北师大版九年级下第三章圆导学案
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文档简介
3.1车轮为什么做成圆形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程.
2.理解圆的概念，理解点与圆的位置关系.
【重点难点】
1.圆及其有关概念，点与圆的位置关系.
2.用集合的观念描述圆.
知识概览图
新课导引
【生活链接】 在现实生活中，通过观察你会发现，像车轮、齿轮等都做成圆形，家用餐具中，锅、碗、盆等多数也是圆形．
【问题探究】 在现实生活中，还有许多物品都是做成圆形的．那么，你能描述出什么样的图形叫做圆吗
【点拨】 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．
教材精华
知识点1 圆的定义
平面上到定点的距离等于定长的所有 ( http: / / www.21cnjy.com )点组成的图形叫做圆．其中，定点称为圆心，定长称为半径的长(通常也称为半径)．如图3－1所示，OA为半径，以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”．
拓展 确定一个圆需要两个要素：一是 ( http: / / www.21cnjy.com )圆心；二是半径．圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽然圆的位置固定，但大小不确定，因而圆不确定；只有半径没有圆心，虽然圆的大小固定，但圆心的位置不确定，因而圆也不确定．只有圆心和半径都固定了，圆才被唯一确定．
探究交流 (1)以已知点O为圆心，可以画 个圆；
(2)以已知线段AB的长为半径，可以画 个圆．
点拨 由于确定一个圆要有两个条件，即圆心和半径，而两个问题中都只有一个条件，这样的圆不能确定．故都应填“无数”．
同时要注意到(1)中的圆都有相同的圆心，称为同心圆；(2)中的圆都有相同的半径，称为等圆．
知识点2 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内，如图3－2所示．
点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径(OA＞r)；
点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径(OB＝r)；
点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径(OC＜r)．
拓展 点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．即：如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：(1)点在圆外d＞r；(2)点在圆上d＝r；(3)点在圆内d＜r．
探究交流 设AB＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形．
(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形；
(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形．
点拨 (1)到点A的距离都等于2 cm的所 ( http: / / www.21cnjy.com )有点组成的图形是⊙A，到点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙B，同时满足这两个条件的点为既在⊙A上，又在⊙B上的点，即为点P、点Q(如图3－3所示)．
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)满足条件的点为既在⊙A内，又在⊙B内的点，即如图3－4所示的阴影部分，但要注意不包括阴影的边界．
规律方法小结 1． ( http: / / www.21cnjy.com )本节运用的思想方法有分类讨论思想和转化思想．如：在分析点与圆的位置关系时，运用了分类讨论思想，而在判断点与圆的位置关系时，把问题转化为用点到圆心的距离与半径之间的数量关系来判断，运用了转化思想．
2．(1)确定一个圆需要圆心和半径两个要素．(2)点与圆的位置关系可由点到圆心的距离与半径之间的数量关系来确定．
课堂检测
基本概念题
1、求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
基础知识应用题
2、两个圆的圆心都是O，半径分别为r和R(R＞r)，点A满足r＜OM＜R，那么点A在 ( )
A．小圆内 B．大圆内 C．小圆外大圆内 D．小圆内大圆外
综合应用题
3、如图3－6所示，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm．
(1)以点A为圆心，4 cm长为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何
(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么
4、如图3－7所示，⊙O′过坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标原点O，点O′的坐标为(1，1)，判断点P(－1，1)，Q(1，0)，R(2，2)和⊙O′的位置关系．
探索与创新题
5、爆破时，导火索燃烧时的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度是每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域．如果这根导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全
6、已知线段AB＝4 cm，试用阴影表示到点A的距离不小于3 cm，而到点B的距离小于2 cm的点的集合．
体验中考
1、在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心O的距离为3 cm．则点P与⊙O的位置关系是 ．
2、如图3－11所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB的度数为 ．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、已知：如图3－5所示，四边形ABCD为矩形，O是对角线AC和BD的交点．
求证：A，B，C，D各点在以O为圆心的同一个圆上．
分析 欲证A，B，C，D各点在以O为圆心的同一个圆上，需证明OA＝OB＝OC＝OD．
证明：因为四边形ABCD是矩形，
所以AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
所以OA＝OB＝OC＝OD．所以A，B，C，D各点在以O为圆心的同一个圆上．
【解题策略】 解此类题要把文字语言转化为数学语言，根据题意画出图形，写出已知、求证，再进行证明，这是解此类问题的一般步骤．
2、分析 由于r＜OA，所以点A在小圆外，而OA＜R，所以点A在大圆内．故选C．
【解题策略】 要判断平面上一点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离与半径的大小即可．
3、分析 要判断B，C，D与⊙A的位置关系，只需比较AB，AC，AD的长与半径4 cm的大小．
解：(1)连接AC．∵AB＝3 cm＜4 cm，∴点B在⊙A内．
∵AD＝4 cm，∴点D在⊙A上．
在Rt△ABC中，∵AC＝＝5 cm＞4 cm，
∴点C在⊙A外．
(2)∵AB＝3 cm，AD＝4 cm，AC＝5 cm，
∴点B到圆心A的距离3 cm是最短的距离，点C到圆心A的距离5 cm是最长的距离．
要使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是3 cm＜r＜5 cm．
【解题策略】 要确定⊙A的半径r的取值范围，需要知道B，C，D三点到点A的距离，即确定出最短距离和最长距离，才能确定半径r的取值范围．
4、分析 解此题的关键是先求出⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )′的半径，即OO′的长，其次要分别求出点P、点Q、点R到圆心O′的距离PO′，QO′和RO′的长，再用OO′的长与PO′，QO′和RO′的长比较，即可得结论．
解：⊙O′的半径r＝OO′＝，
，
，
.
∵PO′＞r．∴点P在⊙O′外；
∵QO′＜r．∴点Q在⊙O′内；
∵RO′＝r．∴点R在⊙O′上．
【解题策略】 本题在解题中应用了平面内任意两点间的距离公式．设平面内任意两点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则．
5、分析 爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，120米为半径的圆的圆外部分．
解：导火索燃烧的时间为＝20(秒)，人跑的路程为20×6．5＝130(米)．
∵130米＞120米，∴点导火索的人是安全的．
【解题策略】 解此题的关键是求人跑的路程，再与120米相比较．
6、分析 到点A的距离不小于3 cm．即所求 ( http: / / www.21cnjy.com )点应在以A为圆心、3 cm长为半径的⊙A的圆上及其外部；而到点B的距离小于2 cm的点应在以B为圆心、2 cm长为半径的⊙B的内部．
解：根据题意画出图形如图3－8所示，其中阴影部分即为所求．
体验中考
1、分析 因为点P到圆心O的距离为3 cm＜5 cm，所以点P在⊙O内．故填点P在⊙O内．
2、分析 本题比较容易，考 ( http: / / www.21cnjy.com )查圆的相关性质，根据∠ACO＝32°可知∠CAO＝32°，从而∠COB＝∠ACO＋∠CAO＝32°＋32°＝64°．故填
3.2圆的对称性
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程．
2．理解圆的对称性及相关知识．
3．理解并掌握垂径定理及其逆定理．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．
【重点难点】
1.垂径定理及其逆定理．
2.垂径定理及其逆定理的证明.
知识概览图
新课导引
【生活链接】 对于现实生活中的各种圆形物体，我们可以发现它们的对称美．
教材精华
知识点1 圆的轴对称性
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
拓展 圆的对称轴有无数条．不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称轴是一条直线，应该说每条直径所在的直线都是圆的对称轴．
知识点2 与圆有关的概念
(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，如图3－13所示，以A，B为端点的弧记作“”．读作“圆弧AB”或“弧AB”．
(2)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧(用三个字母表示，如图3－14所示的)；小于半圆的弧叫做劣弧(如图3－14所示的)．
(3)连接圆上任意两点的线段叫做弦(如图3－14所示的线段CD)．
(4)经过圆心的弦叫做直径(如图3－14所示的AB)．直径等于半径的2倍．
拓展 (1)直径是弦，但弦不一定是直径．(2)半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．
知识点3 垂径定理及其逆定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
如图3－15所示，垂径定理的题设和结论可用符号语言表示为：
拓展 (1)这里 ( http: / / www.21cnjy.com )的“垂径”可以是直径、半径、过圆心的直线或线段．(2)条件中的“弦”可以是直径，结论中的“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧．
垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
如图3－15所示，垂径定理的逆定理的题设和结论可用符号语言表示为：
拓展 一定不能忽略“弦不是直径”这个条件，因为圆中任意两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直．
由垂径定理及其逆定理可得的其他结论．
对于一个圆和一条直线来说，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )具备下列五个条件中的任意两个，那么就可推出其他三个：①垂直于弦；②平分弦；③平分弦所对的优弧；④平分弦所对的劣弧；⑤过圆心．
知识点4 圆的旋转不变性
圆是以圆心为对称中心的中心对称 ( http: / / www.21cnjy.com )图形．实际上，一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．
如图3－16所示，⊙O绕圆心O旋转任意一个角度α，⊙O上的任意点A与A′重合，即⊙O上的所有点旋转α角后，都与⊙O上的点重合．
知识点5 圆心角、弦心距的概念
顶点在圆心的角叫做圆心角．
圆心到弦的距离叫做弦心距．
如图3－17所示，∠AOB是⊙O的一个圆心角，垂线段OC的长为弦AB的弦心距．
知识点6 圆心角、弧、弦之间的关系
圆的一个特性：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
如图3－18所示，若下列三个等式：①∠AOB＝∠COD，②AB＝CD，③中有一个等式成立，则其他两个等式也成立．
拓展 (1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若丢掉这个前提条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系．(3)上述关系中的“弧”一般指劣弧．(4)在具体运用上述关系解决问题时，可根据需要选择其有关部分．如：在同圆中，相等的弦所对的弧相等；在等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．(5)上面的定理可以扩充为“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系的定理”——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－19所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：①∠AOB＝∠COD，②AB＝CD，③，④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立．
探究交流 长度相等的弧是等弧．
点拨 因为在同圆或等圆中，能 ( http: / / www.21cnjy.com )够重合的两条弧叫做等弧，所以等弧必须是在同圆或等圆中的弧，也只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合．因此长度相等的弧不一定是等弧．
规律方法小结 1．本节解决问题 ( http: / / www.21cnjy.com )的主要思想方法是数形结合思想，通过图形把垂径定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系展现出来，将几何问题代数化．如垂径定理的应用，解题过程中使用列方程的方法，用代数方法解决几何问题．
2．(1)与圆有关的一些概念的比较．
概念 区别与联系
直径和弦 直径是弦，但弦不一定是直径
半圆和弧 半圆是弧，但弧不一定是半圆
同心圆、等圆 同心圆是指圆心相同、半径不等的圆；等圆是指半径相等、圆心不同的圆
(2)垂径定理及其逆定理和几 ( http: / / www.21cnjy.com )个相关的结论是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．在理解定理的前提下，要把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径、弦心距、弦长及弓形的高之间的关系式．
如图3－20所示，对于一个圆中 ( http: / / www.21cnjy.com )的弦长a、弦心距d、半径r及弓形的高h，我们利用垂径定理和勾股定理，由a，d，r，h中的任意两个可求其他两个．
①若已知r，d，则a＝2 ；h=r－d．
②若已知r，h，则a＝2 ；d＝r－h．
③若已知r，a，则；．
④若已知d，h，则r＝h＋d；a=2．
⑤若已知a，d，则；．
⑥若已知a，h，则；．
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．如图3－21所示，弦AB与及组成两个不同的弓形．
弧的中点到弦的距离叫做弓形的高．如图3－22所示，C为的中点，CD⊥AB于D，则CD为弓形ACB的高．
(3)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦和两条弦的弦心距四组量之间的相等关系可以概括为：圆心角相等弧相等弦相等弦心距相等．
课堂检测
基本概念题
1、下列语句中，不正确的有 ( )
①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．
A．①③④ B．②③ C．② D．②④
基础知识应用题
2、如图3－23所示，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，直径MN⊥AB于E，MN交CD 于F，根据垂径定理，请你至少写出五个结论．
( http: / / www.21cnjy.com )
3、如图3－25所示，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则⊙O的半径长为 cm．
4、如图3－26所示， ( http: / / www.21cnjy.com )在⊙O中，过圆周上一点A作弦AB和AC，且AB＝AC，M和N分别为弦AB及AC的中点，连接MN并向两方延长，交圆于P和Q两点，求证PM＝NQ．
综合应用题
5、如图3－27所示⊙O1和⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O2相交于A和B两点，过点A作O1O2的平行线交两圆于C，D两点，已知O1O2＝20 cm，求CD的长．
6、如图3－28所示，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径画圆，分别交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证．
探索与创新题
