北师大版九年级下第一章直角三角形的边角关系导学案
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级下第一章直角三角形的边角关系导学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 745.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-23 10:41:44 | ||
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文档简介
1.1锐角三角函数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．掌握正切的意义，坡度的概念，用正切表示生活中物体的倾斜程度.
2．培养学生分析问题、解决问题的能力以及创新能力.
3．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.
【重点难点】
1．从现实情景中探索直角三角形的边、角关系.
2．理解正切的意义和与生活现象--倾斜度、坡度的内在本质的统一性，密切数学与生活的联系.
3．如何把正切的意义从现实生活中抽取并灵活应用.
知识概览图
新课导引
【生活链接】意大利比萨斜塔落成时已经倾斜，你如何描述比萨斜塔的倾斜程度呢
【点拨】我们可以用“塔身中心线偏 ( http: / / www.21cnjy.com )离竖直中心线的角度”来描述比萨斜塔的倾斜程度．用该角的正切值来描述塔的倾斜程度，即该角的正切值越大，塔倾斜越严重．其实，角的正弦值、余弦值均可以描述塔的倾斜程度，即该角的正弦值越大，塔倾斜越严重；该角的余弦值越小，塔倾斜越严重．
教材精华
知识点1 正切的概念
如图1—l所示，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tan A，即tanA＝．
拓展 (1)tan A是一个完整 ( http: / / www.21cnjy.com )的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号 “∠”．我们后面将要学习的sinA，cos A也是这样．(2)当用三个大写字母表示一个角，并表示它的正切时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠BAC。(3)正切是在直角三角形中定义的，其本质是两条线段长度的比值，它是数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，而与所在的直角三角形的大小无关．
知识点2 正切的应用
正切值与梯子倾斜程度之间的关系．
tanA的值越大，梯子越陡．
拓展 当梯子的倾斜角确定时，其对 ( http: / / www.21cnjy.com )边与邻边的比值便随之确定，因此，可以用倾斜角的对边与邻边之比，即倾斜角的正切值来刻画梯子的倾斜程度．
用正切来描述山坡的坡度．
坡角越大，坡度越大，坡面越陡．
拓展 工程上，斜 ( http: / / www.21cnjy.com )坡的倾斜程度通常用坡度来表示，而坡度是坡角的正切．坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)．通常坡度用字母i表示．
知识点3 正弦和余弦的概念
如图1—2所示，在Rt△ACB中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sinA＝．
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cosA＝．
拓展 (1)正弦、余弦的概念 ( http: / / www.21cnjy.com )是类比正切得到的，其本质也是两条线段长度的比值，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关．(2)在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以有如下结论：0知识点4 三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数．
拓展 在锐角A的三角函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<∠A <90°，三个比值是因变量．当∠A确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．
知识点5 互余两角的正弦与余弦的关系
如图1—3所示，∠A的对边恰是∠B的邻边，而∠B的对边也恰是∠A的邻边．
∵sinA＝，
cosB＝，
∴sinA＝cosB．同理可得cosA＝sinB，
又∠A十∠B＝90°，即∠B＝90°－∠A，
∴sinA=cos(90°－A)＝cos B，
cosA＝sin(90°－A)＝sinB．
也就是说，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．
拓展 此结论适用于所有两个角互为余角的情况，它们并不一定是同一直角三角形中的两个锐角．
规律方法小结 在本节知识 ( http: / / www.21cnjy.com )的学习中，一定要仔细体会数形结合的思想，掌握数形结合的方法．本节从正切、正弦、余弦的概念的引出到公式的推导，都体现了数形结合的思想方法．对于锐角三角函数的有关概念，应通过画图找出直角三角形中边、角之间的关系，加深对概念的理解．
本节内容是三角函数的基础知识，是全章的重点，也是难点，现将本节知识归纳如下（参照图1—3）:
sin A＝
sin B＝
∠A十∠B＝90°
课堂检测
基本概念题
1、在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则BC：AC等于( )
A．3：4 B．4：3
C．3：5 D．4：5
2、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10 m，则他所在的位置比原来的位置升高了 m．
基础知识应用题
3、在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．
(1) 求AB的长；
(2) 求sin A，cos A的值；
(3) 求sin2 A+cos2 A的值；
(4) 比较sin A与cos B的大小；
(5) 比较tan A与的大小．
综合应用题
4、已知α为锐角，且tanα是方程x2 －2x－3＝0的一个根，求tan2a+2tanα+1的值．
5、如图1－8所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AD＝6，BC＝14，S梯形ABCD＝40，求tan B的值．
6、求证：平行四边形 ABCD的面积S＝AB·BC·sin B (∠B为锐角)．
探索与创新题
7、已知a为锐角，且tan a＝3，求的值．
8、如图l-12所示，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′P′B，且
B′P＝2，那么PP′的长为 ．(不取近似值，以下数值供解题使用：sinl5°=，cos15°=)
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9、在△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84．
(1)求tan∠ACB的值；
(2)求sin∠BAC的值．
体验中考
1、如图1－15所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sin B的值是 ( )
A． B．
C． D．
2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A =，AC=，那么BC的值为( )
A．2 B．4 C．4 D．6
3、如图l-16所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE＝，则河堤的高BE为 米．
4、如图1－17所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos B＝，BC＝26．
(1)求cos∠DAC的值；
(2)求AD的长．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃ 根据题意画出图形，如图1-4所示，由正弦的概念可知sin A＝，∴sinA＝，设BC＝3k，AB＝5k，由勾股定理得AC＝＝＝4k，∴BC：AC＝3k：4k＝3：4．故选A.
【解题策略】(1)本例求BC：AC的值，实际上就是求∠A的正切值，即tan A．(2)解此类型题可根据题意画出图形，借助图形帮助分析．
2、┃分析┃ 如图1—5所示，由坡度的定义可知i＝tan A＝，设BC＝3k m，则AC＝4k m，由勾股定理得AB＝=5 k（m），5k=10所以k=2，所以他所在的位置比原来的位置升高了BC＝3k＝6(m)．故填6．
【解题策略】(1)坡度是坡面的铅直高度与水平 ( http: / / www.21cnjy.com )宽度的比，即坡度是坡角的正切值．(2)坡度通常用字母i表示．(3)坡度与坡角(用a表示)的关系是i＝tanα．
3、┃分析┃ 解本题的关键 ( http: / / www.21cnjy.com )是求出sin A，cos A，cos B，tan A的值，而要求这些锐角的三角函数值，关键在于正确理解正弦、余弦、正切的概念，找准与之相关的边。
解：(1)∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13．
(2)sinA＝
(3)∵sin2A＝
∴sin2 A+cos2 A＝＋＝1．
(4)∵cosB＝∴sin A＝cos B．
(5)∵tan A＝，∴tanA＝．
【解题策略】正确运用正弦、余弦、正切的概念是解此类题的关键．
4、┃分析┃ 利用解一元二次方程的方法解答此题．
解：解方程x2－2x－3＝0，得xl＝3，x2＝一1．
∵tanα是方程x2－2x一3＝0的一个根，且α为锐角，∴tanα＝3，
∴tan2 a+2tan a+l＝(tan a+1)2＝(3+1)2＝16．
【解题策略】 本题应注意：若a为锐角，则tan a>0．
5、┃分析┃ 要求tan B，应把∠B置于一个直角三角形中，图中没有包含∠B的直角三角形，因此，应通过添加辅助线构造包含∠B的直角三角形．
解：过A作AE⊥BC于E，∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴BE=(BC－AD)=×(14－6)＝4．
∵S梯形ABCD＝ (AD十BC)·AE，即40 ＝·(6十14) ·AE，∴AE＝4．
在Rt△AEB中，tan B＝=＝1．
【解题策略】对于梯形与三角函数的综合题，通常利用高线来构造直角三角形，再求锐角三角函数值
6、┃分析┃ 因为要证的等式中包含sin B，所以想到构造包含∠B的直角三角形，可过A作AE⊥BC于E，借助构造的Rt△AEB来证明．
证明：如图1－9所示，过A作AE⊥BC于E，
在Rt△AEB中，sin B＝，即AE＝AB·sin B，
∴S□ABCD＝BC·AE＝AB·BC·sin B．
【解题策略】有关等腰三角形、梯形、平行四边形的三角函数问题，常作其高，转化为直角三角形问题来解决．
7、┃分析┃ 由于a为锐角，且tan a已知，可构造包含a的直角三角形，利用三角函数的定义求出sin a，cos a的值．本题也可根据同角三角函数的关系tan a＝，将所求式子的分子、分母都除以cos a，再代值即可．
解法1：如图1-11所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝a，
∵tan a＝=3，∴设AC＝k，则BC＝3k，
∴AB＝
∴sin a=
∴
解法2：∵a为锐角，∴cosa≠0，∴
∵tan a＝=3，∴原式==.
【解题策略】掌握各三角函数之间的关系是熟练解题和简便解题的基础，应结合题型灵活运用三角函数之间的关系式．
8、┃分析┃ 如图1－13所示，连接PP′，过点B作BC⊥PP′，垂足为C．∵∠PBP′＝30°，BP=BP′，∴在Rt△PCB中，∠PBC＝15°，∴PC＝BPsin∠PBC=2×sin l5°＝，∴pp′＝2PC＝.故填．
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【解题策略】这是典型的已 ( http: / / www.21cnjy.com )知等腰三角形的腰和顶角，求底边的问题．这类问题通常都是作底边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质，得到两个全等的直角三角形，然后解直角三角形．类似地，还可以转化为已知底边和一角，求腰长或某一角的三角函数值的问题．
9、┃分析┃为了求出tan∠ACB，sin∠BAC的值，应分别构造以∠ACB，∠BAC为内角的直角三角形．
解：(1)如图1－14所示，过点A作AE⊥BC于E，
则S△ABC= BC·AE，即 ·14·AE=84，
∴AE＝12．在Rt△AEB中，
BE= =9，
∴CE＝BC－BE=14－9＝5，
在Rt△AEC中，tan∠ACE＝．
(2)由(1)知CE＝5，AE＝12，
在Rt△AEC中，AC＝13，
过点C作CD⊥AB于D，则S△ABC＝AB·CD，
即·15·CD=84，∴CD=，
在Rt△ADC中，sin∠CAD＝．
【解题策略】锐角三角函数是在直角三角形中定义的，因此构造直角三角形就成为利用三角函数解题的基本思路．
体验中考
1、┃分析┃ 因为CD是斜边AB上的中线，所以AB＝2CD＝4，在Rt△ACB中，sin B＝．故选C.
【解题策略】 本题考查正弦的概念．
2、┃分析┃在Rt△ABC中，sinA= ，AB＝2BC，在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，即(2BC)2＝BC2十()2，解得BC＝2．故选A
【解题策略】锐角三角函数与勾股定理的综合应用．
3、┃分析┃在Rt△BEA中，tan∠BAE＝，所以AE＝BE．在Rt△AEB中，AB2＝AE2十BE2，即132＝(BE)2十BE2，所以BE=12(米)．故填12．
【解题策略】 锐角三角函数和勾股定理的综合应用．运用方程思想是解此题的关键．
4、┃分析┃本题考查锐角三角函数的应用．
解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B=
∵BC＝26，∴AB=l0，∴AC=＝24．
又∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴cos∠DAC＝cos∠ACB＝
(2) 如图l－17所示，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
∵AD=CD，∴AE=EC= AC=12，
在Rt△ADE中，cos∠DAE＝，∴AD＝13．
【解题策略】利用三角函数解题要注意相等角之间的转化．添加辅助线，构造直角三角形，达到解题目的．
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
【重点难点】
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小，进一步体会三角函数的意义.
知识概览图
新课导引
【生活链接】观察自己和同学们的 ( http: / / www.21cnjy.com )三角尺，以及教师课堂上使用的三角尺，会发现这些三角尺的角度分别是30°，60°，90°或45°，45°，90°．
【问题探究】通过上面的观察，我 ( http: / / www.21cnjy.com )们还可以得出一个结论：一副三角尺中的角都是特殊角．其中30°，45°，60°角的三角函数值都是可求的．通过观察、分析、讨论直接写出30°角的三角函数值．
【点拨】sin 30°=，cos 30°=，tan 30°=.
教材精华
知识点 30°，45°，60°角的三角函数值
30°角的三角函数值．
求30°角的三角函数值，关键是利用“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”这一特征．不妨设30°角的对边为1，则斜边为2，可求得30°角的邻边为，如图l—29所示，由此可求出30°角的各三角函数值，sin 30°=,cos 30°=,tan 30°=.
