个三角形中只有∠A＝∠
另外两组角都不相等，
所以△ABC与△不相似．
(3)因为∠B＝∠，，
所以△ABC∽△．
【解题策略】 灵活运用三角形相似的条件判定两个三角形相似.
2、分析 顶角为36°的等腰三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )它的底角是72°，而BD是底角的平分线，故∠CBD＝36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．
解：(1)因为∠A＝36°，AB=AC，所以∠ABC＝∠C＝72°．
因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD＝36°，
所以△ABC∽△BCD．
(2)因为△ABC∽△BCD，所以，
所以BC2=AB·CD，由题意知BC=BD=AD，AB＝AC，
所以AD2＝AC·CD．
(3)由AD2＝AC·CD，得D为线段AC的黄金分割点，
所以AD＝AC＝×(+1)=2．
而BC＝AD，故BC＝2．
【解题策略】 解此题的关键是由(2)中的AD2＝DC·AC得出点D为线段AC的黄金分割点，再利用黄金分割的意义解决问题．
3、分析 按照题目给出的数据，准确地 ( http: / / www.21cnjy.com )画出Rt△ABC，并尝试画出以C为一个顶点，一边分别在AC或BC或AB上的等边三角形，就能得出第(1)问的正确答案. 计算所画出的每个三角形的面积，就能解出第(2)问．
解：(1)符合上述条件的等边三角形有三个，如图4-56所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)如图4-56(1)所示，作ED⊥AC，D为垂足，
则ED∥BC，所以△ADE∽△ACB，所以DE∶BC＝AD∶AC，
设DE=x cm，则CD=xcm，所以AD=cm．
又BC==30，所以x∶30= ∶40，
解得x=≈20.9．
如图4-56(2)所示，作ED⊥BC，D为垂足，
则ED∥AC，所以△BED∽△BAC，所以ED∶AC＝BD∶BC．
设ED=x cm，则CD＝x cm，所以BD＝cm，
所以x∶4＝∶30，解得x＝≈22.6，
如图4-56(3)所示，作CD⊥AB，D为垂足，
由S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，得AB·CD＝AC·BC，
则CD==24(cm)．
又因为24＞22.6＞20.9，
所以如图4-56(3)所示的等边三角形面积最大，
S△CEF=CD·EF= CD2=×242=332.5(cm2)．
所以当等边三角形有一条边在Rt△ABC的斜边上时面积最大，最大面积约为332.5 cm2．
【解题策略】 (1)上面的解题过程中运 ( http: / / www.21cnjy.com )用了分类讨论思想，这是最重要的数学思想之一．(2)解题过程中省略了由等边三角形的高求其边长(或边长的一半)的过程，这是应该熟练掌握的．(3)在Rt△ABC中，如果CD是斜边上的高，则有AB·CD＝AC·BC. 我们应能熟练地使用这个关系式(4)从理论上说明第(1)问能作几个等边三角形，需利用以后所学的知识．
体验中考
1、分析 设第n张纸条是正方形，则GH＝3cm．如图4-57所示，作AD⊥BC于点D，交第n张纸条于点E．经分析易得DE＝3n cm，AE⊥GH，∴△AGH∽△ABC，∴．又∵AE=AD-DE，∴，解得n＝6．故选C．
3.7 相似三角形测高
学习目标、重点、难点
【学习目标】
通过测量旗杆的高度，来综合运用三角形相似的判定条件和性质，加深对相似三角形的理解.
【重点难点】
正确的画出图形，综合运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题.