7、如图3－29所示，在半圆O中，半径OF⊥AB于O，OF交CD于点E，CD∥AB，则弦AC与BD是否相等
8、如图3－30所示，∠APC＝∠BPC，PC过圆心O，请判断PA与PB之间的大小关系．
体验中考
1、如图3－33所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝，BD＝，则AB的长为 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
2、如图3－34所示，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 ．
3、如图3－35所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6 cm，则直径AB的长是 ( )
A．cm B．cm
C．cm D．cm
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 ①是正确的；②不正确，因为弧不一 ( http: / / www.21cnjy.com )定是半圆，如优弧是弧，但不是半圆；③是正确的；④不正确，因为等弧是在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧．所以不正确的有②④．故选D．
【解题策略】准确理解弦、直径、弧、半圆、等弧等与圆有关的概念．
2、分析 由MN⊥AB．MN为直径，可得AE＝BE，，．由MN⊥AB，AB∥CD，可得MN⊥CD，CF＝DF，，．又由，，可得，即．
解：答案不唯一，如由MN⊥AB，MN为直径，可得AE＝BE，，．由MN⊥AB，AB∥CD，可得MN⊥CD，，，．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解题策略】 由本例我们得出垂径定理的一个重要推论，即圆的两条平行弦所夹的弧相等．如图3－24所示，若AB∥CD，则 ．
3、分析 欲求半径长，可连接OB．由垂径定理．可得BC＝AC＝AB＝×8＝4(cm)．在Rt△OCB中，OB＝＝5(cm)．即⊙O的半径长为5 cm．故填5．
【解题策略】 (1 ( http: / / www.21cnjy.com ))垂径定理的应用常与勾股定理相联系．(2)连接半径是圆中常见的一种辅助线的作法．通过连接半径可构造出直角三角形，再利用勾股定理求相关线段的长度．
4、分析 欲证PM＝NQ，由PQ为弦 ( http: / / www.21cnjy.com )，容易联想到作弦心距OH，则PH＝HQ连接OM，ON．现只需证MH＝HN即可．又M，N分别为弦AB，AC的中点，易知OM＝ON，所以可证MH＝NH．
证明：作OH⊥PQ于H，则PH＝HQ连接OM，ON．
∵M，N分别是弦AB，AC的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥AC．∵AB＝AC，∴OM＝ON．
∵OH⊥MN，∴MH＝HN．∴PH－MH＝HQ－HN，∴PM＝NQ．
【解题策略】本例反复运用垂径定理及其逆定理和推论来达到证题的目的，要仔细体会遇弦作弦心距这种辅助线作法的应用．
5、分析 可过O1作O1E⊥CD于E，过O2作O2F⊥CD于F，这样就可构造出矩形O1O2FE，再利用矩形及垂径定理的相关知识求解．
解：过O1作O1E⊥AC于E，过O2作O2F⊥AD于F，
由垂径定理，可得AE＝EC，AF＝DF，
∴EF＝AE＋AF＝CD．
∵EF∥O1O2，O1E∥O2F，O1E⊥AC，O2F⊥AD，
∴四边形O1O2FE是矩形．
∴EF＝O1O2＝20 cm，∴CD＝2EF＝40 cm．
【解题策略】 本题在解题过程中综合运用了垂径定理及矩形的判定和性质．
6、分析 可连接AF，欲证，可证它们所对的圆心角∠GAE与∠EAF相等．
证明：连接AF，则AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF，
∴∠GAE＝∠EAF，∴．
【解题策略】 在同圆中，圆心角、弧、 ( http: / / www.21cnjy.com )弦之间的关系是证弧相等、角相等、线段相等的依据，一般在分析时，哪一组量与所证问题联系最紧，就应构造这一组量，再证明相等．
7、分析 由图形和已知条件不难发现，半径 ( http: / / www.21cnjy.com )OF是弦CD的中垂线，要探求弦AC与BD是否相等，只需判断圆心角∠AOC与∠BOD是否相等即可，可连接OC，OD．
解：连接OC，OD，则OC＝OD．
因为OE⊥AB，所以∠AOE＝∠BOE＝90°．
又因为AB∥CD，所以OE⊥CD，CE＝DE，
所以∠COE＝∠DOE，所以∠COA＝∠BOD，所以AC＝BD．
【解题策略】 本题的解题关键是利用垂径定理和半径的性质求得∠COE＝∠DOE，而不需要由△COE≌△DOE来得到∠COE＝∠DOE．
8、分析 PA，PB既不是弦也不是弧，而是弦上的线段，所以可以过O作两弦的垂线．
解：作OE⊥PA，OF⊥PB，垂足分别为E，F，
则AE＝GA，BF＝HB．
因为∠APC＝∠BPC，所以OE＝OF，
所以GA＝HB，所以GA＝HB，所以AE＝BF．
因为OE＝OF，OP＝OP，所以Rt△OPE≌Rt△OPF，
所以PE＝PF，所以PE＋EA＝PF＋BF，所以PA＝PB．
【解题策略】 (1)圆心到弦的距离叫做弦心 ( http: / / www.21cnjy.com )距；(2)在同圆或等圆中，若两条弧、两个圆心角、两条弦、两条弦的弦心距有一组量相等，则其余各组量都相等．
体验中考
1、分析 在⊙O中，AB为直径，AB⊥CD于E，所以∠DEB＝90°，所以CE＝DE＝CD＝，所以BE＝＝1．连接OD，则OE＝OD－BE＝OD－1，所以在Rt△OED中，OD2＝(OD－1)2＋，解得OD＝1．5．所以AB＝2OD＝3．故选B．
2、分析 在⊙O中，CD为直径，弦AB＝8．AB⊥CD，所以AM＝BM＝4，连接OB，则OB＝5，在Rt△OBM中，OM＝＝3，所以DM＝5＋3＝8．故填8．
3、分析 在⊙O中，直径AB垂直弦CD于P，CD＝6 cm，所以CP＝DP＝3 cm，连接OD，因为P为OB的中点，所以OP＝OD，所以在Rt△ODP中，(2OP)2＝OP2＋32，解得OP＝，因为OP＞0，所以OP＝cm，故AB＝cm．故选D．
3.3圆周角和圆心角的关系
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.了解圆周角的概念．
2.理解圆周角定理的证明．
【重点难点】
1.圆周角概念及圆周角定理．
2.认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．
知识概览图
新课导引
【问题链接】 如下图所示，通过观察发现，每一个图形都是由∠BAC和⊙O组成的．
( http: / / www.21cnjy.com )
【问题探究】 通过观察可知第三个图中的∠BAC是⊙O的圆周角．那么什么叫做圆周角呢
【点拨】 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
教材精华
知识点1 圆周角的概念
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
拓展 圆周角有两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．二者缺一不可．
知识点2 圆周角定理
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
拓展 (1)定理的要求是同一 ( http: / / www.21cnjy.com )条弧所对的圆周角和圆心角，从数值上来看，圆周角是圆心角的一半．(2)不能忽略“同一条弧”这个前提条件，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”．
关于这个定理的证明，教材上采用 ( http: / / www.21cnjy.com )的是分类讨论的证明方法，这种方法应认真理解．其证明要点是：(1)将已知图形之间的各种可能位置关系进行分类；(2)先证明特殊位置的情形；(3)利用特殊情形的结论证明其他情形，即把其他情形转化为已证的特殊情形进行证明；(4)归纳、总结出一般性结论．这种方法可应用于解题之中．
本定理的证明可以通过画图观察，如图3－4 ( http: / / www.21cnjy.com )4所示，以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数多个，但它们与圆心的位置关系归纳起来却只有三种情况：(1)圆心在角的一边上(如图3－44(1)所示)；(2)圆心在角的内部(如图3－44(2)所示)；(3)圆心在角的外部(如图3－44(3)所示)．在这三种情况下证明定理成立，进而证明在一般情况下也成立．
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知识点3 圆周角定理的推论
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
如图3－45所示，所对的圆周角有∠ACB，∠ADB，∠AEB，因此∠ACB＝∠ADB＝∠AEB．
拓展 (1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论不成立．如图3－46所示，∠ACB，∠ADB，∠AEB所时的弦是同一条弦AB，∠ADB＝∠AEB，但∠ADB与∠ACB，∠AEB与∠ACB却不相等．(2)此推论的逆命题是一个真命题，可以作为圆周角定理的一个推论，其表述为：在同圆或等圆中．相等的圆周角所对的弧也相等．如图3－47所示．如果∠ACB＝∠DFE，那么．
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推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
如图3－48所示，若AB为直径，则∠ACB＝90°；若∠ACB＝90°，则AB为直径．
由此得到：如果三角形的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
规律方法小结 1．(1)分 ( http: / / www.21cnjy.com )类讨论思想：如本节中的圆周角定理，是分三种情况进行证明的，但对于各类所要证明的命题，应不应该分情况讨论，主要是看各种情况的证明方法是否相同．如果相同，那么不需要分情况证明；如果不同，那么必须分情况证明，而且情况要分得正确，不能重复或遗漏．
(2)转化思想：在圆周角定理的证明过程所分的三种情况中，后两种情况是通过转化为第一种情况来证明的．
2．圆心角与圆周角的比较．
定义 图形 圆心角与圆周角的关系
圆心角 顶点在圆心的角 ( http: / / www.21cnjy.com ) 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如下图所示，∠ACB＝∠AOB ( http: / / www.21cnjy.com )
圆周角 (1)顶点在圆上(2)角的两边都与圆相交 ( http: / / www.21cnjy.com )
课堂检测
基本概念题
1、如图3－49所示，判断哪些角是圆周角．
( http: / / www.21cnjy.com )
基础知识应用题
2、如图3－50所示，在⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC，∠EBC的度数，并判断∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC的度数关系．
3、如图3－51所示，已知AB为⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，且AD＝CD，∠B＝50°，求∠BAD，∠DCB，∠ADC的度数．
综合应用题
4、如图3－52所示，AB，C ( http: / / www.21cnjy.com )D是半径为5的圆内互相垂直的两条直径，E为AO的中点，连接CE并延长，交⊙O于另一点F，求弦CF的长．
5、如图3－53所示，已知⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．
探索与创新题
6、在足球比赛场上， ( http: / / www.21cnjy.com )甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图3－54所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢 (不考虑其他因素)
体验中考
1、如图3－59所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为 ( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2、如图3－60所 ( http: / / www.21cnjy.com )示，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
3、如图3－61所示，在⊙O中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝ 度．
4、如图3－62所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD＝ 度．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 只有(2)具备圆周角的两个特征． ( http: / / www.21cnjy.com )(1)(3)的顶点不在圆上，(4)(5)虽然顶点在圆上．但角的两边不与圆相交，因此(1)(3)(4)(5)都不是圆周角．
解：(2)中的角是圆周角．
【解题策略】正确理解圆周角的概念．
2、分析 解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如所对的圆心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC．
解：∵∠AOC＝150°，
∴∠ABC＝∠AOC＝75°(圆周角定理)，
∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°．
∴∠ADC＝∠α＝105°(圆周角定理)．
∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°．
∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∠EBC＝∠ADC＝105°，
∴∠ABC和∠ADC互补，∠EBC和∠ADC相等．
【解题策略】 理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角定理解题的前提．
3、分析 由AB是直径，连接AC，可得∠ACB＝90°．由AD＝CD．可得，连接OD，可得OD⊥AC，OD∥BC，∠AOD＝∠B＝50°．由圆周角定理，可得∠DCA＝∠DOA＝25°．只要求出∠DCA的度数，其余的角可以很容易求得．
解：连接AC，OD．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°
∵AD＝CD，∴，∴OD⊥AC．
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B＝50°，∴∠DCA＝∠AOD＝25°．
∵，∴∠DCA＝∠DAC＝25°．
∵∠CAB＝90°－∠B＝90°－50°＝40°，
∴∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝25°＋40°＝65°，
∠ADC＝180°－∠DAC－∠DCA＝180°－25°－25°＝130°，
∠DCB＝∠DCA＋∠ACB＝25°＋90°＝115°．
【解题策略】 运用圆周角定理及其推论解此题．
4、分析 连接FD，由CD为直径，可得∠CFD＝90°，易知△OCE与△FCD相似，CF的长可由相似三角形的对应边成比例求得．
解：连接FD．∵CD为直径，∴∠CFD＝90°．
又∵CD⊥AB，∴∠COE＝∠CFD＝90°．
∵∠ECO＝∠DCF，∴△COE∽△CFD，
∴，即．
又∵，
∴在Rt△COE中，，
∴．
【解题策略】这里构造直径所对的圆周角(直角)是解题的关键，它是一种重要的添加辅助线的方法，应注意掌握．
5、分析 BC可直接由勾股定理求出．求AD，BD的长，要先利用∠ACB被CD平分，得，然后再利用勾股定理求解．
解：因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝∠ADB＝90°．
在Rt△ACB中，BC＝＝8(cm)．
因为CD平分∠ACB，所以，所以AD＝BD，
所以在Rt△ADB中，AD＝BD＝(cm)．
【解题策略】 已知条件中若有直径，则先利用圆周角定理的推论得到直角三角
形，然后利用直角三角形的性质求解．
6、分析 在真正的足球比赛中，情况会很复杂， ( http: / / www.21cnjy.com )这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑．如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小．当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截．
解：连接BM，BN，过M，N，B三点作圆，显然A点在圆外．
连接MA交圆于C，连接NC，NA，则∠MAN＜∠MCN．
∵∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN，
因此在B点射门较好，
即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．
【解题策略】 谁射门更好，关键是看哪一点的 ( http: / / www.21cnjy.com )射门命中率更高，而射门的命中率的高低与射门点对球门两个边框M，N的张角大小有关，张角越大，命中的机会越大，于是可以考虑过M，N以及A，B中的任意一点作一圆，比较∠MAN与∠MBN的大小．
体验中考
1、分析 ∵AB为⊙O的直径，∠ACB为AB所对的圆周角，∴∠ACB＝90°．故选D．
2、分析 一台监视器监控到的最长弧所对应的圆心角为65°×2＝130°，因为，故至少在圆形边缘上安装3台监视器，才能监控整个展厅．故填3．
3、分析 此题考查圆中圆周角与圆心角的关系，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．故填80．
4、分析 在圆O中，弦CD⊥AB，AB为直径，所以，所以∠AEC＝∠ABD．因为∠AEC＝28°，所以∠ABD＝28°．故填28．
3.4确定圆的条件
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.
