北师大版八年级下第一章三角形的证明导学案

1.1等腰三角形]
学习目标、重点、难点
【学习目标】
等腰三角形的性质定理及推论；
等腰三角形的判定定理及推论.
【重点难点】
等腰三角形的性质定理及推论；
等腰三角形的判定定理及推论.
反证法
知识概览图
新课导引
如下图所示，很多古代建筑以及我们居住的一些房屋的屋顶都是人字形梁架．
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【问题探究】上面叙述的人字形梁架是由哪些图形组成的呢 它们有哪些性质
教材精华
知识点1 等腰三角形的性质定理
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)．
用符号语言表示为：如图1－1所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
定理的证明：
取BC的中点D，连接AD．
∵∴△ABD≌△ACD(SSS)．
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)．
定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等．
拓展 等腰三角形还具有其他性质．
(1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．
(2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角．
(3)等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则＜a．
(4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，则∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－2∠B＝180°－2∠C．
知识点2 等腰三角形的性质定理的推论
推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．
(1)用符号语言表示为：如图1－3所示，
①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD⊥BC．BD＝DC；
②在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，BD＝DC；
③在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠1＝∠2，AD⊥BC．
(2)推论1的证明．
①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴BD＝DC，∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．
②在△ABC中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又AD＝AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS)．
∴∠1＝∠2，BD＝CD．
③在△ABC中，∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠1＝∠2，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC.
(3)推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直.
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推论2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°．
(1)用符号语言表示为：如图1－4所示，
在△ABC中，∵AB＝BC＝AC，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
(2)推论2的证明：
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．
∴∠A＝∠B＝∠C．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，即3∠A＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
知识点3 等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)．
用符号语言表示为：如图1－6所示，在△ABC中，
∵∠B＝∠C，∴AB＝AC
判定定理的证明：如图1－6所示．
过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB＝AC．
√判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等．
拓展 如图1－6所示，在△ABC中，
(1)如果AD⊥BC，∠1＝∠2，那么AB＝AC；
(2)如果AD⊥BC，BD＝DC，那么AB＝AC；
(3)如果∠1－∠2，BD＝DC，那么AB＝AC．
知识点4 等腰三角形的判定定理的推论
推论1．
(1)推论1的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴AB＝AC＝BC．
(3)推论1的证明：
在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
又∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝＝60°
∴AB＝AC＝BC．
(或∵∠B＝60°，∴∠A＝180°－2 ( http: / / www.21cnjy.com )∠B＝60°．∴AB＝AC＝BC．或∵∠C＝60°，∴∠A＝180°－2∠C＝60°．∴AB＝AC＝BC．)
√推论2．
(1)推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形．
(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝AC＝BC．
(3)推论2的证明：
在△ABC中，∵∠A＝∠B，∴BC＝AC(等角对等边)．
又∵∠B＝∠C，∴AB＝AC(等角对等边)．∴AB＝AC＝BC．
(4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形．
拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：
(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；
(2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60°；
(3)根据推论2，证明三个角都相等．
√推论3．
(1)推论3的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
(2)用符号语言表示为：如图1－9所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB．
(3)推论3的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2倍．
知识点5 反证法
先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推 ( http: / / www.21cnjy.com )导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
拓展 反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：
(1)假设命题不成立；
(2)从假设出发推导出矛盾；
(3)否定假设，从而肯定命题的结论．
规律方法小结
1．转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的．
2．类比思想：采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习．
3．用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况．
探究交流
想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？
解析 有，作等腰三角形ABC的顶角平分线AD，如图1－2所示.
