北师大版九年级下第二章二次函数导学案
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级下第二章二次函数导学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 959.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-23 10:28:52 | ||
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文档简介
2.1二次函数所描述的关系
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.从实际情景中经历探索和表示两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
2.会表示简单变量之间的二次函数关系。
3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题。（如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题）。
【重点难点】
1.二次函数的概念和一般表达式；表示简单变量之间的二次函数关系。
2.从实际情景中列出二次函数关系式，并考虑函数的自变量的取值范围。
知识概览图
新课导引
【生活链接】一个果园里有100棵 ( http: / / www.21cnjy.com )橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
【问题探究】(1)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树 这时平均每棵树结多少个橙子
(2)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式；
(3)在上述问题中，种多少棵橙子树可以使果园橙子的总产量最多 最多为多少个
【点拨】解这类问题就需要利用二次函数的有关知识．
教材精华
知识点1 利用尝试求值的方法解决实际问题
我们利用尝试求值的方法来解决“新课导读”中的问题．
(1)如果设果园增种x棵树，那么果 ( http: / / www.21cnjy.com )园共有(x＋100)棵橙子树．因为每增加一棵树，平均每棵树少结5个橙子，所以增种x棵树，平均每棵树结(600－5x)个橙子．
(2)由(1)可得果园橙子的总产量y＝(100＋x)(600－5x)＝－5x2＋l00x＋60000．
(3)我们得到一个函数关系式y＝－5x2＋l00x＋60000，它与我们过去学过的y＝kx，y＝kx＋b，y＝(k≠0)有所不同，它的最高次项x2的次数是2，且x2的系数为－5，这就是我们要研究的二次函数的关系式．
果园增种多少棵树，可以使果园的总产量最多 我们可以试着通过数值统计的方法逐步去猜想．试着列出下表：
x(棵) 1 2 3 4 5 6 7
y(个) 60095 60180 60255 60320 60375 60420 60455
x(棵) 8 9 10 11 12 13 14
y(个) 60480 60495 60500 60495 60480 60455 60420
我们看到，增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多，为60500个．
下面我们再看一个生活中的问题．
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化 ( http: / / www.21cnjy.com )的，也就是说，利率是一个变量．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．
一年到期的本息和是 ( http: / / www.21cnjy.com )100＋100x＝100(1＋x)，第二年转存后到期的本息和为100(1＋x)＋100(1＋x)x＝100(1＋x)2，所以y=100(1＋x)2＝100x2＋200x＋100．若考虑利息税(利息税为20％)，每100元的利息税为20x，则y＝100(1＋0.8x)2=64x2＋160x＋100．
拓展 由以上两个情境我们知道，它们都具有y＝ax2＋bx＋c的形式(a，b，c是常数，a≠0)．
知识点2 二次函数的定义
一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．
拓展 (1)任何一个二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的解析式，都可以化成y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，因此，把y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式．(2)在一般式中，只有a≠0时，y=ax2＋bx＋c才是二次函数；当a=0时，y＝bx＋c，若b≠0，则它是一次函数，若b＝0，则y=c是一个常函数．(3)在y=ax2＋bx＋c中，x的取值范围是全体实数，且按x的降幂排列．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程．
┃规律方法小结┃判断一个函 ( http: / / www.21cnjy.com )数是否是二次函数，不能只从表面看，而应紧扣二次函数的定义进行类比，若函数的形式较复杂，可以进行恒等变形，转化为一般式，再给予判断．
课堂检测
基本概念题
1、在下列函数中，y是x的二次函数的是 ( )
A．x＋y2－1=0
B．y＝(x＋1)(x－1)－(x－1)2
C．y=2＋
D．x2＋3y－2＝0
2、在下列函数关系中，可以看做二次函数y＝ax2＋bx＋c的模型的是 ( )
A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶时间的关系
B．某地区人口自然增长率为l％，这个地区的人口总数随年份变化的关系
C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
D．圆的周长与圆的半径的关系
基础知识应用题
3、在半径为4 cm的圆中 ( http: / / www.21cnjy.com )挖去一个半径为x cm的圆面，剩下的圆环面积为y cm2，则y与x之间的函数关系式为 （ ）
A．y=πx2－4 B．y=π(2－x)2
C．y＝－(x2＋4) D．y=－πx2＋16π
综合应用题
4、如图2－1所示，矩形的长为4 cm，宽为3 cm，如果将其长与宽都增加x(cm)，那么面积增加y(cm2)．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)上述函数是什么函数
(3)自变量x的取值范围是什么
5、如图2 - 2所示，已知一个三角形纸片A ( http: / / www.21cnjy.com )BC，面积为25，BC边的长为10，∠B与∠C都为锐角，M为AB边上的一动点(M与点A，B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝x，S△AMN＝y，试求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
探索与创新题
6、设直线y=kx＋b(k≠0)与二次函数y＝ax2的图象的两个交点的横坐标分别为x1和x2，且直线与x轴交点的横坐标为x3，求证
体验中考
小李想用篱笆围成一 ( http: / / www.21cnjy.com )个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃ 先将函数式进行变形x转化为用；的代数式表示y的形式，再类比二次函数的定义．把A变形为y2＝－x＋1，自变量x的最高次数不是2，y的次数不是1，故A不是．把B变形为y＝2x－2，自变量x的最高次数不是2，故B不是．因为C的右边是关于x的无理式，不是整式，故C不是．把D变形为y=－x2＋，符合二次函数的定义．故选D．
【解题策略】要判断一个函 ( http: / / www.21cnjy.com )数是不是二次函数，应先把关系式化简整理成y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，再来判断．判断时要根据以下三点：(1)函数的关系式是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于零．要同时具备这三点才是二次函数．
2、┃分析┃A中的速度=，所以速度与时间是反比例关系．B中人口总数与年份的关系很难确定．D中圆的周长C＝2πr，周长与半径成正比例关系．故选C.
【解题策略】解此题的关键是准确列出各关系式，再作出判断．
3、┃分析┃ 剩下的圆环面积应为π( ( http: / / www.21cnjy.com )R2－r2)，其中R和r分别为大圆和小圆的半径．由题意得y＝π(42－x2)=-πx2＋16π.故选D．
【解题策略】准确运用圆的面积公式．
4、┃分析┃ 根据题意建立x与y之间的关系式，然后用含x的
代数式表示y，使y的系数为1．
解：(1)根据题意，得y＝(4＋x)(3＋x)－3×4＝12＋7x＋x2－12＝x2＋7x．
(2)上述函数是二次函数．
(3)x≥0．
【解题策略】解此题的关键是运用数形结合思想．
5、┃分析┃本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的面积比等于相似比的平方，而x的取值范围应根据MN所处的位置判定．
解：∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴．
而BC＝10，S△ABC＝25，∴y=x2(0【解题策略】注意相似三角形的面积比等于相似比的平方的正确运用．
6、┃分析┃ 因为两个函数图象的交点 ( http: / / www.21cnjy.com )是两个图象的公共点，交点的坐标是由这两个函数解析式联立而成的方程组的解，其横坐标就是由方程组消去y所得的关于x的一元二次方程的解，不需要解方程，可根据根与系数的关系求出x1x2，x1＋x2的值．
证明：由题意得将①代入②，得ax2－kx－b＝0．
∵x1，x2是两个函数图象的交点的横坐标，
∴x1，x2是方程ax2－kx－b＝0的两个根，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴
又∵直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴交点的横坐标为x3，
∴0=kx3＋b，∴x3=
【解题策略】对于一次函数式与二次函数式联立以后求一元二次方程的解的问题，要注意根与系数的关系的应用，有时会给解题带来很多方便．
体验中考
┃分析┃根据矩形的面积公式来确定解析式．
解：根据题意，得S＝·x=-x2＋30x．
即S＝－x2＋30x，自变量x的取值范围是0＜x＜30．
22．1．3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象(二)
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、掌握二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象；
2、掌握二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质；
3、掌握抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的性质；
【重点难点】
1、二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象；
2、二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质；
3、抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的性质；
知识概览图
图象：与二次函数y=ax2的图象形状相同，只是位置不同，可由y=ax2的 图象沿x轴经过左、右平移得到
①当a＞0时，开口向上，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大，顶点是抛物线的最低点，即当x=h时，ymin＝0
②当a＜0时，开口向下，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，顶点是抛物线的最高点，即当x＝h时，ymax＝0
新课导引
还记得上节我们提到的永和桥吗 如果建立如右图所示的平面直角坐标系，你还能求出该抛物线的解析式吗
【问题探究】该抛物线可以看 ( http: / / www.21cnjy.com )成是由抛物线y＝ax2向右平移175个单位得到的，其顶点坐标为(175，0)，因此可设其解析式为y＝a(x－175)2，由A(0，－85)可得－85＝1752a，解得a≈－0.0028．
【解析】 解析式为y＝－0.0028(x－175)2．
教材精华
知识点1二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象
在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝(x－1)2，y＝(x＋1)2的图象．
(1)列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 4 1 0 1 4 …
y=(x－1)2 … 4 1 0 1 4 …
y=(x＋1)2 … 4 1 0 1 4 …
(2)描点．
(3)连线，如图所示．
拓展 函数y＝a(x－h)2与y＝ax ( http: / / www.21cnjy.com )2的图象形状相同，位置不同．函数y＝a(x－h)2的图象可由函数y＝ax2的图象经过左、右平移得到．当h＞0时，函数y＝a(x－h)2的图象可以看成是将函数y＝ax2的图象向右平移|h|个单位得到的；当h＜0时，函数y＝a(x－h)2的图象可以看成是将函数y＝ax2的图象向左平移|h|个单位得到的．
抛物线y＝a(x－h)2与抛物线y＝ax2之间的关系可见下表：
y=ax2(a≠0) 向左平移|h|个单位 向右平移|h|个单位
y=ax2(a＞0) y=a(x－h)2(a＞0，h＜0) y＝a(x－h)2(a＞0，h＞0)
y=ax2(a＜0) y=a(x－h)2(a＜0，h＜0) y=a(x－h)2(a＜0，h＞0)
知识点2抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的性质
抛物线y＝a(x－h)2的对称轴是直 ( http: / / www.21cnjy.com )线x＝h，顶点坐标为(h，0)．当a＞0时，抛物线的开口向上，在直线x＝h的左侧，抛物线呈下降趋势，在直线x＝h的右侧，抛物线呈上升趋势，顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线的开口向下，在直线x=h的左侧，抛物线呈上升趋势，在直线x＝h的右侧，抛物线呈下降趋势，顶点是抛物线的最高点．
拓展 抛物线y＝a(x－h)2的性质与抛物线y＝ax2的性质既有相同点，也有不同点，如下表所示：
函 数 对称轴 顶点坐标 抛物线的趋势 最低(高)点
y=ax2 y轴 (0，0) 当a＞0时，在对称轴左侧，抛物线呈下降 ( http: / / www.21cnjy.com )趋势，在对称轴右侧，抛物线呈上升趋势；当a<0时，在对称轴左侧，抛物线呈上升趋势，在对称轴右侧，抛物线呈下降趋势 当a＞0时，y＝ax2的图象有 ( http: / / www.21cnjy.com )最低点(0，0)，y＝a(x－h)2的图象有最低点(h，0)；当a＜0时，y=ax2的图象有最高点(0，0)，y＝a(x－h)2的图象有最高点(h，0)
知识点3 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质
二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)有如下性质：
(1)二次函数y＝a(x－h) ( http: / / www.21cnjy.com )2(a＞0)，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＝h时，函数有最小值是0．
(2)二次函数y＝a(x－h)2( ( http: / / www.21cnjy.com )a＜0)，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时,y随x的增大而减小，当x＝h时，函数有最大值是0．
拓展 对于二次函数y＝a( ( http: / / www.21cnjy.com )x－h)2(a≠0)图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当a＞0时，若|x1－h|＜|x2－h|，则y1＜y2；当a＜0时，若|x1－h|＜|x2－h|，则y1＞y2；而对于任何a≠0，若|x1－h|＝|x2－h|，则y1＝y2．
课堂检测
基础知识应用题
1、在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2与y＝－(x－1)2的图象，并根据图象回答下列问题．
(1)抛物线y＝－(x－1)2可以看成是将抛物线y＝－x2作怎样的平移得到的
(2)求函数y＝－(x－1)2的图象的对称轴；
(3)求函数y＝－(x－1)2的最值．
综合应用题
2、二次函数y＝(x－k)2与直线y＝kx(k＞0)的图象在同一直角坐标系中的大致位置是(如图所示) ( )
3、已知二次函数y1＝a(x－h)2与直线y2＝kx＋b的图象交于A，B两点，其中A(0，－1)，B(1，0)．
(1)求二次函数和直线的解析式，并画出这两个函数的图象；
(2)当y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2时，分别求出自变量x的取值范围．
探索创新题
4、如图所示，下列说法正确的是 ( )
A．当y1＜y2时，自变量x的取值范围不能确定
B．当y1＜y2时，－1＜x＜3
C．当y1＜y2时，－1≤x≤3
D．当y1＜y2时，x＜－1或x＞3
体验中考
1、抛物线y＝－2x2－4x－5经过平移后得到抛物线y＝－2x2，平移方法是 ( )
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
2、二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是 ( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 用描点法画出图象后，可根据图象回答问题．
解：函数y=－x2与y=－(x－1)2的图象如图所示．
(1)抛物线y＝－(x－1)2可以看成是将抛物线y＝－x2向右平移1个单位长度得到的．
(2)函数y＝－(x－1)2的图象的对称轴是直线x＝1．
(3)对于函数y＝－(x－1)2，当x＝1时，y有最大值，最大值是0．
【解题策略】 本题主要考查二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象与性质，要注意与y＝ax2(a≠0)对比学习，从而得出抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)与y＝ax2(a≠0)形状相同，只是位置不同的结论．
2、分析 ∵k＞0，∴直线y＝kx经 ( http: / / www.21cnjy.com )过第一、三象限，而抛物线y＝(x－k)2可以看成是将抛物线y＝x2向右平移k个单位长度得到的．故选B.
【解题策略】 解决此类问题时，关键是掌握各种函数的性质及图象的特征，再根据已知条件综合考虑问题，从而得出答案．
3、分析 可先利用待定系数法和方程组的思想求出两个函数的解析式，然后结合图象求出自变量的取值范围．
解：(1)∵函数y1＝a(x－h)2与y2＝kx＋b的图象交于A，B两点，
∴解得
∴二次函数的解析式为y＝－(x－1)2，直线的解析式为y＝x－1．
图象如图所示．
(2)由图象可知，当x＜0或x＞1时，y1＜y2；当x＝0或x＝1时，y1＝y2；当0＜x＜1时，y1＞y2.
【解题策略】 两个函数的图象交于A，B两点，说明点A和点B同时在两个函数的图象上，可以列出方程组求出字母的值，进而求出函数解析式．
4、分析 由图象可知，当y1＝ ( http: / / www.21cnjy.com )y2时，x1＝－1，x2＝3，若抛物线在直线的下方，则对应的自变量的取值范围是一1体验中考
1、分析 解决此题的关键是先将函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝－2x2－4x－5配方为y＝－2(x＋1)2－3，然后确定其顶点坐标，再根据顶点坐标相对于原点的位置来确定平移的情况，即由点(－1，－3)到点(0，0)，平移方法是先向右平移1个单位，再向上平移3个单位即可．故选D．
2、分析 二次函数y＝(x－1)2＋2的图象开口向上，顶点坐标为(1，2)，故当x＝1时，y取得最小值2．故选A.