2.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
【重点难点】
1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．
2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．
3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
知识概览图
新课导引
【问题链接】 我们知道，经过一个点可以作无数条直线，经过两个点只能作一条直线，圆是由圆心和半径两个条件确定的．
教材精华
知识点1 过三点的圆
由圆的定义可知，圆有 ( http: / / www.21cnjy.com )两个要素：一个是圆心，另一个是半径．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小．
例如：作圆，使它经过已知点A．
分析 所求作的圆心和半径 ( http: / / www.21cnjy.com )都没有限制条件，因此，只要以点A以外的任意一点为圆心．以这一点(圆心)与点A的距离为半径，就可以作出要求作的圆，这样的圆有无数个(如图3－73所示)．
又如：作圆，使它经过A，B两点．
分析 如果要作经过A，B两点的圆 ( http: / / www.21cnjy.com )，那么就必须以到点A，B距离相等的点为圆心，因此，以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点(圆心)与点A或点B的距离为半径，就可以作出要求作的圆，这样的圆有无数个(如图3－74所示)．
再如：作圆，使它经过不在同一条直线上的三个已知点A，B，C．
分析 作圆的关键是确定圆心． ( http: / / www.21cnjy.com )因为所要求作的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离相等．因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上．显然，这两条垂直平分线的交点O到这三点的距离相等．以O为圆心，OB为半径的圆就是所要求作的圆．这样的圆有且只有一个(如图3－75所示)．
定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
拓展 (1)过同一条直线上的三个点不能作圆．
(2)“确定”一词应理解为“有且只有”．
知识点2 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念
三角形的三个顶点确定一个圆 ( http: / / www.21cnjy.com )，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形．
拓展 (1)“接”说明三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的顶点与圆的位置关系，圆经过三角形的各顶点，“三角形的外接圆”是以三角形为准，说明圆在它的外部．(2)锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心为斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部．无论哪种三角形，它们的外心都是三边的垂直平分线的交点，另外，只要三角形确定，那么它的外心与外接圆的半径就确定了．
规律方法小结 外心的位置特点如下表所示．
种类 外心的位置
锐角三角形 在三角形的内部
直角三角形 为斜边的中点
钝角三角形 在三角形的外部
课堂检测
基本概念题
1、下列命题中，真命题有 ( )
①经过三点一定可以作圆；
②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
基础知识应用题
2、如图3－76所示，点A，B，C表示 ( http: / / www.21cnjy.com )三个村庄，现要建一座水泵站向三个村庄供水，为使三条输水管长度相等，水泵站应建在何处 请画出示意图，并说明理由．
综合应用题
3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边长a，b是方程x2－4x＋2＝0的两个根，求Rt△ABC的外接圆的半径．
4、在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求其外接圆半径．
探索与创新题
5、如图3－78所示，在锐角三角形ABC中，BD，CE为高，求证B，C，D，E四点在同一个圆上．
体验中考
1、如图3－80所示，在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线．过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
(1)求证AC＝AE；
(2)求△ACD外接圆的半径．
2、先阅读，再解答．
我们在判断点(－7，20)是 ( http: / / www.21cnjy.com )否在直线y＝2x＋6上时，常用的方法是：把x＝－7代入y＝2x＋6中，由2×(－7)＋6＝－8≠20，判断出点(－7，20)不在直线y＝2x＋6上．小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点A(1，2)，B(3，4)，C(－1，6)三点可以确定一个圆，你认为他的推断正确吗 请你利用上述方法说明理由．
3、半径为R的圆内接正三角形的面积是 ( )
A． B． πR2 C． D．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 由定理“不在同一条直线上的 ( http: / / www.21cnjy.com )三个点确定一个圆”可知①为假命题．②为假命题，连接圆上任意三点构成的三角形都是圆的内接三角形，所以每一个圆都有无数个内接三角形．③为真命题．④为真命题．故选C．
【解题策略】 准确掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及三角形外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形等概念．
2、分析 设水泵站处为点O，则点O到A，B，C三点的距离相等．可得点O为△ABC的外心．
解：如图3－76所示，连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线MN，EF，直线MN与EF相交于点O，则水泵站应建在O处．
由以上作法知点O为△ABC的外心，
所以O到A，B，C三点的距离相等．
【解题策略】 若要证明某 ( http: / / www.21cnjy.com )一点为某个三角形的外心，只要证明该点是这个三角形任意两条边的垂直平分线的交点就可以了，但在填空题“三角形的外心是 的交点”中，答案应为“三角形三边垂直平分线”．
3、分析 由直角三角形的外心为斜边的中点可知Rt△ABC的斜边AB即为其外接圆的直径，因此只要求出AB的长度即可，而AB可由方程求得．
解：由勾股定理，得c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab．
∵a，b是方程x2－4x＋2＝0的两个根，
∴a＋b＝4，ab＝2，
∴c2＝42－2×2＝12，∴c＝．
∵直角三角形的外心是斜边的中点，∴Rt△ABC外接圆的半径为．
【解题策略】 求直角三角形外接圆的半径，只要求出直角三角形的斜边长，再除以2即可．
4、分析 如图3－77所示，作AD ( http: / / www.21cnjy.com )⊥BC，垂足为D．由等腰三角形的性质可知△ABC的外接圆圆心O必在AD上，欲求外接圆半径，只要求出OC即可，OC可在Rt△ODC中由勾股定理求得．
解：如图3－77所示，作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，BD＝BC＝6，
AD＝＝8．
又∵AD⊥BC于D，AB＝AC，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知△ABC的外心O在AD上．连接OC，设OA＝OC＝R，则OD＝AD－AO＝8－R，CD＝BC＝6．
在Rt△ODC中，OD2＋CD2＝OC2，∴(8－R)2＋62＝R2，解得R＝，即三角形的外接圆半径是．
【解题策略】 作辅助线构造直角三角形，设出未知数，利用勾股定理建立关于未知数的方程，是解决几何问题中求线段长的常用方法．
5、分析 利用“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”证明B，C，D，E四点到斜边的中点的距离相等．
证明：取BC的中点G，连接EG，DG．
∵∠BDC＝90°，G为BC的中点，∴DG＝BG＝CG．
同理，EG＝BG＝CG，∴DG＝CG＝BG＝EG，
∴D，C，B，E四点到点G的距离相等，
∴B，C，D，E四点在同一个圆上．
【解题策略】要证明几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到某一个定点的距离相等，这是解题的关键．
体验中考
1、分析 本题考查圆周角、弧、弦之间的关系以及外接圆、相似等知识的综合运用．
证明：(1)∵∠ACB＝90°，∴AD为直径．
又∵AD是△ABC的角平分线，∴，∴．∴AC＝AE．
解：(2)∵AC＝5，CB＝12，∴AB＝＝13．
∵AE＝AC＝5，∴BE＝AB－AE＝13－5＝8．
∵AD为直径，∴∠AED＝∠BED＝∠ACB＝90°．
∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBE，
∴，∴DE＝．∴AD＝．
∴△ACD外接圆的半径为．
【解题策略】知道“90°的圆周角所对的弦是直径”是求外接圆半径的关键．
2、分析 判断A，B， ( http: / / www.21cnjy.com )C三点是否可以确定一个圆，只需求出过任意两点的直线，再看第三点是否在所求直线上，若不在，说明三点不在同一条直线上，可以确定一个圆．
解：他的推断是正确的．
因为“两点确定一条直线”，设经过A，B两点的直线的解析式为y＝kx＋b．
由A(1，2)，B(3，4)，得解得
∴经过A，B两点的直线的解析式为y＝x＋1．
把x＝－1代入y＝x＋1中，
由－1＋1≠6，可知点C(－1，6)不在直线AB上，
即A，B，C三点不在同一条直线上．
所以A，B，C三点可以确定一个圆．
【解题策略】 掌握“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解此题的关键．
3、分析 圆内接正三角形被过顶点的半径分割成三个小等腰三角形，每个等腰三角形的底边为，底边上的高为，总面积为
3.6圆和圆的位置关系
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.掌握圆和圆的几种位置关系的概念及相切两圆连心线的性质．
2.根据两圆不同的位置关系，写出两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式；反过来，由两圆半径的和或差与圆心距的大小关系，判定两圆的位置关系．
3.培养学生亲自动手实验，学会观察图形，主动获得知识的能力．
【重点难点】
1.圆和圆的五种位置关系的概念及相切两圆的连心线的性质．
2.理解相切两圆连心线性质的证明．
知识概览图
新课导引
【生活链接】 观察现实生活中的实例：如轴承、奥运会标志图案等．
【问题探究】 上述图形中都包含两个以上的圆，圆和圆之间有的相切、有的相交，那么圆和圆之间有几种位置关系呢
【点拨】 在同一平面内两个不等的圆之间有五种位置关系，即：外离、外切、相交、内切、内含．
教材精华
知识点1 圆和圆的位置关系
同一平面内两个不等的圆之间有下列五种位置关系：
(1)两圆外离(如图3－120(1)所示)；
(2)两圆外切(如图3－120(2)所示)；
(3)两圆相交(如图3－120(3)所示)；
(4)两圆内切(如图3－120(4)所示)；
(5)两圆内含(如图3－120(5)所示)．
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拓展 (1)事实上，圆和圆的五种位置关系由两个因素确定：①公共点的个数；②一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部．两圆没有公共点时，有外离和内含两种位置关系，前者是一个圆上的点都在另一个圆的外部，后者是一个圆上的点都在另一个圆的内部；两圆有唯一公共点时，有外切和内切两种位置关系，前者是除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部，后者是除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的内部；两圆有两个公共点时．一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部，有的在另一个圆上．所以两圆相交只需用“有两个公共点”一个条件即可判定，这个条件也是两圆相交的唯一特征．(2)两圆的五种位置关系还可以进一步概括为：①相离 ②相切 ③相交．(3)两圆外切和两圆内切，统称为两圆相切，唯一的公共点称为切点．
知识点2 两圆相切的性质及两圆的半径、圆心距之间的关系
两圆相切的性质：如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点．
例如：如图3－121所示，已知⊙O1与⊙O2相切(包括内切和外切)于点T．求证切点T一定在连心线O1O2上．
证明：假设切点T不在O1O2上．
∵连心线O1O2是由⊙O1，⊙O2组成的图形的对称轴，
∴点T关于O1O2的对称点T′也不在O1O2上，
并且也是⊙O1和⊙O2的公共点，即⊙O1，⊙O2有两个公共点T，T′．
这与已知⊙O1，⊙O2相切(只有唯一公共点)矛盾，
∴⊙O1，⊙O2相切时，切点T一定在连心线O1O2上．
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拓展 (1)要正确区分连心 ( http: / / www.21cnjy.com )线和圆心距．连心线是指经过不同心的两个圆圆心的一条直线，而圆心距是指两个圆圆心之间的线段的长度，显然两个圆圆心的连线(线段)一定在连心线(直线)上．(2)“相切两圆的连心线经过切点”也可理解为“相切两圆的圆心、切点在同一条直线上”或“经过相切两圆的切点和一个圆圆心的直线必经过另一个圆的圆心”．(3)两圆相切时，连心线是常用的一条辅助线，使用连心线时，要注意连心线是直线而不是线段，有时也用圆心距．
相切两圆的半径、圆心距之间的数量关系．
设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，则：
(1)两圆外切d＝R＋r(如图3－122(1)所示)．
(2)两圆内切d＝R－r(R＞r)(如图3－122(2)所示)．
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拓展 (1)上述式子从左到右是两圆位置关系的性质，从右到左是两圆位置关系的判定．(2)两圆相切有两种情况：外切和内切．(3)两圆外离、相交、内含与两圆的半径、圆心距之间的数量关系如下：①两圆外离d＞R＋r(如图3－123(1)所示)；②两圆相交R－r＜d＜R＋r(R≥r)(如图3－123(2)所示)；③两圆内含d＜R－r(R＞r)(如图3－123(3)所示)．
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规律方法小结 1．本节在 ( http: / / www.21cnjy.com )研究圆和圆的位置关系时涉及的思想方法有分类讨论思想和数形结合思想．对于圆和圆的五种位置关系，要结合相对应的图形理解，并在理解的基础上分析其特征，进行归纳、总结．
2．关于圆和圆的五种位置关系如下表所示：
位置关系 图形 交点数 圆心距与半径的关系
外离 ( http: / / www.21cnjy.com ) 0 d＞R＋r
外切 ( http: / / www.21cnjy.com ) 1 d＝R＋r
相交 ( http: / / www.21cnjy.com ) 2 R－r＜d＜R＋r(R≧r)
内切 ( http: / / www.21cnjy.com ) 1 d＝R－r(R＞r)
内含 ( http: / / www.21cnjy.com ) 0 d＜R－r(R＞r)
课堂检测
基本概念题
1、同一平面内，若两圆没有公共点，则这两个圆的位置关系是 ( )
A．外离 B．相切 C．相交 D．外离或内含
2、若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，则这两个圆的圆心距是 ( )
A．5 B．1 C．1或5 D．1或4
基础知识应用题
3、如图3－124所示，⊙O1和⊙O2相切于点P，过点P的直线交⊙O1于点A，交⊙O2于点B，求证O1A∥O2B．
( http: / / www.21cnjy.com )
综合应用题
4、已知⊙O1与⊙O2的半径分别为R，r，且R≥r，R，r是方程x2－5x＋2＝0的两个根，设O1O2＝d．
(1)若d＝，试判断⊙O1，与⊙O2的位置关系；
(2)若d＝3，试判断⊙O1与⊙O2的位置关系；
(3)若d＝4．5，试判断⊙O1与⊙O2的位置关系；
(4)若两圆相切，求d的值．
5、如图3－125所示，已 ( http: / / www.21cnjy.com )知半圆的直径AB＝16，过点O作OC⊥AB，交半圆于点C，以OC为直径作⊙O1，⊙O2与⊙O1外切，与半圆O内切，且与AB相切，求⊙O2的半径及⊙O1和⊙O2的公共切线OE的长．
探索与创新题
6、已知两个等圆⊙O1和⊙O2交于A，B两点，⊙O1经过点O2，点C是上的任一点(不与A，O2，B重合)，连接BC并延长，交⊙O2于点D，连接AC，AD．
(1)操作、测量(图3－1 ( http: / / www.21cnjy.com )26(1)供操作、测量用)，测量时可使用刻度尺或圆规：将图3－126(1)按题中叙述补充完整，并观察或度量AC，AD，CD三条线段的长短，通过观察或度量，说出三条线段长度之间存在怎样的关系；