60°角的三角函数值．
求60°角的三角函数值可以利用求30°角的三角函数值的三角形，如图1—29所示，此时30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边，由此可求出60°角的各三角函数值.sinA60°=,cos 60°=，tan 60°=
45°角的三角函数值．
求45°角的三角函数值，关键是利用“含45°角的直角三角形是等腰三角形”这一特征．不妨设一条直角边为1，则另一条直角边也为1，斜边为，如图l—30所示，由此可求出45°角的各三角函数值．sin 45°=,cos 45°=,tan 45°=1．
┃规律方法小结┃本节由熟悉 ( http: / / www.21cnjy.com )的三角尺引入特殊角(30°，45°，60°)的三角函数值，再利用含30°和45°角的直角三角形和三角函数的定义求出30°，45°，60°角的三角函数值，运用了数形结合的思想方法．
课堂检测
基础知识应用题
1、求下列各式的值．
(1)sin2 30°＋sin2 45°＋cos 60°cos45°；
(2)2sin 45°－．
2、如图1—31所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB－AC=2－，求BC的长．
综合应用题
3、如图l—32所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝，BC＝，解这个直角三角形．
4、如图1—33所示，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB＝BC，AD=7，tan A＝2，求CD的长．
探索与创新题
5、在△ABC中，AB＝4，AC＝，∠B＝60°，求BC的长．
6、如图1—36所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD=20，求BC的长．
体验中考
1、在平面直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第一象限内，且OP与x轴正半轴的夹角为60°，则y的值是 ( )
A． B． c．8 D．2
2、计算－2sin 45°＋(2－π)0－()-1．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算．
解：(1)sin2 30°＋sin2 45°＋cos 60°cos 45°
=()2＋()2＋××=.
(2)2sin 45°－
=2×
=.
【解题策略】 解此类题的关键是熟记特殊角的，三角函数值．
2、┃分析┃ BC不在直角三角形中，应 ( http: / / www.21cnjy.com )作辅助线将其转化到直角三角形中，因此可作AD⊥BC于D，此时组成BC的两条线段CD，BD可分别在Rt△ADC和Rt△ADB中求得．
解：作AD⊥BC于D，在Rt△ADC中，sin C＝，
∴AD=ACsin C=ACsin 45°=AC．
在Rt△ADB中，sin B＝，
∴AD＝ABsin B=AB sin 30°=AB，
∴AB=AC，∴AB=AC
又∵AB－AC＝2－，∴AC－AC＝2－，(－1)AC＝2－，
∴AC==.∴AB=2．
∵cos C=，∴CD=ACcos 45°=×==1．
∵cosB= ，∴BD=AB cos 30°= 2×=,
∴BC=BD＋DC=＋1．
【解题策略】对于非直角三角形，常通过添加辅助线构造直角三角形来求解．
3、┃分析┃要解Rt△ACB，需要(除直角)两个条件，已知条件中有一条边(BC＝)，还需要一个条件(边或角)，而这一条件应从另一已知条件中得到，由已知可联想到△BDC∽△BCA，得到BC2＝BD·AB，其中BD＝AB－AD＝AB－，由此可得到关于AB的一个方程，解方程可得所需的另一条件．
解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，
又∵CD⊥AB于D，∴∠CDB＝∠ACB＝90°．
又∵∠B=∠B,∴△BDC∽△BCA,∴，∴BC2=BD·AB，
即()2＝(AB－AD)AB，48=(AB－)AB，
∴AB2－AB－48=0，∴AB=(AB=－舍去) ，
∴Sin A＝,∴∠A=30°,∠B＝90°－∠A=60°．
∵cos A=,∴AC=ABcos A=ABcos 30°==12 ．
┃规律·方法┃(1)由直角三角形中除 ( http: / / www.21cnjy.com )直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．如本例中已知BC，解直角三角形ACB，应求的未知元素有AC，AB，∠A，∠B．(2)在直角三角形中，除直角外，只要再知道两个元素(其中至少有一个是边)，则这个直角三角形中的其他元素都可以求出来．
4、┃分析┃已知∠B＝∠D＝90°，A ( http: / / www.21cnjy.com )D＝7，tan A＝2，为了构造可解的直角三角形，可分别延长DC，AB，设交点为E，得DE＝14．再利用∠A＝∠ECB，则tan A＝tan∠ECB，通过设参数，列方程即可求解．
解：分别延长DC，AB交于E．
∵tan A＝tan∠ECB＝2，∴2＝．又AD=7，∴DE=14．
设BC＝AB＝k(k＞0)，则BE＝2k，∴AE＝3k，CE＝k．
在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，即(3k)2＝72＋142，解得k=，
∴CE=，则CD=DE－CE=14－．
┃规律·方法┃解此类问题的基本 ( http: / / www.21cnjy.com )思路是将四边形问题转化成解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个：一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件，通过设参数列方程．在解直角三角形时，常用的等量关系式有：勾股定理、三角函数关系、面积关系等．
5、┃分析┃ △ABC是一个非直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形，要想办法将其转化为直角三角形来解．要求BC的长，关键是求出△ABC的高，因为三角形的形状不确定，所以求三角形的高时应该有两种情况．
解：当△ABC为锐角三角形时(如图1—34所示)，
过A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ADB中，∵∠B＝60°，AB＝4，
∴AD＝ABsin 60°＝4×＝．
∵∠BAD＝90°－∠B=30°，∴BD＝AB=2．
在Rt△ADC中，CD＝＝1，
∴BC＝BD＋CD＝2＋1＝3．
当△ABC为钝角三角形时(如图1—35所示)，
过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
同理可求得BD=2，CD=1，∴BC＝BD－CD＝2－1＝1。
【解题策略】解此类问题要注意分类讨论思想的运用，分类时要做到不重不漏．
6、┃分析┃ 利用三角形中的边角关系解直角三角形，求三角形边长．
解：在Rt△ACB中，∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC＝60°.又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠A，∴BD=AD=20．在Rt△DCB中，cos∠DBC=，
∴BC=BDcos∠DBC=20×．
【解题策略】解此题的关键是利用“等量代换”思想，将已知元素与未知元素都化归到同一直角三角形中，使问题得以解决．
体验中考
1、┃分析┃本题考查运用特殊角的三角函数值求点的坐标．由题意得tan 60°＝，即y=4tan 60°＝.故选B．
【解题策略】在平面直角坐标系中建立直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解．
2、┃分析┃本题考查特殊角的三角函数值与零指数幂、负整指数幂等的计算．
解：－2sin 45°＋(2－π)0－()－1＝－2×＋1－3＝－2．
【解题策略】熟记特殊角的三角函数值及其他
1.3三角函数的有关计算
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.
2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算.
3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
【重点难点】
1.用计算器由已知三角函数值求锐角.
2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
知识概览图
新课导引
【生活链接】观察右图，通过计算可知 ( http: / / www.21cnjy.com )：在冬至日正午时的太阳入射角为30°30′，因此在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的距离最小为多少米，才能保证不挡光
【问题探究】如图所示，设AC为两楼最小距离，并设AC为x米，根据题意可知△ACB是直角三角形，且∠C=90°，∠BAC＝30°30′．又因为tan∠BAC＝，所以AC＝，那么对于tan 30°30′的值如何去求呢
【点拨】利用科学计算器可求一般锐角的三角函数值．利用计算器可求得
tan 30°30′≈0.5890，所以两楼间的距离最小为AC＝≈≈33.96(米)．
教材精华
知识点1 用科学计算器求三角函数值
求整数度数的锐角三角函数值．
在科学计算器的面板上涉及三角 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的键有sin，cos和tan键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按=键，则屏幕上就会显示出结果．
例如：求sin 16°的值．
解：先按sin键，再依次按1 6 =键，
则屏幕上显示出结果0.275637355．
求非整数度数的锐角三角函数值．
若度数的单位是用度、分、秒表示 ( http: / / www.21cnjy.com )的，在用科学计算器计算三角函数值时，同样先按sin，cos，tan三个键之一，然后再依次按度D﹒M’S、分D﹒M’S、秒D﹒M’S键，然后按 = 键，则屏幕上就会显示出结果．
例如：求sin 72°38′25″．
解：先按sin键，再依次按7 2 D°M′S 3 8 D°M′S = 键，
则屏幕上显示出结果0.954450312．
拓展 (1)用计算器求三角函 ( http: / / www.21cnjy.com )数值时，结果一般有10个数位，如无特别说明，计算结果一般精确到万分位．(2)不同的计算器按键方式可能不同，可根据自己使用的计算器探索具体操作步骤．
知识点2 己知三角函数值，用科学计算器求角度
已知三角函数值求角度，要用到si ( http: / / www.21cnjy.com )n ，cos，tan键的第二功能“sin-1，cos-1，tan-1”和2ndf键．具体操作步骤是：先按2ndf键，再按sin ，cos，tan键之一，再依次按三角函数值，最后按 = 键，则屏幕上就会显示出结果．
例如：已知sin A＝0.9816，求∠A的度数．
解：先按2ndf键，再按sin键，再依次按0 · 9 8 1 6键，最后按 = 键，
则屏幕上显示出结果78.99184039．
拓展 (1)上面的结果是以“度”为 ( http: / / www.21cnjy.com )单位的，再按2ndf D﹒M’S键，即可显示出以“度、分、秒”为单位的结果．(2)求角度的计算结果，如没有特别说明，一般精确到“l′”．
知识点3 仰角、俯角
如图l—40所示，当我们进行测量时，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．
当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
┃规律方法小结┃科学计算器是 ( http: / / www.21cnjy.com )学习和计算中比较有利的工具，用科学计算器取代笔算是数学改革发展的必然，本节的学习要注意掌握科学计算器相关功能键的意义，同时在利用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题时，要能够利用数学中的转化思想把实际问题转化为数学问题，再把数学问题转化为解直角三角形的问题来解决．
课堂检测
基础知识应用题
1、用计算器计算sin 35°≈ .(结果保留两个有效数字)
2、在Rt△ACB中，a＝22，b＝12，求∠B的度数．(精确到度)
3、如图1—41所示，大楼AD ( http: / / www.21cnjy.com )的高为10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60°，爬到楼顶D处测得塔顶B处的仰角为30°，求塔BC的高度．
综合应用题
4、如图1—42所示，当登山缆车 ( http: / / www.21cnjy.com )的吊箱由点A到达点B时，它走过了200 m，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角a＝16°，那么缆车垂直上升的高度是多少 当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，已知缆车由点月到点D的行驶路线与水平面的夹角β＝42°，则缆车从点A到点D垂直上升的高度是多少 水平移动的距离又是多少 (利用计算器求解，精确到0.01 m)
5、如图1—43所示，西宁风景区有两个景点A，B，为了方便游客，风景管理处决定在相距2千米的A，B两景点之间修一条笔直的公路(即图中的线段AB)，经测量，在A点北偏东60°方向，B点北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7千米的小水潭，小水潭会不会影响公路的修筑，为什么 (参考数据：≈1.732)
探索与创新题
6、如图l—44所示，在湖 ( http: / / www.21cnjy.com )边高出水面50 m的山顶A处，看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观察到其在湖中的像的俯角为65°，试求飞艇离湖面的高度h．(精确到0.0l m，tan 65°≈2.145)
体验中考
1、热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为66 m，这栋楼有多高 (结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73)
2、如图1—46所示，山顶建 ( http: / / www.21cnjy.com )有一座铁塔，塔高CD＝30 m，某人在点A处测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB．(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃ 用科学计算器进行计算的按键顺序是sin 3 5 =，结果保留两个有效数字，可知sin 35°≈0.57．故填0.57．
【解题策略】掌握科学计算器的使用方法．
2、┃分析┃要求∠B，需知∠B的某个三角函数值，已知a，b，由题意可知tan B＝，此题可解．
解：∵tan B==，
∴先按2ndf 和tan 键，再按 ( 6 ÷ 11 ) = 键，显示结果28.61045967，
四舍五入得∠B≈29°．
【解题策略】解此类型题的关键是掌握科学计算器的按键顺序．
3、┃分析┃作BE⊥AD交AD的延长线于E，利用边角关系列方程求解．
解：作BE⊥AD交AD的延长线于E，设ED＝x米，
在Rt△BED中，BE＝DE＝x米，
在Rt△ACB中，BC＝tan 60°·AC，且AC＝BE，
所以BC＝·x＝3x米，由AE－ED＝AD，
得3x－x＝10，解得x＝5，
所以BC＝ED＋AD＝5＋10＝15(米)，所以塔BC的高度为15米．
【解题策略】此题结合仰角、俯角等解直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形时常涉及的概念解决生活中的实际问题，解题时常通过设未知数，再利用直角三角形的边角关系列方程求解．
4、┃分析┃如图l—42所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，作BF⊥DM交DM的延长线于E，延长AC交DM的延长线于F，题中第(1)问缆车垂直上升的高度即BC的长，可在Rt△ACD中求得．第(2)问由点A到点D垂直上升的高度即DE的长，由DE＝DF＋EF，EF＝BC可知，求DF的关键是求DE的长，可在Rt△BFD中求得．缆车水平移动的距离即AE的长，AE＝AC＋CE，CE＝BF，也可分别利用Rt△ACB和Rt△BFD求解．
解：延长AC交DM的延长线于E，作BF⊥DE于F，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝16°，
∴sin∠BAC＝，BC＝ABsin∠BAC＝200×sin l6°≈55.13(m)．
即缆车由A到B垂直上升的高度约为55.13 m．
在Rt△BFD中，∠BFD＝90°，∠DBF＝42°，
∴sinβ=，DF=BDsinβ=200×sin 42°≈133.83(m)，
∴DE＝DF＋EF＝DF＋BC≈133.83＋55.13＝188.96(m)．
同理，在Rt△ACB中，AC=ABcos a＝200×cos 16°≈192.25(m)．
在Rt△BFD中，BF＝BDcosβ＝200×cos 42°≈148.63(m)，
∴AE＝AC＋CE＝AC＋BF≈192.25＋148.63＝340.88(m)，
即缆车从A点到D点垂直上升的高度约是188.96 m，
水平移动的距离约是340.88 m．
【解题策略】解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学问题，再利用直角三角形的知识求解．
5、┃分析┃过点C作CD⊥AB于D，在直角三角形中求出CD的长，比较CD与小水潭半径的大小便得到答案．
解：过点C作CD⊥AB于D，设CD＝x，
∵∠ABC＝45°，∴DB＝CD＝x．
又∵∠ACD＝60°，∴AD＝CDtan 60°＝x．
又∵AB=AD＋DB＝2，∴x＋x＝2，∴x＝≈0.732(千米)．
又∵0.732＞0.7，∴小水潭不会影响公路的修筑．
【解题策略】作辅助线构造直角三角形，利用三角函数知识建立方程，从而达到解题的目的．
6、┃分析┃先利用平面镜成像知识找到像点p′，然后转化为解直角三角形问题．
解：作点P关于湖面的对称点P′，连接AP′，
设AE＝x，在Rt△AEP中，∠PAE＝45°，
∴∠P＝45°，∴PE＝AE＝x，
由平面镜成像知识，得OP′＝OP＝PE＋EO＝x＋50，
在Rt△AEP′中，tan∠EAP′＝，∴＝tan 65°．
又∵EP′＝OE＋OP′=50＋(x＋50)＝x＋100，
∴=tan 65°，∴≈2.145，解得x≈87.34，
∴OP＝x＋50≈87.34＋50＝137.34(m)．
即飞艇离湖面的高度h约为137.34 m．
【解题策略】这是一道数学与 ( http: / / www.21cnjy.com )物理的综合题，将物理中平面镜成像原理与几何中的轴对称知识相结合．利用解直角三角形的知识解实际问题时，要善于用方程的观点(设未知数)去处理问题．
体验中考
1、┃分析┃结合仰角、俯角及解直角三角形所涉及的知识来解决生活中的实际问题．
解：如图1—45所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
根据题意，得∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝66 m.