∵
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)
课堂检测
基础知识应用题
1、如图1－10所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AC，AE＝AB．求证BD＝CE．
2、如图1－12所示，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证BD＝CE．
如图1－13所示，已知∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD∥BC，
求证△ABC是等腰三角形．
综合应用题
4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题．
学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知等腰三角形ABC的∠A等于30°，求其余两角．
同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手 ( http: / / www.21cnjy.com )说：“其余两角是30°和120°．”王华同学说：“其余两角是75°和75°．”还有一些同学也提出了不同的看法……
假如你也在课堂上，你的意见如何 为什么
探索创新题
5、已知等边三角形ABC和 ( http: / / www.21cnjy.com )点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，若点P在边BC上，如图1－17(1)所示，此时h3＝0，可得结论：h1+h2+h3＝h．
请直接应用上述信息解决下列问题：
点P在△ABC内，如图1－17(2)所 ( http: / / www.21cnjy.com )示．点P在△ABC外，如图1－17(3)所示，这两种情况时，上述结论是否还成立 若成立，请给出证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系 请写出你的猜想，不需证明．
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体验中考
1、已知等腰三角形ABC的周长为10．若设腰长为x，则x的取值范围是 ．
2、如图1－20所示，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠1．求证AC＝DF(要求：写出证明过程中的重要依据)．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、证法1：∵AB＝AC，AD＝AC，AE＝AB(已知)，
∴AD＝AE．
在△ABD和△ACE中，
∵
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等)．
证法2：∵AB＝AC(已知)，
∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角)．
∵AD＝AC，AE＝AB，
∴CD＝AC，BE＝AB，
∴CD＝BE(等量代换)．
在△DBC和△ECB中，
∵
∴△DBC≌△ECB(SAS)，
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等)．
【解题策略】认真观察BD边和CE边所在的三角形，寻找三角形全等的条件．
2、
分析 本题考查等腰三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )定理及其推论的应用．要证明线段BD＝CE，可以证明△ABD≌△ACE．由已知AB＝AC，AD＝AE，所以只要证明∠BAD＝∠CAE即可，这可由“等边对等角”得出∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C来证明．本题还可以运用“三线合一”的性质作辅助线(高AF)来证明．
证法1：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED(等边对等角)，
∴∠ADE－∠B＝∠AED－∠C，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴BD＝CE．
证法2：过A作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE．
∵AB＝AC，AD＝AE，AF⊥BC，AF⊥DE，
∴BF＝CF，DF＝EF(等腰三角形“三线合一”)．
∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE．
规律·方法 作等腰三角形底边上的 ( http: / / www.21cnjy.com )高(或顶角平分线、底边上的中线)，从而运用等腰三角形“三线合一”的性质进行解答，这是引辅助线的常见方法，在学习过程中要注意积累，并灵活运用．
3、分析 本题考查等腰三角形的判定定理的应用．要证明△ABC是等腰三角形，需证明∠B＝∠C，这可利用已知条件得出．
证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C．
又∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C．
∴△ABC是等腰三角形(有两个角相等的三角形是等腰三角形)．
【解题策略】判定等腰三角形的方法有：
(1)根据定义“有两边相等的三角形是等腰三角形”．
(2)运用等腰三角形的判定定理“等角对等边”．
4、分析 本题考查等腰三角形的性质的应用 ( http: / / www.21cnjy.com )，题中的三角形是等腰三角形，所以它的两个底角相等．由于∠A＝30°＜90°，所以∠A可能是顶角，也可能是底角，故需分类讨论另两个角的度数．解答时要考虑全面，不要遗漏或忽略任何一种情况.
解：上述两名同学回答的都不全面，应该是：其余两角的大小是75°和75°或30° 和120°．理由如下：
①当∠A是顶角时，设底角为α，则30°+α+α＝180°，解得α＝75°.
∴其余两角分别是75°和75°．
②当∠A是底角时，设顶角是β，
则30°+30°+β＝180°，解得β＝120°．
∴其余两角分别是30°和120°．
综上，其余两角为75°和75°或30°和120°．
规律·方法 在解答有关等腰三角形的问题时．要注意分类讨论思想的应用.
5、分析 对于图(2)结论仍然成立，对于图(3)结论不成立，此时h1+h2－h3＝h.
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解：当点P在△ABC内时，结论仍成立，证明如下：
过点P作NQ∥BC，分别交AB，AC，AM于N，Q，K，
由题意得h1+h2＝AK，
易证KM＝PF＝h3．
∴h1+h2+h3＝AK+KM＝h.
当点P在△ABC外时，结论不成立，它们的关系应是h1+h2－h3＝h．
体验中考
1、分析 底边长为10－2x，显然10－2x＞0，∴x＜5．∵三角形两边之和大于第三边，∴x+x＞10－2x，∴x＞．故＜x＜5．
2、分析 由SAS可知△ABC≌△DEF，则AC＝DF．
证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，∵
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴AC＝DF(全等三角形的对应边相等)
1.2直角三角形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；
2、会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．
【重点难点】
重点：探索并掌握直角三角形的判别条件.