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)猜想结论(求证部分)，并证明你的猜想；(在你补充完整的图3－126(1)中进行证明)
(3)如图3－126(2)所示，若点C是的中点，AC与O1O2交于点E，连接O1C，O2C，求证CE,＝O1O2·EO2．
体验中考
1、若两圆的半径分别是1 cm和5 cm，圆心距为6 cm，则这两圆的位置关系是 ( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
2、如图3－127所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，⊙P与⊙O相交于A，B两点，⊙P经过圆心O，点C是⊙P的优弧AB上任意一点(不与点A，B重合)，连接AB，AC，BC，OC．
(1)指出图中与∠ACO相等的一个角；
(2)当点C在⊙P上什么位置时，直线CA与⊙O相切 请说明理由；
(3)当∠ACB＝60°时，两圆半径有怎样的大小关系 说明你的理由．
3、如图3－130所示的圆与圆之间不同的位置关系有 ( )
A．2种 B．3种
C．4种 D．5种
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 两圆没有公共点时，有外离和内含两种位置关系，故选D．
【解题策略】 准确掌握圆和圆的五种位置关系的概念是解此题的关键．
2、分析 两圆相切有两种情况：外切和内切．当 ( http: / / www.21cnjy.com )两圆外切时，两圆的圆心距d＝R＋r＝3＋2＝5；当两圆内切时，两圆的圆心距d＝R－r＝3－2＝1．∴两圆的圆心距是1或5．故选C．
【解题策略】 注意分类讨论思想的运用，两圆相切包含外切和内切两种情况．
3、 ( http: / / www.21cnjy.com )
分析 图3－124给出了内 ( http: / / www.21cnjy.com )切、外切两种情况，因此要分两种情况进行证明．①如图3－124(1)所示，连接O1O2，则O1O2必过切点P；②如图3－124(2)所示，连接O1O2并延长，则必过切点P．要证O1A∥O2B，在①中只要证∠A＝∠B即可，在②中只要证∠A＝∠O2BP即可．
证明：如图3－124(1)所示，连接O1O2，则O1O2必过切点P．
∵O1A＝O1P，∴∠A＝∠O1PA．又∵O2B＝O2P，∴∠B＝∠O2PB．
∵∠O1PA＝∠O2PB，∴∠A＝∠B，∴O1A∥O2B．
如图3－124(2)所示，连接O1O2并延长，
则O1，O2的延长线必过切点P．∵O1A＝O1P，∴∠A＝∠P．
又∵O2B＝O2P，∴∠O2BP＝∠P，∴∠A＝∠O2BP，∴O1A∥O2B．
【解题策略】 由于相切两圆的连心线经过切点，所以涉及两圆相切的问题时，作连心线(或圆心距)是一种重要的添加辅助线的方法．
4、分析 解本题的关键有两点：①一元二次方程的根与系数的关系的应用．由R，r是方程x2－5x＋2＝0的两个根，可知R＋r＝5，Rr＝2，而R－r＝＝．②两圆的位置关系与两圆的圆心距、两圆半径之间的数量关系的应用．
解：∵R，r是方程x2－5x＋2＝0的两个根，∴R＋r＝5，Rr＝2．
∵R－r≥0，∴R－r＝＝．
(1)∵d＝＝5．5＞5，即d＞R＋r，∴两圆外离．
(2)∵d＝3＜，即d＜R－r，∴两圆内含．
(3)∵d＝4．5，＜4．5＜5，即R－r＜d＜R＋r，∴两圆相交．
(4)要使两圆相切，则d＝R＋r或d＝R－r，
∴当d＝5或d＝时，两圆相切．
【解题策略】 本例是代数中一元二次方程的知识与几何中圆和圆的位置关系相结合的一个典型例题，要仔细体会．
5、分析 作O2D∥AB，交OO1于点D，连接O1O2，OO2，设OB切⊙O2于点E，连接O2E，利用直角三角形进行求解．
解：设⊙O1，⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O2的半径分别为R，r，连接O1O2，OO2，过点O2作O2D∥OB交OO1于点D，设OB切⊙O2于点E，连接O2E，则O2E⊥OB，四边形OEO2D为矩形．
O1O2＝R＋r＝4＋r，O1D＝R－r＝4－r，OO2＝OB－r＝8－r，
因为，
所以(4＋r)2－(4－r)2＝(8－r)2－r2，解得r＝2．
所以
．
【解题策略】 有关两圆公 ( http: / / www.21cnjy.com )共切线的问题，常常过其中一个圆心作公共切线的平行线，与两圆连心线构成直角三角形，这样就可运用直角三角形的性质进行论证或计算．
6、分析 本题是将操作、测量、猜想、 ( http: / / www.21cnjy.com )证明集于一体的探究题，为了更好地考查学生动手操作图形的能力和探索、创新的能力，采用了留空回填的命题思路．
解：(1)将图3－126(1)按要求补充完整如图3－126(3)所示，通过观察、度量，可以得出AC，AD，CD三条线段相等．
(2)结论：△ACD是等边三角形．证明如下：连接AO1，AO2，O1O2，O1B，O2B．
∵⊙O1，⊙O2是等圆，且⊙O1过点O2，
∴AO2＝O1O2＝O1A，∴∠AO2O1＝60°．同理可得△O1BO2为等边三角形，
∴∠O1O2B＝60°，∴∠AO2B＝120°，∴∠ACB＝∠AO2B＝120°，
∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－120°＝60°．
又∵∠ADB＝∠A O2B＝×120°＝60°，∴△ACD是等边三角形．
证明：(3)如图3－126(2)所示，连接O1A，O1B．
由(2)可得∠BO1O2＝60°，∠AO1O2＝60°．
∵点C是的中点，∴，
∴∠BO1C＝∠CO1O2＝∠BO1O2＝30°．
∵∠ACO2＝∠AO1O2＝×60°＝30°，∴∠O2CE＝∠O2O1C．
又∵∠CO2E＝∠O1O2C，∴△CO2E∽△O1O2C，
∴∠O2EC＝∠O2CO1，，．
又∵O1C＝O1O2，∴∠O1O2C＝∠O1CO2＝∠CEO2，
∴CE＝CO2，∴CE＝O1O2·EO2．
【解题策略】 当两个等圆中的一个圆经 ( http: / / www.21cnjy.com )过另一个圆的圆心时，这两个圆的圆心与两圆的两个交点构成两个等边三角形．如图3－126(3)所示，△AO1O2和△BO1O2均为等边三角形．
体验中考
1、分析 本题主要考查两圆的位置关系的判定．因为1＋5＝6，即两圆半径之和等于其圆心距，所以两圆的位置关系为外切．故选C．
2、解：(1)∠BCO＝∠ACO．
(或当时，∠ABC＝∠ACO；当时，∠CAB＝∠ACO)；
(2)当点C与点O，P共线时，直线CA与⊙O相切．连接AO，如图3－128所示．
∵OC是⊙P的直径，∴∠CAO＝90°，∴OA⊥CA．
又∵点A在⊙O上，∴CA是⊙O的切线．
(3)当∠ACB＝60°时，两圆半径相等．
理由：如图3－129所示，连接AP，BP，AO，BO，OP．
∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°．
又∵AO＝OB，∴∠APO＝∠BPO＝∠APB＝60°．
又∵PA＝PO，∴△APO是等边三角形．
∴OA＝PA．即两圆半径相等．
3、分析 由图可知，这些圆之间共有相交和内切两种位置关系．
3.8圆锥的侧面积
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.经历探索圆锥侧面积计算公式的过程.
2.了解圆锥的侧面积计算公式,并会应用公式解决问题.
【重点难点】
1.探索圆锥侧面积计算公式, 会应用公式解决问题.
2.理解圆锥侧面积公式的由来.
知识概览图
新课导引
【生活链接】你见过蒙古包吗 蒙古包可看成是由圆锥和圆柱组成的，类似地，还有粮囤等．
教材精华
知识点1 圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形．如图3－153所示，设圆锥的母线长为l，底面的半径为r，那么这个扇形的半径为l．扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积S侧＝l·2πr＝πrl；圆锥的全面积S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝πr(l＋r)．
拓展 (1)圆锥的侧面积与底面积 ( http: / / www.21cnjy.com )之和称为圆锥的全面积．(2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是掌握圆锥的侧面积公式，并明确圆锥的全面积S全与侧面积S侧之间的关系．
知识点2 圆柱的侧面积
圆柱的侧面展开图是矩形．如图3 ( http: / / www.21cnjy.com )－154所示，它的两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面的周长．若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积S侧＝2πr·h，圆柱的全面积S全＝S侧＋2S底＝2πr·h＋2πr2＝2πr(h＋r)．
拓展 (1)本知识点在教材中未涉及， ( http: / / www.21cnjy.com )但做题时会用到，因此也应该掌握．(2)圆柱的全面积等于侧面积与上、下两个底面积的和．(3)研究有关圆柱的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆柱的侧面积公式，并明确圆柱的全面积S全和侧面积S侧之间的关系．
规律方法小结 1．圆锥 ( http: / / www.21cnjy.com )的侧面展开图是扇形，底面是圆形，因此研究圆锥的有关问题，一般都转化为扇形和圆的问题；而圆柱的侧面展开图是矩形，上、下两底面是圆形，因此研究圆柱的有关问题，一般都转化为矩形和圆的问题．除了转化思想外，还要注意数形结合思想的运用．
2．圆锥和圆柱的比较．
名称 圆锥 圆柱
图形 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图形的形成过程 由一个直角三角形旋转得到，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周 由一个矩形旋转得到，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周
图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面
侧面展开图的特征 扇形 矩形
面积的计算方法 S侧＝πrlS全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2 S侧＝2πrhS全＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2
课堂检测
基础知识应用题
1、已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为 ．
2、如图3－155所示，一个圆锥的高是10 cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积．
3、要在如图3－156(1)所示的 ( http: / / www.21cnjy.com )一个机器零件(尺寸单位：mm)表面涂上防锈漆，零件的部分尺寸已测出，如图3－156(2)所示，请你帮助计算一下这个零件的表面积．(π取3．14，结果保留3个有效数字)
( http: / / www.21cnjy.com )
综合应用题
4、如图3－157所 ( http: / / www.21cnjy.com )示，Rt△ABC的斜边AB＝5 cm，直角边AC＝4 cm，BC＝3 cm，以直线AB为轴旋转一周，得到的几何体的表面积为 ( )
A．22．56π cm2 B．16．8π cm2 C．9．6πcm2 D．7．2π cm2
( http: / / www.21cnjy.com )
5、如图3－159所示，圆柱的轴截面 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD是边长为4的正方形，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则动点P移动的最短路程为 ( )
A． B．
C． D．
探索与创新题
6、如图3－161所示，有一半径为1 m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC．
(1)求被剪掉的阴影部分的面积；
(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面的半径是多少
体验中考
1、如图3－162所示，小红同学要用纸板制作一个高4 cm，底面周长是6cm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是 ( )
A．12π cm2 B．15π cm2
C．18π cm2 D．24π cm2
2、如图3－163所示，若用半径为9、圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计，则这个圆锥的底面半径是 ( )
A．1．5 B．2 C．3 D．6
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的侧面积就是圆锥侧面展开图的面积，即扇形面积．由题意可知，这个圆锥的母线长l＝6，圆锥的底面半径r＝＝2，∴S侧＝πrl＝π×2×6＝12π．故填12π．
【解题策略】知道圆锥的侧面积是扇形面积，扇形的半径是圆锥的母线长，是解此题的关键．
2、分析 欲求圆锥的侧面积，需求出圆锥的母线长l、底面半径r．在Rt△SOA中，OS＝10，SA＝l，OA＝r，由题意，得＝2πr，即l＝2r．
解：设圆锥的底面半径为r，扇形的弧长为C，母线长为l，
由题意，得C＝，又C＝2πr，∴＝2πr，∴l＝2 r．
在Rt△SOA中，l2＝r2＋102，∴cm，cm,
∴圆锥的侧面积S＝πrl＝ (cm2)．
【解题策略】 利用圆锥的高、底面半径、母线三者构造的直角三角形去求圆锥的底面半径、母线长，是解此题的关键．
3、分析 由图3－156(2)可知，r＝CB＝40，h＝CD＝100，PD＝＝50，代入公式即可求得表面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
解：由图3－156(2)可知，r＝40，h＝100，PD＝＝50，
∴S表面积＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S圆柱底＝πrl＋2πrh＋πr2＝2000π＋8000π＋1600π
＝11600π≈3．64×104 (mm2)．
∴这个机器零件的表面积约为3．64×104mm2．
【解题策略】 理解公式中各字母的含义是解题的关键．
( http: / / www.21cnjy.com )
4、分析 旋转一周所得到的几何体可以看做由两个圆锥组成，上面的圆锥以AC为母线，下面的圆锥以BC为母线(如图3－158所示)．∵△ACB为直角三角形，∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴AC·BC＝CD·AB，∴CD＝＝2．4(cm)．CD的长即为两个圆锥的半径，所求的几何体的表面积就是上、下两个圆锥侧面积的和．∴S＝π·CD·AC＋π·CD·BC＝π×2．4×4＋π×2．4×3＝16．8π(cm2)．故选B．
【解题策略】 图形的旋转，特别是 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的旋转往往构成锥体，在求表面积的过程中，需设法把组合图形拆成几个表面积可求的图形，再利用公式求值．本题所形成的几何体是共底的两个锥体，其底面半径为Rt△ABC斜边AB上的高，母线长分别为两直角边AC，BC的长．
5、分析 将圆柱的侧面沿母线AD展开，得到的矩形如图3－160所示，从而将曲面上的问题转化为平面上的问题，则P，S两点间的最短曲线长即为线段PS(或AS)的长．由图可知BS＝BC＝×4＝2，AB＝×2πr＝×2π×2＝2π．在Rt△ABS中，AS＝＝．故选A．
【解题策略】 解此类题可将圆柱的侧面展开成平面图形的矩形，再根据两点之间线段最短来解决问题．
6、分析 (1)阴影部分的面积等于⊙O的面积减去扇形ABC的面积，要求扇形的面积，需求扇形的半径AB的长，连接BC，则BC为⊙O的直径，故在Rt△ABC中可求出AB的长．(2)求圆锥的底面半径实质上是求扇形ABC的的长，由(1)中求出的AB的长易求出的长．
解：(1)连接BC．∵∠BAC＝90°，∴BC为⊙O的直径，
∴AB2＋AC2＝BC2＝22．
又∵AB＝AC，∴AB＝(m)，
∴S扇形ABC＝，
∴S阴影＝S⊙O－S扇形ABC＝π×12－π＝π(m2)．
∴被剪掉的阴影部分的面积为πm2．
(2)设圆锥的底面半径为r，依题意得＝2πr，∵r＝ (m)．
∴圆锥底面的半径为m．
【解题策略】 围成的圆锥的底面半径可由扇形的弧长(即圆锥底面圆的周长)去求得．
体验中考
1、分析 本题主要考查圆锥的相关计算，由底面周长为6π cm，可求得底面半径为3 cm，又因为高为4 cm，可求得母线长为5 cm，所以S侧＝×6π×5＝15π．故选B．
2、分析 设围成的圆锥的底面的半径为r，则底面周长为l＝2πr，则，解得r＝3．故选C．
圆
圆的定义
点与圆的位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
圆的有关概念：弧、弦、直径
垂径定理及其逆定理
圆的旋转不变性
圆心角、弦心距等概念
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆的对称性
圆周角和圆心角的关系
圆周角的概念
圆周角定理
圆周角定理的推论
确定圆的条件
过三点的圆
三角形的外接圆与圆的内接三角形的概念
三角形的外心的概念
圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含
两圆相切的性质
相切两圆的半径与圆心距之间的数量关系
圆锥的侧面积
圆锥的侧面积公式
圆柱的侧面积公式
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程.