在Rt△ADB中，由tan∠BAD=，
得BD＝ADtan∠BAD＝66×tan 30°
=66×=(m)．
在Rt△ADC中，由tan∠CAD＝，
得CD＝ADtan∠CAD＝66×tan 60°＝66×＝66(m)．
∴BC＝BD＋CD＝22＋66＝88≈152.2(m)．
答：这栋楼高约为152.2 m．
【解题策略】解此类问题的关键是把实际问题转化为数学问题，再利用直角三角形的相关知识求解．
2、┃分析┃要求AB，需利用Rt△ABC和Rt△ABD建立AB与CD的关系式，再利用所给的参考数据求解．
解：在Rt△ABC中，∠CAB=20°，
∴BC＝ABtan∠CAB＝ABtan 20°．
在Rt△ABD中，∠DAB＝23°，
∴BD＝ABtan∠DAB＝ABtan23°，
∴CD＝BD－BC＝ABtan 23°－ABtan 20°=AB(tan 23°－tan 20°)，
∴AB＝≈＝500(m)．
答：此人距CD的水平距离AB约为500 m.
【解题策略】利用数学知识解决实际问题．
1.4船有触礁的危险吗
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.经历探索船是否有触礁的危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.通过探索活动让学生感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识.
【重点难点】
1.能够把实际问题转化为数学问题, 能够借助计算器进行有关三角函数的计算.
2.能够把实际问题转化为数学问题.
知识概览图
新课导引
【生活链接】为了测量小河对岸的建筑物AB的高度，请你想一想都有哪些测量方法．
【问题探究】对上面的问题你选择什么测量方法 应测量哪些数据 如何得到最后的结果
【点拨】测量小河对岸的建筑物的高度 ( http: / / www.21cnjy.com )，即是测量底部不能到达的物体的高度，一般要利用测角仪和皮尺两种测量工具，要重复两次测量，测出两个观察点的距离和在两处观测的仰角，利用解直角三角形的知识解决．
教材精华
知识点 船有触礁的危险吗
运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题的方法如下：
(1)根据题意把实际问题转化为数学问题，对于没有给出图形的实际问题，要弄清题意，并画出示意图；
(2)认真分析题意，找出图形中的线段、角所表示的实际意义，并找到所要解决的问题；
(3)根据所要解决的问题找到要求解的 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形，有些图形虽然不是直角三角形，但可通过添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形(包括正方形)．
(4)在解直角三角形时，要选择合适的边角关系式，并借助计算器进行有关三角函数的计算．
(5)对于所求的结果是边或角时，要按 ( http: / / www.21cnjy.com )照题目中要求的精确度确定答案，并注明单位，对于说理性题型(如货轮是否会有触礁的危险)，除正确计算结果外，还要进一步对结果的意义进行说明．
┃规律方法小结┃学习 ( http: / / www.21cnjy.com )中要注意转化思想的应用：(1)把实际问题转化为数学问题．包括将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的示意图；将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系．(2)把数学问题转化为解直角三角形问题．若图形中不含有直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．
课堂检测
基础知识应用题
1、如图l—52所示，一 ( http: / / www.21cnjy.com )艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内有暗礁，渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C
在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有触礁的危险
2、如图1—53所示，小岛A在港口P的南偏 ( http: / / www.21cnjy.com )西45°方向，距离港口81海里处，甲船从A出发，沿AP方向以9海里／时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向以18海里／时的速度驶离港口．现两船同时出发．
(1)出发后几小时两船与港口P的距离相等
(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向 (结果精确到0.1小时，参考数据：≈1.41，≈1.73)
综合应用题
3、如图1—55所示，一艘轮船以20海里／时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里／时的速度由南向北移动，距离台风中心20海里的圆形区域(包括边界)都属于台风区，当轮船到达A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向的B处，且AB＝100海里．
(1)若这艘轮船自A处按原来速度继续航行，在途中会不会遇到台风 若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由；
(2)现在轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60海里的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，则船速至少应提高多少 (精确到0.1海里/时，≈3.6)
探索与创新题
4、如图1—57所示，某摄制组 ( http: / / www.21cnjy.com )在东海拍摄风光片，拍摄地位于A处，在其正南方向15海里处有一小岛B，在B的正东方向20海里处有一小岛C，小岛D位于AC上，且与小岛A相距10海里．
(1)求∠A的度数和点D到BC的距离；(精确到1°)
(2)摄制组甲从A处乘甲船出发，沿A→B→C的方向
匀速航行，摄制组乙从D处乘乙船出发，沿南偏西方向匀速直线
航行，已知甲船的速度是乙船速度的2倍，若两船同时出发并且在B，C间的F处相
遇，则相遇时乙船航行了多少海里 (精确到0.1海里)
体验中考
气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛(设为点O)的南偏东45°方向的B点生成，测得OB＝100 km．台风中心从点B以40 km / h的速度向正北方向移动，经5 h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km／h的速度向北偏西60°方向继续移动．以O为原点建立如图l－59所示的平面直角坐标系．
(1)台风中心生成点B的坐标为 ，台风中心转折点C
的坐标为 ；(结果保留根号)
(2)已知距台风中心20 ( http: / / www.21cnjy.com )km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市(设点A)位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃过点B作BM⊥AH于 ( http: / / www.21cnjy.com )点M．在Rt△BAM中可求出BM．过点C作CN⊥AH于点N，交BD于点K．要知道这艘渔船是否有触礁的危险，关键是通过解直角三角形，建立方程，求出CK，若CK＞4.8海里，则渔船没有触礁的危险.
解：如图1—52所示，过点B作BM⊥AH于点M，
∴BM∥AF，∴∠ABM=∠BAF=30°，
在Rt△BAM中，AM＝AB＝5海里，BM＝5海里，
过点C作CN⊥AH于点N，交BD于点K，
在Rt△BCK中，∠CBK＝90°－60°＝30°，
设CK＝x海里，则BK=x海里．连接AC．
在Rt△CAN中，∠CAN＝45°，∴AN＝NC，∴AM＋MN＝CK＋KN．
又MN＝BK，BM＝KN，∴x＋5＝5＋x，解得x＝5．
∵5＞4.8，∴渔船没有触礁的危险．
【解题策略】解这类题的方法是过目标点作垂线，构造直角三角形，设出未知数，运用直角三角形的边角关系，建立方程求解．
2、┃分析┃建立直角三角形求解．
解：(1)设出发后x小时两船与港口P的距离相等．
根据题意得8l－9x＝18x，解此方程，得x＝3．
即出发后3小时两船与港口P的距离相等．
(2)设出发后y小时乙船在甲船的正东方向．
此时甲、乙两船的位置分别在点C，D处，连接CD(如图l—53所示)．
过点P作PE⊥CD，垂足为E.则点E在点P的正南方向．
在Rt△CEP中，∠CPE＝45°，∴PE＝PCcos 45°．
在Rt△PED中，∠EPD＝60°，∴PE＝PDcos 60°．
∴PCcos 45°＝PDcos 60°，即(81－9y)cos 45°=18ycos 60°，
解得y≈3.7．∴出发后约3.7小时乙船在甲船的正东方向．
3、┃分析┃本题主要考查建立数学模型， ( http: / / www.21cnjy.com )构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系解决实际问题．把航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型．
解：(1)设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，
此时，轮船位于C处，台风中心移到E处，
连接CE，则有AC＝20t，AE＝AB－EB＝100－40t，EC＝20．
在Rt△ACE中，因为AE2＋AC2=EC2，
所以(20t)2＋(100－40t)2＝(20)2，所以t2－4t＋3＝0．①
因为△＝(－4)2－4×1×3＝4＞0，所以方程有解，即途中会遇到台风．
解方程①得(t1=1，t2＝3(舍去)．所以最初遇到台风的时间为1小时．
(2)设台风抵达D处的时间为t小时，此时台风中心到达M处，
过D作DF⊥AB于F，连接DM．
在Rt△ADF中，AD＝60，∠FAD＝60°，所以DF＝30，FA＝30．
又FM=FA＋AB－BM＝130－40t，MD＝20，
所以(30)2＋(130－40t)2＝(20)2，
即4t2－26t＋39=0，解得t1＝,t2＝(舍去)．
所以台风抵达D处的时间为小时，
所以这段时间内轮船的速度应为60÷≈25.6(海里/时)，
因为要使轮船在台风到来之前到达D港，
所以这段时间内轮船的速度应为25.6海里／时，
因此为使台风抵达D处之前轮船到达D处，轮船应提速5.6海里／时．
【解题策略】把航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型．
4、┃分析┃ 结合勾股定理的相关知识解三角形．
解：(1)在Rt△ABC中，因为tan A＝，所以∠A≈53°．
如图1—57所示，过点D作DE⊥BC于点E，
所以Rt△ABC∽Rt△DEC，所以．
又因为AC＝＝＝25(海里)，
所以DE＝＝×15＝9(海里)，
所以D到BC的距离为9海里．
(2)设相遇时乙船航行了x海里，则DF＝x海里，AB＋BF＝2x海里．
因为CD＝15海里，DE＝9海里，所以CE=12海里，
所以EF=15＋20－2x－12＝(23－2x)(海里)．
在Rt△DEF中，EF2＋DE2＝DF2，所以(23－2x)2＋92=x2，
解得x1≈21.0(连接BD，21.0＞BD＝＝≈12.0，不合题意，舍去)，x2≈9.7．
所以相遇时乙船航行了约9.7海里．
【解题策略】解决梯形问题，通常作高将其转化为直角三角形问题，再结合解直角三角形的知识解决问题．
体验中考
┃分析┃本题主要考查解直角三角形．
解：(1)B(100，－100) C(100，200－100)
(2)过点C作CD⊥OA于点D，
如图1—60所示，则CD=100km．
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，CD＝100km，
∴=cos 30°=，∴CA=200 km．
∵=6(h)，5＋6=11(h)，
∴台风从生成到最初侵袭该城要经
1.5测量物体的高度
学习目标、重点、难点
【学习目标】
能够设计测量方案、说明测量理由，能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.