2.4二次函数y=ax2＋bx＋c的图象(一)
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．能够作出y=a(x-h) ( http: / / www.21cnjy.com )2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
【重点难点】
1.理解y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系，理解a、h和k对二次函数图像的影响。
2.y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的关系，y=a(x-h)2+k的图象性质。
知识概览图
二次函数y=a(x－h)2及y=a(x－h)2+k
的图象及其性质
新课导引
【生活链接】在计算机上作出y＝ax2(a≠0)的图象，拖动鼠标可以得到下列一些图象(如下图所示)．
( http: / / www.21cnjy.com )
【问题探究】通过观察上述图象，你能发现它们的关系吗
【点拨】这四个图象是通过拖动鼠标得到的，它们的形状相同，只是位置不同；还可以知道其中任意图象都能由某一图象经过平移得到．
教材精华
知识点1 二次函数y=a(x－h)2的图象的作法及其性质
二次函数y＝3x2－6x＋5的图象是什么形状 它与我们前面讲过的二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象有什么关系
y=3x2－6x＋5=3(x2－2x＋)=3［(x－1)2－1＋］=3(x－1)2＋2，如果能作出y＝3(x－1)2的图象，就可依据y=ax2＋k作出y=3(x－1)2＋2的图象．
例如：作出y＝3x2，y＝3(x＋1)2及y＝3(x－1)2的图象．
解：列表如下．
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=3x2 12 3 0 3 12
y=3(x+1)2 12 3 0 3 12
y=3(x-1)2 12 3 0 3 12
描点、连线，图象如图2 - 44所示．
由图象我们看到，y=3(x－1)2和y＝3(x＋1)2的图象的对称轴和顶点坐标与y＝3x2相比都变了，但开口方向和形状相同，如下表．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=3x2 向上 y轴（x=0） (0，0)
y=3(x－1)2 向上 x=1 (1，0)
y=3(x＋1)2 向上 x=－1 (－1，0)
( http: / / www.21cnjy.com )
抛物线y＝3x2和抛物线y=3 ( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)2，y=3(x＋1)2相比，形状相同，只是位置不同，y=3(x－1)2和y=3(x＋1)2的括号内是x－1时，抛物线y=3x2沿x轴向右平移一个单位，得到y=3(x－1)2的图象；括号内是x＋1时，抛物线y＝3x2沿x轴向左平移一个单位，得到y=3(x＋1)2的图象．
正是基于上面的原因，将抛物线此类型写成y＝a(x－h)2的形式，而不是y=a(x＋h)2的形式．
┃规律方法小结┃二次函数y＝a( ( http: / / www.21cnjy.com )x－h)2的图象及其性质如下：(1)二次函数y＝a(x－h)2的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h，0)，对称轴是x＝h．(2)当a＞0时，图象开口向上，有最低点，即顶点(h，0)，当x＝h时，y最小值=0．在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
当a＜0时，图象开口向下，有最高点，即顶点(h，0)，当x＝h时，y最大值＝0．在对
称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随x的增大而减小．
知识点2 抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系
由y=3x2，y＝3(x－ ( http: / / www.21cnjy.com )1)2和y＝3(x＋1)2的图象，我们知道抛物线y＝3x2沿x轴向左、右平移可得到y＝3(x＋1)2和y=3(x－1)2的图象．当h＞0时，向右平移┃h┃个单位，在y＝3(x－1)2中，1＞0，向右平移一个单位．当h＜0时，向左平移┃h┃个单位，在y=3(x＋1)2＝3[x－(－1)]2中，－1＜0，向左平移一个单位．
例如：作出y＝－x2，y＝－(x－1)2，y=－(x＋1)2的图象．
解：列表如下．
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y =－x2 －2 －0.5 0 －0.5 －2
y =－(x－1)2 －2 －0.5 0 －0.5 －2
y =－(x＋1)2 －2 －0.5 0 －0.5 －2
描点、连线，图象如图2 - 45所示．
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┃规律方法小结┃抛物线y＝a ( http: / / www.21cnjy.com )(x－h)2与y=ax2的关系：(1)抛物线y＝a(x－h)2与y=ax2的图象形状相同，但位置不同；(2)抛物线y＝a(x－h)2的图象可由y＝ax2的图象沿x轴向左或向右平移┃h┃个单位而得到．当h＞0时，向右平移┃h┃个单位，当h＜0时，向左平移┃h┃个单位．
知识点3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象及其性质
二次函数y＝3(x－1)2＋2的图象与二次函数y＝3(x－1)2的图象有什么关系 它的对称轴、开口方向、顶点坐标分别是什么
例如：在同一平面直角坐标系中，作出y=3x2，y＝3(x－1)2，y＝3(x－1)2＋2的图象．
解：列表如下．
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y =3x2 12 3 0 3 12
y =3(x－1)2 12 3 0 3 12
y =3(x－1)2+2 14 5 2 5 14
描点、连线，图象如图2 - 46所示．
我们知道，抛物线y=a(x－h)2＋k中的a决定开口方向，对称轴是x=h,顶点坐标是(h，k)．
y＝3x2＝3(x－0)2＋0，
y＝3(x－1)2=3(x－1)2＋0，
y＝3(x一1)2＋2．
观察到a＝3＞0，开口向上．对称轴依次是y轴(x＝0)，x＝l，x＝1．顶点坐标依次是(0，0)，(1，0)，(1，2)．
一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k有如下结论：
(1)当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．
(2)顶点坐标是(h，k)．
(3)对称轴是直线x=h．
┃规律方法小结┃本节是在研究了 ( http: / / www.21cnjy.com )简单的二次函数y=ax2和y=ax2＋k的基础上，研究y＝a(x－h)2和y=a(x－h)2＋k的图象的性质及其作法．在学习中不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练作出抛物线的草图，结合图象研究函数的性质以及不同图象之间的相互关系．
二次函数y=a(x－ ( http: / / www.21cnjy.com )h)2＋k的图象及其性质：(1)二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，它的顶点坐标是(h，k)，对称轴是x=h．当a＞0时，图象开口向上，有最低点，即顶点(h，k)，当x=h时，y最小值＝k．在对称轴的左侧(即x＜h)，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧(即x＞h)，y随x的增大而增大．当a＜0时，图象开口向下，有最高点，即顶点(h，k)，当x=h时，y最大值＝k．在对称轴的左侧(即x＜h)，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧(即x＞h)，y随x的增大而减小．(2)抛物线y＝a(x－h)2＋k与y=ax2的关系．抛物线y＝a(x－h)2＋k可由抛物线y＝ax2平移得到，它们的形状相同，只是位置不同．把y=ax2的图象先沿x轴向左或向右平移┃h┃个单位后，得到y=a(x－h)2的图象，再沿y轴向上或向下平移┃k┃个单位，便可得到y=a(x－h)2＋k的图象．(3)由于从y＝a(x－h)2＋k(a≠0)中可直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把y=a(x－h)2＋k(a≠0)叫做二次函数的顶点式，而y=ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数的一般式．
课堂检测
基础知识应用题
1、已知二次函数y＝－(x－1)2＋4．
(1)作出函数的图象；
(2)求此图象与x轴、y轴的交点坐标；
(3)根据图象，说出x取哪些值时，函数值y＝0，y＞0，y＜0．
2、填写下表．
抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数最大（小）值
y =－2(x－1)2
y =(x＋2)2－1
y =－(x－6)2+5
y =(x＋3)2+2
综合应用题
3、某公司推出一种 ( http: / / www.21cnjy.com )环保器材，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，图2 - 48刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题．
(1)根据已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止到几月末，公司累积利润可达到30万元；
(3)第8个月公司所获利润是多少万元
探索与创新题
4、阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．
例如：由抛物线y=x2－2mx＋m2x＋2m－1①，有y=(x－m)2＋2m－1②，
则抛物线的顶点坐标为(m，2m－1)，即
当m的值变化时，x，y的值也随之变化，同时y的值也随x的值的变化而变化，
将③代入④，得y=2x－1⑤．
可见，不论m取何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=2x－1．回答下列问题．
(1)上述过程中，由①到②所用的数学方法是 ，其中运用了 公式，由③④到⑤所用的数学方法是 ；
(2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x2－2mx+2m2－3m+1的顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式．
体验中考
1、若抛物线y=(x+1)2－2与x轴的正半轴相交于点A，则点A的坐标为
A．(－1－，0) B．(，0)
C．(－1，一2) D．(－l+，0)
2、将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是 ( )
A．y＝(x－1)2+2 B．y＝(x+1)2+2
C．y=(x－1)2－2 D．y＝(x+1)2－2
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃利用二次函数y=a(x－h)2＋k的图象和性质解题．
解：(1)列表如下．
x －1 0 1 2 3
y =－(x－1)2+4 0 3 4 3 0
描点、连线，图象如图2 - 47所示．
(2)当y＝0时，－(x－1)2＋4＝0，得x1=－l，x2=3．
即抛物线与x轴的两个交点坐标是(－l，0)，(3，0)．
当x=0时，y=3，即抛物线与y轴的交点坐标是(0，3)．
(3)抛物线与x轴的两个交点把x轴分成三段：x≥3，－l＜x＜3，x≤－1．
当x＝－1或x＝3时，y＝0；
当－l＜x＜3时，y＞0；
当x＜－l或x＞3时，y＜0．
【解题策略】注意在画二次函数图象时，若抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线与x轴有交点，最好选取交点描点，特别是在作抛物线的草图时，应抓住以下五点；①开口方向；②对称轴；③顶点；④与x轴的交点(指有交点时)；⑤与y轴的交点．解此题还要注意数形结合思想的运用．
2、┃分析┃应根据y=a(x－h)2＋k的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质填表．a决定开口方向和开口大小，对称轴为x=h，k，h决定移动的方向和长度，顶点坐标为(h，k)．填写过程如下：
抛物线y＝－2(x－1)2的开口向下，顶点坐标为(1，0)，对称轴为x＝1，当x＝l时，y最大值=0．
抛物线y＝(x＋2)2－1的开口向上，顶点坐标为(－2，－1)，对称轴为x=－2，当x=－2时，y最大值＝－1．
抛物线y＝－(x－6)2＋5的开口向下，顶点坐标为(6，5)，对称轴为x＝6，当x＝6时，y最大值＝5．
抛物线y＝(x＋3)2＋2的开口向上，顶点坐标为(－3，2)，对称轴为x＝－3，当x＝－3时，y最小值＝2．
【解题策略】熟练理解、掌握二次函数y=a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象及其性质是解此题的关键．
3、┃分析┃解此题的关键是看懂图，充分利用图中所给的信息解答．
解：(1)由图象知抛物线上的三点坐标分别为(2，－2)，(5，2．5)，(1，－1.5)．
设抛物线的解析式为S＝a(t－2)2－2，
∴2.5=a(5－2)2－2，解得a=，
∴抛物线的解析式为S＝(t－2)2－2．
(2)当S＝30时，即30＝(t－2)2－2，解得t1＝10，t2＝－6(不合题意，舍去)，∴t＝10．即截止到10月末，公司累积利润可达到30万元．
(3)当t=8时，S=(8－2)2－2=16；当t=7时，S=(7－2)2－2＝10.5．
∴16－10.5＝5.5(万元)．∴第8个月公司所获利润是5.5万元．
【解题策略】利用图象信息解决实际问题，注意数形结合思想的运用．
4、┃分析┃读懂阅读材料是解题的关键．
解：(1)配方法 完全平方 消元法
(2)∵y=x2－2m+2m2－3m+1=(x－m)2+m2－3m+l，
∴将①代入②，得y=x2－3x+1，
即顶点的纵坐标y与横坐标χ之间的关系式为y=x2－3x+1．
【解题策略】类比操作能力是衡量自学能力和基本 ( http: / / www.21cnjy.com )数学能力的标尺，类比操作不是简单的模仿，而是要求解题者理解和掌握例题求解的思想方法，能够灵活应用这种思想方法解决问题．
体验中考
1、┃分析┃本题主要考查二次函数的相关知识．依题意得当y＝0时，即(x+1)2－2＝0，解得x＝－l或x＝-－1．因为点A在x轴的正半轴上，所以点A的坐标为(－l，0)．故选D.
【解题策略】利用抛物线与x轴的交点纵坐标等于0列方程求解．
2、┃分析┃由“左加右减，上加下减”的平移规律，可得平移后图象的函数解析式为y=(x－1)2+2．故选A.
2.5用三种方式表示二次函数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．
2．根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究．
3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点．
【重点难点】
1.分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．
2.根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
知识概览图
新课导引
【生活链接】前面我们 ( http: / / www.21cnjy.com )学习了函数的三种表示方式，这三种表示方式各有不同的优点，它们服务于不同的需要．如，篮球教练在给运动员讲解不同的投篮点时，一般采取图象法．
【问题探究】从上面的生活实例可以知道函数的三种表示方式各有不同的优点，通常根据它们的优点被应用．那么它们都具有哪些优点呢
【点拨】解析法简单、明了 ( http: / / www.21cnjy.com )，通常能从解析式中了解到整个变化过程中自变量与函数间的关系，适用于理论分析和计算推理．列表法一目了然，不用计算就能查到函数与自变量的对应值．图象法直观，容易找出自变量取某一个值时所对应的函数值，且可以明显看出自变量与函数之间的变化趋势．因此，它们服务于不同的需要．
教材精华
知识点1 二次函数的三种表示方式
两种相关联的变量之间的二次函数关系可以用三种不同的形式来表示．
(1)用等式表示(解析法)．
用等式表示一个变量是另一个变量的函数的方法叫做解析法．这个等式叫做函数解析式(或函数关系式)．教材中叫做函数表达式．
例如：S＝30t，S＝πr2，y= ,v=πr3 ,y＝等等．
拓展 函数表达式简单、明了，通常 ( http: / / www.21cnjy.com )能从表达式中了解到整个变化过程中自变量与函数间的关系，适用于理论分析和计算推理，但并不是所有的函数关系都能用公式表示．在生产和生活中，有些函数关系，如气象站每隔一段时间观测某地一昼夜温度随时间变化的情况，一般不能构成函数表达式．
(2)用表格表示(列表法)．
用表格表示一个变量是另一个变量的函数的方法叫做列表法．
例如：某地一天昼夜间温度变化情况的记录如下．
时间（时） 0 2 4 6 8 10 12
温度（°C） -2 -3 -4 0 4 7 9
时间（时） 14 16 18 20 22 24
温度（°C） 10 8.5 7 1 1 -2
平方根表、平方表等数学用表，都是用列表法表示函数的．
拓展 列表法一目了然，不用计 ( http: / / www.21cnjy.com )算就能查到函数与自变量的对应值，但是往往难于把全部对应值列出来．因此，列表法有一定的局限性，而且很难了解函数与自变量间深层的变化规律．
(3)用图象表示(图象法)．
把自变量x的一个值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，所有这些点的集合叫做这个函数的图象．
用图象表示一个变量是另一个变量的函数的方法叫做图象法．
例如：如图2－66所示的是气球周围的温度T(℃)和气球距离地面的高度h(km)之间的函数关系．
拓展 图象法容易找出自变 ( http: / / www.21cnjy.com )量取某一个值时所对应的函数值，且可以明显地看出自变量与函数之间的变化趋势，所以图象法是研究变量之间关系十分有用的方法．
知识点2 二次函数表达式的三种形式
二次函数的解析式可以用三种不同形式表达．
(1)一般式：把函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )ax2 +bx+c(a,b,c是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式．它是解决有关二次函数问题最基本、使用最广泛的一种形式．
例如：已知抛物线过A(―1，―9)，B(1，―3)，C (3，―5)三点，求抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将A(―l，―9)，B(1，―3)，C(3，―5)三点分别代入抛物线的解析式，
∴y=－x2+3x―5．
其规律是：已知三点，用一般式y＝ax2 +bx+c求解析式．
(2)顶点式：把函数y＝a(x―h)2 +k(a，h，k为常数，a≠0)叫做二次函数的顶点式．
运用配方法，将二次函数的一般式变形：
y＝ax2 +bx+c＝a即把二次函数的一般式转化为顶点式．
在解决与二次函数的顶点有关的问题时，使用顶点式比较方便．
例如：已知抛物线的顶点坐标为(―2，3)，且经过点(―1，7)，求抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y＝a(x―h) 2+k，
∵抛物线的顶点坐标为(―2，3)，∴h=－2，k＝3，∴y＝a(x+2)2 +3．
将(―1，7)代入解析式，得7＝a+3，∴a＝4，
∴y＝4(x+2) 2+3＝4x 2+16x+19．
其规律是：已知顶点坐标，用顶点式求解析式，但结果要化成一般式．
(3)两点式：把函数y＝a(x－x1) ( http: / / www.21cnjy.com )(x―x2 )叫做二次函数的两点式，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标，即―元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根(a≠0)．
经过配方，二次函数y＝ax2 +bx+c＝a[]，
运用平方差公式将右端进行分解，
得，y=a(x－)(x－)．
因为一元二次方程ax2 +bx+c=0的两个根为x1， 2＝，所以上式写成y＝a(x―x1 )(x―x2)，其中x1，x2是方程ax2 ＋bx+c＝0的两个根，且x1，x2又为二次函数图象与x轴两个交点的横坐标．在解有关二次函数的图象与x轴交点坐标的问题时，使用两点式比较方便．
例如：已知二次函数y＝ax2 +bx+c，当x＝2时，y有最大值2，其图象在x轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式．
解：∵当x＝2时，函数的最大值是2，
∴抛物线的顶点坐标为(2，2)，对称轴方程是x＝2．
∵抛物线在x轴上截得的线段长为2，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(1，0)，(3，0)．
设抛物线的解析式为y＝a(x―1)(x-3)，①
把(2，2)代入①，得2＝a(2―1)(2－3)，解得a＝―2，
∴y＝―2(x―1)(x―3)，即y=―2x2 +8x―6．
其规律是：已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，用两点式求解析式，但结果要化成一般式．
拓展 在解决二次函数问题时，可根据题目中的不同条件，选用不同形式的表达式来确定二次函数．
知识点3 自变量x的取值范围的确定
函数定义中明确规定“对于x ( http: / / www.21cnjy.com )在其变化范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应”，其含义是：(1)自变量的取值范围是受一定条件限制的，以保证函数的存在性；(2)对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，以保证函数的唯一性．
实际上，自变量的取值范围主要 ( http: / / www.21cnjy.com )是指当函数的解析式给定时，自变量的取值必须使解析式有意义．当函数反映的是实际问题时，除了要使函数解析式有意义外，还必须使实际问题有意义．
例如：求函数y=x2－2x中的自变量x的取值范围．
解：自变量x的取值范围是全体实数．
又如：已知等腰三角形的周长为20 cm，写出底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
解：函数关系式为y＝－2x+2 ( http: / / www.21cnjy.com )0，使－2x+20有意义的x为一切实数．若要使实际问题有意义，则既要考虑到边长为正数，又要满足三角形三边关系定理，
所以即解得5┃规律方法小结┃ ( http: / / www.21cnjy.com )在本节学习中，要运用数形结合思想，熟练地列出表格，作出函数草图，结合图象，利用类比的方法研究函数的性质及不同图象之间的联系．要学会灵活运用一般式、顶点式、两点式这三种形式求函数的解析式，并明确其图象的位置特征和解析式的系数a,b,c之间的关系．
函数的三种表示法及其优缺点 ( http: / / www.21cnjy.com )．①解析法．两个变量之间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法．解析法简单、明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的关系．但在求函数值时往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表示出来．②列表法．把自变量x的一系列值与函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法．列表法一目了然，对于表格中已有的自变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便．但列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律．③图象法．用图象表示一个变量与另一个变量的函数关系的方法叫做图象法．图象法直观，通过函数图象，可以形象地把函数关系表示出来，可以直接研究函数的一些性质．但其缺点是通过观察得到的只能是近似值．
二次函数解析式的 ( http: / / www.21cnjy.com )三种表示法．①一般式：y=ax2+bx+c(a，b,c为常数，a≠0)．②顶点式：y＝a(x―h) 2+k(a≠0)．③两点式：y＝a(x－x1)(x―x2)(a≠0)，其中x 1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根，也是图象与x轴的两个交点的横坐标．知道抛物线三点坐标，选用一般式；知道抛物线的顶点和图象上另一点的坐标，选用顶点式；知道抛物线与x轴的两个交点和图象上另一点的坐标，选用两点式．需要注意的是，一般情况下，最后结果要化成一般式．
课堂检测
基础知识应用题
1、根据下列表格中二次函数y＝ax ( http: / / www.21cnjy.com )2 +bx+c的自变量x与函数y的对应值，判断方程ax2 +bx+c＝0(a，b,c为常数，a≠0)的一个解x的范围是 ( )
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2 +bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04
A．6C．6.182、已知抛物线y＝x2+Px+q与x轴只有一个公共点，顶点坐标为(―2，0)，求此抛物线的解析式．
3、已知一个二次函数的图象如图2 - 67所示．
(1)求该二次函数的对称轴；
(2)平行于x轴的直线l的解析式为y=，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线l与x轴间的距离，求点P的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com )
4、已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥O时，其图象如图2 - 69所示．
(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象；
(3)利用抛物线y=ax2+bx +c，写出x为何值时，y>0．
综合应用题
5、在以x为自变量的二次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数y＝－x2 +(2m+2)x－(m2 +4m―3)中，m为不小于0的整数，函数图象与x轴交于A，B两点，点A在原点的左边，点B在原点的右边．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)一次函数y＝kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且S△ABC=10,求一次函数的解析式．
探索与创新题
6、如图2 - 70所示， ( http: / / www.21cnjy.com )在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，点E为AD的中点，P在腰BC上且不与B，C重合，连接PD，PE，AB=18，CD=6，AD=16，设PC=x，
S△PDE＝y．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x为何值时，tan∠DPE=
(3)是否存在x，使S△DPC＝S梯形ABCD
7、如图2 - 7l所示，对称轴为直线x=的抛物线经过点A(6，0)和点B(0，4)．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)设点E(x，y)是抛物线上的一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)①当OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否
为菱形．
②是否存在点E，使OEAF为正方形 若存在，求出点E的坐标；若不存在，
请说明理由．
体验中考
1、初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -4 -2 …
根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2 +bx+c在x＝3时，y= .
2、如图2 - 74所示，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点(1，－5)和(－2，4)．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)设此抛物线与直线y＝x相交于点A，B(点B在点A的右侧)，平行于y轴的直线x＝m(0(3)在条件(2)的情况下，连接OM，BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大 若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
3、如图2 - 76所示，ABCD中，AB＝4，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上的点A，B.
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃由表格信息可知 ( http: / / www.21cnjy.com )：当x＝6．18时，y＝―0.01<0，此点在x轴的下方，当x=6.19时，y＝0．02>0，此点在x轴的上方，故抛物线与x轴的交点必在这两点之间．故选C.