知识概览图
测量旗杆高度——利用三角形相似的性质
新课导引
如右图所示的是校园操场上升旗的旗杆，如何测量它的高度呢
【解答】 测量物体(旗杆)的高度可利用阳光下的影子、标杆、镜子的反射等方法来测量．
教材精华
知识点 测量物体的高度
本节是一节活动课，利用相似三角形的知识测量某 ( http: / / www.21cnjy.com )些不能直接测量的物体的高度．它有几个优点：一是简单易行，无需远走，无需复杂的测量工具．二是与所学知识完全对应，难易适度．三是同时使用几种方法，综合运用有关知识．
教材中给出了三种测量物体高度的方法，下面分别讲一下每种方法的几何道理．
方法1：利用阳光下的影子．
如图4-65所示，由于光线AC，平行，所以∠C＝∠．由于站立的人和被测物体都垂直于地面，所以∠B＝∠＝90°，这样△ABC∽△，从而有AB∶=BC∶，其中AB，BC，，可测，故通过计算可求．
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方法2：利用标杆．
在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆，如图4-66所示，过点A作地面的平行线AD，交于点D， 于点C，易知△∽△，则．其中(可测)，AC= (可测)，AD＝(可测)，所以可求，从而可求．
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方法3：利用镜子的反射．
在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，如图4-67所示，由于入射角等于反射角，因此∠ACB＝∠，又因为∠B＝∠＝90°，所以△ABC∽△，则．由于AB，BC，均可测，故，可求．
知识拓展 (1)如图4-66所示的 ( http: / / www.21cnjy.com )AB是人的身高，而如图4-67所示的AB是人眼到地面的距离．(2)上述三种方法中，方法1比较好操作，但受太阳光的限制，只能在有太阳光时应用，方法2与方法3比较，操作过程差不多，但从计算的角度来看，方法3比较好计算．
课堂检测
基础知识应用题
1、雨后初晴，一个学生在运动场上玩耍， ( http: / / www.21cnjy.com )从他前面2m远的一小块积水处，他看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40 m，该学生的眼部到地面的高度为1.5 m，求旗杆的高度．
2、某人身高为1.8米，站在一路灯下时无影子，然后背对路灯向前走了6米，此时的影长为2米．求路灯的灯泡距地面的高度．
综合应用题
3、如图4-73所示，路边有两根相距4m ( http: / / www.21cnjy.com )的电线杆AB，CD，分别在高为3 m的A处和6 m的C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M离地面的高度MH．
探索创新题
4、一个钢筋三脚架的边长分别是20 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，50cm，60cm，现要做一个与其相似的钢筋三脚架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，则有几种不同的截法 并简单说明理由．
体验中考
1、我们知道利用相似三角形可以计算不 ( http: / / www.21cnjy.com )能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6 m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6 m，则这棵树的高度约为 m．
2、明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如图4-77所示，小明边移动边观察，发 ( http: / / www.21cnjy.com )现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同，此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.8 m，CA＝30 m(点A，E，C在同一直线上)．已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1 m)．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 可利用三角形相似对应边成比例求出旗杆的高度(DE)．
解：如图4-68所示，
根据题意得AB＝1.5 m，BC＝2 m，CE＝40 m．
由题意知，△ABC∽△D'EC，
所以，所以，
所以D'E＝30(m)．
由物理知识可知DE＝D'E＝30 m．
答：旗杆的高度为30 m．
【解题策略】 解此题的方法类似于利用镜子反射测量物体的高度．
2、解：如图4-70所示，
由题意可知BC＝B'C'＝1.8米，BB'＝6米，B'D＝2米.
易知△ABD∽△C'B'D，
则，
所以AB==7.2 (米)．
答：灯泡距地面的高度是7.2米．
【解题策略】 利用光源自身发出的光线求光源的高度，且不借助其他工具，这也是一种利用相似三角形测量物体高度时简便方法.
3、分析 要求MH的长，先把MH放在某一个三角形中，然后利用相似三角形的性质求出MH的长.
解：设MH＝x m，BH＝m m，DH＝n m，BD＝l m．
则l＝m+n，根据题意，有：
△BMH∽△BCD，△DMH∽△DAB．
所以MH∶CD＝BH∶BD，
MH∶AB＝DH∶DB，
即，
两式相加，得=1．
解得x＝2．
答：M离地面的高度MH为2 m．
【解题策略】 此题的结果与BD无关．若令AB＝a，CD＝b，MH＝x，则有，即x=.