能对所得数据进行分析，对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果.
【重点难点】
综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.
知识概览图
新课导引
【生活链接】测量一栋楼房的高度，你有哪些方法 都用到了哪些工具
【问题探究】测量楼房的高度 ( http: / / www.21cnjy.com )的办法有很多．例如，用测物体影长的方法可以测出楼房的高度．也可以利用测仰角或俯角的办法测出楼房的高度．相应用到的测量工具有量角器、标杆等等．测量方法很多，这里就不一一列举了．
教材精华
知识点1 测量倾斜角
测量倾斜角可以用测倾器．简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成(如图1—68所示)．
( http: / / www.21cnjy.com )
测倾器的制作．
简易测倾器可以自己制作．用木 ( http: / / www.21cnjy.com )板做一个半圆刻度盘，半径是15～20 cm(90°～0°～90°)，用螺钉、螺母把它和一根长130 cm的木杆连在一起，并在半圆圆心处挂一个铅垂线，直径的两端钉两个标针(如图1—69所示)．当木杆与地面垂直时，通过标针的视线是水平的．
使用测倾器测量倾斜角的步骤．
(1)把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置；
(2)如图1—70所示，转动度盘，使度盘的直径PQ对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数；
(3)根据同角的余角相等可以知道，所测倾斜角即仰角∠AOM等于铅垂线所指的度数，读出铅垂线所指的度数，就是∠AOM的度数．
拓展 (1)测倾器的制作和使 ( http: / / www.21cnjy.com )用的原理是：“同角的余角相等”(测仰角)、“对顶角相等”或“同角的余角相等”(测俯角)．(2)90°∽0°～90°的意思是使半圆刻度盘的刻度以0°为中心，然后向左、右分别增加到90°，也就是说，这个半圆刻度盘的刻度不是0°～180°．
知识点2 测量物体的高度
测量底部可以到达的物体的高度．
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．
如图1—71所示，要测量旗杆MN的高度，如果从测点到旗杆MN的底部的水平距离可以直接量得，高度MN就可以测出，具体过程如下：
(1)工具——测倾器．
(2)步骤：
①在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶M的仰角∠MCE＝a；
②量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝l；
③量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ成水平方向时，它与地面的距离)；
④按照MN＝ltana＋a的关系式，就可求得MN的高(这是因为MN=ME＋EN＝ltan a＋a)．
(3)填写活动报告如下．
活动报告 ( http: / / www.21cnjy.com ) 年 月 日
课题 测量底部不可以到达的物体的高度．
测量示意图 ( http: / / www.21cnjy.com )
测得数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
AN的长
测倾器的高度AC
仰角a
计算过程 旗杆高MN（精确到0.1m）.∵MN=ME+EN,ME=CEtana，CE=AN，EN=AC∴MN=ltana+a
活动感受
负责人及参加人员
计算者及复核者
指导教师审核意见
备注
测量底部不可以到达的物体的高度。
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．
如图l—72所示，要测量旗杆MN的高度，如果从测点到旗杆MN的水平距离不可以直接量得，可按下列步骤进行：
(1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=a；
(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A，B与N在一条直线上)，测得此时M的仰角∠MDE=β;
(3)量出测倾器的高度AC＝BD＝A，以及测点A，B之间的距离AB＝b；
(4)按照MN=＋a的关系式，就可求得MN的高(这是因为).
(5)填写活动报告(与前面的活动报告类似)．
┃规律方法小结┃本节是活动 ( http: / / www.21cnjy.com )课，活动课题为利用直角三角形的边角关系测量物体的高度，无论从方案的设计、实地的测量，还是到活动报告的撰写，都贯穿着数学理论联系实际的原则，渗透着数学的应用意识及转化、数形结合的数学思想方法．因此，在学习中要提高分析问题、解决问题的能力和数学的应用意识．
解直角三角形知识 ( http: / / www.21cnjy.com )可以广泛地应用于测量、工程技术和物理学中，主要用来计算距离、高度和角度．解题的关键是建立实际问题的数学模型，即画出图形，找出要解的直角三角形，选择恰当的关系式，并准确把握仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念的意义．
常见的图形与关系式如下表所示．
( http: / / www.21cnjy.com )
课堂检测
基础知识应用题
1、如图1—73所示，小河 ( http: / / www.21cnjy.com )对岸有一铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，面对铁塔前进20 m到达D处，测得塔顶A的仰角为45°，求铁塔的高度．
综合应用题
2、如图l—74所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8 m的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，E三点在一条直线上．若BE＝15 m，求这块广告牌的高度．(≈1.73，计算结果保留整数)
3、如图1—75所示，在观测点E测得小山上铁塔顶部A的仰角为60°，铁塔底部B的仰角为45°．已知塔高AB＝20 m，观测点E到地面的距离EF＝35 m，求小山BD的高．(精确到0.1 m，≈1.732)
4、如图1—76所示，某 ( http: / / www.21cnjy.com )校九年级(3)班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动，部分同学在山脚点A处测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米，另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC.(计算过程和结果都不取近似值)
5、如图1—78所示，在一 ( http: / / www.21cnjy.com )个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB．当太阳光与水平线成50°角时，测得该斜坡上的树影BC的长为7 m，求树高．(精确到0.1 m，参考数据：sin 15°≈0.2588，cos 15°≈0.9659，tan 50°≈1.1918，sin 50°≈0.7660)
探索与创新题
6、如图l—80所示的是某型号飞机的机翼形状，其中AB∥CD，根据图中数据计算AC，BD和CD的长度．(结果保留根号)
7、为了测量校园内一棵不可攀登的树的高度，学校数学实践小组做了如下探索．
实践一：根据《自然 ( http: / / www.21cnjy.com )科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图1—81所示的测量方案：把镜子放在离树(AB)8.7 m的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7 m，观察者身高CD＝1.6 m，试计算AB的高度．(精确到0.1 m)
实践二：提供可以选用的 ( http: / / www.21cnjy.com )测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5 m的标杆一根；④高度为1.5 m的测角仪(能测量仰角、俯角的仪器)一架，请根据你所设计的测量方案回答下列问题．
(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是 ；(用工具的序号填写)
(2)在图l—82中画出你的测量方案的示意图；
(3)你需要测得示意图中的哪些数据 分别用a，b，c
等表示测得的数据： ；
(4)写出求树高的算式：AB＝ ．
体验中考
某数学课外小组测量金湖广场的雕塑CD ( http: / / www.21cnjy.com )的高度，他们在地面A处测得雕塑顶部D的仰角为30°，再往雕塑底部C的方向前进18米至B处，测得仰角为45°，如图l—85所示，求该雕塑CD的高度．(精确到0.01米，tan 50°≈1.732)
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃本题属于测量底部不可以到达的物体的高度．
解：在Rt△ABC中，∠C＝30°，tan C＝，
∴BC===AB．
在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴BD＝AB．
∵BC－BD＝CD，∴AB－AB=CD，
∴AB=(m)．
∴铁塔的高度为10(＋1)m．
【解题策略】求底部不可以到达的物体的高度，要通过解两个直角三角形求解．
2、┃分析┃根据题意可知，在Rt△AED中，∠DAE＝45°，所以DE＝AE=23 m．在Rt△BEC中，∠CBE=60°，所以CE＝BEtan 60°＝15 m，则CD可求．
解：∵AB＝8 m，BE＝15 m，∴AE＝23 m．
在Rt△AED中，∠DAE=45°，∴DE＝AE=23 m．
在Rt△BEC中，∠CBE＝60°，∴CE＝BEtan 60°＝15 m，
∴CD＝CE－DE＝15－23≈2.95≈3(m)．
即这块广告牌的高度约为3 m．
【解题策略】解此题要注意仔细、认真地进行计算、推理．
3、┃分析┃在斜三角形中添加辅助线，构造直角三角形进行求解．
解：过点E作AD的垂线交AD于点M，设EM＝x m，
在Rt△AME中，∠AEM=60°，
tan∠AEM＝，∴EM＝.
在Rt△BME中，∠BEM=45°，∴BM＝ME＝x，
∴x=,∴x=≈27.3(m)，∴BD=BM＋EF≈27.3＋35=62.3(m)．
即小山BD的高约为62.3 m．
4、┃分析┃ 理解仰角和俯角的概念，将实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形求解．
解：如图1—77所示，过点D作DE⊥AC于E，
作DF⊥BC于F，则有DE∥FC，DF∥EC.
∵∠DEC=∠ACB＝∠CFD=90°，
∴四边形DECF为矩形，
∴DE＝FC.∵∠BAC=∠HBA=45°，
∴∠BAD＝∠BAC－∠DAE=45°－30°＝15°．
又∵∠ABD＝∠HBD－∠HBA=60°－45°=15°，
∴△ADB是等腰三角形，∴BD=AD＝180米．
在Rt△AED中，sin∠DAE＝sin 30°＝，
∴DE＝180sin 30°＝180×=90(米)，∴FC＝90米．
在Rt△BFD中，∠BDF＝∠HBD=60°，sin∠BDF＝sin 60°=，
∴BF=180sin 60°=180×=90(米)，
∴BC=BF＋FC＝90＋90＝(90＋90)(米)．
故小山的高度为(90＋90)米．
5、┃分析┃ 如图l—79所示，要求树高AB，关键在于先求出
AD与BD的长，利用关系式AB＝AD－BD即可求出树高．
解：如图1—79所示，过点C作水平线与AB的延长线交于
点D，则AD⊥CD．
∴∠BCD＝15°，∠ACD＝50°．
在Rt△CDB中，CD＝7×cos 15°，BD＝7×sin 15°，
在Rt△CDA中，AD＝CDtan 50°=7×cos 15°tan 50°．
∴AB＝AD－BD＝7×cos 15°tan 50°－7×sin 15°
＝7(cos 15°tan 50°－sin 15°)≈6.2(m)．
答：树高约为6.2 m．
【解题策略】解此题的关键是仔细分析题意，理解图形的意义．作辅助线构造直角三角形．再解直角三角形求解.
6、┃分析┃ 本题主要考查直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的边角关系，即把实际问题转化为解直角三角形问题．过A，B分别作CD的垂线，得到两个直角三角形，解两个直角三角形，可求出AC，BD，CE，DF，要注意CD＝CE＋EF－DF．
解：过A，B分别作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F．
在Rt△AEC中，cos 45°＝，
∴AC===(米)．
在Rt△BFD中，cos 30°＝，∴BD＝＝=6(米)．
∵CE＝AE＝3米，DF＝BD＝3米，EF=AB=米，
∴CD=CE＋EF－DF=3＋－3=－3(米)．
【解题策略】同时解含有两个或两个以上直角三角形的实际问题，一定要注意各边之间的联系．
7、┃分析┃实践一：把数 ( http: / / www.21cnjy.com )学中测量大树的高度与物理中光的反射结合起来，应用跨学科的知识解决生活中的实际问题．由光的反射定律可知∠CED＝∠AEB，所以Rt△CDE∽Rt△ABE，用相似三角形的对应边成比例可求得树高AB．实践二：实际上是考查学生应用解直角三角形的知识测量底部可以到达的物体的高度的能力．
解：实践一．∵∠CED＝∠AEB，
∠CDE＝∠ABE＝90°，∴△CDE∽△ABE，
∴，即,∴AB≈5.2 m．
实践二．(1)①② (2)示意图如图l—83所示．
(3)CD＝a，BD＝b (4)a＋b
【解题策略】 首先要理解物理学中的镜面反射原理，其次能综合运用相似、解直角三角形的知识解决实际问题．
体验中考
┃分析┃本题实际上是求底部不能直接到达的雕塑CD的高度．
解：在Rt△DCB中，∵∠DBC＝45°，∴BC＝CD．
在Rt△DCA中，∵∠DAC＝30°，∴tan 30°＝，∴AC＝＝CD．
又∵BC＋AB＝AC，∴CD＋18=CD，CD=≈24.59(米)．
答：该雕塑的高度约为24.59米．
【解题策略】把实际问题转化为数学问题求
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．掌握正切的意义，坡度的概念，用正切表示生活中物体的倾斜程度.