┃规律·方法┃运用二次函数的观 ( http: / / www.21cnjy.com )点来分析一元二次方程，可以借助抛物线来近似求解一元二次方程，在复习时应注意领会它们之间的特殊与一般的关系．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴位置是由a和b联合决定的，对称轴在y轴的右侧，a与b异号，对称轴在y轴的左侧，a与b同号；抛物线与y轴的交点的位置由常数项c决定，抛物线交y轴于正半轴，c>0，抛物线交y轴于负半轴，c<0，抛物线交y轴于原点，c＝0．
2、┃分析┃求抛物线的解析式的题设条件千变万化，经过各种变形，可以形成许多
难度较大的题目，所以本题有多种不同的解法．
解法1：由题设条件，根据顶点坐标公式，得
即即为所求的解析式．
解法2：由题设条件知(―2，0)是抛物线的顶点坐标，
∴设抛物线的解析式为y＝(x+2) 2+0=x 2+4x+4，
∴y＝x2 +4x+4即为所求的解析式．
解法3：由两点式y=(x―x 1)(x－x 2)知x 1=x2＝―2．
∴y=(x+2)(x+2)＝x 2+4x+4即为所求的解析式．
解法4：抛物线y＝x 2+px+q是由抛物线y＝x2向左平移2个单位得到的，
∴y＝(x+2) 2+0=x2+4x+4即为所求的解析式．
解法5：∵抛物线y＝x 2+px+q与x轴只有―个公共点，
∴△＝p2－4q=0．
又点(―2，0)在抛物线y＝x 2+px+q上，∴4－2P+q＝0，
∴y＝x2+4x+4即为所求的解析式．
解法6：∵抛物线y＝x 2+px+q与x轴交点的横坐标x＝―2是方程x 2+px+q＝0的根，∴x 1=x2＝―2，
x1 +x2＝―P＝－2－2＝―4，x1 x 2=q=―2×(―2)=4，∴P＝4，q＝4，
∴y=x2+4x+4即为所求的解析式．
【解题策略】熟练掌握二次函数解析式的三种形式，明确题设条件的特征，准确选用―般式、顶点式、两点式求二次函数的解析式是解此类题的关键．
3、┃分析┃已知三点，用一般式y=ax2+bx+c求解析式，化成顶点式即可求出对称轴．求点P的坐标时可利用勾股定理建立方程来求解．
解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据图象，解得
即y＝－x2+6x－3＝―(x―3)2 +6，∴抛物线的对称轴为x=3．
(2)由(1)得点B(3+，0)，
设点P的坐标为(3，y)，抛物线的对称轴与x轴交于C．
如图2 - 68所示，由勾股定理，得BP2＝BC2+PC2．
所以BP2＝(3+－3)2 +y2＝y 2+6．
∵直线l与x轴的距离是，∴y 2+6＝()2，解得y=，
∴所求点P的坐标为(3，)或(3，－)．
【解题策略】利用一般式确定二次函数的解析式，再利用勾股定理建立方程来解决问题．还要注意(2)不能丢解，即满足条件的点有两个．
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4、┃分析┃(1)已知三点，直接代入一般式即 ( http: / / www.21cnjy.com )可求得解析式．(2)根据抛物线的对称性，很容易画出x<0时的图象．(3)只要明确抛物线与x轴的两个交点，根据抛物线图象即可得出结论．
解：(1)由图象可知A(0，2)，B(4，0)，C(5，―3)．
把A．B，C三点坐标分别代入y=ax2+bx+c，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2 + x+2，顶点坐标为(，)．
(2)如图2 - 69中虚线所示．
(3)∵当－x 2+x+2=0时，x1＝4，x 2=－l，
∴当―10．
【解题策略】随着新课标的全面推广，二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数知识难度已经有所下降，但根据图像信息由抛物线上三个点的坐标确定二次函数的解析式是基本技能，如何画抛物线以及由抛物线观察函数值y在自变量x取何值时大于0或小于0，将成为中考探究性问题命题的热点．
5、┃分析┃要求二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的解析式，就需确定m的值．由于该函数图象与x轴有两个不同的交点，所以对应的一元二次方程的△>0，再注意到这两个交点的位置及m是非负整数的条件，便可确定m.由于一次函数y=kx+b经过点A，所以只需求出另一交点C的坐标，应注意条件S△ABC=10．
解：(1)∵二次函数y＝－x2 +(2m+2)x―(m2 +4m―3)的图象与x轴有两个不同的交点，
∴方程x2―(2m+2)x+(m2+4m―3)=0有两个不相等的实数根，
∴△=4(m+1)2―4(m2 +4m―3)>0，即m<2．
又∵m是不小于0的整数，∴m=1或m＝0．
当m＝0时，二次函数为y=－x 2+2x+3，
它的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(―l，0)，(3，0)，符合题意．
当m＝1时，二次函数为y＝－x2+4x―2，
它的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(2―，0)，(2+，0)，
这两个点都在原点的右边，不合题意，∴m=1舍去．
故所求二次函数的解析式为y＝－x2 +2x+3．
(2)∴A(―l，0)，B(3，0)，∴AB＝3―(―1)＝4．
设点C的坐标为(x0，y0)，
则S△ABC＝AB·┃yO┃=2｜y0│=10，解得｜y0｜=5．
∵抛物线y＝―x2+2x+3的开口向下，顶点坐标为P(1，4)，∴y0=―5．
又∵点C在抛物线上，∴―5＝―x20 +2x0+3，即x20―2x0―8=0，
解得x0＝―2或x0＝4，∴点C的坐标为(―2，―5)或(4，―5)．
∴一次函数的图象过A(―l，0)，C(―2，―5)的解析式为y＝5x+5，
一次函数的图象过A(―1，0)，C(4，―5)的解析式为y＝―x―1．
【解题策略】解此题可画草图辅助理解、分析．
6. ┃分析┃本题属于存在探索题，即当点P在腰BC上时，是否存在△PDC，使S△DPC＝S梯形ABCD．解题方法是假设存在满足条件的△DPC，经过推理、计算，看是否能推出矛盾，若能推出矛盾则不存在；若不能推出矛盾，则存在．
解：(1)作CF⊥AB于F，PG⊥AB于G，
反向延长PG，与DC的延长线交于Q，作PM⊥AD于M．
∵CF＝AD=16，BF＝AB－CD=18－6＝12，
∴BC= =20．
∵PC=x,∴PB＝20－x，BG=PBcosB=PB·＝(20－x)×，
∴PM=AG=18－(20－x)=x+6．
∵E为AD中点，∴DE=AD=8，
∴y=S△PDE＝DE·PM＝(x+6)×4＝x+24(0(2)当x＝BC＝l0时，PB＝l0，PG＝8，∴BG=6，PE＝AG＝12，
∴tan∠DPE=
(3)由S△DPC＝ S梯形ABCD，有CD·PQ＝×(18+6)×16，
∴PQ＝32>AD，不合题意，∴不存在x，使S△DPC＝S梯形ABCD．
【解题策略】此题为条件探究题，要灵活运用基础知识，通过观察、比较、分析、推理等一系列探究，寻找到隐含的条件，从而达到解题目的．
7. ┃分析┃用代入法求出抛物线的解析式，即可知顶点坐标， OEAF的面积S＝2S△OAE ，易得S与 x之间的函数关系式．由S＝24先求出点E的坐标，再判断OEAF是否为菱形．先假设存在点E，使OEAF为正方形，求出点E的坐标，再判断此点是否在抛物线上．
解：(1)由于抛物线的对称轴是x＝，所以可设解析式为y＝a(x－ ) 2+k．
把A，B两点坐标代入上式，得
故抛物线的解析式为
顶点坐标为(，―)．
(2)∵点E(x，y)在抛物线上，且位于第四象限,
∵坐标适合y= (x－)2―，且y<0，
即―y>0，―y表示点E到OA的距离．
∵OA是OEAF的对角线，
∵S=2S△OAE =2
=－6y=－4(x－)2+25=－4x2 +28x－24．
令S＝0，即―4x2 +28x―24=0，解得x1＝l，x2＝6，
∴抛物线与x轴的两个交点是(1，0)和(6，0)，
∴自变量x的取值范围是1(3)①根据题意，当S=24时，即―4(x―)2+25=24，
化简得(x―)2＝，解得x1＝3，x2=4．
故所求的点E有两个，分别为E1(3，―4)，E2(4，―4)．
点E1(3，―4)满足OE＝AE，∴OEAF是菱形．
点E2(4，―4)不满足OE=AE，∴OEAF不是菱形；
②当OA⊥EF，且OA＝EF时， OEAF是正方形，
此时点E的坐标只能是(3，―3)，而坐标为(3，―3)的点不在抛物线上．
故不存在点E，使 OEAF为正方形．
【解题策略】本题是一道二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数与四边形的综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式等方面的内容，也包含对基本技能、探索开放思维的考查，可作为压轴题．
体验中考
1、┃分析┃根据题意，得当x=3时，y=－×9+3－2=－4.故填－4.
【解题策略】利用图表中任意三 ( http: / / www.21cnjy.com )对数值代入二次函数的一般式中，即可求出二次函数的解析式，再求当x＝3时，y的值．但要注意，在选各对数值时，要考虑计算简便．
2、┃分析┃用代入法求出抛物线的解析式，再解其与直线y＝x所组成的方程组即可得到A，B的坐标．点M在x轴下方，求MN的长时要注意符号．
解：(1)由题意得解得
∴此抛物线的解析式为y＝x2－2x－4．
(2)由题意得解得
∴点B的坐标为(4，4)．
将x＝m代入y＝x，得y＝m，∴点N的坐标为(m，m)．
点M的坐标为(m，m2－2m－4)，点P的坐标为(m，0)．
∴PN＝│m│，MP＝│m2－2m－4│．
∵0(3)作BC⊥NN于点C，
如图2 - 75所示，BC＝4－m，OP＝m．
S＝MN·OP+MN·BC＝2(－m2+3m+4)
=-2(m－)2+12．
∵－2<0，∴当m－＝0，即m=时，S有最大值．
3、┃分析┃结合平行四边形和抛物线的性质求解．
解：(1)在ABCD中，CD∥AB且CD＝AB＝4，
∴点C的坐标为(4，8)．
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，
则AH＝BH＝2，∴点A，B的坐标为A(2，0)，B(6，0)．
(2)由抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为C(4，8)，
可设抛物线的解析式为y＝a(x－4)2＋8，
把A(2，0)代入上式，解得a＝－2．
设平移后抛物线的解析式为y＝－2(x－4)2+8+k，
把(0，8)代入上式，得k＝32，
∴平移后抛物线的解析式为y＝－2(x－4)2+40．
即y＝－2x2+16x+8．
2.6何时获得最大利润
学习目标、重点、难点
【学习目标】
体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。
掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。
【重点难点】
1.应用二次函数解决实际问题中的最值。
2.能正确理解题意，找准数量关系。
知识概览图
新课导引
【生活链接】某商店经营T恤衫， ( http: / / www.21cnjy.com )已知成批购进时单价是2.5元．根据市场调查，月销售量与销售单价之间满足如下关系：在―段时间内，单价是13.5元时，月销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件．
【问题探究】请你帮助分析一下，当销售单价是多少时，获利最多
教材精华
知识点1 二次函数的最值在实际问题中的应用
求实际问题中二次函数的最值时，一般是求二次函数的条件最值，这就要求在列函数解析式的同时，应求出自变量x的取值范围．
下面我们来研究“生活链接”中的实际问题．
设销售单价为x(0＜x≤13.5)元，则：
月销售量为500＋200(13.5－x)＝3200－200x，
销售额为x(3200－200x)=3200x－200x2，
所获利润为(x－2.5)(3200－200x)＝－200x2＋3700x－8000．
当销售单价是9.25元时(x＝－)，可以获得最大利润，
最大利润是9112.5元(y＝)．
拓展 函数应用题主要考查学生应用数学知识分析和解决实际问题的能力，把实际问题转化成“函数模型”是解决实际应用问题的关键．
知识点2 求二次函数最值的方法
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当自变量x为全体实数时，求它的最大值和最小值常用的方法有三种．
(1)配方法．
y=ax2＋bx＋c=a(x2＋x＋)=a
=a
若a＞0，则当x＝－时，y最小值=;
若a＜0，则当x＝－时，y最大值=．
(2)公式法．
直接使用上述由配方法得到的结论．
(3)判别式法．
在y=ax2＋bx＋c(a≠0)中，把y看做已知数，
得到关于x的一元二次方程ax2＋bx＋(c－y)＝0．
若x是任意实数，则应有△=b2－4a(c－y)≥0，∴4ay≥4ac－b2．
当a＞0时，y≥，此时y最小值=；
当a＜0时，y≤，此时y最大值=．
若需要求出x的值，则将y＝代入ax2＋bx＋(c－y)＝0，就可以求出x的值．
例如：求二次函数y=x2＋3x＋的最小值．
解法1：(公式法)∵a＝＞0,∴当x=－＝－＝－3时，
y最小值===－4．
解法2：(配方法)∵y＝x2＋3x＋=(x2＋6x＋1)
=(x2＋6x＋9－9＋1)
=[(x＋3)2－8] = (x＋3)2－4，
当x=－3时，y有最小值－4．
解法3：(判别式法)∵y=x2＋3x＋，∴x2＋6x＋(1－2y)=0．
∴x是任意实数，∴△＝36－4(1－2y)≥0，∴y≥－4，即y有最小值－4．
此时x2＋6x＋9=0，即x＝－3．
┃规律方法小结┃在求二次函数的最值时，要 ( http: / / www.21cnjy.com )注意比较利用哪种方法求解更简捷．在解题过程中，通过类比的方法，学会一题多解，选准问题的突破口，寻求最合理的解题方法．
求实际问题中的二次函数最值问题时，设法 ( http: / / www.21cnjy.com )把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按二次函数最值的求法求解．步骤如下：①利用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式；②把关系式转化为二次函数的解析式；③求二次函数的最大值或最小值．
课堂检测
基础知识应用题
1、求二次函数y＝x2－2x－3的最大值或最小值．
2、求函数y＝2x2－3x－2的最大值或最小值．
3、某商场购进一种单价为40元的篮球 ( http: / / www.21cnjy.com )，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．
(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是 元，这种篮球每月的销售量是 个；(用含x的代数式表示)
(2)判断8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润．如果是，请说明理由；如果不是，求出最大利润，此时篮球的销售单价为多少元
综合应用题
4、某机械租赁公司有同 ( http: / / www.21cnjy.com )一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用(维护费、管理费等)20元．设每套设备的月租金为x(元)，租赁公司出租该型号设备的月收益(收益=租金收入一支出费用)为y(元)．
(1)用含x的代数式表示未租出的设备数(套)以及所有未租出的设备数(套)的支出费用；
(2)求y与x之间的函数关系式；
(3)当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元 此时应该出租多少套机械设备 请简要说明理由；
(4)请把(2)中所求的二次函数配方成y=a＋的形式，并据此说明，当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大 最大月收益是多少
探索与创新题
5、某通讯器材公司销售一种 ( http: / / www.21cnjy.com )市场需求量较大的新 型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支(不含进价)总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间存在着如图2－84所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试写出该公司销 ( http: / / www.21cnjy.com )售该种产品的年获利z(万元)与销售单价x(元)的函数关系式(年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支)．当销售单价x为何值时，年获利最大 并求这个最大值；
(3)若公司希望该种产品一年的销售获 ( http: / / www.21cnjy.com )利不低于40万元，试画出函数图象，并帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元
6、A，B两人连续6年对某县农村甲 ( http: / / www.21cnjy.com )鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图2－86所示，A调查表明：每个甲鱼池平均年产量由第1年的l万只甲鱼上升到第6年的2万只；B调查表明：甲鱼池个数由第1年的30个减少到第6年的10个．
(1)求第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼的总数；
(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了 请说明理由；
(3)哪一年的规模最大 请说明理由．
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体验中考
1、某商品的进价为每件30元，现在的 ( http: / / www.21cnjy.com )售价为每件40元，每星期可卖出150件，市场调查反映：如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元)，那么每星期少卖10件．设每件涨价x元(x为非负整数)，每星期的销量为y件．
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大 每星期的最大利润是多少
2、随着南宁近几年城市建设的快 ( http: / / www.21cnjy.com )速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图2－88所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图2－89所示．(注：利润与投资量的单位：万元)
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(1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润 他能获取的最大利润是多少
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃ 求最值的方法很多，根据需要灵活选用．
解法1：由a＝1＞0，知抛物线开口向上，
∴当x=－＝=1时，y最小值＝＝＝－4．
解法2：y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∵a＞0，∴当x＝1时，y最小值=－4．
【解题策略】求二次函数的最值时，应根据具体情况选用恰当的方法．在本例中，解法1应用了公式法，而解法2应用了配方法．
2、┃分析┃ 本题可以用判别式法来解．
解：把函数y＝2x2－3x－2变形为2x2－3x－(2＋y)＝0．
∵x为任意实数，∴△=b2－4ac≥0，即(－3)2＋4×2×(y＋2)≥0，
解得y≥－，∴函数y=2x2－3x－2的最小值为－．
【解题策略】用判别式法求二次函数的最大值或最小值，有时比公式法和配方法更简捷．
3、┃分析┃明确题目中的数量关系是解题的关键．
解：(1)(10＋x) (500－l0x) ．
(2)设月销售利润为y元，由题意得y=(10＋x)(500－l0x)，
整理得y=－l0(x－20)2＋9000．
当x＝20时，y的最大值为9000，20＋50＝70．
答：8000元不是最大利润，最大利润为9000元，此时篮球的销售单价为70元．
【解题策略】月销售利润＝每个篮球的销售利润×每月篮球的销售量，明确这一关系是解此题的关键．
4、┃分析┃解决此题的关键是求函数关系式，难点是第(3)问，第(4)问计算比较复杂．
解：(1)未租出的设备为套，
所有未租出的设备的支出费用为(2x－540)元．
(2)y=(40－)x－(2x－540)=x2＋65x＋540．
即y与x之间的函数关系式为y=x2＋65x＋540．
(3)当月租金为300元时，租赁公司 ( http: / / www.21cnjy.com )的月收益为11040元，此时租出37套机械设备；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出32套设备．因为出租37套和32套机械设备获得同样的收益，如果考虑减少机械设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场的占有率，应该选择出租37套．
(4)y＝x2＋65x＋540=(x2－2×325x＋3252)＋540＋×3252= (x－325)2＋11102.5，∴当x＝325时，y有最大值11102.5．但是，当月租金为325元时，租出机械设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34(套)或35(套)．即当月租金为330元(租出34套)或月租金为320元(租出35套)时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元．
【解题策略】认真审题、全面考虑、准确计算．
5、┃分析┃(1)一次函数解析式易求得．(2)销售额等于销售单价乘以销售量．(3)结合图象说明．
解：(1)设y＝kx＋b，由图象知一次函数图象过点(60，5)，(80，4)，
∴解得＋8．
(2)z=yx－40y－120=(－x＋8)(x－40)－120
=x2＋10x－440=(x－100)2＋60，
∴当x＝100时，即销售单价为100元时，年获利最大，最大值为60万元．
(3)令z=40，得40=x2＋10x－440，
即x2－200x＋9600=0，
解得xl=80，x2＝120．
画出图象如图2－8 ( http: / / www.21cnjy.com )5所示，由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．又因为销售价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．
【解题策略】认真观察图象获 ( http: / / www.21cnjy.com )取有用信息．能够在阅读文字，观察图形的基础上，把实际问题抽象为数学问题，根据图象求点的坐标，利用待定系数法求解析式，再列出二次函数解析式，利用二次函数的性质解决实际问题中的最值问题．
6、┃分析┃(1)由图象可知，第2年 ( http: / / www.21cnjy.com )的甲鱼池个数为26，每个甲鱼池平均年产量为1.2万只，出产甲鱼总数为1.2×26=31.2(万只)．(2)规模缩小了，因为第1年出产甲鱼30×l=30(万只)，第6年出产甲鱼2×10=20(万只)．(3)列出yA，yB，总产值是yA·yB，求其最大值即可．
解：(1)由图2－86(2)知，第2年甲鱼池个数为26，
由图2－86(1)知，第2年每个甲鱼池平均年产量为1.2万只，
∴全县出产甲鱼的总数为1.2×26＝31.2(万只)．
(2)规模缩小了．因为第一年出产甲鱼30×1＝30(万只)，
而第6年出产甲鱼2×10＝20(万只)．
(3)由图2－86(1)知，直线yA=kx＋b经过点(1，1)和点(6，2)，
将这两点坐标代入，得解得∴yA=0.2x＋0.8．
同理，由图2－86(2)得yB＝－4x＋34．
设第x年规模最大，
则yA·yB=(0.2x＋0.8)·(－4x＋34)＝－0.8x2＋3.6x＋27.2．
∵a=－0.8＜0，∴当x=－=－＝≈2时，
yA·yB有最大值，且最大值是31.2．
即第2年规模最大，出产甲鱼31.2万只．
【解题策略】此题把图象信息、阅读理解、探 ( http: / / www.21cnjy.com )索性问题巧妙地综合在一起，要求学生在读懂文字、图形的基础上，把实际问题转化为数学问题，根据图象求点的坐标，利用待定系数法求解析式，利用二次函数的性质求最大值．
体验中考
1、┃分析┃本题考查二次函数的最值在实际问题中的应用．
解：(1)y＝150－10x，0≤x≤5，且x为整数．
(2)W＝(10＋x)(150－10x)＝－10(x－2.5)2＋1562.5，
当x＝2或3时，W取最大值．
当x=2时，y＝130，当x＝3时，y=120．因此，为使利润最大且销量较大，应
定价为42元，此时最大利润为1560元．
2、┃分析┃本题考查利用二次函数解决实际问题中的最大利润问题．
解：(1)设y1＝kx，y2=ax2，
由图可知2=k·1，2=a·22，
解得k＝2，a=.∴y1＝2x，y2＝x2．
解法l：(2)设种植花卉的资金投入为x万元，
那么种植树木的资金投入为(8－x)万元，
两项投入所获得的总利润为y万元．
依题意得y＝y1＋y2＝2(8－x)＋x2
=x2－2x＋16＝(x－2)2＋14．
∴当x＝2时，y最小=14．
∴这位专业户至少获利14万元．
又∵0≤x≤8，抛物线的对称轴为x＝2，
①当0≤x＜2时，y值随x的增大而减小，所以x=0时，y最大＝16．
②当2≤x≤8时，y值随x的增大而增大，所以x＝8时，y最大＝32．
综上可知，这位专业户能获取的最大利润是32万元．
解法2：(2)设种植树木的资金投入为x万元，
那么种植花卉的资金投入为(8－x)万元，
两项投入所获得的总利润为y万元．
依题意得y＝y1＋y2=2x＋(8－x)2
＝x2－6x＋32＝ (x－6)2＋14．
∴当x=6时，y最小＝14．
因此，这位专业户至少获利14万元．
∵0≤x≤8，抛物线的对称轴为x＝6，
①当0≤x＜6时，y值随x的增大而减小，所以x＝0时，y最大=32．
②当6≤x≤8时，y值随x的增大而增大，所以x＝8时，y最大=16．
综上可知，这位专业户能获取的最大利润是32万元．
【解题策略】在解决实际问题中的最值问题时，一定要注意在自变量的取值范围内确定最值．
2.7最大面积是多少
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.通过经历探索长方形最大面积喝窗户透光最多问题的过程，进一步体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。
2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量间的二次函数关系。
3.能够利用二次函数的知识求出实际问题的最大值。
【重点难点】
1.通过分析、探究实际问题，确定出二次函数的关系式。
2.利用二次函数的有关知识解决长方形最大面积和窗口透光最多的问题。
3.通过探索、分析、合作交流的学习过程，从实际问题中抽象、归纳数学模型（即确定二次函数解析式）。
知识概览图
新课导引
【生活链接】如右图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．
【问题探究】由上面的问题我们分析：若设长方形的一边AB＝x，面积为y，那么当x取何值时，y的值最大 最大面积是多少
【点拨】根据题意，得y=AD·AB，即y＝(40－x)·x，整理，得y＝－x2＋30x(0＜x＜40)．配方，得y＝－(x2－40x)=－ (x－20)2＋300．所以当x＝20
时，y的值最大，最大面积是300．
教材精华
知识点1 抛物线y＝ax2＋bx＋c上的四个重要的点和在x轴上截得的线段长与其涉及的三角形形状及面积的关系
抛物线y＝ax2＋bx＋c上的四个重要的点是抛物线的顶点(－)，与x轴的两个交点A(，0)，B(，0)，与y轴的一个交点C(0，c)．在x轴上截得的线段长AB＝┃x2－x1┃＝，这是二次函数的重要基础知识．
抛物线与x轴的交点个数由b2－4ac的符号确定．
b2－4ac＞0抛物线与x轴有两个交点；
b2－4ac＝0抛物线与x轴有一个交点；
b2－4ac＜0抛物线与x轴没有交点．
例如：已知二次函数y＝2x2－4mx＋m2．
(1)求证：当m为非零实数时，这个二次函数与x轴总有两个不同的交点；
(2)如果这个二次函数的图象与x轴的交点为A，B，顶点为C，且△ABC的面积为4，求m的值．
证明：(1)∵＝(－4m)2－8m2=8m2，又m≠0，∴△＝8m2＞0，
∴当m≠0时，这个函数的图象与x轴总有两个不同的交点．
解：(2)这个函数的图象与x轴的两个交点为A，B，设A(xl，0)，B(x2，0)，
∴AB┃m┃．
作CD⊥AB于D，如图2－9l所示，
则CD==m2．
∵S△ABC=4，∴AB·CD=4，
即·┃m┃·m2＝4，∴m=±2．
知识点2 利用二次函数求面积的最值问题
解二次函数最值应用题的基本方法是：设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解．其一般步骤是：
(1)利用题目中的已知条件和学过的有关的数学公式列出关系式；
(2)把关系式转化为二次函数解析式；
(3)求二次函数的最大值或最小值．
例如：某建筑物的窗户如图2 ( http: / / www.21cnjy.com )－92所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m，当半圆的半径等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m) 此时，窗户的面积是多少(精确到0.0l m2)
解：设半圆的半径为x m，小长方形的长为y m．
则4y＋7x+πx=15，∴y=.