4、分析 根据三角形的三边 ( http: / / www.21cnjy.com )关系定理，50cm长的钢筋不能作为一边，30cm长的那根不能作最短边，所以30 cm长的钢筋可作最长的边，也可作次长的边，所以有两种不同的截法．
解：当30 cm长的钢筋作最长的边时，
设另外两边长分别为x cm，y cm，
由相似三角形的性质可知．
解得x＝10，y＝25．
当30 cm长的钢筋作次长的边时，
设另外两边长分别为m cm，n cm，
则，解得m=12，n=36．
答：从50 cm长的钢筋上截下的两段长分别为10 cm，25 cm或12 cm，36 cm．
【解题策略】 注意分类讨论思想的运用，做到不重不漏
体验中考
1、分析 根据相似三角形的性质可得，所以h＝4.8，所以这棵树的高度约为4.8 m．故填4.8．
2、分析 过D作DG⊥AB于G，利用相似三角形的性质求解．
解：过点D作DG⊥AB，分别交AB，EF于点G，H，
则EH＝AG＝CD＝1.2，DH＝CE＝0.8，DG=CA＝30．
∵EF∥AB，∴．
由题意知FH＝EF-EH＝1.7-1.2=0.5．
∴,解得BG=18.75．
∴AB＝BG+AG＝18.75+1.2= 19.95≈20.0．
∴楼高AB约为20.0m．
3.8相似多边形的性质
学习目标、重点、难点
【学习目标】
相似三角形的性质.
掌握相似多边形的周长比、面积比与相似比之间的关系.
能够运用相似多边形的各个性质解决实际问题.
【重点难点】
掌握相似多边形的周长比、面积比与相似比之间的关系.
能够运用相似多边形的各个性质解决实际问题.
知识概览图
相似多边形
新课导引
一个正方形的面积为a2，要做一个面积比它大一倍的正方形，你知道该怎么办吗
【问题探究】根据题意可知两个正方形是相似的，那么设扩大后的正方形的边长为x，则有，所以x=，因此以边长为做一个正方形即为所求．那么通过此题的解题过程，你发现相似多边形的面积比与相似比有什么关系呢
【解答】 相似多边形的面积比等于相似比的平方．
教材精华
知识点1 相似三角形的性质
相似三角形的性质：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比．
研究相似多边形的性质，从它 ( http: / / www.21cnjy.com )的最简单情形——三角形入手，然后推广到一般情形，这也是研究数学问题的一般方法和一般规律之一．而研究多边形的问题时，又常常把它分割成若干个三角形来研究，即把复杂的、未知的情形转化为简单的、已知的情形来研究，体现了数学学习和研究的一种基本思想——转化．
拓展 本节对于相似三角形的性质来说，是进 ( http: / / www.21cnjy.com )一步的巩固和完善，由相似三角形的性质可推出相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，学习中要注意相似三角形在实际中的应用．
知识点2 相似多边形的性质
相似多边形的两条性质：相似多边形的周长比等于相似比；相似多边形的面积比等于相似比的平方．
拓展 除了“周长比等于相似比，面积比等于相 ( http: / / www.21cnjy.com )似比的平方”之外，相似多边形还有如下两条重要性质：相似多边形对应对角线的比等于相似比；相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．
课堂检测
基础知识应用题
1、如图4-90所示，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则下列结论正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
2、两个相似三角形的相似比为2∶3，面积之差为25 cm2，则较大三角形的面积为( )
A．45 cm2 B．50 cm2 C．65 cm2 D．75 cm2
综合应用题
3、如图4-96所示，四边形ABDC、四边形CDFE、四边形EFHG都是边长为1的正方形．
(1)从图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由；
(2)试说明∠AFB+∠AHB＝45°．
探索创新题
4、如图4-97所示，在△ABC的内部选取一 ( http: / / www.21cnjy.com )点P，过P点作三条分别与△ABC的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t1，t2，t3的面积分别为4，9，49．
(1)求PD∶PE∶HG；
(2)求PD∶BC；
(3)求△ABC的面积．
体验中考
1、在△ABC和△DEF中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为 ( )
A．8，3 B。8，6 C．4，3 D．4，6
2、已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶25，则△ABC与△DEF的相似比为 .