2．培养学生分析问题、解决问题的能力以及创新能力.
3．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.
【重点难点】
1．从现实情景中探索直角三角形的边、角关系.
2．理解正切的意义和与生活现象--倾斜度、坡度的内在本质的统一性，密切数学与生活的联系.
3．如何把正切的意义从现实生活中抽取并灵活应用.
知识概览图
新课导引
【生活链接】意大利比萨斜塔落成时已经倾斜，你如何描述比萨斜塔的倾斜程度呢
【点拨】我们可以用“塔身中心线偏 ( http: / / www.21cnjy.com )离竖直中心线的角度”来描述比萨斜塔的倾斜程度．用该角的正切值来描述塔的倾斜程度，即该角的正切值越大，塔倾斜越严重．其实，角的正弦值、余弦值均可以描述塔的倾斜程度，即该角的正弦值越大，塔倾斜越严重；该角的余弦值越小，塔倾斜越严重．
教材精华
知识点1 正切的概念
如图1—l所示，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tan A，即tanA＝．
拓展 (1)tan A是一个完整 ( http: / / www.21cnjy.com )的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号 “∠”．我们后面将要学习的sinA，cos A也是这样．(2)当用三个大写字母表示一个角，并表示它的正切时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠BAC。(3)正切是在直角三角形中定义的，其本质是两条线段长度的比值，它是数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，而与所在的直角三角形的大小无关．
知识点2 正切的应用
正切值与梯子倾斜程度之间的关系．
tanA的值越大，梯子越陡．
拓展 当梯子的倾斜角确定时，其对 ( http: / / www.21cnjy.com )边与邻边的比值便随之确定，因此，可以用倾斜角的对边与邻边之比，即倾斜角的正切值来刻画梯子的倾斜程度．
用正切来描述山坡的坡度．
坡角越大，坡度越大，坡面越陡．
拓展 工程上，斜 ( http: / / www.21cnjy.com )坡的倾斜程度通常用坡度来表示，而坡度是坡角的正切．坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)．通常坡度用字母i表示．
知识点3 正弦和余弦的概念
如图1—2所示，在Rt△ACB中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sinA＝．
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cosA＝．
拓展 (1)正弦、余弦的概念 ( http: / / www.21cnjy.com )是类比正切得到的，其本质也是两条线段长度的比值，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关．(2)在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以有如下结论：0
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数．
拓展 在锐角A的三角函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<∠A <90°，三个比值是因变量．当∠A确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．
知识点5 互余两角的正弦与余弦的关系
如图1—3所示，∠A的对边恰是∠B的邻边，而∠B的对边也恰是∠A的邻边．
∵sinA＝，
cosB＝，
∴sinA＝cosB．同理可得cosA＝sinB，
又∠A十∠B＝90°，即∠B＝90°－∠A，
∴sinA=cos(90°－A)＝cos B，
cosA＝sin(90°－A)＝sinB．
也就是说，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．
拓展 此结论适用于所有两个角互为余角的情况，它们并不一定是同一直角三角形中的两个锐角．
规律方法小结 在本节知识 ( http: / / www.21cnjy.com )的学习中，一定要仔细体会数形结合的思想，掌握数形结合的方法．本节从正切、正弦、余弦的概念的引出到公式的推导，都体现了数形结合的思想方法．对于锐角三角函数的有关概念，应通过画图找出直角三角形中边、角之间的关系，加深对概念的理解．
本节内容是三角函数的基础知识，是全章的重点，也是难点，现将本节知识归纳如下（参照图1—3）:
sin A＝
sin B＝
∠A十∠B＝90°
课堂检测
基本概念题
1、在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则BC：AC等于( )
A．3：4 B．4：3
C．3：5 D．4：5
2、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10 m，则他所在的位置比原来的位置升高了 m．
基础知识应用题
3、在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．
(1) 求AB的长；
(2) 求sin A，cos A的值；
(3) 求sin2 A+cos2 A的值；
(4) 比较sin A与cos B的大小；
(5) 比较tan A与的大小．
综合应用题
4、已知α为锐角，且tanα是方程x2 －2x－3＝0的一个根，求tan2a+2tanα+1的值．
5、如图1－8所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AD＝6，BC＝14，S梯形ABCD＝40，求tan B的值．
6、求证：平行四边形 ABCD的面积S＝AB·BC·sin B (∠B为锐角)．
探索与创新题
7、已知a为锐角，且tan a＝3，求的值．
8、如图l-12所示，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′P′B，且
B′P＝2，那么PP′的长为 ．(不取近似值，以下数值供解题使用：sinl5°=，cos15°=)
( http: / / www.21cnjy.com )
9、在△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84．
(1)求tan∠ACB的值；
(2)求sin∠BAC的值．
体验中考
1、如图1－15所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sin B的值是 ( )
A． B．
C． D．
2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A =，AC=，那么BC的值为( )
A．2 B．4 C．4 D．6
3、如图l-16所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE＝，则河堤的高BE为 米．
4、如图1－17所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos B＝，BC＝26．
(1)求cos∠DAC的值；
(2)求AD的长．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃ 根据题意画出图形，如图1-4所示，由正弦的概念可知sin A＝，∴sinA＝，设BC＝3k，AB＝5k，由勾股定理得AC＝＝＝4k，∴BC：AC＝3k：4k＝3：4．故选A.
【解题策略】(1)本例求BC：AC的值，实际上就是求∠A的正切值，即tan A．(2)解此类型题可根据题意画出图形，借助图形帮助分析．
2、┃分析┃ 如图1—5所示，由坡度的定义可知i＝tan A＝，设BC＝3k m，则AC＝4k m，由勾股定理得AB＝=5 k（m），5k=10所以k=2，所以他所在的位置比原来的位置升高了BC＝3k＝6(m)．故填6．
【解题策略】(1)坡度是坡面的铅直高度与水平 ( http: / / www.21cnjy.com )宽度的比，即坡度是坡角的正切值．(2)坡度通常用字母i表示．(3)坡度与坡角(用a表示)的关系是i＝tanα．
3、┃分析┃ 解本题的关键 ( http: / / www.21cnjy.com )是求出sin A，cos A，cos B，tan A的值，而要求这些锐角的三角函数值，关键在于正确理解正弦、余弦、正切的概念，找准与之相关的边。
解：(1)∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13．
(2)sinA＝
(3)∵sin2A＝
∴sin2 A+cos2 A＝＋＝1．
(4)∵cosB＝∴sin A＝cos B．
(5)∵tan A＝，∴tanA＝．
【解题策略】正确运用正弦、余弦、正切的概念是解此类题的关键．
4、┃分析┃ 利用解一元二次方程的方法解答此题．
解：解方程x2－2x－3＝0，得xl＝3，x2＝一1．
∵tanα是方程x2－2x一3＝0的一个根，且α为锐角，∴tanα＝3，
∴tan2 a+2tan a+l＝(tan a+1)2＝(3+1)2＝16．
【解题策略】 本题应注意：若a为锐角，则tan a>0．
5、┃分析┃ 要求tan B，应把∠B置于一个直角三角形中，图中没有包含∠B的直角三角形，因此，应通过添加辅助线构造包含∠B的直角三角形．
解：过A作AE⊥BC于E，∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴BE=(BC－AD)=×(14－6)＝4．
∵S梯形ABCD＝ (AD十BC)·AE，即40 ＝·(6十14) ·AE，∴AE＝4．
在Rt△AEB中，tan B＝=＝1．
【解题策略】对于梯形与三角函数的综合题，通常利用高线来构造直角三角形，再求锐角三角函数值
6、┃分析┃ 因为要证的等式中包含sin B，所以想到构造包含∠B的直角三角形，可过A作AE⊥BC于E，借助构造的Rt△AEB来证明．
证明：如图1－9所示，过A作AE⊥BC于E，
在Rt△AEB中，sin B＝，即AE＝AB·sin B，
∴S□ABCD＝BC·AE＝AB·BC·sin B．
【解题策略】有关等腰三角形、梯形、平行四边形的三角函数问题，常作其高，转化为直角三角形问题来解决．
7、┃分析┃ 由于a为锐角，且tan a已知，可构造包含a的直角三角形，利用三角函数的定义求出sin a，cos a的值．本题也可根据同角三角函数的关系tan a＝，将所求式子的分子、分母都除以cos a，再代值即可．
解法1：如图1-11所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝a，
∵tan a＝=3，∴设AC＝k，则BC＝3k，
∴AB＝
∴sin a=
∴
解法2：∵a为锐角，∴cosa≠0，∴
∵tan a＝=3，∴原式==.
【解题策略】掌握各三角函数之间的关系是熟练解题和简便解题的基础，应结合题型灵活运用三角函数之间的关系式．
8、┃分析┃ 如图1－13所示，连接PP′，过点B作BC⊥PP′，垂足为C．∵∠PBP′＝30°，BP=BP′，∴在Rt△PCB中，∠PBC＝15°，∴PC＝BPsin∠PBC=2×sin l5°＝，∴pp′＝2PC＝.故填．
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【解题策略】这是典型的已 ( http: / / www.21cnjy.com )知等腰三角形的腰和顶角，求底边的问题．这类问题通常都是作底边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质，得到两个全等的直角三角形，然后解直角三角形．类似地，还可以转化为已知底边和一角，求腰长或某一角的三角函数值的问题．
9、┃分析┃为了求出tan∠ACB，sin∠BAC的值，应分别构造以∠ACB，∠BAC为内角的直角三角形．
解：(1)如图1－14所示，过点A作AE⊥BC于E，
则S△ABC= BC·AE，即 ·14·AE=84，
∴AE＝12．在Rt△AEB中，
BE= =9，
∴CE＝BC－BE=14－9＝5，
在Rt△AEC中，tan∠ACE＝．
(2)由(1)知CE＝5，AE＝12，
在Rt△AEC中，AC＝13，
过点C作CD⊥AB于D，则S△ABC＝AB·CD，
即·15·CD=84，∴CD=，
在Rt△ADC中，sin∠CAD＝．
【解题策略】锐角三角函数是在直角三角形中定义的，因此构造直角三角形就成为利用三角函数解题的基本思路．
体验中考
1、┃分析┃ 因为CD是斜边AB上的中线，所以AB＝2CD＝4，在Rt△ACB中，sin B＝．故选C.
【解题策略】 本题考查正弦的概念．
2、┃分析┃在Rt△ABC中，sinA= ，AB＝2BC，在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，即(2BC)2＝BC2十()2，解得BC＝2．故选A
【解题策略】锐角三角函数与勾股定理的综合应用．
3、┃分析┃在Rt△BEA中，tan∠BAE＝，所以AE＝BE．在Rt△AEB中，AB2＝AE2十BE2，即132＝(BE)2十BE2，所以BE=12(米)．故填12．
【解题策略】 锐角三角函数和勾股定理的综合应用．运用方程思想是解此题的关键．
4、┃分析┃本题考查锐角三角函数的应用．
解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B=
∵BC＝26，∴AB=l0，∴AC=＝24．
又∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴cos∠DAC＝cos∠ACB＝
(2) 如图l－17所示，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
∵AD=CD，∴AE=EC= AC=12，
在Rt△ADE中，cos∠DAE＝，∴AD＝13．
【解题策略】利用三角函数解题要注意相等角之间的转化．添加辅助线，构造直角三角形，达到解题目的．
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
【重点难点】
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小，进一步体会三角函数的意义.
知识概览图
新课导引
【生活链接】观察自己和同学们的 ( http: / / www.21cnjy.com )三角尺，以及教师课堂上使用的三角尺，会发现这些三角尺的角度分别是30°，60°，90°或45°，45°，90°．
【问题探究】通过上面的观察，我 ( http: / / www.21cnjy.com )们还可以得出一个结论：一副三角尺中的角都是特殊角．其中30°，45°，60°角的三角函数值都是可求的．通过观察、分析、讨论直接写出30°角的三角函数值．
【点拨】sin 30°=，cos 30°=，tan 30°=.
教材精华
知识点 30°，45°，60°角的三角函数值
30°角的三角函数值．
求30°角的三角函数值，关键是利用“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”这一特征．不妨设30°角的对边为1，则斜边为2，可求得30°角的邻边为，如图l—29所示，由此可求出30°角的各三角函数值，sin 30°=,cos 30°=,tan 30°=.