2.理解圆的概念，理解点与圆的位置关系.
【重点难点】
1.圆及其有关概念，点与圆的位置关系.
2.用集合的观念描述圆.
知识概览图
新课导引
【生活链接】 在现实生活中，通过观察你会发现，像车轮、齿轮等都做成圆形，家用餐具中，锅、碗、盆等多数也是圆形．
【问题探究】 在现实生活中，还有许多物品都是做成圆形的．那么，你能描述出什么样的图形叫做圆吗
【点拨】 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．
教材精华
知识点1 圆的定义
平面上到定点的距离等于定长的所有 ( http: / / www.21cnjy.com )点组成的图形叫做圆．其中，定点称为圆心，定长称为半径的长(通常也称为半径)．如图3－1所示，OA为半径，以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”．
拓展 确定一个圆需要两个要素：一是 ( http: / / www.21cnjy.com )圆心；二是半径．圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽然圆的位置固定，但大小不确定，因而圆不确定；只有半径没有圆心，虽然圆的大小固定，但圆心的位置不确定，因而圆也不确定．只有圆心和半径都固定了，圆才被唯一确定．
探究交流 (1)以已知点O为圆心，可以画 个圆；
(2)以已知线段AB的长为半径，可以画 个圆．
点拨 由于确定一个圆要有两个条件，即圆心和半径，而两个问题中都只有一个条件，这样的圆不能确定．故都应填“无数”．
同时要注意到(1)中的圆都有相同的圆心，称为同心圆；(2)中的圆都有相同的半径，称为等圆．
知识点2 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内，如图3－2所示．
点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径(OA＞r)；
点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径(OB＝r)；
点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径(OC＜r)．
拓展 点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．即：如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：(1)点在圆外d＞r；(2)点在圆上d＝r；(3)点在圆内d＜r．
探究交流 设AB＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形．
(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形；
(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形．
点拨 (1)到点A的距离都等于2 cm的所 ( http: / / www.21cnjy.com )有点组成的图形是⊙A，到点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙B，同时满足这两个条件的点为既在⊙A上，又在⊙B上的点，即为点P、点Q(如图3－3所示)．
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)满足条件的点为既在⊙A内，又在⊙B内的点，即如图3－4所示的阴影部分，但要注意不包括阴影的边界．
规律方法小结 1． ( http: / / www.21cnjy.com )本节运用的思想方法有分类讨论思想和转化思想．如：在分析点与圆的位置关系时，运用了分类讨论思想，而在判断点与圆的位置关系时，把问题转化为用点到圆心的距离与半径之间的数量关系来判断，运用了转化思想．
2．(1)确定一个圆需要圆心和半径两个要素．(2)点与圆的位置关系可由点到圆心的距离与半径之间的数量关系来确定．
课堂检测
基本概念题
1、求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
基础知识应用题
2、两个圆的圆心都是O，半径分别为r和R(R＞r)，点A满足r＜OM＜R，那么点A在 ( )
A．小圆内 B．大圆内 C．小圆外大圆内 D．小圆内大圆外
综合应用题
3、如图3－6所示，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm．
(1)以点A为圆心，4 cm长为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何
(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么
4、如图3－7所示，⊙O′过坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标原点O，点O′的坐标为(1，1)，判断点P(－1，1)，Q(1，0)，R(2，2)和⊙O′的位置关系．
探索与创新题
5、爆破时，导火索燃烧时的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度是每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域．如果这根导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全
6、已知线段AB＝4 cm，试用阴影表示到点A的距离不小于3 cm，而到点B的距离小于2 cm的点的集合．
体验中考
1、在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心O的距离为3 cm．则点P与⊙O的位置关系是 ．
2、如图3－11所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB的度数为 ．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、已知：如图3－5所示，四边形ABCD为矩形，O是对角线AC和BD的交点．
求证：A，B，C，D各点在以O为圆心的同一个圆上．
分析 欲证A，B，C，D各点在以O为圆心的同一个圆上，需证明OA＝OB＝OC＝OD．
证明：因为四边形ABCD是矩形，
所以AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
所以OA＝OB＝OC＝OD．所以A，B，C，D各点在以O为圆心的同一个圆上．
【解题策略】 解此类题要把文字语言转化为数学语言，根据题意画出图形，写出已知、求证，再进行证明，这是解此类问题的一般步骤．
2、分析 由于r＜OA，所以点A在小圆外，而OA＜R，所以点A在大圆内．故选C．
【解题策略】 要判断平面上一点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离与半径的大小即可．
3、分析 要判断B，C，D与⊙A的位置关系，只需比较AB，AC，AD的长与半径4 cm的大小．
解：(1)连接AC．∵AB＝3 cm＜4 cm，∴点B在⊙A内．
∵AD＝4 cm，∴点D在⊙A上．
在Rt△ABC中，∵AC＝＝5 cm＞4 cm，
∴点C在⊙A外．
(2)∵AB＝3 cm，AD＝4 cm，AC＝5 cm，
∴点B到圆心A的距离3 cm是最短的距离，点C到圆心A的距离5 cm是最长的距离．
要使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是3 cm＜r＜5 cm．
【解题策略】 要确定⊙A的半径r的取值范围，需要知道B，C，D三点到点A的距离，即确定出最短距离和最长距离，才能确定半径r的取值范围．
4、分析 解此题的关键是先求出⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )′的半径，即OO′的长，其次要分别求出点P、点Q、点R到圆心O′的距离PO′，QO′和RO′的长，再用OO′的长与PO′，QO′和RO′的长比较，即可得结论．
解：⊙O′的半径r＝OO′＝，
，
，
.
∵PO′＞r．∴点P在⊙O′外；
∵QO′＜r．∴点Q在⊙O′内；
∵RO′＝r．∴点R在⊙O′上．
【解题策略】 本题在解题中应用了平面内任意两点间的距离公式．设平面内任意两点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则．
5、分析 爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，120米为半径的圆的圆外部分．
解：导火索燃烧的时间为＝20(秒)，人跑的路程为20×6．5＝130(米)．
∵130米＞120米，∴点导火索的人是安全的．
【解题策略】 解此题的关键是求人跑的路程，再与120米相比较．
6、分析 到点A的距离不小于3 cm．即所求 ( http: / / www.21cnjy.com )点应在以A为圆心、3 cm长为半径的⊙A的圆上及其外部；而到点B的距离小于2 cm的点应在以B为圆心、2 cm长为半径的⊙B的内部．
解：根据题意画出图形如图3－8所示，其中阴影部分即为所求．
体验中考
1、分析 因为点P到圆心O的距离为3 cm＜5 cm，所以点P在⊙O内．故填点P在⊙O内．
2、分析 本题比较容易，考 ( http: / / www.21cnjy.com )查圆的相关性质，根据∠ACO＝32°可知∠CAO＝32°，从而∠COB＝∠ACO＋∠CAO＝32°＋32°＝64°．故填
3.2圆的对称性
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程．
2．理解圆的对称性及相关知识．
3．理解并掌握垂径定理及其逆定理．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．
【重点难点】
1.垂径定理及其逆定理．
2.垂径定理及其逆定理的证明.
知识概览图
新课导引
【生活链接】 对于现实生活中的各种圆形物体，我们可以发现它们的对称美．
教材精华
知识点1 圆的轴对称性
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
拓展 圆的对称轴有无数条．不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称轴是一条直线，应该说每条直径所在的直线都是圆的对称轴．
知识点2 与圆有关的概念
(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，如图3－13所示，以A，B为端点的弧记作“”．读作“圆弧AB”或“弧AB”．
(2)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧(用三个字母表示，如图3－14所示的)；小于半圆的弧叫做劣弧(如图3－14所示的)．
(3)连接圆上任意两点的线段叫做弦(如图3－14所示的线段CD)．
(4)经过圆心的弦叫做直径(如图3－14所示的AB)．直径等于半径的2倍．
拓展 (1)直径是弦，但弦不一定是直径．(2)半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．
知识点3 垂径定理及其逆定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
如图3－15所示，垂径定理的题设和结论可用符号语言表示为：
拓展 (1)这里 ( http: / / www.21cnjy.com )的“垂径”可以是直径、半径、过圆心的直线或线段．(2)条件中的“弦”可以是直径，结论中的“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧．
垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
如图3－15所示，垂径定理的逆定理的题设和结论可用符号语言表示为：
拓展 一定不能忽略“弦不是直径”这个条件，因为圆中任意两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直．
由垂径定理及其逆定理可得的其他结论．
对于一个圆和一条直线来说，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )具备下列五个条件中的任意两个，那么就可推出其他三个：①垂直于弦；②平分弦；③平分弦所对的优弧；④平分弦所对的劣弧；⑤过圆心．
知识点4 圆的旋转不变性
圆是以圆心为对称中心的中心对称 ( http: / / www.21cnjy.com )图形．实际上，一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．
如图3－16所示，⊙O绕圆心O旋转任意一个角度α，⊙O上的任意点A与A′重合，即⊙O上的所有点旋转α角后，都与⊙O上的点重合．
知识点5 圆心角、弦心距的概念
顶点在圆心的角叫做圆心角．
圆心到弦的距离叫做弦心距．
如图3－17所示，∠AOB是⊙O的一个圆心角，垂线段OC的长为弦AB的弦心距．
知识点6 圆心角、弧、弦之间的关系
圆的一个特性：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
如图3－18所示，若下列三个等式：①∠AOB＝∠COD，②AB＝CD，③中有一个等式成立，则其他两个等式也成立．
拓展 (1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若丢掉这个前提条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系．(3)上述关系中的“弧”一般指劣弧．(4)在具体运用上述关系解决问题时，可根据需要选择其有关部分．如：在同圆中，相等的弦所对的弧相等；在等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．(5)上面的定理可以扩充为“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系的定理”——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－19所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：①∠AOB＝∠COD，②AB＝CD，③，④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立．
探究交流 长度相等的弧是等弧．
点拨 因为在同圆或等圆中，能 ( http: / / www.21cnjy.com )够重合的两条弧叫做等弧，所以等弧必须是在同圆或等圆中的弧，也只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合．因此长度相等的弧不一定是等弧．
规律方法小结 1．本节解决问题 ( http: / / www.21cnjy.com )的主要思想方法是数形结合思想，通过图形把垂径定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系展现出来，将几何问题代数化．如垂径定理的应用，解题过程中使用列方程的方法，用代数方法解决几何问题．
2．(1)与圆有关的一些概念的比较．
概念 区别与联系
直径和弦 直径是弦，但弦不一定是直径
半圆和弧 半圆是弧，但弧不一定是半圆
同心圆、等圆 同心圆是指圆心相同、半径不等的圆；等圆是指半径相等、圆心不同的圆
(2)垂径定理及其逆定理和几 ( http: / / www.21cnjy.com )个相关的结论是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．在理解定理的前提下，要把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径、弦心距、弦长及弓形的高之间的关系式．
如图3－20所示，对于一个圆中 ( http: / / www.21cnjy.com )的弦长a、弦心距d、半径r及弓形的高h，我们利用垂径定理和勾股定理，由a，d，r，h中的任意两个可求其他两个．
①若已知r，d，则a＝2 ；h=r－d．
②若已知r，h，则a＝2 ；d＝r－h．
③若已知r，a，则；．
④若已知d，h，则r＝h＋d；a=2．
⑤若已知a，d，则；．
⑥若已知a，h，则；．
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．如图3－21所示，弦AB与及组成两个不同的弓形．
弧的中点到弦的距离叫做弓形的高．如图3－22所示，C为的中点，CD⊥AB于D，则CD为弓形ACB的高．
(3)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦和两条弦的弦心距四组量之间的相等关系可以概括为：圆心角相等弧相等弦相等弦心距相等．
课堂检测
基本概念题
1、下列语句中，不正确的有 ( )
①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．
A．①③④ B．②③ C．② D．②④
基础知识应用题
2、如图3－23所示，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，直径MN⊥AB于E，MN交CD 于F，根据垂径定理，请你至少写出五个结论．
( http: / / www.21cnjy.com )
3、如图3－25所示，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则⊙O的半径长为 cm．
4、如图3－26所示， ( http: / / www.21cnjy.com )在⊙O中，过圆周上一点A作弦AB和AC，且AB＝AC，M和N分别为弦AB及AC的中点，连接MN并向两方延长，交圆于P和Q两点，求证PM＝NQ．
综合应用题
5、如图3－27所示⊙O1和⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O2相交于A和B两点，过点A作O1O2的平行线交两圆于C，D两点，已知O1O2＝20 cm，求CD的长．
6、如图3－28所示，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径画圆，分别交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证．
探索与创新题
7、如图3－29所示，在半圆O中，半径OF⊥AB于O，OF交CD于点E，CD∥AB，则弦AC与BD是否相等