难点：运用直角三角形判别条件解题.
知识概览图
新课导引
木工师傅中巧如鲁班者大有人在，不知何年何人用鲁班尺发明了三等分任一角的方法，所谓鲁班尺或称木工尺，是形如图(1)所示的直角尺．
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【问题探究】在过尺的拐角内点B与尺边BD垂直的尺边缘直线上取一点C，使BC等于尺宽AB．任给一角∠EOF，先用鲁班尺画一条与OE相距为尺宽AB的平行线l，如图(2)所示，再使鲁班尺的边缘上的点A落在l上，C点落在OF上，且边缘线BD过O点，如图(3)所示．沿边缘DB画出的直线l＇与OF的夹角∠BOC是∠EOF的．
解析 事实上，作AG⊥OE，G为垂足，则Rt△OAG≌Rt△OAB≌Rt△OCB，故∠AOG＝∠AOB＝∠BOC＝∠EOF．
教材精华
知识点1 勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即c2＝a2+b2(c为斜边长)．
√勾股定理的作用．
(1)已知直角三角形的两边求第三边．
(2)已知直角三角形的一条边，求另外两条边的数量关系．
(3)用于证明平方关系的问题．
(4)利用勾股定理作出长为的线段．
勾股定理的各种表达形式．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，c2＝a2+b2，c＝，a＝，b＝．
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形．
勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理．
直角三角形的判定．
(1)首先确定最大边(如c)．
(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系．
若c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形；
若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形．
勾股数．
(1)能够成为直角三角形三边长的三个正整数．称为勾股数或勾股弦数．
(2)勾股数必须是正整数．如3，4，5；5，12，13等．
拓展 应用勾股定理时，必 ( http: / / www.21cnjy.com )须是在同一直角三角形中；应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时，一定是最长边所对的角是直角，其他两边所对的角是锐角．
知识点2 互逆命题与互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
拓展 每个命题都有逆命 ( http: / / www.21cnjy.com )题．原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题．原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真．
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题．那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
拓展 每个命题都有逆命题．但不是所有的定理都有逆定理.
知识点3 直角三角形全等的判定定理
直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．
√定理的作用：判定两个直角三角形全等．
√定理的证明：如图1－30所示，已知R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC，Rt△A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′，求证Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．
证明：∵在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，
∴BC＝，B′C′＝.
∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′．
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SSS)．
知识拓展 “HL”是直角三角形所独有 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定定理，对于一般三角形不成立．判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找出另外两个条件即可，而这两个条件中必须有一个是边对应相等．与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等．
规律方法小结 1．方程思想：在学习勾股定理的过程中，要注意利用勾股定理寻找等量关系，通过列方程来解几何问题．
2．数形结合思想：运用勾股定理判定直角三角形就是由数量关系来判定几何问题，实现数和形之间的相互转化．
课堂检测
基本概念题
1、写出命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题，并判断真假．
基础知识应用题
2、如图1－31所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝50，BC＝30，CD⊥AB于点D，求CD的长．
3、在正方形ABCD中，如图1－32所示，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC＝BC，求证∠EFA＝90°．
综合应用题
4、试判断三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1(n＞0)的三角形是否是直角三角形．
5、如图1-38所示，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得∠MAD＝30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得∠MBD=45°，该货轮到达灯塔M的正东方向的D处时，货轮与灯塔M的距离是多少 (精确到0．1海里，≈1．732)
体验中考
1、如图1-41所示，在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，求AD的长度．
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2、如图1－45所示，在直角梯形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中．AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE＝AC．
（1）求证BG＝FG；
（2）若AD＝DC＝2，求AB的长．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 写某个命题的逆命题时，要分清命题的题设和结论．必须认真审题，分清命题结构，最后写成“如果……，那么……”的形式．
解：如果两直线平行，那么同位角相等．
这个命题是真命题．
2、分析 给出△ABC是直角三角形，同时给出两边长，我们会想到利用勾股定理来解题．
解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝50，BC ＝30．
∴由勾股定理，得AC＝.
又∵S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，
∴.