60°角的三角函数值．
求60°角的三角函数值可以利用求30°角的三角函数值的三角形，如图1—29所示，此时30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边，由此可求出60°角的各三角函数值.sinA60°=,cos 60°=，tan 60°=
45°角的三角函数值．
求45°角的三角函数值，关键是利用“含45°角的直角三角形是等腰三角形”这一特征．不妨设一条直角边为1，则另一条直角边也为1，斜边为，如图l—30所示，由此可求出45°角的各三角函数值．sin 45°=,cos 45°=,tan 45°=1．
┃规律方法小结┃本节由熟悉 ( http: / / www.21cnjy.com )的三角尺引入特殊角(30°，45°，60°)的三角函数值，再利用含30°和45°角的直角三角形和三角函数的定义求出30°，45°，60°角的三角函数值，运用了数形结合的思想方法．
课堂检测
基础知识应用题
1、求下列各式的值．
(1)sin2 30°＋sin2 45°＋cos 60°cos45°；
(2)2sin 45°－．
2、如图1—31所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB－AC=2－，求BC的长．
综合应用题
3、如图l—32所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝，BC＝，解这个直角三角形．
4、如图1—33所示，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB＝BC，AD=7，tan A＝2，求CD的长．
探索与创新题
5、在△ABC中，AB＝4，AC＝，∠B＝60°，求BC的长．
6、如图1—36所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD=20，求BC的长．
体验中考
1、在平面直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第一象限内，且OP与x轴正半轴的夹角为60°，则y的值是 ( )
A． B． c．8 D．2
2、计算－2sin 45°＋(2－π)0－()-1．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算．
解：(1)sin2 30°＋sin2 45°＋cos 60°cos 45°
=()2＋()2＋××=.
(2)2sin 45°－
=2×
=.
【解题策略】 解此类题的关键是熟记特殊角的，三角函数值．
2、┃分析┃ BC不在直角三角形中，应 ( http: / / www.21cnjy.com )作辅助线将其转化到直角三角形中，因此可作AD⊥BC于D，此时组成BC的两条线段CD，BD可分别在Rt△ADC和Rt△ADB中求得．
解：作AD⊥BC于D，在Rt△ADC中，sin C＝，
∴AD=ACsin C=ACsin 45°=AC．
在Rt△ADB中，sin B＝，
∴AD＝ABsin B=AB sin 30°=AB，
∴AB=AC，∴AB=AC
又∵AB－AC＝2－，∴AC－AC＝2－，(－1)AC＝2－，
∴AC==.∴AB=2．
∵cos C=，∴CD=ACcos 45°=×==1．
∵cosB= ，∴BD=AB cos 30°= 2×=,
∴BC=BD＋DC=＋1．
【解题策略】对于非直角三角形，常通过添加辅助线构造直角三角形来求解．
3、┃分析┃要解Rt△ACB，需要(除直角)两个条件，已知条件中有一条边(BC＝)，还需要一个条件(边或角)，而这一条件应从另一已知条件中得到，由已知可联想到△BDC∽△BCA，得到BC2＝BD·AB，其中BD＝AB－AD＝AB－，由此可得到关于AB的一个方程，解方程可得所需的另一条件．
解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，
又∵CD⊥AB于D，∴∠CDB＝∠ACB＝90°．
又∵∠B=∠B,∴△BDC∽△BCA,∴，∴BC2=BD·AB，
即()2＝(AB－AD)AB，48=(AB－)AB，
∴AB2－AB－48=0，∴AB=(AB=－舍去) ，
∴Sin A＝,∴∠A=30°,∠B＝90°－∠A=60°．
∵cos A=,∴AC=ABcos A=ABcos 30°==12 ．
┃规律·方法┃(1)由直角三角形中除 ( http: / / www.21cnjy.com )直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．如本例中已知BC，解直角三角形ACB，应求的未知元素有AC，AB，∠A，∠B．(2)在直角三角形中，除直角外，只要再知道两个元素(其中至少有一个是边)，则这个直角三角形中的其他元素都可以求出来．
4、┃分析┃已知∠B＝∠D＝90°，A ( http: / / www.21cnjy.com )D＝7，tan A＝2，为了构造可解的直角三角形，可分别延长DC，AB，设交点为E，得DE＝14．再利用∠A＝∠ECB，则tan A＝tan∠ECB，通过设参数，列方程即可求解．
解：分别延长DC，AB交于E．
∵tan A＝tan∠ECB＝2，∴2＝．又AD=7，∴DE=14．
设BC＝AB＝k(k＞0)，则BE＝2k，∴AE＝3k，CE＝k．
在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，即(3k)2＝72＋142，解得k=，
∴CE=，则CD=DE－CE=14－．
┃规律·方法┃解此类问题的基本 ( http: / / www.21cnjy.com )思路是将四边形问题转化成解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个：一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件，通过设参数列方程．在解直角三角形时，常用的等量关系式有：勾股定理、三角函数关系、面积关系等．
5、┃分析┃ △ABC是一个非直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形，要想办法将其转化为直角三角形来解．要求BC的长，关键是求出△ABC的高，因为三角形的形状不确定，所以求三角形的高时应该有两种情况．
解：当△ABC为锐角三角形时(如图1—34所示)，
过A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ADB中，∵∠B＝60°，AB＝4，
∴AD＝ABsin 60°＝4×＝．
∵∠BAD＝90°－∠B=30°，∴BD＝AB=2．
在Rt△ADC中，CD＝＝1，
∴BC＝BD＋CD＝2＋1＝3．
当△ABC为钝角三角形时(如图1—35所示)，
过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
同理可求得BD=2，CD=1，∴BC＝BD－CD＝2－1＝1。
【解题策略】解此类问题要注意分类讨论思想的运用，分类时要做到不重不漏．
6、┃分析┃ 利用三角形中的边角关系解直角三角形，求三角形边长．
解：在Rt△ACB中，∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC＝60°.又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠A，∴BD=AD=20．在Rt△DCB中，cos∠DBC=，
∴BC=BDcos∠DBC=20×．
【解题策略】解此题的关键是利用“等量代换”思想，将已知元素与未知元素都化归到同一直角三角形中，使问题得以解决．
体验中考
1、┃分析┃本题考查运用特殊角的三角函数值求点的坐标．由题意得tan 60°＝，即y=4tan 60°＝.故选B．
【解题策略】在平面直角坐标系中建立直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解．
2、┃分析┃本题考查特殊角的三角函数值与零指数幂、负整指数幂等的计算．
解：－2sin 45°＋(2－π)0－()－1＝－2×＋1－3＝－2．
【解题策略】熟记特殊角的三角函数值及其他
1.3三角函数的有关计算
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.
2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算.
3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
【重点难点】
1.用计算器由已知三角函数值求锐角.
2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
知识概览图
新课导引
【生活链接】观察右图，通过计算可知 ( http: / / www.21cnjy.com )：在冬至日正午时的太阳入射角为30°30′，因此在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的距离最小为多少米，才能保证不挡光
【问题探究】如图所示，设AC为两楼最小距离，并设AC为x米，根据题意可知△ACB是直角三角形，且∠C=90°，∠BAC＝30°30′．又因为tan∠BAC＝，所以AC＝，那么对于tan 30°30′的值如何去求呢
【点拨】利用科学计算器可求一般锐角的三角函数值．利用计算器可求得
tan 30°30′≈0.5890，所以两楼间的距离最小为AC＝≈≈33.96(米)．
教材精华
知识点1 用科学计算器求三角函数值
求整数度数的锐角三角函数值．
在科学计算器的面板上涉及三角 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的键有sin，cos和tan键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按=键，则屏幕上就会显示出结果．
例如：求sin 16°的值．
解：先按sin键，再依次按1 6 =键，
则屏幕上显示出结果0.275637355．
求非整数度数的锐角三角函数值．
若度数的单位是用度、分、秒表示 ( http: / / www.21cnjy.com )的，在用科学计算器计算三角函数值时，同样先按sin，cos，tan三个键之一，然后再依次按度D﹒M’S、分D﹒M’S、秒D﹒M’S键，然后按 = 键，则屏幕上就会显示出结果．
例如：求sin 72°38′25″．
解：先按sin键，再依次按7 2 D°M′S 3 8 D°M′S = 键，
则屏幕上显示出结果0.954450312．
拓展 (1)用计算器求三角函 ( http: / / www.21cnjy.com )数值时，结果一般有10个数位，如无特别说明，计算结果一般精确到万分位．(2)不同的计算器按键方式可能不同，可根据自己使用的计算器探索具体操作步骤．
知识点2 己知三角函数值，用科学计算器求角度
已知三角函数值求角度，要用到si ( http: / / www.21cnjy.com )n ，cos，tan键的第二功能“sin-1，cos-1，tan-1”和2ndf键．具体操作步骤是：先按2ndf键，再按sin ，cos，tan键之一，再依次按三角函数值，最后按 = 键，则屏幕上就会显示出结果．
例如：已知sin A＝0.9816，求∠A的度数．
解：先按2ndf键，再按sin键，再依次按0 · 9 8 1 6键，最后按 = 键，
则屏幕上显示出结果78.99184039．
拓展 (1)上面的结果是以“度”为 ( http: / / www.21cnjy.com )单位的，再按2ndf D﹒M’S键，即可显示出以“度、分、秒”为单位的结果．(2)求角度的计算结果，如没有特别说明，一般精确到“l′”．
知识点3 仰角、俯角
如图l—40所示，当我们进行测量时，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．
当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
┃规律方法小结┃科学计算器是 ( http: / / www.21cnjy.com )学习和计算中比较有利的工具，用科学计算器取代笔算是数学改革发展的必然，本节的学习要注意掌握科学计算器相关功能键的意义，同时在利用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题时，要能够利用数学中的转化思想把实际问题转化为数学问题，再把数学问题转化为解直角三角形的问题来解决．
课堂检测
基础知识应用题
1、用计算器计算sin 35°≈ .(结果保留两个有效数字)
2、在Rt△ACB中，a＝22，b＝12，求∠B的度数．(精确到度)
3、如图1—41所示，大楼AD ( http: / / www.21cnjy.com )的高为10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60°，爬到楼顶D处测得塔顶B处的仰角为30°，求塔BC的高度．
综合应用题
4、如图1—42所示，当登山缆车 ( http: / / www.21cnjy.com )的吊箱由点A到达点B时，它走过了200 m，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角a＝16°，那么缆车垂直上升的高度是多少 当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，已知缆车由点月到点D的行驶路线与水平面的夹角β＝42°，则缆车从点A到点D垂直上升的高度是多少 水平移动的距离又是多少 (利用计算器求解，精确到0.01 m)
5、如图1—43所示，西宁风景区有两个景点A，B，为了方便游客，风景管理处决定在相距2千米的A，B两景点之间修一条笔直的公路(即图中的线段AB)，经测量，在A点北偏东60°方向，B点北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7千米的小水潭，小水潭会不会影响公路的修筑，为什么 (参考数据：≈1.732)
探索与创新题
6、如图l—44所示，在湖 ( http: / / www.21cnjy.com )边高出水面50 m的山顶A处，看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观察到其在湖中的像的俯角为65°，试求飞艇离湖面的高度h．(精确到0.0l m，tan 65°≈2.145)
体验中考
1、热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为66 m，这栋楼有多高 (结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73)
2、如图1—46所示，山顶建 ( http: / / www.21cnjy.com )有一座铁塔，塔高CD＝30 m，某人在点A处测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB．(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃ 用科学计算器进行计算的按键顺序是sin 3 5 =，结果保留两个有效数字，可知sin 35°≈0.57．故填0.57．
【解题策略】掌握科学计算器的使用方法．
2、┃分析┃要求∠B，需知∠B的某个三角函数值，已知a，b，由题意可知tan B＝，此题可解．
解：∵tan B==，
∴先按2ndf 和tan 键，再按 ( 6 ÷ 11 ) = 键，显示结果28.61045967，
四舍五入得∠B≈29°．
【解题策略】解此类型题的关键是掌握科学计算器的按键顺序．
3、┃分析┃作BE⊥AD交AD的延长线于E，利用边角关系列方程求解．
解：作BE⊥AD交AD的延长线于E，设ED＝x米，
在Rt△BED中，BE＝DE＝x米，
在Rt△ACB中，BC＝tan 60°·AC，且AC＝BE，
所以BC＝·x＝3x米，由AE－ED＝AD，
得3x－x＝10，解得x＝5，
所以BC＝ED＋AD＝5＋10＝15(米)，所以塔BC的高度为15米．
【解题策略】此题结合仰角、俯角等解直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形时常涉及的概念解决生活中的实际问题，解题时常通过设未知数，再利用直角三角形的边角关系列方程求解．
4、┃分析┃如图l—42所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，作BF⊥DM交DM的延长线于E，延长AC交DM的延长线于F，题中第(1)问缆车垂直上升的高度即BC的长，可在Rt△ACD中求得．第(2)问由点A到点D垂直上升的高度即DE的长，由DE＝DF＋EF，EF＝BC可知，求DF的关键是求DE的长，可在Rt△BFD中求得．缆车水平移动的距离即AE的长，AE＝AC＋CE，CE＝BF，也可分别利用Rt△ACB和Rt△BFD求解．
解：延长AC交DM的延长线于E，作BF⊥DE于F，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝16°，
∴sin∠BAC＝，BC＝ABsin∠BAC＝200×sin l6°≈55.13(m)．
即缆车由A到B垂直上升的高度约为55.13 m．
在Rt△BFD中，∠BFD＝90°，∠DBF＝42°，
∴sinβ=，DF=BDsinβ=200×sin 42°≈133.83(m)，
∴DE＝DF＋EF＝DF＋BC≈133.83＋55.13＝188.96(m)．
同理，在Rt△ACB中，AC=ABcos a＝200×cos 16°≈192.25(m)．
在Rt△BFD中，BF＝BDcosβ＝200×cos 42°≈148.63(m)，
∴AE＝AC＋CE＝AC＋BF≈192.25＋148.63＝340.88(m)，
即缆车从A点到D点垂直上升的高度约是188.96 m，
水平移动的距离约是340.88 m．
【解题策略】解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学问题，再利用直角三角形的知识求解．
5、┃分析┃过点C作CD⊥AB于D，在直角三角形中求出CD的长，比较CD与小水潭半径的大小便得到答案．
解：过点C作CD⊥AB于D，设CD＝x，
∵∠ABC＝45°，∴DB＝CD＝x．
又∵∠ACD＝60°，∴AD＝CDtan 60°＝x．
又∵AB=AD＋DB＝2，∴x＋x＝2，∴x＝≈0.732(千米)．
又∵0.732＞0.7，∴小水潭不会影响公路的修筑．
【解题策略】作辅助线构造直角三角形，利用三角函数知识建立方程，从而达到解题的目的．
6、┃分析┃先利用平面镜成像知识找到像点p′，然后转化为解直角三角形问题．
解：作点P关于湖面的对称点P′，连接AP′，
设AE＝x，在Rt△AEP中，∠PAE＝45°，
∴∠P＝45°，∴PE＝AE＝x，
由平面镜成像知识，得OP′＝OP＝PE＋EO＝x＋50，
在Rt△AEP′中，tan∠EAP′＝，∴＝tan 65°．
又∵EP′＝OE＋OP′=50＋(x＋50)＝x＋100，
∴=tan 65°，∴≈2.145，解得x≈87.34，
∴OP＝x＋50≈87.34＋50＝137.34(m)．
即飞艇离湖面的高度h约为137.34 m．
【解题策略】这是一道数学与 ( http: / / www.21cnjy.com )物理的综合题，将物理中平面镜成像原理与几何中的轴对称知识相结合．利用解直角三角形的知识解实际问题时，要善于用方程的观点(设未知数)去处理问题．
体验中考
1、┃分析┃结合仰角、俯角及解直角三角形所涉及的知识来解决生活中的实际问题．
解：如图1—45所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
根据题意，得∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝66 m.