8、如图3－30所示，∠APC＝∠BPC，PC过圆心O，请判断PA与PB之间的大小关系．
体验中考
1、如图3－33所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝，BD＝，则AB的长为 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
2、如图3－34所示，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 ．
3、如图3－35所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6 cm，则直径AB的长是 ( )
A．cm B．cm
C．cm D．cm
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 ①是正确的；②不正确，因为弧不一 ( http: / / www.21cnjy.com )定是半圆，如优弧是弧，但不是半圆；③是正确的；④不正确，因为等弧是在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧．所以不正确的有②④．故选D．
【解题策略】准确理解弦、直径、弧、半圆、等弧等与圆有关的概念．
2、分析 由MN⊥AB．MN为直径，可得AE＝BE，，．由MN⊥AB，AB∥CD，可得MN⊥CD，CF＝DF，，．又由，，可得，即．
解：答案不唯一，如由MN⊥AB，MN为直径，可得AE＝BE，，．由MN⊥AB，AB∥CD，可得MN⊥CD，，，．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解题策略】 由本例我们得出垂径定理的一个重要推论，即圆的两条平行弦所夹的弧相等．如图3－24所示，若AB∥CD，则 ．
3、分析 欲求半径长，可连接OB．由垂径定理．可得BC＝AC＝AB＝×8＝4(cm)．在Rt△OCB中，OB＝＝5(cm)．即⊙O的半径长为5 cm．故填5．
【解题策略】 (1 ( http: / / www.21cnjy.com ))垂径定理的应用常与勾股定理相联系．(2)连接半径是圆中常见的一种辅助线的作法．通过连接半径可构造出直角三角形，再利用勾股定理求相关线段的长度．
4、分析 欲证PM＝NQ，由PQ为弦 ( http: / / www.21cnjy.com )，容易联想到作弦心距OH，则PH＝HQ连接OM，ON．现只需证MH＝HN即可．又M，N分别为弦AB，AC的中点，易知OM＝ON，所以可证MH＝NH．
证明：作OH⊥PQ于H，则PH＝HQ连接OM，ON．
∵M，N分别是弦AB，AC的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥AC．∵AB＝AC，∴OM＝ON．
∵OH⊥MN，∴MH＝HN．∴PH－MH＝HQ－HN，∴PM＝NQ．
【解题策略】本例反复运用垂径定理及其逆定理和推论来达到证题的目的，要仔细体会遇弦作弦心距这种辅助线作法的应用．
5、分析 可过O1作O1E⊥CD于E，过O2作O2F⊥CD于F，这样就可构造出矩形O1O2FE，再利用矩形及垂径定理的相关知识求解．
解：过O1作O1E⊥AC于E，过O2作O2F⊥AD于F，
由垂径定理，可得AE＝EC，AF＝DF，
∴EF＝AE＋AF＝CD．
∵EF∥O1O2，O1E∥O2F，O1E⊥AC，O2F⊥AD，
∴四边形O1O2FE是矩形．
∴EF＝O1O2＝20 cm，∴CD＝2EF＝40 cm．
【解题策略】 本题在解题过程中综合运用了垂径定理及矩形的判定和性质．
6、分析 可连接AF，欲证，可证它们所对的圆心角∠GAE与∠EAF相等．
证明：连接AF，则AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF，
∴∠GAE＝∠EAF，∴．
【解题策略】 在同圆中，圆心角、弧、 ( http: / / www.21cnjy.com )弦之间的关系是证弧相等、角相等、线段相等的依据，一般在分析时，哪一组量与所证问题联系最紧，就应构造这一组量，再证明相等．
7、分析 由图形和已知条件不难发现，半径 ( http: / / www.21cnjy.com )OF是弦CD的中垂线，要探求弦AC与BD是否相等，只需判断圆心角∠AOC与∠BOD是否相等即可，可连接OC，OD．
解：连接OC，OD，则OC＝OD．
因为OE⊥AB，所以∠AOE＝∠BOE＝90°．
又因为AB∥CD，所以OE⊥CD，CE＝DE，
所以∠COE＝∠DOE，所以∠COA＝∠BOD，所以AC＝BD．
【解题策略】 本题的解题关键是利用垂径定理和半径的性质求得∠COE＝∠DOE，而不需要由△COE≌△DOE来得到∠COE＝∠DOE．
8、分析 PA，PB既不是弦也不是弧，而是弦上的线段，所以可以过O作两弦的垂线．
解：作OE⊥PA，OF⊥PB，垂足分别为E，F，
则AE＝GA，BF＝HB．
因为∠APC＝∠BPC，所以OE＝OF，
所以GA＝HB，所以GA＝HB，所以AE＝BF．
因为OE＝OF，OP＝OP，所以Rt△OPE≌Rt△OPF，
所以PE＝PF，所以PE＋EA＝PF＋BF，所以PA＝PB．
【解题策略】 (1)圆心到弦的距离叫做弦心 ( http: / / www.21cnjy.com )距；(2)在同圆或等圆中，若两条弧、两个圆心角、两条弦、两条弦的弦心距有一组量相等，则其余各组量都相等．
体验中考
1、分析 在⊙O中，AB为直径，AB⊥CD于E，所以∠DEB＝90°，所以CE＝DE＝CD＝，所以BE＝＝1．连接OD，则OE＝OD－BE＝OD－1，所以在Rt△OED中，OD2＝(OD－1)2＋，解得OD＝1．5．所以AB＝2OD＝3．故选B．
2、分析 在⊙O中，CD为直径，弦AB＝8．AB⊥CD，所以AM＝BM＝4，连接OB，则OB＝5，在Rt△OBM中，OM＝＝3，所以DM＝5＋3＝8．故填8．
3、分析 在⊙O中，直径AB垂直弦CD于P，CD＝6 cm，所以CP＝DP＝3 cm，连接OD，因为P为OB的中点，所以OP＝OD，所以在Rt△ODP中，(2OP)2＝OP2＋32，解得OP＝，因为OP＞0，所以OP＝cm，故AB＝cm．故选D．
3.3圆周角和圆心角的关系
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.了解圆周角的概念．
2.理解圆周角定理的证明．
【重点难点】
1.圆周角概念及圆周角定理．
2.认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．
知识概览图
新课导引
【问题链接】 如下图所示，通过观察发现，每一个图形都是由∠BAC和⊙O组成的．
( http: / / www.21cnjy.com )
【问题探究】 通过观察可知第三个图中的∠BAC是⊙O的圆周角．那么什么叫做圆周角呢
【点拨】 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
教材精华
知识点1 圆周角的概念
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
拓展 圆周角有两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．二者缺一不可．
知识点2 圆周角定理
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
拓展 (1)定理的要求是同一 ( http: / / www.21cnjy.com )条弧所对的圆周角和圆心角，从数值上来看，圆周角是圆心角的一半．(2)不能忽略“同一条弧”这个前提条件，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”．
关于这个定理的证明，教材上采用 ( http: / / www.21cnjy.com )的是分类讨论的证明方法，这种方法应认真理解．其证明要点是：(1)将已知图形之间的各种可能位置关系进行分类；(2)先证明特殊位置的情形；(3)利用特殊情形的结论证明其他情形，即把其他情形转化为已证的特殊情形进行证明；(4)归纳、总结出一般性结论．这种方法可应用于解题之中．
本定理的证明可以通过画图观察，如图3－4 ( http: / / www.21cnjy.com )4所示，以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数多个，但它们与圆心的位置关系归纳起来却只有三种情况：(1)圆心在角的一边上(如图3－44(1)所示)；(2)圆心在角的内部(如图3－44(2)所示)；(3)圆心在角的外部(如图3－44(3)所示)．在这三种情况下证明定理成立，进而证明在一般情况下也成立．
( http: / / www.21cnjy.com )
知识点3 圆周角定理的推论
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
如图3－45所示，所对的圆周角有∠ACB，∠ADB，∠AEB，因此∠ACB＝∠ADB＝∠AEB．
拓展 (1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论不成立．如图3－46所示，∠ACB，∠ADB，∠AEB所时的弦是同一条弦AB，∠ADB＝∠AEB，但∠ADB与∠ACB，∠AEB与∠ACB却不相等．(2)此推论的逆命题是一个真命题，可以作为圆周角定理的一个推论，其表述为：在同圆或等圆中．相等的圆周角所对的弧也相等．如图3－47所示．如果∠ACB＝∠DFE，那么．
( http: / / www.21cnjy.com )
推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
如图3－48所示，若AB为直径，则∠ACB＝90°；若∠ACB＝90°，则AB为直径．
由此得到：如果三角形的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
规律方法小结 1．(1)分 ( http: / / www.21cnjy.com )类讨论思想：如本节中的圆周角定理，是分三种情况进行证明的，但对于各类所要证明的命题，应不应该分情况讨论，主要是看各种情况的证明方法是否相同．如果相同，那么不需要分情况证明；如果不同，那么必须分情况证明，而且情况要分得正确，不能重复或遗漏．
(2)转化思想：在圆周角定理的证明过程所分的三种情况中，后两种情况是通过转化为第一种情况来证明的．
2．圆心角与圆周角的比较．
定义 图形 圆心角与圆周角的关系
圆心角 顶点在圆心的角 ( http: / / www.21cnjy.com ) 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如下图所示，∠ACB＝∠AOB ( http: / / www.21cnjy.com )
圆周角 (1)顶点在圆上(2)角的两边都与圆相交 ( http: / / www.21cnjy.com )
课堂检测
基本概念题
1、如图3－49所示，判断哪些角是圆周角．
( http: / / www.21cnjy.com )
基础知识应用题
2、如图3－50所示，在⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC，∠EBC的度数，并判断∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC的度数关系．
3、如图3－51所示，已知AB为⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，且AD＝CD，∠B＝50°，求∠BAD，∠DCB，∠ADC的度数．
综合应用题
4、如图3－52所示，AB，C ( http: / / www.21cnjy.com )D是半径为5的圆内互相垂直的两条直径，E为AO的中点，连接CE并延长，交⊙O于另一点F，求弦CF的长．
5、如图3－53所示，已知⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．
探索与创新题
6、在足球比赛场上， ( http: / / www.21cnjy.com )甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图3－54所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢 (不考虑其他因素)
体验中考
1、如图3－59所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为 ( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2、如图3－60所 ( http: / / www.21cnjy.com )示，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
3、如图3－61所示，在⊙O中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝ 度．
4、如图3－62所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD＝ 度．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 只有(2)具备圆周角的两个特征． ( http: / / www.21cnjy.com )(1)(3)的顶点不在圆上，(4)(5)虽然顶点在圆上．但角的两边不与圆相交，因此(1)(3)(4)(5)都不是圆周角．
解：(2)中的角是圆周角．
【解题策略】正确理解圆周角的概念．
2、分析 解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如所对的圆心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC．
解：∵∠AOC＝150°，
∴∠ABC＝∠AOC＝75°(圆周角定理)，
∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°．
∴∠ADC＝∠α＝105°(圆周角定理)．
∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°．
∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∠EBC＝∠ADC＝105°，
∴∠ABC和∠ADC互补，∠EBC和∠ADC相等．
【解题策略】 理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角定理解题的前提．
3、分析 由AB是直径，连接AC，可得∠ACB＝90°．由AD＝CD．可得，连接OD，可得OD⊥AC，OD∥BC，∠AOD＝∠B＝50°．由圆周角定理，可得∠DCA＝∠DOA＝25°．只要求出∠DCA的度数，其余的角可以很容易求得．
解：连接AC，OD．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°
∵AD＝CD，∴，∴OD⊥AC．
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B＝50°，∴∠DCA＝∠AOD＝25°．
∵，∴∠DCA＝∠DAC＝25°．
∵∠CAB＝90°－∠B＝90°－50°＝40°，
∴∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝25°＋40°＝65°，
∠ADC＝180°－∠DAC－∠DCA＝180°－25°－25°＝130°，
∠DCB＝∠DCA＋∠ACB＝25°＋90°＝115°．
【解题策略】 运用圆周角定理及其推论解此题．
4、分析 连接FD，由CD为直径，可得∠CFD＝90°，易知△OCE与△FCD相似，CF的长可由相似三角形的对应边成比例求得．
解：连接FD．∵CD为直径，∴∠CFD＝90°．
又∵CD⊥AB，∴∠COE＝∠CFD＝90°．
∵∠ECO＝∠DCF，∴△COE∽△CFD，
∴，即．
又∵，
∴在Rt△COE中，，
∴．
【解题策略】这里构造直径所对的圆周角(直角)是解题的关键，它是一种重要的添加辅助线的方法，应注意掌握．
5、分析 BC可直接由勾股定理求出．求AD，BD的长，要先利用∠ACB被CD平分，得，然后再利用勾股定理求解．
解：因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝∠ADB＝90°．
在Rt△ACB中，BC＝＝8(cm)．
因为CD平分∠ACB，所以，所以AD＝BD，
所以在Rt△ADB中，AD＝BD＝(cm)．
【解题策略】 已知条件中若有直径，则先利用圆周角定理的推论得到直角三角
形，然后利用直角三角形的性质求解．
6、分析 在真正的足球比赛中，情况会很复杂， ( http: / / www.21cnjy.com )这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑．如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小．当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截．
解：连接BM，BN，过M，N，B三点作圆，显然A点在圆外．
连接MA交圆于C，连接NC，NA，则∠MAN＜∠MCN．
∵∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN，
因此在B点射门较好，
即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．
【解题策略】 谁射门更好，关键是看哪一点的 ( http: / / www.21cnjy.com )射门命中率更高，而射门的命中率的高低与射门点对球门两个边框M，N的张角大小有关，张角越大，命中的机会越大，于是可以考虑过M，N以及A，B中的任意一点作一圆，比较∠MAN与∠MBN的大小．
体验中考
1、分析 ∵AB为⊙O的直径，∠ACB为AB所对的圆周角，∴∠ACB＝90°．故选D．
2、分析 一台监视器监控到的最长弧所对应的圆心角为65°×2＝130°，因为，故至少在圆形边缘上安装3台监视器，才能监控整个展厅．故填3．
3、分析 此题考查圆中圆周角与圆心角的关系，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．故填80．
4、分析 在圆O中，弦CD⊥AB，AB为直径，所以，所以∠AEC＝∠ABD．因为∠AEC＝28°，所以∠ABD＝28°．故填28．
3.4确定圆的条件
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.