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，又因为AD∶DB＝1∶2，所以AD∶AB＝1∶3．从而可知上述结论中正确的为B．故选B．
【解题策略】 利用相似三角形的性质解决此题
2、分析 设较大三角形的面积为x cm2，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以面积比为4∶9，所以，解得x＝45．故选A．
【解题策略】 利用相似三角形的性质建立方程，达到解题的目的．
3、解：(1) △ADF∽△HDA．理由如下：
因为∠ADF=∠ADH，，
所以，
所以△ADF∽△HDA．
(2)由△ADF∽△HDA知∠AFB＝∠DAH，又因为∠GAH＝∠AHB，
所以∠AFB+∠AHB＝∠DAH+∠GAH＝∠DAC＝45°．
【解题策略】 我们可以看到，相 ( http: / / www.21cnjy.com )似三角形一旦和其他图形结合起来，图形往往就变得复杂起来,相似关系变得隐蔽，不容易被发现，因此解这类题目时应注意观察，从观察中发现相似关系.另外,如果题目要求自己画图，那么一定要画得尽量准确，否则会影响观察结果，甚至造成误解.
4、解：(1)因为PE∥BC，FG∥AC，
所以∠FDP＝∠B，∠PFD＝∠A，
所以△FDP∽△ABC．
同理可得△IPE∽△ABC，△PHG∽△ABC，
所以△FDP∽△IPE∽△PHG∽△ABC，
所以.
．
所以PD∶PE∶HG＝2∶3∶7．
(2)因为DE∥BC，AB∥IH．
所以四边形PDBH是平行四边形，所以DP＝BH，
同理可得PE＝GC．
所以PD∶BC＝2∶(2+3+7)＝2∶12＝1∶6．
(3)因为△FDP∽△ABC，
所以．
所以S△ABC＝36S△FDP＝36×4＝144．
【解题策略】 灵活掌握相似三角形的性质.
体验中考
1、分析 由AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，得△ABC∽△DEF，且相似比为2，则，则S△DEF＝=3．△DEF周长为＝8．故选A．
2、分析 利用相似三角形的性质求解．故填2∶5．
3.9位似
学习目标、重点、难点
【学习目标】
了解位似图形及其有关概念；
了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
利用位似图形解决一些简单问题.
【重点难点】
位似图形及性质；
画位似图形，位似图形及性质应用.
知识概览图
位似图形
新课导引
观察幻灯机的工作原理，如下图所示.
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【问题探究】 观察幻灯机上的两个图片，你知道这两个图片是什么关系吗？
【解答】 这两个图片是位似图形.
教材精华
知识点1 位似图形及其性质
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形.
位似图形必须是相似图形，是增加了条件的相似图形，这个条件就是：每组对应点所在直线都经过同一个点.
知识拓展 (1)位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形不一定都能构成位似关系.(2)位似图形不仅是相似图形，还要具有特殊的位置关系.
位似图形有如下两个相关的概念：
(1)位似中心：每组对应点所在的直线都经过的那一个点，叫做位似中心.
(2)位似比：位似图形是相似图形，所以有相似比，这个相似比就是位似比.
位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到 ( http: / / www.21cnjy.com )位似中心的距离之比等于位似比.这样除了图形本身的对应线段成比例之外，位似图形与一般的相似图形相比，有了更多的比例线段.
知识点2 图形的放大与缩小
所谓图形的放大与缩小，实际上就是画原图形的相似图形.
教材中主要介绍了用画位似图形的方法对图形进行放缩，其实对图形进行放缩的办法有很多，下面通过一道例题介绍一些方法.