在Rt△ADB中，由tan∠BAD=，
得BD＝ADtan∠BAD＝66×tan 30°
=66×=(m)．
在Rt△ADC中，由tan∠CAD＝，
得CD＝ADtan∠CAD＝66×tan 60°＝66×＝66(m)．
∴BC＝BD＋CD＝22＋66＝88≈152.2(m)．
答：这栋楼高约为152.2 m．
【解题策略】解此类问题的关键是把实际问题转化为数学问题，再利用直角三角形的相关知识求解．
2、┃分析┃要求AB，需利用Rt△ABC和Rt△ABD建立AB与CD的关系式，再利用所给的参考数据求解．
解：在Rt△ABC中，∠CAB=20°，
∴BC＝ABtan∠CAB＝ABtan 20°．
在Rt△ABD中，∠DAB＝23°，
∴BD＝ABtan∠DAB＝ABtan23°，
∴CD＝BD－BC＝ABtan 23°－ABtan 20°=AB(tan 23°－tan 20°)，
∴AB＝≈＝500(m)．
答：此人距CD的水平距离AB约为500 m.
【解题策略】利用数学知识解决实际问题．
1.4船有触礁的危险吗
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.经历探索船是否有触礁的危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.通过探索活动让学生感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识.
【重点难点】
1.能够把实际问题转化为数学问题, 能够借助计算器进行有关三角函数的计算.
2.能够把实际问题转化为数学问题.
知识概览图
新课导引
【生活链接】为了测量小河对岸的建筑物AB的高度，请你想一想都有哪些测量方法．
【问题探究】对上面的问题你选择什么测量方法 应测量哪些数据 如何得到最后的结果
【点拨】测量小河对岸的建筑物的高度 ( http: / / www.21cnjy.com )，即是测量底部不能到达的物体的高度，一般要利用测角仪和皮尺两种测量工具，要重复两次测量，测出两个观察点的距离和在两处观测的仰角，利用解直角三角形的知识解决．
教材精华
知识点 船有触礁的危险吗
运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题的方法如下：
(1)根据题意把实际问题转化为数学问题，对于没有给出图形的实际问题，要弄清题意，并画出示意图；
(2)认真分析题意，找出图形中的线段、角所表示的实际意义，并找到所要解决的问题；
(3)根据所要解决的问题找到要求解的 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形，有些图形虽然不是直角三角形，但可通过添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形(包括正方形)．
(4)在解直角三角形时，要选择合适的边角关系式，并借助计算器进行有关三角函数的计算．
(5)对于所求的结果是边或角时，要按 ( http: / / www.21cnjy.com )照题目中要求的精确度确定答案，并注明单位，对于说理性题型(如货轮是否会有触礁的危险)，除正确计算结果外，还要进一步对结果的意义进行说明．
┃规律方法小结┃学习 ( http: / / www.21cnjy.com )中要注意转化思想的应用：(1)把实际问题转化为数学问题．包括将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的示意图；将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系．(2)把数学问题转化为解直角三角形问题．若图形中不含有直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．
课堂检测
基础知识应用题
1、如图l—52所示，一 ( http: / / www.21cnjy.com )艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内有暗礁，渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C
在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有触礁的危险
2、如图1—53所示，小岛A在港口P的南偏 ( http: / / www.21cnjy.com )西45°方向，距离港口81海里处，甲船从A出发，沿AP方向以9海里／时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向以18海里／时的速度驶离港口．现两船同时出发．
(1)出发后几小时两船与港口P的距离相等
(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向 (结果精确到0.1小时，参考数据：≈1.41，≈1.73)
综合应用题
3、如图1—55所示，一艘轮船以20海里／时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里／时的速度由南向北移动，距离台风中心20海里的圆形区域(包括边界)都属于台风区，当轮船到达A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向的B处，且AB＝100海里．
(1)若这艘轮船自A处按原来速度继续航行，在途中会不会遇到台风 若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由；
(2)现在轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60海里的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，则船速至少应提高多少 (精确到0.1海里/时，≈3.6)
探索与创新题
4、如图1—57所示，某摄制组 ( http: / / www.21cnjy.com )在东海拍摄风光片，拍摄地位于A处，在其正南方向15海里处有一小岛B，在B的正东方向20海里处有一小岛C，小岛D位于AC上，且与小岛A相距10海里．
(1)求∠A的度数和点D到BC的距离；(精确到1°)
(2)摄制组甲从A处乘甲船出发，沿A→B→C的方向
匀速航行，摄制组乙从D处乘乙船出发，沿南偏西方向匀速直线
航行，已知甲船的速度是乙船速度的2倍，若两船同时出发并且在B，C间的F处相
遇，则相遇时乙船航行了多少海里 (精确到0.1海里)
体验中考
气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛(设为点O)的南偏东45°方向的B点生成，测得OB＝100 km．台风中心从点B以40 km / h的速度向正北方向移动，经5 h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km／h的速度向北偏西60°方向继续移动．以O为原点建立如图l－59所示的平面直角坐标系．
(1)台风中心生成点B的坐标为 ，台风中心转折点C
的坐标为 ；(结果保留根号)
(2)已知距台风中心20 ( http: / / www.21cnjy.com )km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市(设点A)位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃过点B作BM⊥AH于 ( http: / / www.21cnjy.com )点M．在Rt△BAM中可求出BM．过点C作CN⊥AH于点N，交BD于点K．要知道这艘渔船是否有触礁的危险，关键是通过解直角三角形，建立方程，求出CK，若CK＞4.8海里，则渔船没有触礁的危险.
解：如图1—52所示，过点B作BM⊥AH于点M，
∴BM∥AF，∴∠ABM=∠BAF=30°，
在Rt△BAM中，AM＝AB＝5海里，BM＝5海里，
过点C作CN⊥AH于点N，交BD于点K，
在Rt△BCK中，∠CBK＝90°－60°＝30°，
设CK＝x海里，则BK=x海里．连接AC．
在Rt△CAN中，∠CAN＝45°，∴AN＝NC，∴AM＋MN＝CK＋KN．
又MN＝BK，BM＝KN，∴x＋5＝5＋x，解得x＝5．
∵5＞4.8，∴渔船没有触礁的危险．
【解题策略】解这类题的方法是过目标点作垂线，构造直角三角形，设出未知数，运用直角三角形的边角关系，建立方程求解．
2、┃分析┃建立直角三角形求解．
解：(1)设出发后x小时两船与港口P的距离相等．
根据题意得8l－9x＝18x，解此方程，得x＝3．
即出发后3小时两船与港口P的距离相等．
(2)设出发后y小时乙船在甲船的正东方向．
此时甲、乙两船的位置分别在点C，D处，连接CD(如图l—53所示)．
过点P作PE⊥CD，垂足为E.则点E在点P的正南方向．
在Rt△CEP中，∠CPE＝45°，∴PE＝PCcos 45°．
在Rt△PED中，∠EPD＝60°，∴PE＝PDcos 60°．
∴PCcos 45°＝PDcos 60°，即(81－9y)cos 45°=18ycos 60°，
解得y≈3.7．∴出发后约3.7小时乙船在甲船的正东方向．
3、┃分析┃本题主要考查建立数学模型， ( http: / / www.21cnjy.com )构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系解决实际问题．把航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型．
解：(1)设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，
此时，轮船位于C处，台风中心移到E处，
连接CE，则有AC＝20t，AE＝AB－EB＝100－40t，EC＝20．
在Rt△ACE中，因为AE2＋AC2=EC2，
所以(20t)2＋(100－40t)2＝(20)2，所以t2－4t＋3＝0．①
因为△＝(－4)2－4×1×3＝4＞0，所以方程有解，即途中会遇到台风．
解方程①得(t1=1，t2＝3(舍去)．所以最初遇到台风的时间为1小时．
(2)设台风抵达D处的时间为t小时，此时台风中心到达M处，
过D作DF⊥AB于F，连接DM．
在Rt△ADF中，AD＝60，∠FAD＝60°，所以DF＝30，FA＝30．
又FM=FA＋AB－BM＝130－40t，MD＝20，
所以(30)2＋(130－40t)2＝(20)2，
即4t2－26t＋39=0，解得t1＝,t2＝(舍去)．
所以台风抵达D处的时间为小时，
所以这段时间内轮船的速度应为60÷≈25.6(海里/时)，
因为要使轮船在台风到来之前到达D港，
所以这段时间内轮船的速度应为25.6海里／时，
因此为使台风抵达D处之前轮船到达D处，轮船应提速5.6海里／时．
【解题策略】把航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型．
4、┃分析┃ 结合勾股定理的相关知识解三角形．
解：(1)在Rt△ABC中，因为tan A＝，所以∠A≈53°．
如图1—57所示，过点D作DE⊥BC于点E，
所以Rt△ABC∽Rt△DEC，所以．
又因为AC＝＝＝25(海里)，
所以DE＝＝×15＝9(海里)，
所以D到BC的距离为9海里．
(2)设相遇时乙船航行了x海里，则DF＝x海里，AB＋BF＝2x海里．
因为CD＝15海里，DE＝9海里，所以CE=12海里，
所以EF=15＋20－2x－12＝(23－2x)(海里)．
在Rt△DEF中，EF2＋DE2＝DF2，所以(23－2x)2＋92=x2，
解得x1≈21.0(连接BD，21.0＞BD＝＝≈12.0，不合题意，舍去)，x2≈9.7．
所以相遇时乙船航行了约9.7海里．
【解题策略】解决梯形问题，通常作高将其转化为直角三角形问题，再结合解直角三角形的知识解决问题．
体验中考
┃分析┃本题主要考查解直角三角形．
解：(1)B(100，－100) C(100，200－100)
(2)过点C作CD⊥OA于点D，
如图1—60所示，则CD=100km．
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，CD＝100km，
∴=cos 30°=，∴CA=200 km．
∵=6(h)，5＋6=11(h)，
∴台风从生成到最初侵袭该城要经
1.5测量物体的高度
学习目标、重点、难点
【学习目标】
能够设计测量方案、说明测量理由，能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.