2.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
【重点难点】
1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．
2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．
3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
知识概览图
新课导引
【问题链接】 我们知道，经过一个点可以作无数条直线，经过两个点只能作一条直线，圆是由圆心和半径两个条件确定的．
教材精华
知识点1 过三点的圆
由圆的定义可知，圆有 ( http: / / www.21cnjy.com )两个要素：一个是圆心，另一个是半径．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小．
例如：作圆，使它经过已知点A．
分析 所求作的圆心和半径 ( http: / / www.21cnjy.com )都没有限制条件，因此，只要以点A以外的任意一点为圆心．以这一点(圆心)与点A的距离为半径，就可以作出要求作的圆，这样的圆有无数个(如图3－73所示)．
又如：作圆，使它经过A，B两点．
分析 如果要作经过A，B两点的圆 ( http: / / www.21cnjy.com )，那么就必须以到点A，B距离相等的点为圆心，因此，以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点(圆心)与点A或点B的距离为半径，就可以作出要求作的圆，这样的圆有无数个(如图3－74所示)．
再如：作圆，使它经过不在同一条直线上的三个已知点A，B，C．
分析 作圆的关键是确定圆心． ( http: / / www.21cnjy.com )因为所要求作的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离相等．因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上．显然，这两条垂直平分线的交点O到这三点的距离相等．以O为圆心，OB为半径的圆就是所要求作的圆．这样的圆有且只有一个(如图3－75所示)．
定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
拓展 (1)过同一条直线上的三个点不能作圆．
(2)“确定”一词应理解为“有且只有”．
知识点2 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念
三角形的三个顶点确定一个圆 ( http: / / www.21cnjy.com )，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形．
拓展 (1)“接”说明三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的顶点与圆的位置关系，圆经过三角形的各顶点，“三角形的外接圆”是以三角形为准，说明圆在它的外部．(2)锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心为斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部．无论哪种三角形，它们的外心都是三边的垂直平分线的交点，另外，只要三角形确定，那么它的外心与外接圆的半径就确定了．
规律方法小结 外心的位置特点如下表所示．
种类 外心的位置
锐角三角形 在三角形的内部
直角三角形 为斜边的中点
钝角三角形 在三角形的外部
课堂检测
基本概念题
1、下列命题中，真命题有 ( )
①经过三点一定可以作圆；
②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
基础知识应用题
2、如图3－76所示，点A，B，C表示 ( http: / / www.21cnjy.com )三个村庄，现要建一座水泵站向三个村庄供水，为使三条输水管长度相等，水泵站应建在何处 请画出示意图，并说明理由．
综合应用题
3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边长a，b是方程x2－4x＋2＝0的两个根，求Rt△ABC的外接圆的半径．
4、在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求其外接圆半径．
探索与创新题
5、如图3－78所示，在锐角三角形ABC中，BD，CE为高，求证B，C，D，E四点在同一个圆上．
体验中考
1、如图3－80所示，在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线．过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
(1)求证AC＝AE；
(2)求△ACD外接圆的半径．
2、先阅读，再解答．
我们在判断点(－7，20)是 ( http: / / www.21cnjy.com )否在直线y＝2x＋6上时，常用的方法是：把x＝－7代入y＝2x＋6中，由2×(－7)＋6＝－8≠20，判断出点(－7，20)不在直线y＝2x＋6上．小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点A(1，2)，B(3，4)，C(－1，6)三点可以确定一个圆，你认为他的推断正确吗 请你利用上述方法说明理由．
3、半径为R的圆内接正三角形的面积是 ( )
A． B． πR2 C． D．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 由定理“不在同一条直线上的 ( http: / / www.21cnjy.com )三个点确定一个圆”可知①为假命题．②为假命题，连接圆上任意三点构成的三角形都是圆的内接三角形，所以每一个圆都有无数个内接三角形．③为真命题．④为真命题．故选C．
【解题策略】 准确掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及三角形外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形等概念．
2、分析 设水泵站处为点O，则点O到A，B，C三点的距离相等．可得点O为△ABC的外心．
解：如图3－76所示，连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线MN，EF，直线MN与EF相交于点O，则水泵站应建在O处．
由以上作法知点O为△ABC的外心，
所以O到A，B，C三点的距离相等．
【解题策略】 若要证明某 ( http: / / www.21cnjy.com )一点为某个三角形的外心，只要证明该点是这个三角形任意两条边的垂直平分线的交点就可以了，但在填空题“三角形的外心是 的交点”中，答案应为“三角形三边垂直平分线”．
3、分析 由直角三角形的外心为斜边的中点可知Rt△ABC的斜边AB即为其外接圆的直径，因此只要求出AB的长度即可，而AB可由方程求得．
解：由勾股定理，得c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab．
∵a，b是方程x2－4x＋2＝0的两个根，
∴a＋b＝4，ab＝2，
∴c2＝42－2×2＝12，∴c＝．
∵直角三角形的外心是斜边的中点，∴Rt△ABC外接圆的半径为．
【解题策略】 求直角三角形外接圆的半径，只要求出直角三角形的斜边长，再除以2即可．
4、分析 如图3－77所示，作AD ( http: / / www.21cnjy.com )⊥BC，垂足为D．由等腰三角形的性质可知△ABC的外接圆圆心O必在AD上，欲求外接圆半径，只要求出OC即可，OC可在Rt△ODC中由勾股定理求得．
解：如图3－77所示，作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，BD＝BC＝6，
AD＝＝8．
又∵AD⊥BC于D，AB＝AC，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知△ABC的外心O在AD上．连接OC，设OA＝OC＝R，则OD＝AD－AO＝8－R，CD＝BC＝6．
在Rt△ODC中，OD2＋CD2＝OC2，∴(8－R)2＋62＝R2，解得R＝，即三角形的外接圆半径是．
【解题策略】 作辅助线构造直角三角形，设出未知数，利用勾股定理建立关于未知数的方程，是解决几何问题中求线段长的常用方法．
5、分析 利用“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”证明B，C，D，E四点到斜边的中点的距离相等．
证明：取BC的中点G，连接EG，DG．
∵∠BDC＝90°，G为BC的中点，∴DG＝BG＝CG．
同理，EG＝BG＝CG，∴DG＝CG＝BG＝EG，
∴D，C，B，E四点到点G的距离相等，
∴B，C，D，E四点在同一个圆上．
【解题策略】要证明几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到某一个定点的距离相等，这是解题的关键．
体验中考
1、分析 本题考查圆周角、弧、弦之间的关系以及外接圆、相似等知识的综合运用．
证明：(1)∵∠ACB＝90°，∴AD为直径．
又∵AD是△ABC的角平分线，∴，∴．∴AC＝AE．
解：(2)∵AC＝5，CB＝12，∴AB＝＝13．
∵AE＝AC＝5，∴BE＝AB－AE＝13－5＝8．
∵AD为直径，∴∠AED＝∠BED＝∠ACB＝90°．
∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBE，
∴，∴DE＝．∴AD＝．
∴△ACD外接圆的半径为．
【解题策略】知道“90°的圆周角所对的弦是直径”是求外接圆半径的关键．
2、分析 判断A，B， ( http: / / www.21cnjy.com )C三点是否可以确定一个圆，只需求出过任意两点的直线，再看第三点是否在所求直线上，若不在，说明三点不在同一条直线上，可以确定一个圆．
解：他的推断是正确的．
因为“两点确定一条直线”，设经过A，B两点的直线的解析式为y＝kx＋b．
由A(1，2)，B(3，4)，得解得
∴经过A，B两点的直线的解析式为y＝x＋1．
把x＝－1代入y＝x＋1中，
由－1＋1≠6，可知点C(－1，6)不在直线AB上，
即A，B，C三点不在同一条直线上．
所以A，B，C三点可以确定一个圆．
【解题策略】 掌握“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解此题的关键．
3、分析 圆内接正三角形被过顶点的半径分割成三个小等腰三角形，每个等腰三角形的底边为，底边上的高为，总面积为
3.6圆和圆的位置关系
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.掌握圆和圆的几种位置关系的概念及相切两圆连心线的性质．
2.根据两圆不同的位置关系，写出两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式；反过来，由两圆半径的和或差与圆心距的大小关系，判定两圆的位置关系．
3.培养学生亲自动手实验，学会观察图形，主动获得知识的能力．
【重点难点】
1.圆和圆的五种位置关系的概念及相切两圆的连心线的性质．
2.理解相切两圆连心线性质的证明．
知识概览图
新课导引
【生活链接】 观察现实生活中的实例：如轴承、奥运会标志图案等．
【问题探究】 上述图形中都包含两个以上的圆，圆和圆之间有的相切、有的相交，那么圆和圆之间有几种位置关系呢
【点拨】 在同一平面内两个不等的圆之间有五种位置关系，即：外离、外切、相交、内切、内含．
教材精华
知识点1 圆和圆的位置关系
同一平面内两个不等的圆之间有下列五种位置关系：
(1)两圆外离(如图3－120(1)所示)；
(2)两圆外切(如图3－120(2)所示)；
(3)两圆相交(如图3－120(3)所示)；
(4)两圆内切(如图3－120(4)所示)；
(5)两圆内含(如图3－120(5)所示)．
( http: / / www.21cnjy.com )
拓展 (1)事实上，圆和圆的五种位置关系由两个因素确定：①公共点的个数；②一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部．两圆没有公共点时，有外离和内含两种位置关系，前者是一个圆上的点都在另一个圆的外部，后者是一个圆上的点都在另一个圆的内部；两圆有唯一公共点时，有外切和内切两种位置关系，前者是除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部，后者是除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的内部；两圆有两个公共点时．一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部，有的在另一个圆上．所以两圆相交只需用“有两个公共点”一个条件即可判定，这个条件也是两圆相交的唯一特征．(2)两圆的五种位置关系还可以进一步概括为：①相离 ②相切 ③相交．(3)两圆外切和两圆内切，统称为两圆相切，唯一的公共点称为切点．
知识点2 两圆相切的性质及两圆的半径、圆心距之间的关系
两圆相切的性质：如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点．
例如：如图3－121所示，已知⊙O1与⊙O2相切(包括内切和外切)于点T．求证切点T一定在连心线O1O2上．
证明：假设切点T不在O1O2上．
∵连心线O1O2是由⊙O1，⊙O2组成的图形的对称轴，
∴点T关于O1O2的对称点T′也不在O1O2上，
并且也是⊙O1和⊙O2的公共点，即⊙O1，⊙O2有两个公共点T，T′．
这与已知⊙O1，⊙O2相切(只有唯一公共点)矛盾，
∴⊙O1，⊙O2相切时，切点T一定在连心线O1O2上．
( http: / / www.21cnjy.com )
拓展 (1)要正确区分连心 ( http: / / www.21cnjy.com )线和圆心距．连心线是指经过不同心的两个圆圆心的一条直线，而圆心距是指两个圆圆心之间的线段的长度，显然两个圆圆心的连线(线段)一定在连心线(直线)上．(2)“相切两圆的连心线经过切点”也可理解为“相切两圆的圆心、切点在同一条直线上”或“经过相切两圆的切点和一个圆圆心的直线必经过另一个圆的圆心”．(3)两圆相切时，连心线是常用的一条辅助线，使用连心线时，要注意连心线是直线而不是线段，有时也用圆心距．
相切两圆的半径、圆心距之间的数量关系．
设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，则：
(1)两圆外切d＝R＋r(如图3－122(1)所示)．
(2)两圆内切d＝R－r(R＞r)(如图3－122(2)所示)．
( http: / / www.21cnjy.com )
拓展 (1)上述式子从左到右是两圆位置关系的性质，从右到左是两圆位置关系的判定．(2)两圆相切有两种情况：外切和内切．(3)两圆外离、相交、内含与两圆的半径、圆心距之间的数量关系如下：①两圆外离d＞R＋r(如图3－123(1)所示)；②两圆相交R－r＜d＜R＋r(R≥r)(如图3－123(2)所示)；③两圆内含d＜R－r(R＞r)(如图3－123(3)所示)．
( http: / / www.21cnjy.com )
规律方法小结 1．本节在 ( http: / / www.21cnjy.com )研究圆和圆的位置关系时涉及的思想方法有分类讨论思想和数形结合思想．对于圆和圆的五种位置关系，要结合相对应的图形理解，并在理解的基础上分析其特征，进行归纳、总结．
2．关于圆和圆的五种位置关系如下表所示：
位置关系 图形 交点数 圆心距与半径的关系
外离 ( http: / / www.21cnjy.com ) 0 d＞R＋r
外切 ( http: / / www.21cnjy.com ) 1 d＝R＋r
相交 ( http: / / www.21cnjy.com ) 2 R－r＜d＜R＋r(R≧r)
内切 ( http: / / www.21cnjy.com ) 1 d＝R－r(R＞r)
内含 ( http: / / www.21cnjy.com ) 0 d＜R－r(R＞r)
课堂检测
基本概念题
1、同一平面内，若两圆没有公共点，则这两个圆的位置关系是 ( )
A．外离 B．相切 C．相交 D．外离或内含
2、若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，则这两个圆的圆心距是 ( )
A．5 B．1 C．1或5 D．1或4
基础知识应用题
3、如图3－124所示，⊙O1和⊙O2相切于点P，过点P的直线交⊙O1于点A，交⊙O2于点B，求证O1A∥O2B．
( http: / / www.21cnjy.com )
综合应用题
4、已知⊙O1与⊙O2的半径分别为R，r，且R≥r，R，r是方程x2－5x＋2＝0的两个根，设O1O2＝d．
(1)若d＝，试判断⊙O1，与⊙O2的位置关系；
(2)若d＝3，试判断⊙O1与⊙O2的位置关系；
(3)若d＝4．5，试判断⊙O1与⊙O2的位置关系；
(4)若两圆相切，求d的值．
5、如图3－125所示，已 ( http: / / www.21cnjy.com )知半圆的直径AB＝16，过点O作OC⊥AB，交半圆于点C，以OC为直径作⊙O1，⊙O2与⊙O1外切，与半圆O内切，且与AB相切，求⊙O2的半径及⊙O1和⊙O2的公共切线OE的长．
探索与创新题
6、已知两个等圆⊙O1和⊙O2交于A，B两点，⊙O1经过点O2，点C是上的任一点(不与A，O2，B重合)，连接BC并延长，交⊙O2于点D，连接AC，AD．
(1)操作、测量(图3－1 ( http: / / www.21cnjy.com )26(1)供操作、测量用)，测量时可使用刻度尺或圆规：将图3－126(1)按题中叙述补充完整，并观察或度量AC，AD，CD三条线段的长短，通过观察或度量，说出三条线段长度之间存在怎样的关系；