设窗户的面积为S，
则
=－3.5x2＋7.5x
这里a＝－3.5＜0，所以当x＝≈1.07时，
S最大值=≈4.02(m2)．
即当半径约为1.07 m时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约是4.02 m2．
┃规律方法小结┃通过上节和 ( http: / / www.21cnjy.com )本节知识的学习，我们可以知道，应用二次函数的有关知识解决实际问题的基本思路是：(1)理解问题；(2分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用函数解析式表示它们之间的关系；(4)用数学方法求解；(5)检验结果的合理性．
课堂检测
基础知识应用题
1、已知三角形的两边和为20 cm，这两边的夹角为120°(如图2－93所示)，求它的面积的最大值；当面积最大时，这两边的长各是多少
2、用长为12 m的 ( http: / / www.21cnjy.com )篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图2－94所示，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB于A，BC⊥AB于B，∠C＝∠D=∠E．设CD＝DE＝x m，五边形ABCDE的面积为S m2．当x取什么值时，S最大 并求出S的最大值．
综合应用题
3、如图2－96所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BC=CD＝10，sin C=．
(1)求梯形ABCD的面积；
(2)点E，F分别是BC ( http: / / www.21cnjy.com )，CD上的动点，点E从点B出发向点C运动，点F从点C出发向点D运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF，求△EFC面积的最大值，并说明此时E，F的位置．
探索与创新题
4、如图2－98所示，有一边长为5 ( http: / / www.21cnjy.com )cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR＝5 cm，QR＝8 cm，点B，C，Q，R在同一条直线l上，当C，Q两点重合时，等腰三角形以1 cm／s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t s后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为S cm2，根据题意解答下列问题．
(1)当t=3时，求S的值；
(2)当t＝5时，求S的值；
(3)当5≤t≤8时，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．
体验中考
如图2－103所示，直线y＝－x＋4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．
(1)求点P的坐标；
(2)请判断△OPA的形状并说明理由；
(3)动点正从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着OPA的路线向点A匀速运动(E不与点O，A重合)，过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．
①求S与t之间的函数关系式；
②当t为何值时，S最大 并求S的最大值．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃已知三角形的两边之和为20 cm，应设其中一边为x cm，并将这条边上的高用x表示，即可把该三角形的面积表示为x的函数．
解：在△ABC中，设BC边的长为x cm，
则AB＝(20－x)cm．
过A作AD⊥BC，交CB的延长线于D．
∵∠ABD=180°－120°＝60°，∴AD=(20－x)cm，
∴△ABC的面积y＝x×(20－x)(0＜x＜20)，
即y＝－x2＋5.x，这里a＝－＜0．
故当x=－=10时,y最大值==25.
此时AB＝20－x=10(cm)．
即这个三角形的最大面积为25cm2，此时三角形两边的长各为10 cm．
【解题策略】解决几何图形中的 ( http: / / www.21cnjy.com )最值问题的关键是根据图形的性质和计算公式建立二次函数关系式，再利用二次函数的顶点坐标来解决问题．注意保证图形存在并有实际意义．即注意自变量的取值范围．
2、┃分析┃根据已知，连接EC，并过D作DF⊥EC，垂足为F．又因为DE＝CD，∠AED＝∠EDC＝∠DCB，∠EAB＝∠CBA＝90°，由多边形内角和定理，知∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝120°，因为CD＝DE，所以∠DEC＝∠DCE=30°，所以∠CEA=∠ECB＝90°，所以四边形EABC为矩形．由DE＝x，得AE＝6－x，DF=x，EC=x，则S＝S△CDE＋S矩形ABCE．再讨论二次函数的最值问题即可．
解：如图2－95所示，
连接EC，过D作DF⊥EC，垂足为F．
∵∠DCB＝∠EDC＝∠AED，∠EAB=∠CBA=90°，
∴∠DCB=∠CDE＝∠DEA=120°．
∵DE=CD，∴∠DEC＝∠DCE＝30°，
∴∠CEA＝∠ECB＝90°，∴四边形EABC为矩形．
∵DE=x m，∴AE＝(6－x)m，DF=x m，EC＝x m，
S=S矩形ABCE＋S△CDE=x(6－x)＋·x·x
=－x2＋x=－(x－4)2＋12(0＜x＜6)．
故当x=4，五边形ABCDE的面积最大，最大值为12m2．
【解题策略】明确多边形的面积可以划 ( http: / / www.21cnjy.com )分为两部分面积之和是解题的关键，把五边形的面积S表示为x的二次函数，用二次函数知识研究面积最大值问题是本题的一大亮点．
3、┃分析┃要求梯形的面积，需求出梯形的高和上底，因为已知sin C=，所以需要构造直角三角形．过点D作DM⊥BC，垂足为M，通过解直角三角形，便可解决问题．关于E，F的动点问题，要讨论△EFC的面积，需求出S△EFC与运动时间的函数关系．利用二次函数的最值问题讨论面积的最大值．
解：(1)如图2－97所示，过点D作DM⊥BC，垂足为M．
在Rt△DMC中，
DM=CDsin C=10=8，
(2)设运动时间为x秒，则有BE=CF=x，EC＝10－x.
过点F作FN⊥BC，垂足为N．
在Rt△FNC中，FN=CFsinC=x．
即△EFC面积的最大值为10，此时点E，F分别在BC，CD的中点处．
【解题策略】本题是集三角函数、三角形面积、梯形面积及面积最值问题于一体的综合应用题，有一定的难度．
4、┃分析┃(1)当t＝3或5时，利用三角形相似求出重合部分的面积．(2)当5≤t≤8时，利用二次函数求出重合部分面积的最大值．
解：(1)如图2－99所示，作PE⊥QR，E为垂足．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵PQ=PR，∴QE=RE=QR=4，∴PE==3．
当t＝3时，QC＝3．设PQ与DC交于点G．
∵PE∥DC，∴△QCG∽QEP，∴
∵S△QEP=×4×3=6，∴S=()2×6=(cm2)．
(2)如图2－100所示，当t=5时，CR=3，
设PR与DC交于点G．
由△RCG∽△REP，可得S△RCG=，
∴S=S△PBR－S△RCG=12－=(cm2)．
(3)如图2－101所示，当5≤t≤8时，QB＝t－5，RC=8－t.
设PQ交AB于点H，DC交PR于点G．
由△RCG∽△REP，可得S△RCG=(8－t)2．
由△QBH∽△QEP，可得S△QBH＝(t－5)2．
∴S=12－(t－5)2－(8－t)2，
即S=
∴当t＝时，S最大，最大值为.
【解题策略】此题是一个图形运 ( http: / / www.21cnjy.com )动问题，解题的方法是将各个时刻的图形分别画出，则图形由“动”变“静”，再设法求解．这种分类画图的方法在解动态的几何问题时非常有效．
体验中考
┃分析┃第(3)问是动点问题，注意分类讨论．
解：(1)∴点P的坐标为(2，2)．
(2)将y=0代入y＝－x＋4,得－x＋4=0，
∴x=4，即OA=4．
作PD⊥OA于D，则OD＝2，PD=2．
∵tan∠POA==，∴∠POA=60°．
∵OP==4=OA，∴△POA是等边三角形．
(3)①当0＜t≤4时，如图2－104所示，
在Rt△EOF中，∵∠EOF＝60°，OE=t，
∴EF=t，OF=t，
∴S=OF·EF=t2．
当4＜t＜8时，如图2－105所示，
设EB与OP相交于点C，
则CE＝PE＝t－4，AE=8－t，
∴AF=4－t,EF=(8－t)，
∴OF=OA－AF=4－(4－t)=t，
∴S=(CE＋OF)·EF
=(t－4＋t)×(8－t)
=－＋4－8.
②当0＜t≤4时，S＝t2，t＝4时，S最大＝2.
当4=－(t－)2＋，
t=时，S最大=.
∵＞2，∴当t=时，S最大=.
2.8二次函数与一元二次方程
学习目标、重点、难点
【学习目标】
理解二次函数图象与x轴交点 ( http: / / www.21cnjy.com )的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根、有两个相等的实根和没有实根.
【重点难点】
1.理解二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根、有两个相等的实根和没有实根．
2.理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标.
知识概览图
新课导引
【生活链接】观察二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)，你会发现当y＝0时，二次函数的解析式就成为一元二次方程了．
【问题探究】二次函数和一元二次方程有什么联系
教材精华
知识点1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c与抛物线的位置关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数a，b，c与抛物线的位置关系如下：
(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点由常数项c确定．
抛物线与y轴交于正半轴c＞0．
抛物线与y轴交于原点c=0．
抛物线与y轴交于负半轴c＜0．
(2)抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴的位置由a和b共同确定．
对称轴在y轴的左侧a，b同号.
对称轴在y轴的朽侧a，b异号．
对称轴是y轴b＝0．
拓展 系数a确定了抛物线的开口方向，系数c确定了抛物线与y轴的交点，系数a，b共同确定对称轴的位置．
知识点2 二次函数与一元二次方程的关系
当y＝0时，二次函数的解析式y= ( http: / / www.21cnjy.com )ax2＋bx＋c(a≠0)就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0，而一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，在二次函数与一元二次方程的关系中，判别式△＝b2－4ac起着极为重要的作用．
( http: / / www.21cnjy.com )
二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图2－118所示．
( http: / / www.21cnjy.com )
┃规律方法小结┃二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的关系：抛物线与x轴有两个交点方程△＞0．抛物线与x轴有一个交点方程△＝0．抛物线与x轴没有交点方程△＜0．若抛物线与x轴的两交点分布在y轴的两侧，则x1，x2异号；若两交点分布在y轴的同侧，则x1，x2同号．抛物线与x轴两交点间的距离为┃x2－x1┃=．
知识点3 利用二次函数的图象估计一元二次方程的根
如图2－119所示的是函数y＝x2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋2x－10的图象，由图象可知方程x2＋2x－l0＝0有两个根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间．
首先求－5和－4之间的根(结果取到十分位)．
我们利用计算器进行探索，如下表所示：
x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4
y －1.39 －0.76 －0.11 0.56
因此，x＝－4.3是方程的一个近似根．
其次，仿照上面的方法求另一个根，如下表所示：
x 2.1 2.2 2.3 2.4
y －1.39 －0.76 －0.11 0.56
因此x＝2.3是方程的另一个近似根．
拓展 我们通常用代数的方法求一元二次方程的根，这里介绍了一种用图象法求方程近似根的方法，请同学们认真体会上述求解过程．
课堂检测
基础知识应用题
1、 如图2－120所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与y轴相交于负半轴．
(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0．其中正确结论的序号是 ；
(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1．其中正确结论的序号是 .
2、作出y＝2x2－12x＋13的图象，根据图象判断方程2x2－12x＋13＝0的近似根．(结果保留一位小数)
3、(1)若抛物线y＝x2＋bx＋8的顶点在x轴的负半轴上，则b＝ ；
(2)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－122所示，则点P(a，)在第 象限；
(3)已知二次函数y=ax2＋bx＋c，如果a＞0，b＜0，c＜0，那么这个函数图象的顶点必在第 象限．
综合应用题
4、已知二次函数y＝x2＋(2m＋1)x＋m2的图象与x轴有两个交点．
(1)求m的取值范围；
(2)当这两个交点的横坐标的平方和等于7时，求m的值．
探索与创新题
5、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向下，且经过A(0，1)和M (2，－3)两点．
(1)若抛物线的对称轴为直线x＝－1，求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围；
(3)若抛物线与x轴交于B，C两点，且∠BAC＝90°，求此时a的值．
体验中考
1、下列命题：
①若a＋b＋c=0，则b2－4ac≥0；
②若b＞a＋c，则一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根；
③若b＝2a＋3c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；
④若b2－4ac＞0，则二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．
其中正确的是 ( )
A．只有①②③ B．只有①③④
C．只有①④ D．只有②③④
2、已知抛物线y＝3ax2＋2bx＋c．
(1)若a＝b＝1，c＝－1，求该抛物线与x轴的公共点的坐标；
(2)若a＝b＝1，且当－1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
(3)若a＋b＋c=0，且x ( http: / / www.21cnjy.com )1=0时，对应的y1＞0，x2＝l时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点 若有，证明你的结论；若没有，阐述理由．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃(1)∵抛物线的开口向上，∴a＞0．对称轴在y轴右侧，∴b＜0．抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0．抛物线过点(1，0)，∴a＋b＋c＝0．故填①④．(2)∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0．∵对称轴在直线x=1的左侧，∴－＜1．又∵a＞0，∴－b＜2a，∴2a＋b＞0．∵当x＝－1时，y＝a－b＋c=2．又∵a＋b＋c＝0，∴2a＋2c＝2，∴a＋c＝1．又a＞0，c＜0，故a＞1．故填②③④．
【解题策略】抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象的特征与其系数a，b，c及判别式△的符号有着密切的联系，它们之间是相互制约的．
2、┃分析┃熟练掌握抛物线的性质和特点是解这类问题的关键．
解：作出图象如图2－121所示，可观察到两个根，一个在l和2之间，另一个在4和5之间，利用计算器进行探索，如下表所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
因此可知方程2x2－12x+13=0的近似根为x＝1.4，x2＝4.6.
【解题策略】解此类问题要注意分析、探索的方法．
3、┃分析┃(1)∵△＝b2－32=0，∴b＝±4．而对称轴x＝－＜0，a＝1，∴b＞0，∴b=4.故填4.(2)由图象可知a＜0，c＞0，－＞0，则b＞0，∴＞0，∴P(a，)在第二象限．故填二．(3)顶点坐标为(－，)．∵a＞0，b＜0，∴－＞0．又∵a＞0，b＜0，c＜0，∴4ac－b2＜0，4a＞0，∴＜0，∴顶点在第四象限．故填四．
【解题策略】(1)顶点在x轴上＝0；顶点在y轴上，即－=0b=0。(2)象限看符号，确定点所在的象限，即确定横、纵坐标的符号．
4、┃分析┃当△＞0时，图象与x轴有两个交点．
解：(1)根据题意，可知x2＋(2m＋1)x＋m2=0有两个不相等的实数根．
∵△＝(2m＋1)2－4m2=4m2＋4m＋1－4m2=4m＋1，
∴4m＋l＞0，解得m＞－．
(2)设图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．
则由根与系数的关系，得xl＋x2=－(2m＋1)，x1x2=m2．
又∵x12＋x22=7，即(x1＋x2)2－2x1x2＝7，∴[－(2m＋1)]2－2m2＝7，
∴m2＋2m－3＝0，解得m1＝－3，m2=1．
又∵m的取值范围是m＞－，∴m＝－3不合题意，舍去，∴m＝l，
即当这两个交点的横坐标的平方和等于7时，m的值等于1．
【解题策略】本例涉及一元二 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程与二次函数之间的关系．解此类题有两点要注意：其一是将抛物线与x轴交点的横坐标与一元二次方程的根联系起来；其二是根据题设条件，列出方程或方程组、不等式组等进行求解．
5、┃分析┃(1)由A(0，1)和M(2，－3)两点及对称轴x=－1，可求得抛物线的解析式.（2）
由a，b，c的关系确定a的取值范围（3）根据二次函数与一元二次方程的关系，可求得a的值.