能对所得数据进行分析，对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果.
【重点难点】
综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.
知识概览图
新课导引
【生活链接】测量一栋楼房的高度，你有哪些方法 都用到了哪些工具
【问题探究】测量楼房的高度 ( http: / / www.21cnjy.com )的办法有很多．例如，用测物体影长的方法可以测出楼房的高度．也可以利用测仰角或俯角的办法测出楼房的高度．相应用到的测量工具有量角器、标杆等等．测量方法很多，这里就不一一列举了．
教材精华
知识点1 测量倾斜角
测量倾斜角可以用测倾器．简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成(如图1—68所示)．
( http: / / www.21cnjy.com )
测倾器的制作．
简易测倾器可以自己制作．用木 ( http: / / www.21cnjy.com )板做一个半圆刻度盘，半径是15～20 cm(90°～0°～90°)，用螺钉、螺母把它和一根长130 cm的木杆连在一起，并在半圆圆心处挂一个铅垂线，直径的两端钉两个标针(如图1—69所示)．当木杆与地面垂直时，通过标针的视线是水平的．
使用测倾器测量倾斜角的步骤．
(1)把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置；
(2)如图1—70所示，转动度盘，使度盘的直径PQ对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数；
(3)根据同角的余角相等可以知道，所测倾斜角即仰角∠AOM等于铅垂线所指的度数，读出铅垂线所指的度数，就是∠AOM的度数．
拓展 (1)测倾器的制作和使 ( http: / / www.21cnjy.com )用的原理是：“同角的余角相等”(测仰角)、“对顶角相等”或“同角的余角相等”(测俯角)．(2)90°∽0°～90°的意思是使半圆刻度盘的刻度以0°为中心，然后向左、右分别增加到90°，也就是说，这个半圆刻度盘的刻度不是0°～180°．
知识点2 测量物体的高度
测量底部可以到达的物体的高度．
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．
如图1—71所示，要测量旗杆MN的高度，如果从测点到旗杆MN的底部的水平距离可以直接量得，高度MN就可以测出，具体过程如下：
(1)工具——测倾器．
(2)步骤：
①在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶M的仰角∠MCE＝a；
②量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝l；
③量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ成水平方向时，它与地面的距离)；
④按照MN＝ltana＋a的关系式，就可求得MN的高(这是因为MN=ME＋EN＝ltan a＋a)．
(3)填写活动报告如下．
活动报告 ( http: / / www.21cnjy.com ) 年 月 日
课题 测量底部不可以到达的物体的高度．
测量示意图 ( http: / / www.21cnjy.com )
测得数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
AN的长
测倾器的高度AC
仰角a
计算过程 旗杆高MN（精确到0.1m）.∵MN=ME+EN,ME=CEtana，CE=AN，EN=AC∴MN=ltana+a
活动感受
负责人及参加人员
计算者及复核者
指导教师审核意见
备注
测量底部不可以到达的物体的高度。
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．
如图l—72所示，要测量旗杆MN的高度，如果从测点到旗杆MN的水平距离不可以直接量得，可按下列步骤进行：
(1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=a；
(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A，B与N在一条直线上)，测得此时M的仰角∠MDE=β;
(3)量出测倾器的高度AC＝BD＝A，以及测点A，B之间的距离AB＝b；
(4)按照MN=＋a的关系式，就可求得MN的高(这是因为).
(5)填写活动报告(与前面的活动报告类似)．
┃规律方法小结┃本节是活动 ( http: / / www.21cnjy.com )课，活动课题为利用直角三角形的边角关系测量物体的高度，无论从方案的设计、实地的测量，还是到活动报告的撰写，都贯穿着数学理论联系实际的原则，渗透着数学的应用意识及转化、数形结合的数学思想方法．因此，在学习中要提高分析问题、解决问题的能力和数学的应用意识．
解直角三角形知识 ( http: / / www.21cnjy.com )可以广泛地应用于测量、工程技术和物理学中，主要用来计算距离、高度和角度．解题的关键是建立实际问题的数学模型，即画出图形，找出要解的直角三角形，选择恰当的关系式，并准确把握仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念的意义．
常见的图形与关系式如下表所示．
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课堂检测
基础知识应用题
1、如图1—73所示，小河 ( http: / / www.21cnjy.com )对岸有一铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，面对铁塔前进20 m到达D处，测得塔顶A的仰角为45°，求铁塔的高度．
综合应用题
2、如图l—74所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8 m的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，E三点在一条直线上．若BE＝15 m，求这块广告牌的高度．(≈1.73，计算结果保留整数)
3、如图1—75所示，在观测点E测得小山上铁塔顶部A的仰角为60°，铁塔底部B的仰角为45°．已知塔高AB＝20 m，观测点E到地面的距离EF＝35 m，求小山BD的高．(精确到0.1 m，≈1.732)
4、如图1—76所示，某 ( http: / / www.21cnjy.com )校九年级(3)班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动，部分同学在山脚点A处测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米，另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC.(计算过程和结果都不取近似值)
5、如图1—78所示，在一 ( http: / / www.21cnjy.com )个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB．当太阳光与水平线成50°角时，测得该斜坡上的树影BC的长为7 m，求树高．(精确到0.1 m，参考数据：sin 15°≈0.2588，cos 15°≈0.9659，tan 50°≈1.1918，sin 50°≈0.7660)
探索与创新题
6、如图l—80所示的是某型号飞机的机翼形状，其中AB∥CD，根据图中数据计算AC，BD和CD的长度．(结果保留根号)
7、为了测量校园内一棵不可攀登的树的高度，学校数学实践小组做了如下探索．
实践一：根据《自然 ( http: / / www.21cnjy.com )科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图1—81所示的测量方案：把镜子放在离树(AB)8.7 m的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7 m，观察者身高CD＝1.6 m，试计算AB的高度．(精确到0.1 m)
实践二：提供可以选用的 ( http: / / www.21cnjy.com )测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5 m的标杆一根；④高度为1.5 m的测角仪(能测量仰角、俯角的仪器)一架，请根据你所设计的测量方案回答下列问题．
(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是 ；(用工具的序号填写)
(2)在图l—82中画出你的测量方案的示意图；
(3)你需要测得示意图中的哪些数据 分别用a，b，c
等表示测得的数据： ；
(4)写出求树高的算式：AB＝ ．
体验中考
某数学课外小组测量金湖广场的雕塑CD ( http: / / www.21cnjy.com )的高度，他们在地面A处测得雕塑顶部D的仰角为30°，再往雕塑底部C的方向前进18米至B处，测得仰角为45°，如图l—85所示，求该雕塑CD的高度．(精确到0.01米，tan 50°≈1.732)
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃本题属于测量底部不可以到达的物体的高度．
解：在Rt△ABC中，∠C＝30°，tan C＝，
∴BC===AB．
在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴BD＝AB．
∵BC－BD＝CD，∴AB－AB=CD，
∴AB=(m)．
∴铁塔的高度为10(＋1)m．
【解题策略】求底部不可以到达的物体的高度，要通过解两个直角三角形求解．
2、┃分析┃根据题意可知，在Rt△AED中，∠DAE＝45°，所以DE＝AE=23 m．在Rt△BEC中，∠CBE=60°，所以CE＝BEtan 60°＝15 m，则CD可求．
解：∵AB＝8 m，BE＝15 m，∴AE＝23 m．
在Rt△AED中，∠DAE=45°，∴DE＝AE=23 m．
在Rt△BEC中，∠CBE＝60°，∴CE＝BEtan 60°＝15 m，
∴CD＝CE－DE＝15－23≈2.95≈3(m)．
即这块广告牌的高度约为3 m．
【解题策略】解此题要注意仔细、认真地进行计算、推理．
3、┃分析┃在斜三角形中添加辅助线，构造直角三角形进行求解．
解：过点E作AD的垂线交AD于点M，设EM＝x m，
在Rt△AME中，∠AEM=60°，
tan∠AEM＝，∴EM＝.
在Rt△BME中，∠BEM=45°，∴BM＝ME＝x，
∴x=,∴x=≈27.3(m)，∴BD=BM＋EF≈27.3＋35=62.3(m)．
即小山BD的高约为62.3 m．
4、┃分析┃ 理解仰角和俯角的概念，将实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形求解．
解：如图1—77所示，过点D作DE⊥AC于E，
作DF⊥BC于F，则有DE∥FC，DF∥EC.
∵∠DEC=∠ACB＝∠CFD=90°，
∴四边形DECF为矩形，
∴DE＝FC.∵∠BAC=∠HBA=45°，
∴∠BAD＝∠BAC－∠DAE=45°－30°＝15°．
又∵∠ABD＝∠HBD－∠HBA=60°－45°=15°，
∴△ADB是等腰三角形，∴BD=AD＝180米．
在Rt△AED中，sin∠DAE＝sin 30°＝，
∴DE＝180sin 30°＝180×=90(米)，∴FC＝90米．
在Rt△BFD中，∠BDF＝∠HBD=60°，sin∠BDF＝sin 60°=，
∴BF=180sin 60°=180×=90(米)，
∴BC=BF＋FC＝90＋90＝(90＋90)(米)．
故小山的高度为(90＋90)米．
5、┃分析┃ 如图l—79所示，要求树高AB，关键在于先求出
AD与BD的长，利用关系式AB＝AD－BD即可求出树高．
解：如图1—79所示，过点C作水平线与AB的延长线交于
点D，则AD⊥CD．
∴∠BCD＝15°，∠ACD＝50°．
在Rt△CDB中，CD＝7×cos 15°，BD＝7×sin 15°，
在Rt△CDA中，AD＝CDtan 50°=7×cos 15°tan 50°．
∴AB＝AD－BD＝7×cos 15°tan 50°－7×sin 15°
＝7(cos 15°tan 50°－sin 15°)≈6.2(m)．
答：树高约为6.2 m．
【解题策略】解此题的关键是仔细分析题意，理解图形的意义．作辅助线构造直角三角形．再解直角三角形求解.
6、┃分析┃ 本题主要考查直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的边角关系，即把实际问题转化为解直角三角形问题．过A，B分别作CD的垂线，得到两个直角三角形，解两个直角三角形，可求出AC，BD，CE，DF，要注意CD＝CE＋EF－DF．
解：过A，B分别作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F．
在Rt△AEC中，cos 45°＝，
∴AC===(米)．
在Rt△BFD中，cos 30°＝，∴BD＝＝=6(米)．
∵CE＝AE＝3米，DF＝BD＝3米，EF=AB=米，
∴CD=CE＋EF－DF=3＋－3=－3(米)．
【解题策略】同时解含有两个或两个以上直角三角形的实际问题，一定要注意各边之间的联系．
7、┃分析┃实践一：把数 ( http: / / www.21cnjy.com )学中测量大树的高度与物理中光的反射结合起来，应用跨学科的知识解决生活中的实际问题．由光的反射定律可知∠CED＝∠AEB，所以Rt△CDE∽Rt△ABE，用相似三角形的对应边成比例可求得树高AB．实践二：实际上是考查学生应用解直角三角形的知识测量底部可以到达的物体的高度的能力．
解：实践一．∵∠CED＝∠AEB，
∠CDE＝∠ABE＝90°，∴△CDE∽△ABE，
∴，即,∴AB≈5.2 m．
实践二．(1)①② (2)示意图如图l—83所示．
(3)CD＝a，BD＝b (4)a＋b
【解题策略】 首先要理解物理学中的镜面反射原理，其次能综合运用相似、解直角三角形的知识解决实际问题．
体验中考
┃分析┃本题实际上是求底部不能直接到达的雕塑CD的高度．
解：在Rt△DCB中，∵∠DBC＝45°，∴BC＝CD．
在Rt△DCA中，∵∠DAC＝30°，∴tan 30°＝，∴AC＝＝CD．
又∵BC＋AB＝AC，∴CD＋18=CD，CD=≈24.59(米)．
答：该雕塑的高度约为24.59米．
【解题策略】把实际问题转化为数学问题求