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)猜想结论(求证部分)，并证明你的猜想；(在你补充完整的图3－126(1)中进行证明)
(3)如图3－126(2)所示，若点C是的中点，AC与O1O2交于点E，连接O1C，O2C，求证CE,＝O1O2·EO2．
体验中考
1、若两圆的半径分别是1 cm和5 cm，圆心距为6 cm，则这两圆的位置关系是 ( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
2、如图3－127所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，⊙P与⊙O相交于A，B两点，⊙P经过圆心O，点C是⊙P的优弧AB上任意一点(不与点A，B重合)，连接AB，AC，BC，OC．
(1)指出图中与∠ACO相等的一个角；
(2)当点C在⊙P上什么位置时，直线CA与⊙O相切 请说明理由；
(3)当∠ACB＝60°时，两圆半径有怎样的大小关系 说明你的理由．
3、如图3－130所示的圆与圆之间不同的位置关系有 ( )
A．2种 B．3种
C．4种 D．5种
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 两圆没有公共点时，有外离和内含两种位置关系，故选D．
【解题策略】 准确掌握圆和圆的五种位置关系的概念是解此题的关键．
2、分析 两圆相切有两种情况：外切和内切．当 ( http: / / www.21cnjy.com )两圆外切时，两圆的圆心距d＝R＋r＝3＋2＝5；当两圆内切时，两圆的圆心距d＝R－r＝3－2＝1．∴两圆的圆心距是1或5．故选C．
【解题策略】 注意分类讨论思想的运用，两圆相切包含外切和内切两种情况．
3、 ( http: / / www.21cnjy.com )
分析 图3－124给出了内 ( http: / / www.21cnjy.com )切、外切两种情况，因此要分两种情况进行证明．①如图3－124(1)所示，连接O1O2，则O1O2必过切点P；②如图3－124(2)所示，连接O1O2并延长，则必过切点P．要证O1A∥O2B，在①中只要证∠A＝∠B即可，在②中只要证∠A＝∠O2BP即可．
证明：如图3－124(1)所示，连接O1O2，则O1O2必过切点P．
∵O1A＝O1P，∴∠A＝∠O1PA．又∵O2B＝O2P，∴∠B＝∠O2PB．
∵∠O1PA＝∠O2PB，∴∠A＝∠B，∴O1A∥O2B．
如图3－124(2)所示，连接O1O2并延长，
则O1，O2的延长线必过切点P．∵O1A＝O1P，∴∠A＝∠P．
又∵O2B＝O2P，∴∠O2BP＝∠P，∴∠A＝∠O2BP，∴O1A∥O2B．
【解题策略】 由于相切两圆的连心线经过切点，所以涉及两圆相切的问题时，作连心线(或圆心距)是一种重要的添加辅助线的方法．
4、分析 解本题的关键有两点：①一元二次方程的根与系数的关系的应用．由R，r是方程x2－5x＋2＝0的两个根，可知R＋r＝5，Rr＝2，而R－r＝＝．②两圆的位置关系与两圆的圆心距、两圆半径之间的数量关系的应用．
解：∵R，r是方程x2－5x＋2＝0的两个根，∴R＋r＝5，Rr＝2．
∵R－r≥0，∴R－r＝＝．
(1)∵d＝＝5．5＞5，即d＞R＋r，∴两圆外离．
(2)∵d＝3＜，即d＜R－r，∴两圆内含．
(3)∵d＝4．5，＜4．5＜5，即R－r＜d＜R＋r，∴两圆相交．
(4)要使两圆相切，则d＝R＋r或d＝R－r，
∴当d＝5或d＝时，两圆相切．
【解题策略】 本例是代数中一元二次方程的知识与几何中圆和圆的位置关系相结合的一个典型例题，要仔细体会．
5、分析 作O2D∥AB，交OO1于点D，连接O1O2，OO2，设OB切⊙O2于点E，连接O2E，利用直角三角形进行求解．
解：设⊙O1，⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O2的半径分别为R，r，连接O1O2，OO2，过点O2作O2D∥OB交OO1于点D，设OB切⊙O2于点E，连接O2E，则O2E⊥OB，四边形OEO2D为矩形．
O1O2＝R＋r＝4＋r，O1D＝R－r＝4－r，OO2＝OB－r＝8－r，
因为，
所以(4＋r)2－(4－r)2＝(8－r)2－r2，解得r＝2．
所以
．
【解题策略】 有关两圆公 ( http: / / www.21cnjy.com )共切线的问题，常常过其中一个圆心作公共切线的平行线，与两圆连心线构成直角三角形，这样就可运用直角三角形的性质进行论证或计算．
6、分析 本题是将操作、测量、猜想、 ( http: / / www.21cnjy.com )证明集于一体的探究题，为了更好地考查学生动手操作图形的能力和探索、创新的能力，采用了留空回填的命题思路．
解：(1)将图3－126(1)按要求补充完整如图3－126(3)所示，通过观察、度量，可以得出AC，AD，CD三条线段相等．
(2)结论：△ACD是等边三角形．证明如下：连接AO1，AO2，O1O2，O1B，O2B．
∵⊙O1，⊙O2是等圆，且⊙O1过点O2，
∴AO2＝O1O2＝O1A，∴∠AO2O1＝60°．同理可得△O1BO2为等边三角形，
∴∠O1O2B＝60°，∴∠AO2B＝120°，∴∠ACB＝∠AO2B＝120°，
∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－120°＝60°．
又∵∠ADB＝∠A O2B＝×120°＝60°，∴△ACD是等边三角形．
证明：(3)如图3－126(2)所示，连接O1A，O1B．
由(2)可得∠BO1O2＝60°，∠AO1O2＝60°．
∵点C是的中点，∴，
∴∠BO1C＝∠CO1O2＝∠BO1O2＝30°．
∵∠ACO2＝∠AO1O2＝×60°＝30°，∴∠O2CE＝∠O2O1C．
又∵∠CO2E＝∠O1O2C，∴△CO2E∽△O1O2C，
∴∠O2EC＝∠O2CO1，，．
又∵O1C＝O1O2，∴∠O1O2C＝∠O1CO2＝∠CEO2，
∴CE＝CO2，∴CE＝O1O2·EO2．
【解题策略】 当两个等圆中的一个圆经 ( http: / / www.21cnjy.com )过另一个圆的圆心时，这两个圆的圆心与两圆的两个交点构成两个等边三角形．如图3－126(3)所示，△AO1O2和△BO1O2均为等边三角形．
体验中考
1、分析 本题主要考查两圆的位置关系的判定．因为1＋5＝6，即两圆半径之和等于其圆心距，所以两圆的位置关系为外切．故选C．
2、解：(1)∠BCO＝∠ACO．
(或当时，∠ABC＝∠ACO；当时，∠CAB＝∠ACO)；
(2)当点C与点O，P共线时，直线CA与⊙O相切．连接AO，如图3－128所示．
∵OC是⊙P的直径，∴∠CAO＝90°，∴OA⊥CA．
又∵点A在⊙O上，∴CA是⊙O的切线．
(3)当∠ACB＝60°时，两圆半径相等．
理由：如图3－129所示，连接AP，BP，AO，BO，OP．
∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°．
又∵AO＝OB，∴∠APO＝∠BPO＝∠APB＝60°．
又∵PA＝PO，∴△APO是等边三角形．
∴OA＝PA．即两圆半径相等．
3、分析 由图可知，这些圆之间共有相交和内切两种位置关系．
3.8圆锥的侧面积
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.经历探索圆锥侧面积计算公式的过程.
2.了解圆锥的侧面积计算公式,并会应用公式解决问题.
【重点难点】
1.探索圆锥侧面积计算公式, 会应用公式解决问题.
2.理解圆锥侧面积公式的由来.
知识概览图
新课导引
【生活链接】你见过蒙古包吗 蒙古包可看成是由圆锥和圆柱组成的，类似地，还有粮囤等．
教材精华
知识点1 圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形．如图3－153所示，设圆锥的母线长为l，底面的半径为r，那么这个扇形的半径为l．扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积S侧＝l·2πr＝πrl；圆锥的全面积S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝πr(l＋r)．
拓展 (1)圆锥的侧面积与底面积 ( http: / / www.21cnjy.com )之和称为圆锥的全面积．(2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是掌握圆锥的侧面积公式，并明确圆锥的全面积S全与侧面积S侧之间的关系．
知识点2 圆柱的侧面积
圆柱的侧面展开图是矩形．如图3 ( http: / / www.21cnjy.com )－154所示，它的两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面的周长．若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积S侧＝2πr·h，圆柱的全面积S全＝S侧＋2S底＝2πr·h＋2πr2＝2πr(h＋r)．
拓展 (1)本知识点在教材中未涉及， ( http: / / www.21cnjy.com )但做题时会用到，因此也应该掌握．(2)圆柱的全面积等于侧面积与上、下两个底面积的和．(3)研究有关圆柱的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆柱的侧面积公式，并明确圆柱的全面积S全和侧面积S侧之间的关系．
规律方法小结 1．圆锥 ( http: / / www.21cnjy.com )的侧面展开图是扇形，底面是圆形，因此研究圆锥的有关问题，一般都转化为扇形和圆的问题；而圆柱的侧面展开图是矩形，上、下两底面是圆形，因此研究圆柱的有关问题，一般都转化为矩形和圆的问题．除了转化思想外，还要注意数形结合思想的运用．
2．圆锥和圆柱的比较．
名称 圆锥 圆柱
图形 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图形的形成过程 由一个直角三角形旋转得到，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周 由一个矩形旋转得到，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周
图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面
侧面展开图的特征 扇形 矩形
面积的计算方法 S侧＝πrlS全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2 S侧＝2πrhS全＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2
课堂检测
基础知识应用题
1、已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为 ．
2、如图3－155所示，一个圆锥的高是10 cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积．
3、要在如图3－156(1)所示的 ( http: / / www.21cnjy.com )一个机器零件(尺寸单位：mm)表面涂上防锈漆，零件的部分尺寸已测出，如图3－156(2)所示，请你帮助计算一下这个零件的表面积．(π取3．14，结果保留3个有效数字)
( http: / / www.21cnjy.com )
综合应用题
4、如图3－157所 ( http: / / www.21cnjy.com )示，Rt△ABC的斜边AB＝5 cm，直角边AC＝4 cm，BC＝3 cm，以直线AB为轴旋转一周，得到的几何体的表面积为 ( )
A．22．56π cm2 B．16．8π cm2 C．9．6πcm2 D．7．2π cm2
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5、如图3－159所示，圆柱的轴截面 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD是边长为4的正方形，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则动点P移动的最短路程为 ( )
A． B．
C． D．
探索与创新题
6、如图3－161所示，有一半径为1 m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC．
(1)求被剪掉的阴影部分的面积；
(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面的半径是多少
体验中考
1、如图3－162所示，小红同学要用纸板制作一个高4 cm，底面周长是6cm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是 ( )
A．12π cm2 B．15π cm2
C．18π cm2 D．24π cm2
2、如图3－163所示，若用半径为9、圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计，则这个圆锥的底面半径是 ( )
A．1．5 B．2 C．3 D．6
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的侧面积就是圆锥侧面展开图的面积，即扇形面积．由题意可知，这个圆锥的母线长l＝6，圆锥的底面半径r＝＝2，∴S侧＝πrl＝π×2×6＝12π．故填12π．
【解题策略】知道圆锥的侧面积是扇形面积，扇形的半径是圆锥的母线长，是解此题的关键．
2、分析 欲求圆锥的侧面积，需求出圆锥的母线长l、底面半径r．在Rt△SOA中，OS＝10，SA＝l，OA＝r，由题意，得＝2πr，即l＝2r．
解：设圆锥的底面半径为r，扇形的弧长为C，母线长为l，
由题意，得C＝，又C＝2πr，∴＝2πr，∴l＝2 r．
在Rt△SOA中，l2＝r2＋102，∴cm，cm,
∴圆锥的侧面积S＝πrl＝ (cm2)．
【解题策略】 利用圆锥的高、底面半径、母线三者构造的直角三角形去求圆锥的底面半径、母线长，是解此题的关键．
3、分析 由图3－156(2)可知，r＝CB＝40，h＝CD＝100，PD＝＝50，代入公式即可求得表面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
解：由图3－156(2)可知，r＝40，h＝100，PD＝＝50，
∴S表面积＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S圆柱底＝πrl＋2πrh＋πr2＝2000π＋8000π＋1600π
＝11600π≈3．64×104 (mm2)．
∴这个机器零件的表面积约为3．64×104mm2．
【解题策略】 理解公式中各字母的含义是解题的关键．
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4、分析 旋转一周所得到的几何体可以看做由两个圆锥组成，上面的圆锥以AC为母线，下面的圆锥以BC为母线(如图3－158所示)．∵△ACB为直角三角形，∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴AC·BC＝CD·AB，∴CD＝＝2．4(cm)．CD的长即为两个圆锥的半径，所求的几何体的表面积就是上、下两个圆锥侧面积的和．∴S＝π·CD·AC＋π·CD·BC＝π×2．4×4＋π×2．4×3＝16．8π(cm2)．故选B．
【解题策略】 图形的旋转，特别是 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的旋转往往构成锥体，在求表面积的过程中，需设法把组合图形拆成几个表面积可求的图形，再利用公式求值．本题所形成的几何体是共底的两个锥体，其底面半径为Rt△ABC斜边AB上的高，母线长分别为两直角边AC，BC的长．
5、分析 将圆柱的侧面沿母线AD展开，得到的矩形如图3－160所示，从而将曲面上的问题转化为平面上的问题，则P，S两点间的最短曲线长即为线段PS(或AS)的长．由图可知BS＝BC＝×4＝2，AB＝×2πr＝×2π×2＝2π．在Rt△ABS中，AS＝＝．故选A．
【解题策略】 解此类题可将圆柱的侧面展开成平面图形的矩形，再根据两点之间线段最短来解决问题．
6、分析 (1)阴影部分的面积等于⊙O的面积减去扇形ABC的面积，要求扇形的面积，需求扇形的半径AB的长，连接BC，则BC为⊙O的直径，故在Rt△ABC中可求出AB的长．(2)求圆锥的底面半径实质上是求扇形ABC的的长，由(1)中求出的AB的长易求出的长．
解：(1)连接BC．∵∠BAC＝90°，∴BC为⊙O的直径，
∴AB2＋AC2＝BC2＝22．
又∵AB＝AC，∴AB＝(m)，
∴S扇形ABC＝，
∴S阴影＝S⊙O－S扇形ABC＝π×12－π＝π(m2)．
∴被剪掉的阴影部分的面积为πm2．
(2)设圆锥的底面半径为r，依题意得＝2πr，∵r＝ (m)．
∴圆锥底面的半径为m．
【解题策略】 围成的圆锥的底面半径可由扇形的弧长(即圆锥底面圆的周长)去求得．
体验中考
1、分析 本题主要考查圆锥的相关计算，由底面周长为6π cm，可求得底面半径为3 cm，又因为高为4 cm，可求得母线长为5 cm，所以S侧＝×6π×5＝15π．故选B．
2、分析 设围成的圆锥的底面的半径为r，则底面周长为l＝2πr，则，解得r＝3．故选C．
圆
圆的定义
点与圆的位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
圆的有关概念：弧、弦、直径
垂径定理及其逆定理
圆的旋转不变性
圆心角、弦心距等概念
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆的对称性
圆周角和圆心角的关系
圆周角的概念
圆周角定理
圆周角定理的推论
确定圆的条件
过三点的圆
三角形的外接圆与圆的内接三角形的概念
三角形的外心的概念
圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含
两圆相切的性质
相切两圆的半径与圆心距之间的数量关系
圆锥的侧面积
圆锥的侧面积公式
圆柱的侧面积公式