解：(1)由题意,得
∴抛物线的解析式为y=－x2－x＋1．
(2)由题意，得=
消去c，得b＝－2a－2．
又∵抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，
∴∴b＜0，即b=－2a-2＜0，解得a＞－l，
∴a的取值范围是－l＜a＜0．
(3)∵抛物线开口向下，且经过点A(0，1)，
∴它与x轴的两个交点B，C分别在原点的两侧，
如图2－123所示，
此时B，C两点的横坐标异号，且OA=c＝1．
∵∠BAC=90°，OA⊥BC于O，
∴Rt△BOA∽Rt△AOC，∴OA2=OB·OC．
又∵b=－2a－2，c=1，
∴抛物线的解析式为y=ax2－2(a＋1)x＋1．
设此抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为B(x1，0)，C(x2，0)，
则x1，x2是方程ax2－2(a＋1)x＋1=0的两个根，
∴x1x2=，∴OB·OC=┃x1┃┃x2┃=┃x1x2┃=－x1x2，
∴OB·OC=－. 又∵OA2=OB·OC，OA=1，∴1=－，∴a=－1．
【解题策略】二次函数与一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程之间有着十分密切的联系，解这类题一般通过一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式来求解，同时要注意挖掘题中对字母的限制及抛物线与x轴交点位置的限制，才能正确解题．
体验中考
1、┃分析┃本题主要考查一元二次方程中各项系数对方程的根的影响及一元二次方程与二次函数的联系．①中，a＋b＋c=0b=－a－cb2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝a2＋c2－2ac＝0(a－c)2≥0，故①正确．②中，由b＞a＋c不能推出b2－4ac＞0，故一元二次方程ax2＋bx＋c=不一定有两个不相等的实数根，故②不正确．③中，b＝2a＋3cb2－4ac＝(2a＋3c)2－4ac＝4a2＋9c2＋8ac＝(2a＋2c)2＋5c2＞0，故一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根，故③正确．④中，若b2－4ac＞0，二次函数图象过原点，则二次函数的图象与坐标轴的公共点个数是2．若二次函数的图象不过原点，则二次函数的图象与坐标轴的公共点个数是3，故④正确．故选B．
2、┃分析┃(1)抛物线与x轴的 ( http: / / www.21cnjy.com )公共点的横坐标即为相应的一元二次方程的两个根．(2)抛物线与x轴有交点，则相应的一元二次方程△≥0，然后根据题中给定条件具体讨论c的取值范围．(3)可根据已知条件确定抛物线各系数的关系及符号，再利用相应的一元二次方程的根的判别式判定其与x轴是否有公共点．
解：(1)当a＝b＝1，c＝－1时，抛物线y＝3x2＋2x－l，
方程3x2＋2x－l＝0的两个根为x1＝－1，x2＝．
∴该抛物线与x轴公共点的坐
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.从实际情景中经历探索和表示两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
2.会表示简单变量之间的二次函数关系。
3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题。（如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题）。
【重点难点】
1.二次函数的概念和一般表达式；表示简单变量之间的二次函数关系。
2.从实际情景中列出二次函数关系式，并考虑函数的自变量的取值范围。
知识概览图
新课导引
【生活链接】一个果园里有100棵 ( http: / / www.21cnjy.com )橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
【问题探究】(1)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树 这时平均每棵树结多少个橙子
(2)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式；
(3)在上述问题中，种多少棵橙子树可以使果园橙子的总产量最多 最多为多少个
【点拨】解这类问题就需要利用二次函数的有关知识．
教材精华
知识点1 利用尝试求值的方法解决实际问题
我们利用尝试求值的方法来解决“新课导读”中的问题．
(1)如果设果园增种x棵树，那么果 ( http: / / www.21cnjy.com )园共有(x＋100)棵橙子树．因为每增加一棵树，平均每棵树少结5个橙子，所以增种x棵树，平均每棵树结(600－5x)个橙子．
(2)由(1)可得果园橙子的总产量y＝(100＋x)(600－5x)＝－5x2＋l00x＋60000．
(3)我们得到一个函数关系式y＝－5x2＋l00x＋60000，它与我们过去学过的y＝kx，y＝kx＋b，y＝(k≠0)有所不同，它的最高次项x2的次数是2，且x2的系数为－5，这就是我们要研究的二次函数的关系式．
果园增种多少棵树，可以使果园的总产量最多 我们可以试着通过数值统计的方法逐步去猜想．试着列出下表：
x(棵) 1 2 3 4 5 6 7
y(个) 60095 60180 60255 60320 60375 60420 60455
x(棵) 8 9 10 11 12 13 14
y(个) 60480 60495 60500 60495 60480 60455 60420
我们看到，增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多，为60500个．
下面我们再看一个生活中的问题．
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化 ( http: / / www.21cnjy.com )的，也就是说，利率是一个变量．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．
一年到期的本息和是 ( http: / / www.21cnjy.com )100＋100x＝100(1＋x)，第二年转存后到期的本息和为100(1＋x)＋100(1＋x)x＝100(1＋x)2，所以y=100(1＋x)2＝100x2＋200x＋100．若考虑利息税(利息税为20％)，每100元的利息税为20x，则y＝100(1＋0.8x)2=64x2＋160x＋100．
拓展 由以上两个情境我们知道，它们都具有y＝ax2＋bx＋c的形式(a，b，c是常数，a≠0)．
知识点2 二次函数的定义
一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．
拓展 (1)任何一个二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的解析式，都可以化成y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，因此，把y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式．(2)在一般式中，只有a≠0时，y=ax2＋bx＋c才是二次函数；当a=0时，y＝bx＋c，若b≠0，则它是一次函数，若b＝0，则y=c是一个常函数．(3)在y=ax2＋bx＋c中，x的取值范围是全体实数，且按x的降幂排列．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程．
┃规律方法小结┃判断一个函 ( http: / / www.21cnjy.com )数是否是二次函数，不能只从表面看，而应紧扣二次函数的定义进行类比，若函数的形式较复杂，可以进行恒等变形，转化为一般式，再给予判断．
课堂检测
基本概念题
1、在下列函数中，y是x的二次函数的是 ( )
A．x＋y2－1=0
B．y＝(x＋1)(x－1)－(x－1)2
C．y=2＋
D．x2＋3y－2＝0
2、在下列函数关系中，可以看做二次函数y＝ax2＋bx＋c的模型的是 ( )
A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶时间的关系
B．某地区人口自然增长率为l％，这个地区的人口总数随年份变化的关系
C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
D．圆的周长与圆的半径的关系
基础知识应用题
3、在半径为4 cm的圆中 ( http: / / www.21cnjy.com )挖去一个半径为x cm的圆面，剩下的圆环面积为y cm2，则y与x之间的函数关系式为 （ ）
A．y=πx2－4 B．y=π(2－x)2
C．y＝－(x2＋4) D．y=－πx2＋16π
综合应用题
4、如图2－1所示，矩形的长为4 cm，宽为3 cm，如果将其长与宽都增加x(cm)，那么面积增加y(cm2)．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)上述函数是什么函数
(3)自变量x的取值范围是什么
5、如图2 - 2所示，已知一个三角形纸片A ( http: / / www.21cnjy.com )BC，面积为25，BC边的长为10，∠B与∠C都为锐角，M为AB边上的一动点(M与点A，B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝x，S△AMN＝y，试求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
探索与创新题
6、设直线y=kx＋b(k≠0)与二次函数y＝ax2的图象的两个交点的横坐标分别为x1和x2，且直线与x轴交点的横坐标为x3，求证
体验中考
小李想用篱笆围成一 ( http: / / www.21cnjy.com )个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃ 先将函数式进行变形x转化为用；的代数式表示y的形式，再类比二次函数的定义．把A变形为y2＝－x＋1，自变量x的最高次数不是2，y的次数不是1，故A不是．把B变形为y＝2x－2，自变量x的最高次数不是2，故B不是．因为C的右边是关于x的无理式，不是整式，故C不是．把D变形为y=－x2＋，符合二次函数的定义．故选D．
【解题策略】要判断一个函 ( http: / / www.21cnjy.com )数是不是二次函数，应先把关系式化简整理成y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，再来判断．判断时要根据以下三点：(1)函数的关系式是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于零．要同时具备这三点才是二次函数．
2、┃分析┃A中的速度=，所以速度与时间是反比例关系．B中人口总数与年份的关系很难确定．D中圆的周长C＝2πr，周长与半径成正比例关系．故选C.
【解题策略】解此题的关键是准确列出各关系式，再作出判断．
3、┃分析┃ 剩下的圆环面积应为π( ( http: / / www.21cnjy.com )R2－r2)，其中R和r分别为大圆和小圆的半径．由题意得y＝π(42－x2)=-πx2＋16π.故选D．
【解题策略】准确运用圆的面积公式．
4、┃分析┃ 根据题意建立x与y之间的关系式，然后用含x的
代数式表示y，使y的系数为1．
解：(1)根据题意，得y＝(4＋x)(3＋x)－3×4＝12＋7x＋x2－12＝x2＋7x．
(2)上述函数是二次函数．
(3)x≥0．
【解题策略】解此题的关键是运用数形结合思想．
5、┃分析┃本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的面积比等于相似比的平方，而x的取值范围应根据MN所处的位置判定．
解：∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴．
而BC＝10，S△ABC＝25，∴y=x2(0
6、┃分析┃ 因为两个函数图象的交点 ( http: / / www.21cnjy.com )是两个图象的公共点，交点的坐标是由这两个函数解析式联立而成的方程组的解，其横坐标就是由方程组消去y所得的关于x的一元二次方程的解，不需要解方程，可根据根与系数的关系求出x1x2，x1＋x2的值．
证明：由题意得将①代入②，得ax2－kx－b＝0．
∵x1，x2是两个函数图象的交点的横坐标，
∴x1，x2是方程ax2－kx－b＝0的两个根，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴
又∵直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴交点的横坐标为x3，
∴0=kx3＋b，∴x3=
【解题策略】对于一次函数式与二次函数式联立以后求一元二次方程的解的问题，要注意根与系数的关系的应用，有时会给解题带来很多方便．
体验中考
┃分析┃根据矩形的面积公式来确定解析式．
解：根据题意，得S＝·x=-x2＋30x．
即S＝－x2＋30x，自变量x的取值范围是0＜x＜30．
22．1．3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象(二)
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、掌握二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象；
2、掌握二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质；
3、掌握抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的性质；
【重点难点】
1、二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象；
2、二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质；
3、抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的性质；
知识概览图
图象：与二次函数y=ax2的图象形状相同，只是位置不同，可由y=ax2的 图象沿x轴经过左、右平移得到
①当a＞0时，开口向上，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大，顶点是抛物线的最低点，即当x=h时，ymin＝0
②当a＜0时，开口向下，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，顶点是抛物线的最高点，即当x＝h时，ymax＝0
新课导引
还记得上节我们提到的永和桥吗 如果建立如右图所示的平面直角坐标系，你还能求出该抛物线的解析式吗
【问题探究】该抛物线可以看 ( http: / / www.21cnjy.com )成是由抛物线y＝ax2向右平移175个单位得到的，其顶点坐标为(175，0)，因此可设其解析式为y＝a(x－175)2，由A(0，－85)可得－85＝1752a，解得a≈－0.0028．
【解析】 解析式为y＝－0.0028(x－175)2．
教材精华
知识点1二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象
在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝(x－1)2，y＝(x＋1)2的图象．
(1)列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 4 1 0 1 4 …
y=(x－1)2 … 4 1 0 1 4 …
y=(x＋1)2 … 4 1 0 1 4 …
(2)描点．
(3)连线，如图所示．
拓展 函数y＝a(x－h)2与y＝ax ( http: / / www.21cnjy.com )2的图象形状相同，位置不同．函数y＝a(x－h)2的图象可由函数y＝ax2的图象经过左、右平移得到．当h＞0时，函数y＝a(x－h)2的图象可以看成是将函数y＝ax2的图象向右平移|h|个单位得到的；当h＜0时，函数y＝a(x－h)2的图象可以看成是将函数y＝ax2的图象向左平移|h|个单位得到的．
抛物线y＝a(x－h)2与抛物线y＝ax2之间的关系可见下表：
y=ax2(a≠0) 向左平移|h|个单位 向右平移|h|个单位
y=ax2(a＞0) y=a(x－h)2(a＞0，h＜0) y＝a(x－h)2(a＞0，h＞0)
y=ax2(a＜0) y=a(x－h)2(a＜0，h＜0) y=a(x－h)2(a＜0，h＞0)
知识点2抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的性质
抛物线y＝a(x－h)2的对称轴是直 ( http: / / www.21cnjy.com )线x＝h，顶点坐标为(h，0)．当a＞0时，抛物线的开口向上，在直线x＝h的左侧，抛物线呈下降趋势，在直线x＝h的右侧，抛物线呈上升趋势，顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线的开口向下，在直线x=h的左侧，抛物线呈上升趋势，在直线x＝h的右侧，抛物线呈下降趋势，顶点是抛物线的最高点．
拓展 抛物线y＝a(x－h)2的性质与抛物线y＝ax2的性质既有相同点，也有不同点，如下表所示：
函 数 对称轴 顶点坐标 抛物线的趋势 最低(高)点
y=ax2 y轴 (0，0) 当a＞0时，在对称轴左侧，抛物线呈下降 ( http: / / www.21cnjy.com )趋势，在对称轴右侧，抛物线呈上升趋势；当a<0时，在对称轴左侧，抛物线呈上升趋势，在对称轴右侧，抛物线呈下降趋势 当a＞0时，y＝ax2的图象有 ( http: / / www.21cnjy.com )最低点(0，0)，y＝a(x－h)2的图象有最低点(h，0)；当a＜0时，y=ax2的图象有最高点(0，0)，y＝a(x－h)2的图象有最高点(h，0)
知识点3 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质
二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)有如下性质：
(1)二次函数y＝a(x－h) ( http: / / www.21cnjy.com )2(a＞0)，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＝h时，函数有最小值是0．
(2)二次函数y＝a(x－h)2( ( http: / / www.21cnjy.com )a＜0)，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时,y随x的增大而减小，当x＝h时，函数有最大值是0．
拓展 对于二次函数y＝a( ( http: / / www.21cnjy.com )x－h)2(a≠0)图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当a＞0时，若|x1－h|＜|x2－h|，则y1＜y2；当a＜0时，若|x1－h|＜|x2－h|，则y1＞y2；而对于任何a≠0，若|x1－h|＝|x2－h|，则y1＝y2．
课堂检测
基础知识应用题
1、在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2与y＝－(x－1)2的图象，并根据图象回答下列问题．
(1)抛物线y＝－(x－1)2可以看成是将抛物线y＝－x2作怎样的平移得到的
(2)求函数y＝－(x－1)2的图象的对称轴；
(3)求函数y＝－(x－1)2的最值．
综合应用题
2、二次函数y＝(x－k)2与直线y＝kx(k＞0)的图象在同一直角坐标系中的大致位置是(如图所示) ( )
3、已知二次函数y1＝a(x－h)2与直线y2＝kx＋b的图象交于A，B两点，其中A(0，－1)，B(1，0)．
(1)求二次函数和直线的解析式，并画出这两个函数的图象；
(2)当y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2时，分别求出自变量x的取值范围．
探索创新题
4、如图所示，下列说法正确的是 ( )
A．当y1＜y2时，自变量x的取值范围不能确定
B．当y1＜y2时，－1＜x＜3
C．当y1＜y2时，－1≤x≤3
D．当y1＜y2时，x＜－1或x＞3
体验中考
1、抛物线y＝－2x2－4x－5经过平移后得到抛物线y＝－2x2，平移方法是 ( )
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
2、二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是 ( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 用描点法画出图象后，可根据图象回答问题．
解：函数y=－x2与y=－(x－1)2的图象如图所示．
(1)抛物线y＝－(x－1)2可以看成是将抛物线y＝－x2向右平移1个单位长度得到的．
(2)函数y＝－(x－1)2的图象的对称轴是直线x＝1．
(3)对于函数y＝－(x－1)2，当x＝1时，y有最大值，最大值是0．
【解题策略】 本题主要考查二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象与性质，要注意与y＝ax2(a≠0)对比学习，从而得出抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)与y＝ax2(a≠0)形状相同，只是位置不同的结论．
2、分析 ∵k＞0，∴直线y＝kx经 ( http: / / www.21cnjy.com )过第一、三象限，而抛物线y＝(x－k)2可以看成是将抛物线y＝x2向右平移k个单位长度得到的．故选B.
【解题策略】 解决此类问题时，关键是掌握各种函数的性质及图象的特征，再根据已知条件综合考虑问题，从而得出答案．
3、分析 可先利用待定系数法和方程组的思想求出两个函数的解析式，然后结合图象求出自变量的取值范围．
解：(1)∵函数y1＝a(x－h)2与y2＝kx＋b的图象交于A，B两点，
∴解得
∴二次函数的解析式为y＝－(x－1)2，直线的解析式为y＝x－1．
图象如图所示．
(2)由图象可知，当x＜0或x＞1时，y1＜y2；当x＝0或x＝1时，y1＝y2；当0＜x＜1时，y1＞y2.
【解题策略】 两个函数的图象交于A，B两点，说明点A和点B同时在两个函数的图象上，可以列出方程组求出字母的值，进而求出函数解析式．
4、分析 由图象可知，当y1＝ ( http: / / www.21cnjy.com )y2时，x1＝－1，x2＝3，若抛物线在直线的下方，则对应的自变量的取值范围是一1
1、分析 解决此题的关键是先将函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝－2x2－4x－5配方为y＝－2(x＋1)2－3，然后确定其顶点坐标，再根据顶点坐标相对于原点的位置来确定平移的情况，即由点(－1，－3)到点(0，0)，平移方法是先向右平移1个单位，再向上平移3个单位即可．故选D．
2、分析 二次函数y＝(x－1)2＋2的图象开口向上，顶点坐标为(1，2)，故当x＝1时，y取得最小值2．故选A.