例如：画一个三角形，使它与已知△ABC(如图4 - 105所示)相似，且原三角形与所画三角形的相似比为2∶1.
解法1：(位似图形法)如图4 - 106所示，
任意取一点O，连接OA，OB，OC，
取OA，OB，OC的中点A′，B′，C′，
连接A′B′，B′C′，C′A′，
得到△A′B′C′，则△A′B′C′即为所求.
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解法2：(平行线截取法)如图4 - 107所示，
取AB的中点D，过D做DE∥BC，交AC于点E，则△ADE即为所求.
解法3：（反向延长法）如图4-108所示，
延长AC到点，使，
延长BC到点，使，
连接，则△即为所求.
课堂检测
基础知识应用题
1、如图4-112所示，试回答下列问题，并说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)如图4-112(1)所示，分别在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC的边AB，AC上取点D，E，连接DE，使DE∥BC，那么△ADE与△ABC是位似图形吗 放大了还是缩小了
(2)如图4-112(2)所示，分 ( http: / / www.21cnjy.com )别在△ABC的边AB，AC的延长线上取点D，E，连接DE，使DE∥BC，那么△ADE与△ABC是位似图形吗 放大了还是缩小了
(3)如图4-112(3)所示， ( http: / / www.21cnjy.com )分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，连接DE，使DE∥BC，那么△ADE与△ABC是位似图形吗 放大了还是缩小了
(4)如图4-112(4)所示，分别在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC的边AB，AC上取点D，E，连接DE，使△ADE与△ABC是位似图形，那么DE与BC平行吗 为什么
综合应用题
2、如图4-121所示，已知△ABC，用画位似图形的方法，分别按下列要求画△ABC的相似图形，使△A'B'C'与原图形的相似比为3∶2．
(1)以点O1为位似中心；
(2)以点O2为位似中心；
(3)以点O3为位似中心；
(4)以点B为位似中心．
探索创新题
3、已知五边形ABCDE各顶点的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标分别为A(-4，0)，B(0，-4)，C(4，-4)，D(2，4)，E(-2，4)，在平面直角坐标系中画出这个五边形，并将该五边形缩小，使各边长为原来的一半，写出各顶点坐标，画出图形．
体验中考
1、如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.点P B.点O C.点M D.点N
2、如图所示，正五边形FGHMN是由 ( http: / / www.21cnjy.com )正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG=2∶3，则下列结论正确的是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.2DE=3MN B.3DE=2MN C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、解：(1)是，缩小了.理由是△ADE∽△ABC，且对应点的连线都经过一点A.但是无法确定位似比的大小.
(2)是，放大了.理由同(1).
(3)是，无法确定放大了还是缩小.理由是△ADE∽△ABC，且对应点的连线都经过一点A.但是无法确定位似比的大小.
(4)平行.理由是△ADE和△ABC是位似图形，所以△ADE∽△ABC，那么∠ADE＝△ABC，所以DE∥BC.
【解题策略】 根据位似图形的概念及其性质解决此类题.
2、解：(1)如图4-122所示的△A'B'C'即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(2)如图4-123所示的△A'B'C'即为所求.
(3)如图4-124所示的△A'B'C'即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(4)如图4-125所示的△A'BC'即为所求．
【解题策略】 位似中心可在原图形的内部、外部、边上及顶点上，应适应做些练习，体会不同情况时的不同特点.
3、解：画五边形ABCDE，如图4-1 ( http: / / www.21cnjy.com )26所示．缩小后的图形为图中的A'B'C'D'E'，它的各顶点坐标分别为A'(-2，0)，B'(0，-2)，C'(2，-2)，D'(1，2)，E'(-1，2)．
【解题策略】 缩小后的图形的各顶点的横、纵坐标是原图对应各顶点横、纵坐标的一半.
体验中考
1、分析 主题主要考查图形的位似，根据位似图形的特点易知它们的位似中心是点P.故选A.
2、分析 由题意知，即3DE=2MN.故选B.