答：CD的长是24．
【解题策略】 在有关直角三角形的问题中，除了掌握好直角三角形的性质(两锐角互余，三边满足勾股定理等)外，还要注意一般三角形的所有性质．
3、分析 由已知条件会想到勾股定理，同时由结论我们会想到利用勾股定理的逆定理．
证明：设正方形ABCD的边长为4a，则EC＝a，BE＝3a，
CF＝DF＝2a．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：
AE2＝AB2+BE2＝(4a)2+(3a)2＝25a2．
在Rt△ADF中，由勾股定理，得：
AF2＝AD2+DF2＝(4a)2+(2a)2＝20a2．
在Rt△ECF中，由勾股定理，得：
EF2＝EC2+CF2＝a2+(2a)2＝5a2．
在△AFE中，AF2+EF2＝20a2+5a2＝25a2，
又∵AE2＝25a2，∴AF2+EF2＝AE2．
由勾股定理的逆定理，得△AEF是直角三角形，且AE为最大边，
∴∠EFA＝90°．
规律·方法 用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤：
(1)确定最大边；
(2)算出最大边的平方与另外两边的平方和；
(3)比较最大边的平方与另外两边的平方和，如果相等，那么此三角形为直角三角形．
注意不要盲目比较其中任意一边的平方与另外两边的平方和的关系，这样做容易得出错误的结论．
4、分析 先确定最大边，然后判断最大边的平方是否等于其他两边的平方和．
解：∵(2n2+2n+1)-(2n2+2n)=1＞0，
(2n2+2n+1)-(2n+1)=2n2＞0(n＞0)，
∴2n2+2n+1为三角形中最大边．
又∵(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1，
(2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1，
∴(2n2+2n+1)2=(2n2+2n)2+(2n+1)2．
根据勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．
【解题策略】运用差值比较法确定最大边是用勾股定理的逆定理判定三角形形状的关键．
5、分析 本题是一道实际应用问题，解此 ( http: / / www.21cnjy.com )类问题的关键是将其转化为数学问题．求货轮与灯塔M的距离即求MD的长，可利用Rt△ADM和Rt△BDM，由勾股定理建立等量关系，列方程求解．
解：由已知得AB=20海里，∠MAD=30°，∠DBM= 45°，MD⊥AD．设MD=x，
在Rt△BDM中，∠DBM＝45°，
∴BD=MD=x，∴AD=AB+BD=x+20．
在Rt△ADM中，∠MAD=30°，
∴MD=AM，∴AM=2MD=2x．
在Rt△ADM中，由勾股定理，得：
AD=，
有x+20=，(-1)x=20，
∴x=≈27．3(海里)．
故货轮到达灯塔正东方向的D处时，货轮与灯塔的距离约为27．3海里
体验中考
1、分析 本题考查等腰三角形“三线合一”和勾股定理．
解：在△ABC中，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3 cm．
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，
∴AD= （cm）．
2、 分析 本题主要考查和直角三角形有关的知识．
证明：（1）∵∠ABC＝90°，DE⊥AC于F，
∴∠ABC＝∠AFE．
∴AC＝AE，∠EAF＝∠CAB，
∴△ABC≌△AFE，∴AB＝AF．
连接AG．
∵AG＝AG，AB＝AF，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG，∴BG＝FG．
解：（2）∵AD＝DC＝2，∴△ADC为等腰三角形．
又∵DF⊥AC，
∴AF＝CF，∴AF＝AC．
又∵AC＝AE，∴AF＝AE．
∵在Rt△AFE中，AF＝AE，∴∠AEF＝30°，∴∠DAF＝30°，
∴在Rt△AFD中，DF＝1，∴AF＝，
∴AB＝AF＝．
【解题策略】 运用已知等量关系，得出直角三角形中一个角的度数，可求出问题的解．
1.3线段的垂直平分线
学习目标、重点、难点
【学习目标】
线段垂直平分线的性质定理；
线段垂直平分线的性质定理的逆定理；
作已知线段的垂直平分线；
三角形三边垂直平分线的性质定理
【重点难点】
1、线段垂直平分线的性质定理；
2、线段垂直平分线的性质定理的逆定理；
3、三角形三边垂直平分线的性质定理.