2.4二次函数y=ax2＋bx＋c的图象(一)
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．能够作出y=a(x-h) ( http: / / www.21cnjy.com )2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
【重点难点】
1.理解y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系，理解a、h和k对二次函数图像的影响。
2.y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的关系，y=a(x-h)2+k的图象性质。
知识概览图
二次函数y=a(x－h)2及y=a(x－h)2+k
的图象及其性质
新课导引
【生活链接】在计算机上作出y＝ax2(a≠0)的图象，拖动鼠标可以得到下列一些图象(如下图所示)．
( http: / / www.21cnjy.com )
【问题探究】通过观察上述图象，你能发现它们的关系吗
【点拨】这四个图象是通过拖动鼠标得到的，它们的形状相同，只是位置不同；还可以知道其中任意图象都能由某一图象经过平移得到．
教材精华
知识点1 二次函数y=a(x－h)2的图象的作法及其性质
二次函数y＝3x2－6x＋5的图象是什么形状 它与我们前面讲过的二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象有什么关系
y=3x2－6x＋5=3(x2－2x＋)=3［(x－1)2－1＋］=3(x－1)2＋2，如果能作出y＝3(x－1)2的图象，就可依据y=ax2＋k作出y=3(x－1)2＋2的图象．
例如：作出y＝3x2，y＝3(x＋1)2及y＝3(x－1)2的图象．
解：列表如下．
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=3x2 12 3 0 3 12
y=3(x+1)2 12 3 0 3 12
y=3(x-1)2 12 3 0 3 12
描点、连线，图象如图2 - 44所示．
由图象我们看到，y=3(x－1)2和y＝3(x＋1)2的图象的对称轴和顶点坐标与y＝3x2相比都变了，但开口方向和形状相同，如下表．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=3x2 向上 y轴（x=0） (0，0)
y=3(x－1)2 向上 x=1 (1，0)
y=3(x＋1)2 向上 x=－1 (－1，0)
( http: / / www.21cnjy.com )
抛物线y＝3x2和抛物线y=3 ( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)2，y=3(x＋1)2相比，形状相同，只是位置不同，y=3(x－1)2和y=3(x＋1)2的括号内是x－1时，抛物线y=3x2沿x轴向右平移一个单位，得到y=3(x－1)2的图象；括号内是x＋1时，抛物线y＝3x2沿x轴向左平移一个单位，得到y=3(x＋1)2的图象．
正是基于上面的原因，将抛物线此类型写成y＝a(x－h)2的形式，而不是y=a(x＋h)2的形式．
┃规律方法小结┃二次函数y＝a( ( http: / / www.21cnjy.com )x－h)2的图象及其性质如下：(1)二次函数y＝a(x－h)2的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h，0)，对称轴是x＝h．(2)当a＞0时，图象开口向上，有最低点，即顶点(h，0)，当x＝h时，y最小值=0．在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
当a＜0时，图象开口向下，有最高点，即顶点(h，0)，当x＝h时，y最大值＝0．在对
称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随x的增大而减小．
知识点2 抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系
由y=3x2，y＝3(x－ ( http: / / www.21cnjy.com )1)2和y＝3(x＋1)2的图象，我们知道抛物线y＝3x2沿x轴向左、右平移可得到y＝3(x＋1)2和y=3(x－1)2的图象．当h＞0时，向右平移┃h┃个单位，在y＝3(x－1)2中，1＞0，向右平移一个单位．当h＜0时，向左平移┃h┃个单位，在y=3(x＋1)2＝3[x－(－1)]2中，－1＜0，向左平移一个单位．
例如：作出y＝－x2，y＝－(x－1)2，y=－(x＋1)2的图象．
解：列表如下．
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y =－x2 －2 －0.5 0 －0.5 －2
y =－(x－1)2 －2 －0.5 0 －0.5 －2
y =－(x＋1)2 －2 －0.5 0 －0.5 －2
描点、连线，图象如图2 - 45所示．
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┃规律方法小结┃抛物线y＝a ( http: / / www.21cnjy.com )(x－h)2与y=ax2的关系：(1)抛物线y＝a(x－h)2与y=ax2的图象形状相同，但位置不同；(2)抛物线y＝a(x－h)2的图象可由y＝ax2的图象沿x轴向左或向右平移┃h┃个单位而得到．当h＞0时，向右平移┃h┃个单位，当h＜0时，向左平移┃h┃个单位．
知识点3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象及其性质
二次函数y＝3(x－1)2＋2的图象与二次函数y＝3(x－1)2的图象有什么关系 它的对称轴、开口方向、顶点坐标分别是什么
例如：在同一平面直角坐标系中，作出y=3x2，y＝3(x－1)2，y＝3(x－1)2＋2的图象．
解：列表如下．
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y =3x2 12 3 0 3 12
y =3(x－1)2 12 3 0 3 12
y =3(x－1)2+2 14 5 2 5 14
描点、连线，图象如图2 - 46所示．
我们知道，抛物线y=a(x－h)2＋k中的a决定开口方向，对称轴是x=h,顶点坐标是(h，k)．
y＝3x2＝3(x－0)2＋0，
y＝3(x－1)2=3(x－1)2＋0，
y＝3(x一1)2＋2．
观察到a＝3＞0，开口向上．对称轴依次是y轴(x＝0)，x＝l，x＝1．顶点坐标依次是(0，0)，(1，0)，(1，2)．
一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k有如下结论：
(1)当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．
(2)顶点坐标是(h，k)．
(3)对称轴是直线x=h．
┃规律方法小结┃本节是在研究了 ( http: / / www.21cnjy.com )简单的二次函数y=ax2和y=ax2＋k的基础上，研究y＝a(x－h)2和y=a(x－h)2＋k的图象的性质及其作法．在学习中不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练作出抛物线的草图，结合图象研究函数的性质以及不同图象之间的相互关系．
二次函数y=a(x－ ( http: / / www.21cnjy.com )h)2＋k的图象及其性质：(1)二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，它的顶点坐标是(h，k)，对称轴是x=h．当a＞0时，图象开口向上，有最低点，即顶点(h，k)，当x=h时，y最小值＝k．在对称轴的左侧(即x＜h)，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧(即x＞h)，y随x的增大而增大．当a＜0时，图象开口向下，有最高点，即顶点(h，k)，当x=h时，y最大值＝k．在对称轴的左侧(即x＜h)，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧(即x＞h)，y随x的增大而减小．(2)抛物线y＝a(x－h)2＋k与y=ax2的关系．抛物线y＝a(x－h)2＋k可由抛物线y＝ax2平移得到，它们的形状相同，只是位置不同．把y=ax2的图象先沿x轴向左或向右平移┃h┃个单位后，得到y=a(x－h)2的图象，再沿y轴向上或向下平移┃k┃个单位，便可得到y=a(x－h)2＋k的图象．(3)由于从y＝a(x－h)2＋k(a≠0)中可直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把y=a(x－h)2＋k(a≠0)叫做二次函数的顶点式，而y=ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数的一般式．
课堂检测
基础知识应用题
1、已知二次函数y＝－(x－1)2＋4．
(1)作出函数的图象；
(2)求此图象与x轴、y轴的交点坐标；
(3)根据图象，说出x取哪些值时，函数值y＝0，y＞0，y＜0．
2、填写下表．
抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数最大（小）值
y =－2(x－1)2
y =(x＋2)2－1
y =－(x－6)2+5
y =(x＋3)2+2
综合应用题
3、某公司推出一种 ( http: / / www.21cnjy.com )环保器材，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，图2 - 48刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题．
(1)根据已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止到几月末，公司累积利润可达到30万元；
(3)第8个月公司所获利润是多少万元
探索与创新题
4、阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．
例如：由抛物线y=x2－2mx＋m2x＋2m－1①，有y=(x－m)2＋2m－1②，
则抛物线的顶点坐标为(m，2m－1)，即
当m的值变化时，x，y的值也随之变化，同时y的值也随x的值的变化而变化，
将③代入④，得y=2x－1⑤．
可见，不论m取何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=2x－1．回答下列问题．
(1)上述过程中，由①到②所用的数学方法是 ，其中运用了 公式，由③④到⑤所用的数学方法是 ；
(2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x2－2mx+2m2－3m+1的顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式．
体验中考
1、若抛物线y=(x+1)2－2与x轴的正半轴相交于点A，则点A的坐标为
A．(－1－，0) B．(，0)
C．(－1，一2) D．(－l+，0)
2、将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是 ( )
A．y＝(x－1)2+2 B．y＝(x+1)2+2
C．y=(x－1)2－2 D．y＝(x+1)2－2
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃利用二次函数y=a(x－h)2＋k的图象和性质解题．
解：(1)列表如下．
x －1 0 1 2 3
y =－(x－1)2+4 0 3 4 3 0
描点、连线，图象如图2 - 47所示．
(2)当y＝0时，－(x－1)2＋4＝0，得x1=－l，x2=3．
即抛物线与x轴的两个交点坐标是(－l，0)，(3，0)．
当x=0时，y=3，即抛物线与y轴的交点坐标是(0，3)．
(3)抛物线与x轴的两个交点把x轴分成三段：x≥3，－l＜x＜3，x≤－1．
当x＝－1或x＝3时，y＝0；
当－l＜x＜3时，y＞0；
当x＜－l或x＞3时，y＜0．
【解题策略】注意在画二次函数图象时，若抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线与x轴有交点，最好选取交点描点，特别是在作抛物线的草图时，应抓住以下五点；①开口方向；②对称轴；③顶点；④与x轴的交点(指有交点时)；⑤与y轴的交点．解此题还要注意数形结合思想的运用．
2、┃分析┃应根据y=a(x－h)2＋k的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质填表．a决定开口方向和开口大小，对称轴为x=h，k，h决定移动的方向和长度，顶点坐标为(h，k)．填写过程如下：
抛物线y＝－2(x－1)2的开口向下，顶点坐标为(1，0)，对称轴为x＝1，当x＝l时，y最大值=0．
抛物线y＝(x＋2)2－1的开口向上，顶点坐标为(－2，－1)，对称轴为x=－2，当x=－2时，y最大值＝－1．
抛物线y＝－(x－6)2＋5的开口向下，顶点坐标为(6，5)，对称轴为x＝6，当x＝6时，y最大值＝5．
抛物线y＝(x＋3)2＋2的开口向上，顶点坐标为(－3，2)，对称轴为x＝－3，当x＝－3时，y最小值＝2．
【解题策略】熟练理解、掌握二次函数y=a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象及其性质是解此题的关键．
3、┃分析┃解此题的关键是看懂图，充分利用图中所给的信息解答．
解：(1)由图象知抛物线上的三点坐标分别为(2，－2)，(5，2．5)，(1，－1.5)．
设抛物线的解析式为S＝a(t－2)2－2，
∴2.5=a(5－2)2－2，解得a=，
∴抛物线的解析式为S＝(t－2)2－2．
(2)当S＝30时，即30＝(t－2)2－2，解得t1＝10，t2＝－6(不合题意，舍去)，∴t＝10．即截止到10月末，公司累积利润可达到30万元．
(3)当t=8时，S=(8－2)2－2=16；当t=7时，S=(7－2)2－2＝10.5．
∴16－10.5＝5.5(万元)．∴第8个月公司所获利润是5.5万元．
【解题策略】利用图象信息解决实际问题，注意数形结合思想的运用．
4、┃分析┃读懂阅读材料是解题的关键．
解：(1)配方法 完全平方 消元法
(2)∵y=x2－2m+2m2－3m+1=(x－m)2+m2－3m+l，
∴将①代入②，得y=x2－3x+1，
即顶点的纵坐标y与横坐标χ之间的关系式为y=x2－3x+1．
【解题策略】类比操作能力是衡量自学能力和基本 ( http: / / www.21cnjy.com )数学能力的标尺，类比操作不是简单的模仿，而是要求解题者理解和掌握例题求解的思想方法，能够灵活应用这种思想方法解决问题．
体验中考
1、┃分析┃本题主要考查二次函数的相关知识．依题意得当y＝0时，即(x+1)2－2＝0，解得x＝－l或x＝-－1．因为点A在x轴的正半轴上，所以点A的坐标为(－l，0)．故选D.
【解题策略】利用抛物线与x轴的交点纵坐标等于0列方程求解．
2、┃分析┃由“左加右减，上加下减”的平移规律，可得平移后图象的函数解析式为y=(x－1)2+2．故选A.
2.5用三种方式表示二次函数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．
2．根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究．
3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点．
【重点难点】
1.分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．
2.根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
知识概览图
新课导引
【生活链接】前面我们 ( http: / / www.21cnjy.com )学习了函数的三种表示方式，这三种表示方式各有不同的优点，它们服务于不同的需要．如，篮球教练在给运动员讲解不同的投篮点时，一般采取图象法．
【问题探究】从上面的生活实例可以知道函数的三种表示方式各有不同的优点，通常根据它们的优点被应用．那么它们都具有哪些优点呢
【点拨】解析法简单、明了 ( http: / / www.21cnjy.com )，通常能从解析式中了解到整个变化过程中自变量与函数间的关系，适用于理论分析和计算推理．列表法一目了然，不用计算就能查到函数与自变量的对应值．图象法直观，容易找出自变量取某一个值时所对应的函数值，且可以明显看出自变量与函数之间的变化趋势．因此，它们服务于不同的需要．
教材精华
知识点1 二次函数的三种表示方式
两种相关联的变量之间的二次函数关系可以用三种不同的形式来表示．
(1)用等式表示(解析法)．
用等式表示一个变量是另一个变量的函数的方法叫做解析法．这个等式叫做函数解析式(或函数关系式)．教材中叫做函数表达式．
例如：S＝30t，S＝πr2，y= ,v=πr3 ,y＝等等．
拓展 函数表达式简单、明了，通常 ( http: / / www.21cnjy.com )能从表达式中了解到整个变化过程中自变量与函数间的关系，适用于理论分析和计算推理，但并不是所有的函数关系都能用公式表示．在生产和生活中，有些函数关系，如气象站每隔一段时间观测某地一昼夜温度随时间变化的情况，一般不能构成函数表达式．
(2)用表格表示(列表法)．
用表格表示一个变量是另一个变量的函数的方法叫做列表法．
例如：某地一天昼夜间温度变化情况的记录如下．
时间（时） 0 2 4 6 8 10 12
温度（°C） -2 -3 -4 0 4 7 9
时间（时） 14 16 18 20 22 24
温度（°C） 10 8.5 7 1 1 -2
平方根表、平方表等数学用表，都是用列表法表示函数的．
拓展 列表法一目了然，不用计 ( http: / / www.21cnjy.com )算就能查到函数与自变量的对应值，但是往往难于把全部对应值列出来．因此，列表法有一定的局限性，而且很难了解函数与自变量间深层的变化规律．
(3)用图象表示(图象法)．
把自变量x的一个值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，所有这些点的集合叫做这个函数的图象．
用图象表示一个变量是另一个变量的函数的方法叫做图象法．
例如：如图2－66所示的是气球周围的温度T(℃)和气球距离地面的高度h(km)之间的函数关系．
拓展 图象法容易找出自变 ( http: / / www.21cnjy.com )量取某一个值时所对应的函数值，且可以明显地看出自变量与函数之间的变化趋势，所以图象法是研究变量之间关系十分有用的方法．
知识点2 二次函数表达式的三种形式
二次函数的解析式可以用三种不同形式表达．
(1)一般式：把函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )ax2 +bx+c(a,b,c是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式．它是解决有关二次函数问题最基本、使用最广泛的一种形式．
例如：已知抛物线过A(―1，―9)，B(1，―3)，C (3，―5)三点，求抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将A(―l，―9)，B(1，―3)，C(3，―5)三点分别代入抛物线的解析式，
∴y=－x2+3x―5．
其规律是：已知三点，用一般式y＝ax2 +bx+c求解析式．
(2)顶点式：把函数y＝a(x―h)2 +k(a，h，k为常数，a≠0)叫做二次函数的顶点式．
运用配方法，将二次函数的一般式变形：
y＝ax2 +bx+c＝a即把二次函数的一般式转化为顶点式．
在解决与二次函数的顶点有关的问题时，使用顶点式比较方便．
例如：已知抛物线的顶点坐标为(―2，3)，且经过点(―1，7)，求抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y＝a(x―h) 2+k，
∵抛物线的顶点坐标为(―2，3)，∴h=－2，k＝3，∴y＝a(x+2)2 +3．
将(―1，7)代入解析式，得7＝a+3，∴a＝4，
∴y＝4(x+2) 2+3＝4x 2+16x+19．
其规律是：已知顶点坐标，用顶点式求解析式，但结果要化成一般式．
(3)两点式：把函数y＝a(x－x1) ( http: / / www.21cnjy.com )(x―x2 )叫做二次函数的两点式，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标，即―元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根(a≠0)．
经过配方，二次函数y＝ax2 +bx+c＝a[]，
运用平方差公式将右端进行分解，
得，y=a(x－)(x－)．
因为一元二次方程ax2 +bx+c=0的两个根为x1， 2＝，所以上式写成y＝a(x―x1 )(x―x2)，其中x1，x2是方程ax2 ＋bx+c＝0的两个根，且x1，x2又为二次函数图象与x轴两个交点的横坐标．在解有关二次函数的图象与x轴交点坐标的问题时，使用两点式比较方便．
例如：已知二次函数y＝ax2 +bx+c，当x＝2时，y有最大值2，其图象在x轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式．
解：∵当x＝2时，函数的最大值是2，
∴抛物线的顶点坐标为(2，2)，对称轴方程是x＝2．
∵抛物线在x轴上截得的线段长为2，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(1，0)，(3，0)．
设抛物线的解析式为y＝a(x―1)(x-3)，①
把(2，2)代入①，得2＝a(2―1)(2－3)，解得a＝―2，
∴y＝―2(x―1)(x―3)，即y=―2x2 +8x―6．
其规律是：已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，用两点式求解析式，但结果要化成一般式．
拓展 在解决二次函数问题时，可根据题目中的不同条件，选用不同形式的表达式来确定二次函数．
知识点3 自变量x的取值范围的确定
函数定义中明确规定“对于x ( http: / / www.21cnjy.com )在其变化范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应”，其含义是：(1)自变量的取值范围是受一定条件限制的，以保证函数的存在性；(2)对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，以保证函数的唯一性．
实际上，自变量的取值范围主要 ( http: / / www.21cnjy.com )是指当函数的解析式给定时，自变量的取值必须使解析式有意义．当函数反映的是实际问题时，除了要使函数解析式有意义外，还必须使实际问题有意义．
例如：求函数y=x2－2x中的自变量x的取值范围．
解：自变量x的取值范围是全体实数．
又如：已知等腰三角形的周长为20 cm，写出底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
解：函数关系式为y＝－2x+2 ( http: / / www.21cnjy.com )0，使－2x+20有意义的x为一切实数．若要使实际问题有意义，则既要考虑到边长为正数，又要满足三角形三边关系定理，
所以即解得5
函数的三种表示法及其优缺点 ( http: / / www.21cnjy.com )．①解析法．两个变量之间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法．解析法简单、明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的关系．但在求函数值时往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表示出来．②列表法．把自变量x的一系列值与函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法．列表法一目了然，对于表格中已有的自变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便．但列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律．③图象法．用图象表示一个变量与另一个变量的函数关系的方法叫做图象法．图象法直观，通过函数图象，可以形象地把函数关系表示出来，可以直接研究函数的一些性质．但其缺点是通过观察得到的只能是近似值．
二次函数解析式的 ( http: / / www.21cnjy.com )三种表示法．①一般式：y=ax2+bx+c(a，b,c为常数，a≠0)．②顶点式：y＝a(x―h) 2+k(a≠0)．③两点式：y＝a(x－x1)(x―x2)(a≠0)，其中x 1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根，也是图象与x轴的两个交点的横坐标．知道抛物线三点坐标，选用一般式；知道抛物线的顶点和图象上另一点的坐标，选用顶点式；知道抛物线与x轴的两个交点和图象上另一点的坐标，选用两点式．需要注意的是，一般情况下，最后结果要化成一般式．
课堂检测
基础知识应用题
1、根据下列表格中二次函数y＝ax ( http: / / www.21cnjy.com )2 +bx+c的自变量x与函数y的对应值，判断方程ax2 +bx+c＝0(a，b,c为常数，a≠0)的一个解x的范围是 ( )
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2 +bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04
A．6
3、已知一个二次函数的图象如图2 - 67所示．
(1)求该二次函数的对称轴；
(2)平行于x轴的直线l的解析式为y=，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线l与x轴间的距离，求点P的坐标．
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4、已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥O时，其图象如图2 - 69所示．
(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象；
(3)利用抛物线y=ax2+bx +c，写出x为何值时，y>0．
综合应用题
5、在以x为自变量的二次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数y＝－x2 +(2m+2)x－(m2 +4m―3)中，m为不小于0的整数，函数图象与x轴交于A，B两点，点A在原点的左边，点B在原点的右边．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)一次函数y＝kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且S△ABC=10,求一次函数的解析式．
探索与创新题
6、如图2 - 70所示， ( http: / / www.21cnjy.com )在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，点E为AD的中点，P在腰BC上且不与B，C重合，连接PD，PE，AB=18，CD=6，AD=16，设PC=x，
S△PDE＝y．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x为何值时，tan∠DPE=
(3)是否存在x，使S△DPC＝S梯形ABCD
7、如图2 - 7l所示，对称轴为直线x=的抛物线经过点A(6，0)和点B(0，4)．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)设点E(x，y)是抛物线上的一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)①当OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否
为菱形．
②是否存在点E，使OEAF为正方形 若存在，求出点E的坐标；若不存在，
请说明理由．
体验中考
1、初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -4 -2 …
根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2 +bx+c在x＝3时，y= .
2、如图2 - 74所示，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点(1，－5)和(－2，4)．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)设此抛物线与直线y＝x相交于点A，B(点B在点A的右侧)，平行于y轴的直线x＝m(0
3、如图2 - 76所示，ABCD中，AB＝4，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上的点A，B.
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃由表格信息可知 ( http: / / www.21cnjy.com )：当x＝6．18时，y＝―0.01<0，此点在x轴的下方，当x=6.19时，y＝0．02>0，此点在x轴的上方，故抛物线与x轴的交点必在这两点之间．故选C.
┃规律·方法┃运用二次函数的观 ( http: / / www.21cnjy.com )点来分析一元二次方程，可以借助抛物线来近似求解一元二次方程，在复习时应注意领会它们之间的特殊与一般的关系．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴位置是由a和b联合决定的，对称轴在y轴的右侧，a与b异号，对称轴在y轴的左侧，a与b同号；抛物线与y轴的交点的位置由常数项c决定，抛物线交y轴于正半轴，c>0，抛物线交y轴于负半轴，c<0，抛物线交y轴于原点，c＝0．
2、┃分析┃求抛物线的解析式的题设条件千变万化，经过各种变形，可以形成许多
难度较大的题目，所以本题有多种不同的解法．
解法1：由题设条件，根据顶点坐标公式，得
即即为所求的解析式．
解法2：由题设条件知(―2，0)是抛物线的顶点坐标，
∴设抛物线的解析式为y＝(x+2) 2+0=x 2+4x+4，
∴y＝x2 +4x+4即为所求的解析式．
解法3：由两点式y=(x―x 1)(x－x 2)知x 1=x2＝―2．
∴y=(x+2)(x+2)＝x 2+4x+4即为所求的解析式．
解法4：抛物线y＝x 2+px+q是由抛物线y＝x2向左平移2个单位得到的，
∴y＝(x+2) 2+0=x2+4x+4即为所求的解析式．
解法5：∵抛物线y＝x 2+px+q与x轴只有―个公共点，
∴△＝p2－4q=0．
又点(―2，0)在抛物线y＝x 2+px+q上，∴4－2P+q＝0，
∴y＝x2+4x+4即为所求的解析式．
解法6：∵抛物线y＝x 2+px+q与x轴交点的横坐标x＝―2是方程x 2+px+q＝0的根，∴x 1=x2＝―2，
x1 +x2＝―P＝－2－2＝―4，x1 x 2=q=―2×(―2)=4，∴P＝4，q＝4，
∴y=x2+4x+4即为所求的解析式．
【解题策略】熟练掌握二次函数解析式的三种形式，明确题设条件的特征，准确选用―般式、顶点式、两点式求二次函数的解析式是解此类题的关键．
3、┃分析┃已知三点，用一般式y=ax2+bx+c求解析式，化成顶点式即可求出对称轴．求点P的坐标时可利用勾股定理建立方程来求解．
解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据图象，解得
即y＝－x2+6x－3＝―(x―3)2 +6，∴抛物线的对称轴为x=3．
(2)由(1)得点B(3+，0)，
设点P的坐标为(3，y)，抛物线的对称轴与x轴交于C．
如图2 - 68所示，由勾股定理，得BP2＝BC2+PC2．
所以BP2＝(3+－3)2 +y2＝y 2+6．
∵直线l与x轴的距离是，∴y 2+6＝()2，解得y=，
∴所求点P的坐标为(3，)或(3，－)．
【解题策略】利用一般式确定二次函数的解析式，再利用勾股定理建立方程来解决问题．还要注意(2)不能丢解，即满足条件的点有两个．
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4、┃分析┃(1)已知三点，直接代入一般式即 ( http: / / www.21cnjy.com )可求得解析式．(2)根据抛物线的对称性，很容易画出x<0时的图象．(3)只要明确抛物线与x轴的两个交点，根据抛物线图象即可得出结论．
解：(1)由图象可知A(0，2)，B(4，0)，C(5，―3)．
把A．B，C三点坐标分别代入y=ax2+bx+c，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2 + x+2，顶点坐标为(，)．
(2)如图2 - 69中虚线所示．
(3)∵当－x 2+x+2=0时，x1＝4，x 2=－l，
∴当―1
【解题策略】随着新课标的全面推广，二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数知识难度已经有所下降，但根据图像信息由抛物线上三个点的坐标确定二次函数的解析式是基本技能，如何画抛物线以及由抛物线观察函数值y在自变量x取何值时大于0或小于0，将成为中考探究性问题命题的热点．
5、┃分析┃要求二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的解析式，就需确定m的值．由于该函数图象与x轴有两个不同的交点，所以对应的一元二次方程的△>0，再注意到这两个交点的位置及m是非负整数的条件，便可确定m.由于一次函数y=kx+b经过点A，所以只需求出另一交点C的坐标，应注意条件S△ABC=10．
解：(1)∵二次函数y＝－x2 +(2m+2)x―(m2 +4m―3)的图象与x轴有两个不同的交点，
∴方程x2―(2m+2)x+(m2+4m―3)=0有两个不相等的实数根，
∴△=4(m+1)2―4(m2 +4m―3)>0，即m<2．
又∵m是不小于0的整数，∴m=1或m＝0．
当m＝0时，二次函数为y=－x 2+2x+3，
它的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(―l，0)，(3，0)，符合题意．
当m＝1时，二次函数为y＝－x2+4x―2，
它的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(2―，0)，(2+，0)，
这两个点都在原点的右边，不合题意，∴m=1舍去．
故所求二次函数的解析式为y＝－x2 +2x+3．
(2)∴A(―l，0)，B(3，0)，∴AB＝3―(―1)＝4．
设点C的坐标为(x0，y0)，
则S△ABC＝AB·┃yO┃=2｜y0│=10，解得｜y0｜=5．
∵抛物线y＝―x2+2x+3的开口向下，顶点坐标为P(1，4)，∴y0=―5．
又∵点C在抛物线上，∴―5＝―x20 +2x0+3，即x20―2x0―8=0，
解得x0＝―2或x0＝4，∴点C的坐标为(―2，―5)或(4，―5)．
∴一次函数的图象过A(―l，0)，C(―2，―5)的解析式为y＝5x+5，
一次函数的图象过A(―1，0)，C(4，―5)的解析式为y＝―x―1．
【解题策略】解此题可画草图辅助理解、分析．
6. ┃分析┃本题属于存在探索题，即当点P在腰BC上时，是否存在△PDC，使S△DPC＝S梯形ABCD．解题方法是假设存在满足条件的△DPC，经过推理、计算，看是否能推出矛盾，若能推出矛盾则不存在；若不能推出矛盾，则存在．
解：(1)作CF⊥AB于F，PG⊥AB于G，
反向延长PG，与DC的延长线交于Q，作PM⊥AD于M．
∵CF＝AD=16，BF＝AB－CD=18－6＝12，
∴BC= =20．
∵PC=x,∴PB＝20－x，BG=PBcosB=PB·＝(20－x)×，
∴PM=AG=18－(20－x)=x+6．
∵E为AD中点，∴DE=AD=8，
∴y=S△PDE＝DE·PM＝(x+6)×4＝x+24(0
∴tan∠DPE=
(3)由S△DPC＝ S梯形ABCD，有CD·PQ＝×(18+6)×16，
∴PQ＝32>AD，不合题意，∴不存在x，使S△DPC＝S梯形ABCD．
【解题策略】此题为条件探究题，要灵活运用基础知识，通过观察、比较、分析、推理等一系列探究，寻找到隐含的条件，从而达到解题目的．
7. ┃分析┃用代入法求出抛物线的解析式，即可知顶点坐标， OEAF的面积S＝2S△OAE ，易得S与 x之间的函数关系式．由S＝24先求出点E的坐标，再判断OEAF是否为菱形．先假设存在点E，使OEAF为正方形，求出点E的坐标，再判断此点是否在抛物线上．
解：(1)由于抛物线的对称轴是x＝，所以可设解析式为y＝a(x－ ) 2+k．
把A，B两点坐标代入上式，得
故抛物线的解析式为
顶点坐标为(，―)．
(2)∵点E(x，y)在抛物线上，且位于第四象限,
∵坐标适合y= (x－)2―，且y<0，
即―y>0，―y表示点E到OA的距离．
∵OA是OEAF的对角线，
∵S=2S△OAE =2
=－6y=－4(x－)2+25=－4x2 +28x－24．
令S＝0，即―4x2 +28x―24=0，解得x1＝l，x2＝6，
∴抛物线与x轴的两个交点是(1，0)和(6，0)，
∴自变量x的取值范围是1
化简得(x―)2＝，解得x1＝3，x2=4．
故所求的点E有两个，分别为E1(3，―4)，E2(4，―4)．
点E1(3，―4)满足OE＝AE，∴OEAF是菱形．
点E2(4，―4)不满足OE=AE，∴OEAF不是菱形；
②当OA⊥EF，且OA＝EF时， OEAF是正方形，
此时点E的坐标只能是(3，―3)，而坐标为(3，―3)的点不在抛物线上．
故不存在点E，使 OEAF为正方形．
【解题策略】本题是一道二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数与四边形的综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式等方面的内容，也包含对基本技能、探索开放思维的考查，可作为压轴题．
体验中考
1、┃分析┃根据题意，得当x=3时，y=－×9+3－2=－4.故填－4.
【解题策略】利用图表中任意三 ( http: / / www.21cnjy.com )对数值代入二次函数的一般式中，即可求出二次函数的解析式，再求当x＝3时，y的值．但要注意，在选各对数值时，要考虑计算简便．
2、┃分析┃用代入法求出抛物线的解析式，再解其与直线y＝x所组成的方程组即可得到A，B的坐标．点M在x轴下方，求MN的长时要注意符号．
解：(1)由题意得解得
∴此抛物线的解析式为y＝x2－2x－4．
(2)由题意得解得
∴点B的坐标为(4，4)．
将x＝m代入y＝x，得y＝m，∴点N的坐标为(m，m)．
点M的坐标为(m，m2－2m－4)，点P的坐标为(m，0)．
∴PN＝│m│，MP＝│m2－2m－4│．
∵0
如图2 - 75所示，BC＝4－m，OP＝m．
S＝MN·OP+MN·BC＝2(－m2+3m+4)
=-2(m－)2+12．
∵－2<0，∴当m－＝0，即m=时，S有最大值．
3、┃分析┃结合平行四边形和抛物线的性质求解．
解：(1)在ABCD中，CD∥AB且CD＝AB＝4，
∴点C的坐标为(4，8)．
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，
则AH＝BH＝2，∴点A，B的坐标为A(2，0)，B(6，0)．
(2)由抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为C(4，8)，
可设抛物线的解析式为y＝a(x－4)2＋8，
把A(2，0)代入上式，解得a＝－2．
设平移后抛物线的解析式为y＝－2(x－4)2+8+k，
把(0，8)代入上式，得k＝32，
∴平移后抛物线的解析式为y＝－2(x－4)2+40．
即y＝－2x2+16x+8．
2.6何时获得最大利润
学习目标、重点、难点
【学习目标】
体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。
掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。
【重点难点】
1.应用二次函数解决实际问题中的最值。
2.能正确理解题意，找准数量关系。
知识概览图
新课导引
【生活链接】某商店经营T恤衫， ( http: / / www.21cnjy.com )已知成批购进时单价是2.5元．根据市场调查，月销售量与销售单价之间满足如下关系：在―段时间内，单价是13.5元时，月销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件．
【问题探究】请你帮助分析一下，当销售单价是多少时，获利最多
教材精华
知识点1 二次函数的最值在实际问题中的应用
求实际问题中二次函数的最值时，一般是求二次函数的条件最值，这就要求在列函数解析式的同时，应求出自变量x的取值范围．
下面我们来研究“生活链接”中的实际问题．
设销售单价为x(0＜x≤13.5)元，则：
月销售量为500＋200(13.5－x)＝3200－200x，
销售额为x(3200－200x)=3200x－200x2，
所获利润为(x－2.5)(3200－200x)＝－200x2＋3700x－8000．
当销售单价是9.25元时(x＝－)，可以获得最大利润，
最大利润是9112.5元(y＝)．
拓展 函数应用题主要考查学生应用数学知识分析和解决实际问题的能力，把实际问题转化成“函数模型”是解决实际应用问题的关键．
知识点2 求二次函数最值的方法
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当自变量x为全体实数时，求它的最大值和最小值常用的方法有三种．
(1)配方法．
y=ax2＋bx＋c=a(x2＋x＋)=a
=a
若a＞0，则当x＝－时，y最小值=;
若a＜0，则当x＝－时，y最大值=．
(2)公式法．
直接使用上述由配方法得到的结论．
(3)判别式法．
在y=ax2＋bx＋c(a≠0)中，把y看做已知数，
得到关于x的一元二次方程ax2＋bx＋(c－y)＝0．
若x是任意实数，则应有△=b2－4a(c－y)≥0，∴4ay≥4ac－b2．
当a＞0时，y≥，此时y最小值=；
当a＜0时，y≤，此时y最大值=．
若需要求出x的值，则将y＝代入ax2＋bx＋(c－y)＝0，就可以求出x的值．
例如：求二次函数y=x2＋3x＋的最小值．
解法1：(公式法)∵a＝＞0,∴当x=－＝－＝－3时，
y最小值===－4．
解法2：(配方法)∵y＝x2＋3x＋=(x2＋6x＋1)
=(x2＋6x＋9－9＋1)
=[(x＋3)2－8] = (x＋3)2－4，
当x=－3时，y有最小值－4．
解法3：(判别式法)∵y=x2＋3x＋，∴x2＋6x＋(1－2y)=0．
∴x是任意实数，∴△＝36－4(1－2y)≥0，∴y≥－4，即y有最小值－4．
此时x2＋6x＋9=0，即x＝－3．
┃规律方法小结┃在求二次函数的最值时，要 ( http: / / www.21cnjy.com )注意比较利用哪种方法求解更简捷．在解题过程中，通过类比的方法，学会一题多解，选准问题的突破口，寻求最合理的解题方法．
求实际问题中的二次函数最值问题时，设法 ( http: / / www.21cnjy.com )把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按二次函数最值的求法求解．步骤如下：①利用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式；②把关系式转化为二次函数的解析式；③求二次函数的最大值或最小值．
课堂检测
基础知识应用题
1、求二次函数y＝x2－2x－3的最大值或最小值．
2、求函数y＝2x2－3x－2的最大值或最小值．
3、某商场购进一种单价为40元的篮球 ( http: / / www.21cnjy.com )，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．
(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是 元，这种篮球每月的销售量是 个；(用含x的代数式表示)
(2)判断8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润．如果是，请说明理由；如果不是，求出最大利润，此时篮球的销售单价为多少元
综合应用题
4、某机械租赁公司有同 ( http: / / www.21cnjy.com )一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用(维护费、管理费等)20元．设每套设备的月租金为x(元)，租赁公司出租该型号设备的月收益(收益=租金收入一支出费用)为y(元)．
(1)用含x的代数式表示未租出的设备数(套)以及所有未租出的设备数(套)的支出费用；
(2)求y与x之间的函数关系式；
(3)当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元 此时应该出租多少套机械设备 请简要说明理由；
(4)请把(2)中所求的二次函数配方成y=a＋的形式，并据此说明，当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大 最大月收益是多少
探索与创新题
5、某通讯器材公司销售一种 ( http: / / www.21cnjy.com )市场需求量较大的新 型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支(不含进价)总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间存在着如图2－84所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试写出该公司销 ( http: / / www.21cnjy.com )售该种产品的年获利z(万元)与销售单价x(元)的函数关系式(年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支)．当销售单价x为何值时，年获利最大 并求这个最大值；
(3)若公司希望该种产品一年的销售获 ( http: / / www.21cnjy.com )利不低于40万元，试画出函数图象，并帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元
6、A，B两人连续6年对某县农村甲 ( http: / / www.21cnjy.com )鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图2－86所示，A调查表明：每个甲鱼池平均年产量由第1年的l万只甲鱼上升到第6年的2万只；B调查表明：甲鱼池个数由第1年的30个减少到第6年的10个．
(1)求第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼的总数；
(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了 请说明理由；
(3)哪一年的规模最大 请说明理由．
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体验中考
1、某商品的进价为每件30元，现在的 ( http: / / www.21cnjy.com )售价为每件40元，每星期可卖出150件，市场调查反映：如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元)，那么每星期少卖10件．设每件涨价x元(x为非负整数)，每星期的销量为y件．
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大 每星期的最大利润是多少
2、随着南宁近几年城市建设的快 ( http: / / www.21cnjy.com )速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图2－88所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图2－89所示．(注：利润与投资量的单位：万元)
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润 他能获取的最大利润是多少
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃ 求最值的方法很多，根据需要灵活选用．
解法1：由a＝1＞0，知抛物线开口向上，
∴当x=－＝=1时，y最小值＝＝＝－4．
解法2：y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∵a＞0，∴当x＝1时，y最小值=－4．
【解题策略】求二次函数的最值时，应根据具体情况选用恰当的方法．在本例中，解法1应用了公式法，而解法2应用了配方法．
2、┃分析┃ 本题可以用判别式法来解．
解：把函数y＝2x2－3x－2变形为2x2－3x－(2＋y)＝0．
∵x为任意实数，∴△=b2－4ac≥0，即(－3)2＋4×2×(y＋2)≥0，
解得y≥－，∴函数y=2x2－3x－2的最小值为－．
【解题策略】用判别式法求二次函数的最大值或最小值，有时比公式法和配方法更简捷．
3、┃分析┃明确题目中的数量关系是解题的关键．
解：(1)(10＋x) (500－l0x) ．
(2)设月销售利润为y元，由题意得y=(10＋x)(500－l0x)，
整理得y=－l0(x－20)2＋9000．
当x＝20时，y的最大值为9000，20＋50＝70．
答：8000元不是最大利润，最大利润为9000元，此时篮球的销售单价为70元．
【解题策略】月销售利润＝每个篮球的销售利润×每月篮球的销售量，明确这一关系是解此题的关键．
4、┃分析┃解决此题的关键是求函数关系式，难点是第(3)问，第(4)问计算比较复杂．
解：(1)未租出的设备为套，
所有未租出的设备的支出费用为(2x－540)元．
(2)y=(40－)x－(2x－540)=x2＋65x＋540．
即y与x之间的函数关系式为y=x2＋65x＋540．
(3)当月租金为300元时，租赁公司 ( http: / / www.21cnjy.com )的月收益为11040元，此时租出37套机械设备；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出32套设备．因为出租37套和32套机械设备获得同样的收益，如果考虑减少机械设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场的占有率，应该选择出租37套．
(4)y＝x2＋65x＋540=(x2－2×325x＋3252)＋540＋×3252= (x－325)2＋11102.5，∴当x＝325时，y有最大值11102.5．但是，当月租金为325元时，租出机械设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34(套)或35(套)．即当月租金为330元(租出34套)或月租金为320元(租出35套)时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元．
【解题策略】认真审题、全面考虑、准确计算．
5、┃分析┃(1)一次函数解析式易求得．(2)销售额等于销售单价乘以销售量．(3)结合图象说明．
解：(1)设y＝kx＋b，由图象知一次函数图象过点(60，5)，(80，4)，
∴解得＋8．
(2)z=yx－40y－120=(－x＋8)(x－40)－120
=x2＋10x－440=(x－100)2＋60，
∴当x＝100时，即销售单价为100元时，年获利最大，最大值为60万元．
(3)令z=40，得40=x2＋10x－440，
即x2－200x＋9600=0，
解得xl=80，x2＝120．
画出图象如图2－8 ( http: / / www.21cnjy.com )5所示，由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．又因为销售价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．
【解题策略】认真观察图象获 ( http: / / www.21cnjy.com )取有用信息．能够在阅读文字，观察图形的基础上，把实际问题抽象为数学问题，根据图象求点的坐标，利用待定系数法求解析式，再列出二次函数解析式，利用二次函数的性质解决实际问题中的最值问题．
6、┃分析┃(1)由图象可知，第2年 ( http: / / www.21cnjy.com )的甲鱼池个数为26，每个甲鱼池平均年产量为1.2万只，出产甲鱼总数为1.2×26=31.2(万只)．(2)规模缩小了，因为第1年出产甲鱼30×l=30(万只)，第6年出产甲鱼2×10=20(万只)．(3)列出yA，yB，总产值是yA·yB，求其最大值即可．
解：(1)由图2－86(2)知，第2年甲鱼池个数为26，
由图2－86(1)知，第2年每个甲鱼池平均年产量为1.2万只，
∴全县出产甲鱼的总数为1.2×26＝31.2(万只)．
(2)规模缩小了．因为第一年出产甲鱼30×1＝30(万只)，
而第6年出产甲鱼2×10＝20(万只)．
(3)由图2－86(1)知，直线yA=kx＋b经过点(1，1)和点(6，2)，
将这两点坐标代入，得解得∴yA=0.2x＋0.8．
同理，由图2－86(2)得yB＝－4x＋34．
设第x年规模最大，
则yA·yB=(0.2x＋0.8)·(－4x＋34)＝－0.8x2＋3.6x＋27.2．
∵a=－0.8＜0，∴当x=－=－＝≈2时，
yA·yB有最大值，且最大值是31.2．
即第2年规模最大，出产甲鱼31.2万只．
【解题策略】此题把图象信息、阅读理解、探 ( http: / / www.21cnjy.com )索性问题巧妙地综合在一起，要求学生在读懂文字、图形的基础上，把实际问题转化为数学问题，根据图象求点的坐标，利用待定系数法求解析式，利用二次函数的性质求最大值．
体验中考
1、┃分析┃本题考查二次函数的最值在实际问题中的应用．
解：(1)y＝150－10x，0≤x≤5，且x为整数．
(2)W＝(10＋x)(150－10x)＝－10(x－2.5)2＋1562.5，
当x＝2或3时，W取最大值．
当x=2时，y＝130，当x＝3时，y=120．因此，为使利润最大且销量较大，应
定价为42元，此时最大利润为1560元．
2、┃分析┃本题考查利用二次函数解决实际问题中的最大利润问题．
解：(1)设y1＝kx，y2=ax2，
由图可知2=k·1，2=a·22，
解得k＝2，a=.∴y1＝2x，y2＝x2．
解法l：(2)设种植花卉的资金投入为x万元，
那么种植树木的资金投入为(8－x)万元，
两项投入所获得的总利润为y万元．
依题意得y＝y1＋y2＝2(8－x)＋x2
=x2－2x＋16＝(x－2)2＋14．
∴当x＝2时，y最小=14．
∴这位专业户至少获利14万元．
又∵0≤x≤8，抛物线的对称轴为x＝2，
①当0≤x＜2时，y值随x的增大而减小，所以x=0时，y最大＝16．
②当2≤x≤8时，y值随x的增大而增大，所以x＝8时，y最大＝32．
综上可知，这位专业户能获取的最大利润是32万元．
解法2：(2)设种植树木的资金投入为x万元，
那么种植花卉的资金投入为(8－x)万元，
两项投入所获得的总利润为y万元．
依题意得y＝y1＋y2=2x＋(8－x)2
＝x2－6x＋32＝ (x－6)2＋14．
∴当x=6时，y最小＝14．
因此，这位专业户至少获利14万元．
∵0≤x≤8，抛物线的对称轴为x＝6，
①当0≤x＜6时，y值随x的增大而减小，所以x＝0时，y最大=32．
②当6≤x≤8时，y值随x的增大而增大，所以x＝8时，y最大=16．
综上可知，这位专业户能获取的最大利润是32万元．
【解题策略】在解决实际问题中的最值问题时，一定要注意在自变量的取值范围内确定最值．
2.7最大面积是多少
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.通过经历探索长方形最大面积喝窗户透光最多问题的过程，进一步体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。
2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量间的二次函数关系。
3.能够利用二次函数的知识求出实际问题的最大值。
【重点难点】
1.通过分析、探究实际问题，确定出二次函数的关系式。
2.利用二次函数的有关知识解决长方形最大面积和窗口透光最多的问题。
3.通过探索、分析、合作交流的学习过程，从实际问题中抽象、归纳数学模型（即确定二次函数解析式）。
知识概览图
新课导引
【生活链接】如右图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．
【问题探究】由上面的问题我们分析：若设长方形的一边AB＝x，面积为y，那么当x取何值时，y的值最大 最大面积是多少
【点拨】根据题意，得y=AD·AB，即y＝(40－x)·x，整理，得y＝－x2＋30x(0＜x＜40)．配方，得y＝－(x2－40x)=－ (x－20)2＋300．所以当x＝20
时，y的值最大，最大面积是300．
教材精华
知识点1 抛物线y＝ax2＋bx＋c上的四个重要的点和在x轴上截得的线段长与其涉及的三角形形状及面积的关系
抛物线y＝ax2＋bx＋c上的四个重要的点是抛物线的顶点(－)，与x轴的两个交点A(，0)，B(，0)，与y轴的一个交点C(0，c)．在x轴上截得的线段长AB＝┃x2－x1┃＝，这是二次函数的重要基础知识．
抛物线与x轴的交点个数由b2－4ac的符号确定．
b2－4ac＞0抛物线与x轴有两个交点；
b2－4ac＝0抛物线与x轴有一个交点；
b2－4ac＜0抛物线与x轴没有交点．
例如：已知二次函数y＝2x2－4mx＋m2．
(1)求证：当m为非零实数时，这个二次函数与x轴总有两个不同的交点；
(2)如果这个二次函数的图象与x轴的交点为A，B，顶点为C，且△ABC的面积为4，求m的值．
证明：(1)∵＝(－4m)2－8m2=8m2，又m≠0，∴△＝8m2＞0，
∴当m≠0时，这个函数的图象与x轴总有两个不同的交点．
解：(2)这个函数的图象与x轴的两个交点为A，B，设A(xl，0)，B(x2，0)，
∴AB┃m┃．
作CD⊥AB于D，如图2－9l所示，
则CD==m2．
∵S△ABC=4，∴AB·CD=4，
即·┃m┃·m2＝4，∴m=±2．
知识点2 利用二次函数求面积的最值问题
解二次函数最值应用题的基本方法是：设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解．其一般步骤是：
(1)利用题目中的已知条件和学过的有关的数学公式列出关系式；
(2)把关系式转化为二次函数解析式；
(3)求二次函数的最大值或最小值．
例如：某建筑物的窗户如图2 ( http: / / www.21cnjy.com )－92所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m，当半圆的半径等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m) 此时，窗户的面积是多少(精确到0.0l m2)
解：设半圆的半径为x m，小长方形的长为y m．
则4y＋7x+πx=15，∴y=.