知识概览图
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离等
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条
线段的垂直平分线上
画法：尺规作图
三角形三边垂直平分线的性质定理：三角形二条边的垂直平分线相交于一点，并且
这一点到三个顶点的距离相等
新课导引
如右图所示，在一条河的同一侧有A，B两个仓库，如果要在河岸边建一个码头，使两仓库到码头的距离相等，那么应该怎样确定码头C的位置呢
【问题链接】连接AB，作出线段AB的垂直平分线，与河岸的交点（图中的点C）为码头位置．
【解析】线段AB的垂直平分线上的点到线段AB的两个端点A和B的距离相等．
教材精华
知识点1 线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
用符号语言表示为：如图1－53所示， ( http: / / www.21cnjy.com )MN丄 AB 于点O，P是直线MN上任意一点，若AO=BO，则PA=PB可叙述为：∵MN丄AB ，AO=BO ， ∴ PA=PB.
定理的证明： ∵MN丄 AB ，∴∠POA = ∠POB=90°
∵AO=BO，PO=PO，∴△POA≌△POB （SAS）
∴PA=PB （全等三角形的对应边相等）．
定理的作用：证明两条线段相等．
拓展 对于线段的垂直平分线，应注意以下两点：
（1）线段的垂直平分线简称中垂线，它可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合．
（2）线段是轴对称图形，中垂线是它的一条对称轴．
知识点2 线段垂直平分线的性质定理的逆定理
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
用符号语言表示为：如图l－54所示，∵直线MN是线段AB的垂直平分线，PA＝PB，∴点P在直线MN上．
定理的证明．
过点P作直线M ′N ′丄AB于O，则∠POA =∠POB=90°.
∵PA=PB，PA=PB ，∴Rt△POA≌Rt△POB（HL）.
∴AO=BO. ∴M ′N ′平分AB.
∴直线M ′N ′是线段AB的垂直平分线．
又∵线段AB只有一条垂直平分线.
∴点P在AB的垂直平分线MN上．
定理的作用：证明一点在某条线段的垂直平分线上．
拓展 要注意定理与逆定理的区别，且在应用时不要缺少条件
知识点3 三角形三边垂直平分线的的性质定理三角形三边垂直平分线的性质定理
三角形三条边的垂直平分线的性质定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
用符号语言表示为：如图1－55所示，∵ ( http: / / www.21cnjy.com )直线MN，EF，PQ分别垂直平分BC，AB，AC，∴直线MN，EF，PQ相交于点O，且OA＝OB＝OC．
定理的证明．
如图1－56所示，在△ABC中，设AB，BC的垂直平分线相交于点P，连接AP，BP，CP．
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）．
同理PB=PC．∴PA=PB＝PC．
∴点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）．
定理的作用：证明点在线段的垂直平分线上或证明一条直线是一条线段的垂直平分线．
知识点4 作已知线段的垂直平分线
已知线段AB，如图1－57所示，求作线段AB的垂直平分线．
作法如下：
（1）分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点．
（2）作直线CD．则直线CD就是所求作的线段AB的垂直平分线．（如图1－58所示）证明如下．如图1－58所示，连接AC，BC．
∵AC＝BC，∴点C在线段AB的垂直平分线上．
同理，点D也在线段AB的垂直平分线上，
∴直线CD是线段AB的垂直平分线．
作用：作已知线段的中点．
规律方法小结 转化思想：在证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定理时，都是转化为三角形全等来解决的．
探究交流
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点称为三角形的外心，一个三角形的外心一定在三角形的内部吗？找几个三角形试一试．
解析 不一定．锐角三角形的外心在其内部，直角三角形的外心在其斜边上，钝角三角形的外心在其外部．
课堂检测
基础知识应用题
1、如图l－59所示，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120° ，AB的垂直平分线交AC于D.求证AD= DC.
2、如图 1－60 所示，AD ( http: / / www.21cnjy.com ) 是∠BAC的平分线，DE丄 AB ，DF丄AC，垂足分别喂E，F，连接EF ，EF与AD交于点G，求证AD垂直平分EF.
综合应用题
3、如图1－63所示，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，求△AEC的周长．
4、如图l－64所示，已知AB＝AC，BD=DC，AD，BC相交于点O，求证AD丄BC
探索与创新题
5、在△ABC中，AB＝AC≠BC，在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC所在的平面内有一点P（不与A，B，C任何一点重合），使△APC，△BPC，△APB都是等腰三角形，这样的点一共可以找到几个 简要说明理由．
体验中考
1、如图l－70所示，A，B，C分别表示三 ( http: / / www.21cnjy.com )个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在 （ ）
A．AB中点 B．BC中点 C.AC中点 D．∠C的平分线
2、如图1－71所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．
（1）求证BE＝AD；
（2）求证AC是线段ED的垂直平分线；
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析连接BD，由线段垂直平分线的性质定理，可得 AD=BD ，因此欲证AD=DC，只需证BD=DC. 由题意可证∠A=∠C=30°， ∠CBD＝90°， ∴BD=DC，结论得证.