设窗户的面积为S，
则
=－3.5x2＋7.5x
这里a＝－3.5＜0，所以当x＝≈1.07时，
S最大值=≈4.02(m2)．
即当半径约为1.07 m时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约是4.02 m2．
┃规律方法小结┃通过上节和 ( http: / / www.21cnjy.com )本节知识的学习，我们可以知道，应用二次函数的有关知识解决实际问题的基本思路是：(1)理解问题；(2分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用函数解析式表示它们之间的关系；(4)用数学方法求解；(5)检验结果的合理性．
课堂检测
基础知识应用题
1、已知三角形的两边和为20 cm，这两边的夹角为120°(如图2－93所示)，求它的面积的最大值；当面积最大时，这两边的长各是多少
2、用长为12 m的 ( http: / / www.21cnjy.com )篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图2－94所示，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB于A，BC⊥AB于B，∠C＝∠D=∠E．设CD＝DE＝x m，五边形ABCDE的面积为S m2．当x取什么值时，S最大 并求出S的最大值．
综合应用题
3、如图2－96所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BC=CD＝10，sin C=．
(1)求梯形ABCD的面积；
(2)点E，F分别是BC ( http: / / www.21cnjy.com )，CD上的动点，点E从点B出发向点C运动，点F从点C出发向点D运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF，求△EFC面积的最大值，并说明此时E，F的位置．
探索与创新题
4、如图2－98所示，有一边长为5 ( http: / / www.21cnjy.com )cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR＝5 cm，QR＝8 cm，点B，C，Q，R在同一条直线l上，当C，Q两点重合时，等腰三角形以1 cm／s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t s后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为S cm2，根据题意解答下列问题．
(1)当t=3时，求S的值；
(2)当t＝5时，求S的值；
(3)当5≤t≤8时，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．
体验中考
如图2－103所示，直线y＝－x＋4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．
(1)求点P的坐标；
(2)请判断△OPA的形状并说明理由；
(3)动点正从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着OPA的路线向点A匀速运动(E不与点O，A重合)，过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．
①求S与t之间的函数关系式；
②当t为何值时，S最大 并求S的最大值．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃已知三角形的两边之和为20 cm，应设其中一边为x cm，并将这条边上的高用x表示，即可把该三角形的面积表示为x的函数．
解：在△ABC中，设BC边的长为x cm，
则AB＝(20－x)cm．
过A作AD⊥BC，交CB的延长线于D．
∵∠ABD=180°－120°＝60°，∴AD=(20－x)cm，
∴△ABC的面积y＝x×(20－x)(0＜x＜20)，
即y＝－x2＋5.x，这里a＝－＜0．
故当x=－=10时,y最大值==25.
此时AB＝20－x=10(cm)．
即这个三角形的最大面积为25cm2，此时三角形两边的长各为10 cm．
【解题策略】解决几何图形中的 ( http: / / www.21cnjy.com )最值问题的关键是根据图形的性质和计算公式建立二次函数关系式，再利用二次函数的顶点坐标来解决问题．注意保证图形存在并有实际意义．即注意自变量的取值范围．
2、┃分析┃根据已知，连接EC，并过D作DF⊥EC，垂足为F．又因为DE＝CD，∠AED＝∠EDC＝∠DCB，∠EAB＝∠CBA＝90°，由多边形内角和定理，知∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝120°，因为CD＝DE，所以∠DEC＝∠DCE=30°，所以∠CEA=∠ECB＝90°，所以四边形EABC为矩形．由DE＝x，得AE＝6－x，DF=x，EC=x，则S＝S△CDE＋S矩形ABCE．再讨论二次函数的最值问题即可．
解：如图2－95所示，
连接EC，过D作DF⊥EC，垂足为F．
∵∠DCB＝∠EDC＝∠AED，∠EAB=∠CBA=90°，
∴∠DCB=∠CDE＝∠DEA=120°．
∵DE=CD，∴∠DEC＝∠DCE＝30°，
∴∠CEA＝∠ECB＝90°，∴四边形EABC为矩形．
∵DE=x m，∴AE＝(6－x)m，DF=x m，EC＝x m，
S=S矩形ABCE＋S△CDE=x(6－x)＋·x·x
=－x2＋x=－(x－4)2＋12(0＜x＜6)．
故当x=4，五边形ABCDE的面积最大，最大值为12m2．
【解题策略】明确多边形的面积可以划 ( http: / / www.21cnjy.com )分为两部分面积之和是解题的关键，把五边形的面积S表示为x的二次函数，用二次函数知识研究面积最大值问题是本题的一大亮点．
3、┃分析┃要求梯形的面积，需求出梯形的高和上底，因为已知sin C=，所以需要构造直角三角形．过点D作DM⊥BC，垂足为M，通过解直角三角形，便可解决问题．关于E，F的动点问题，要讨论△EFC的面积，需求出S△EFC与运动时间的函数关系．利用二次函数的最值问题讨论面积的最大值．
解：(1)如图2－97所示，过点D作DM⊥BC，垂足为M．
在Rt△DMC中，
DM=CDsin C=10=8，
(2)设运动时间为x秒，则有BE=CF=x，EC＝10－x.
过点F作FN⊥BC，垂足为N．
在Rt△FNC中，FN=CFsinC=x．
即△EFC面积的最大值为10，此时点E，F分别在BC，CD的中点处．
【解题策略】本题是集三角函数、三角形面积、梯形面积及面积最值问题于一体的综合应用题，有一定的难度．
4、┃分析┃(1)当t＝3或5时，利用三角形相似求出重合部分的面积．(2)当5≤t≤8时，利用二次函数求出重合部分面积的最大值．
解：(1)如图2－99所示，作PE⊥QR，E为垂足．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵PQ=PR，∴QE=RE=QR=4，∴PE==3．
当t＝3时，QC＝3．设PQ与DC交于点G．
∵PE∥DC，∴△QCG∽QEP，∴
∵S△QEP=×4×3=6，∴S=()2×6=(cm2)．
(2)如图2－100所示，当t=5时，CR=3，
设PR与DC交于点G．
由△RCG∽△REP，可得S△RCG=，
∴S=S△PBR－S△RCG=12－=(cm2)．
(3)如图2－101所示，当5≤t≤8时，QB＝t－5，RC=8－t.
设PQ交AB于点H，DC交PR于点G．
由△RCG∽△REP，可得S△RCG=(8－t)2．
由△QBH∽△QEP，可得S△QBH＝(t－5)2．
∴S=12－(t－5)2－(8－t)2，
即S=
∴当t＝时，S最大，最大值为.
【解题策略】此题是一个图形运 ( http: / / www.21cnjy.com )动问题，解题的方法是将各个时刻的图形分别画出，则图形由“动”变“静”，再设法求解．这种分类画图的方法在解动态的几何问题时非常有效．
体验中考
┃分析┃第(3)问是动点问题，注意分类讨论．
解：(1)∴点P的坐标为(2，2)．
(2)将y=0代入y＝－x＋4,得－x＋4=0，
∴x=4，即OA=4．
作PD⊥OA于D，则OD＝2，PD=2．
∵tan∠POA==，∴∠POA=60°．
∵OP==4=OA，∴△POA是等边三角形．
(3)①当0＜t≤4时，如图2－104所示，
在Rt△EOF中，∵∠EOF＝60°，OE=t，
∴EF=t，OF=t，
∴S=OF·EF=t2．
当4＜t＜8时，如图2－105所示，
设EB与OP相交于点C，
则CE＝PE＝t－4，AE=8－t，
∴AF=4－t,EF=(8－t)，
∴OF=OA－AF=4－(4－t)=t，
∴S=(CE＋OF)·EF
=(t－4＋t)×(8－t)
=－＋4－8.
②当0＜t≤4时，S＝t2，t＝4时，S最大＝2.
当4
t=时，S最大=.
∵＞2，∴当t=时，S最大=.
2.8二次函数与一元二次方程
学习目标、重点、难点
【学习目标】
理解二次函数图象与x轴交点 ( http: / / www.21cnjy.com )的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根、有两个相等的实根和没有实根.
【重点难点】
1.理解二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根、有两个相等的实根和没有实根．
2.理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标.
知识概览图
新课导引
【生活链接】观察二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)，你会发现当y＝0时，二次函数的解析式就成为一元二次方程了．
【问题探究】二次函数和一元二次方程有什么联系
教材精华
知识点1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c与抛物线的位置关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数a，b，c与抛物线的位置关系如下：
(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点由常数项c确定．
抛物线与y轴交于正半轴c＞0．
抛物线与y轴交于原点c=0．
抛物线与y轴交于负半轴c＜0．
(2)抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴的位置由a和b共同确定．
对称轴在y轴的左侧a，b同号.
对称轴在y轴的朽侧a，b异号．
对称轴是y轴b＝0．
拓展 系数a确定了抛物线的开口方向，系数c确定了抛物线与y轴的交点，系数a，b共同确定对称轴的位置．
知识点2 二次函数与一元二次方程的关系
当y＝0时，二次函数的解析式y= ( http: / / www.21cnjy.com )ax2＋bx＋c(a≠0)就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0，而一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，在二次函数与一元二次方程的关系中，判别式△＝b2－4ac起着极为重要的作用．
( http: / / www.21cnjy.com )
二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图2－118所示．
( http: / / www.21cnjy.com )
┃规律方法小结┃二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的关系：抛物线与x轴有两个交点方程△＞0．抛物线与x轴有一个交点方程△＝0．抛物线与x轴没有交点方程△＜0．若抛物线与x轴的两交点分布在y轴的两侧，则x1，x2异号；若两交点分布在y轴的同侧，则x1，x2同号．抛物线与x轴两交点间的距离为┃x2－x1┃=．
知识点3 利用二次函数的图象估计一元二次方程的根
如图2－119所示的是函数y＝x2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋2x－10的图象，由图象可知方程x2＋2x－l0＝0有两个根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间．
首先求－5和－4之间的根(结果取到十分位)．
我们利用计算器进行探索，如下表所示：
x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4
y －1.39 －0.76 －0.11 0.56
因此，x＝－4.3是方程的一个近似根．
其次，仿照上面的方法求另一个根，如下表所示：
x 2.1 2.2 2.3 2.4
y －1.39 －0.76 －0.11 0.56
因此x＝2.3是方程的另一个近似根．
拓展 我们通常用代数的方法求一元二次方程的根，这里介绍了一种用图象法求方程近似根的方法，请同学们认真体会上述求解过程．
课堂检测
基础知识应用题
1、 如图2－120所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与y轴相交于负半轴．
(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0．其中正确结论的序号是 ；
(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1．其中正确结论的序号是 .
2、作出y＝2x2－12x＋13的图象，根据图象判断方程2x2－12x＋13＝0的近似根．(结果保留一位小数)
3、(1)若抛物线y＝x2＋bx＋8的顶点在x轴的负半轴上，则b＝ ；
(2)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－122所示，则点P(a，)在第 象限；
(3)已知二次函数y=ax2＋bx＋c，如果a＞0，b＜0，c＜0，那么这个函数图象的顶点必在第 象限．
综合应用题
4、已知二次函数y＝x2＋(2m＋1)x＋m2的图象与x轴有两个交点．
(1)求m的取值范围；
(2)当这两个交点的横坐标的平方和等于7时，求m的值．
探索与创新题
5、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向下，且经过A(0，1)和M (2，－3)两点．
(1)若抛物线的对称轴为直线x＝－1，求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围；
(3)若抛物线与x轴交于B，C两点，且∠BAC＝90°，求此时a的值．
体验中考
1、下列命题：
①若a＋b＋c=0，则b2－4ac≥0；
②若b＞a＋c，则一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根；
③若b＝2a＋3c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；
④若b2－4ac＞0，则二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．
其中正确的是 ( )
A．只有①②③ B．只有①③④
C．只有①④ D．只有②③④
2、已知抛物线y＝3ax2＋2bx＋c．
(1)若a＝b＝1，c＝－1，求该抛物线与x轴的公共点的坐标；
(2)若a＝b＝1，且当－1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
(3)若a＋b＋c=0，且x ( http: / / www.21cnjy.com )1=0时，对应的y1＞0，x2＝l时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点 若有，证明你的结论；若没有，阐述理由．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃(1)∵抛物线的开口向上，∴a＞0．对称轴在y轴右侧，∴b＜0．抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0．抛物线过点(1，0)，∴a＋b＋c＝0．故填①④．(2)∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0．∵对称轴在直线x=1的左侧，∴－＜1．又∵a＞0，∴－b＜2a，∴2a＋b＞0．∵当x＝－1时，y＝a－b＋c=2．又∵a＋b＋c＝0，∴2a＋2c＝2，∴a＋c＝1．又a＞0，c＜0，故a＞1．故填②③④．
【解题策略】抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象的特征与其系数a，b，c及判别式△的符号有着密切的联系，它们之间是相互制约的．
2、┃分析┃熟练掌握抛物线的性质和特点是解这类问题的关键．
解：作出图象如图2－121所示，可观察到两个根，一个在l和2之间，另一个在4和5之间，利用计算器进行探索，如下表所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
因此可知方程2x2－12x+13=0的近似根为x＝1.4，x2＝4.6.
【解题策略】解此类问题要注意分析、探索的方法．
3、┃分析┃(1)∵△＝b2－32=0，∴b＝±4．而对称轴x＝－＜0，a＝1，∴b＞0，∴b=4.故填4.(2)由图象可知a＜0，c＞0，－＞0，则b＞0，∴＞0，∴P(a，)在第二象限．故填二．(3)顶点坐标为(－，)．∵a＞0，b＜0，∴－＞0．又∵a＞0，b＜0，c＜0，∴4ac－b2＜0，4a＞0，∴＜0，∴顶点在第四象限．故填四．
【解题策略】(1)顶点在x轴上＝0；顶点在y轴上，即－=0b=0。(2)象限看符号，确定点所在的象限，即确定横、纵坐标的符号．
4、┃分析┃当△＞0时，图象与x轴有两个交点．
解：(1)根据题意，可知x2＋(2m＋1)x＋m2=0有两个不相等的实数根．
∵△＝(2m＋1)2－4m2=4m2＋4m＋1－4m2=4m＋1，
∴4m＋l＞0，解得m＞－．
(2)设图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．
则由根与系数的关系，得xl＋x2=－(2m＋1)，x1x2=m2．
又∵x12＋x22=7，即(x1＋x2)2－2x1x2＝7，∴[－(2m＋1)]2－2m2＝7，
∴m2＋2m－3＝0，解得m1＝－3，m2=1．
又∵m的取值范围是m＞－，∴m＝－3不合题意，舍去，∴m＝l，
即当这两个交点的横坐标的平方和等于7时，m的值等于1．
【解题策略】本例涉及一元二 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程与二次函数之间的关系．解此类题有两点要注意：其一是将抛物线与x轴交点的横坐标与一元二次方程的根联系起来；其二是根据题设条件，列出方程或方程组、不等式组等进行求解．
5、┃分析┃(1)由A(0，1)和M(2，－3)两点及对称轴x=－1，可求得抛物线的解析式.（2）
由a，b，c的关系确定a的取值范围（3）根据二次函数与一元二次方程的关系，可求得a的值.
解：(1)由题意,得
∴抛物线的解析式为y=－x2－x＋1．
(2)由题意，得=
消去c，得b＝－2a－2．
又∵抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，
∴∴b＜0，即b=－2a-2＜0，解得a＞－l，
∴a的取值范围是－l＜a＜0．
(3)∵抛物线开口向下，且经过点A(0，1)，
∴它与x轴的两个交点B，C分别在原点的两侧，
如图2－123所示，
此时B，C两点的横坐标异号，且OA=c＝1．
∵∠BAC=90°，OA⊥BC于O，
∴Rt△BOA∽Rt△AOC，∴OA2=OB·OC．
又∵b=－2a－2，c=1，
∴抛物线的解析式为y=ax2－2(a＋1)x＋1．
设此抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为B(x1，0)，C(x2，0)，
则x1，x2是方程ax2－2(a＋1)x＋1=0的两个根，
∴x1x2=，∴OB·OC=┃x1┃┃x2┃=┃x1x2┃=－x1x2，
∴OB·OC=－. 又∵OA2=OB·OC，OA=1，∴1=－，∴a=－1．
【解题策略】二次函数与一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程之间有着十分密切的联系，解这类题一般通过一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式来求解，同时要注意挖掘题中对字母的限制及抛物线与x轴交点位置的限制，才能正确解题．
体验中考
1、┃分析┃本题主要考查一元二次方程中各项系数对方程的根的影响及一元二次方程与二次函数的联系．①中，a＋b＋c=0b=－a－cb2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝a2＋c2－2ac＝0(a－c)2≥0，故①正确．②中，由b＞a＋c不能推出b2－4ac＞0，故一元二次方程ax2＋bx＋c=不一定有两个不相等的实数根，故②不正确．③中，b＝2a＋3cb2－4ac＝(2a＋3c)2－4ac＝4a2＋9c2＋8ac＝(2a＋2c)2＋5c2＞0，故一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根，故③正确．④中，若b2－4ac＞0，二次函数图象过原点，则二次函数的图象与坐标轴的公共点个数是2．若二次函数的图象不过原点，则二次函数的图象与坐标轴的公共点个数是3，故④正确．故选B．
2、┃分析┃(1)抛物线与x轴的 ( http: / / www.21cnjy.com )公共点的横坐标即为相应的一元二次方程的两个根．(2)抛物线与x轴有交点，则相应的一元二次方程△≥0，然后根据题中给定条件具体讨论c的取值范围．(3)可根据已知条件确定抛物线各系数的关系及符号，再利用相应的一元二次方程的根的判别式判定其与x轴是否有公共点．
解：(1)当a＝b＝1，c＝－1时，抛物线y＝3x2＋2x－l，
方程3x2＋2x－l＝0的两个根为x1＝－1，x2＝．
∴该抛物线与x轴公共点的坐