证明： 连接BD．∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴DA＝DB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）．
∵BA=BC，∴∠A=∠C（等边对等角）
∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，
∴∠ABD=∠A=30°，∴∠DBC=90°
在Rt △DBX 中，∵∠C=30°，
∴BA= DC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半），
∴ AD =DC
【解题策略】解此类问题的关键是把垂直平分线上的点和线段两个端点连接起来，从而得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质解题．
2、分析 解决本题的关键是正确理解垂直平分线的含义．
证明：AD平分∠BAC，DE丄 AB DF丄AC ，
∴∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD，
又AD＝AD，∵△AED≌△AFD，
∴AE=AF
∴点A在EF的垂直平分线上．同理，点D也在EF的垂直平分线上．
∴AD垂直平EF（两点确定一条直线）．
规律·方法 线段垂直平分线的判定有两种方法：定义法；应用判定定理．其中应用判定定理较为简单．
3、分析 由DE垂直平分AB，得AE=BE，所以△AEC的周长=AE＋CE＋AC＝BE＋EC＋AC．
解：∵DE为AB边的垂直平分线，
∴BE＝AE．
∴△AEC的周长＝AE＋CE＋AC＝BE＋CE＋AC=BC＋AC＝8＋ 5=13．
即△AEC的周长为13．
【解题策略】线段的垂直平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )上的点与线段两个端点的连线构成了等腰三角形，因此，等腰三角形的性质（如两腰相等，两底角相等，“三线合一”等）的应用显得极其重要，应引起高度重视．
4、分析 此题证法比较多，可利用等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰三角形的性质或线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证明，这里我们选用线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证明．
证明： ∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．同理，点D在线段BC的垂直平分线上，
∴AD是线段BC的垂直平分线．∴AD丄BC．
【解题策略】一条线段的垂直平分线只有一条，又两点确定一条直线，因此只要能够确定一条线段的垂直平分线上的两点，就能够确定它的垂直平分线．
5、解：如图l－67所示，在平面内符合条件的点P的位置有四个，其中一个是△ABC各边垂直平分线的交点，另外三个在BC的垂直平分线上．
理由如下．
∵P1M为AC的垂直平分线，∴P1A＝P1C．
∵P1N是AB的垂直平分线，∴P1A＝P1B，
即点P1也在线段BC的垂直平分线l1上．
以A为圆心，AB长为半径画弧，交l1于 ( http: / / www.21cnjy.com )P2，P3，两点，连接BP2，CP2，BP3，CP3，则△P2AB，△P2BC，△P2AC，△P3AB，△P3BC，△P3AC都是等腰三角形．
以B为圆心，BA长为半径画弧，交l1于点P4，连接P4B，P4C.
则△P4AB，△P4AC，△P4BC也都是等腰三角形，
∴当AB=AC≠BC时，符合条件的点有四个．
体验中考
1、分析 由三角形三边垂直平分线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )定理可得，三角形的外心到三个顶点的距离相等．又已知长度，由勾股定理知△ABC为直角三角形，而直角三角形的外心与其斜边中点重合．故选A．
2、分析 判定△BAD与△CBE全等是解决本题的关键．
证明：（1）∵∠A6C＝90°，BD⊥CE，
∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，∴∠1＝∠2．
∵∠ABC=∠DAB＝90°，AB＝BC，
∴△BAD≌△CBE，∴AD=BE．
（2）∵E是AB中点，∴EB=EA．
又∵AD＝BE ，∴AE＝AD．
∵AD∥BC，∴∠7＝∠ACB＝45°
∴∠6＝45°，∴∠6=∠7．
由等腰三角形的性质，得EM＝MD，AM⊥DE，
即AC是线段正D的垂直平分线．
解：（3）△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．
理由如下：由（2）得CD=CE，由（1）得CD＝BD，
∴CD＝BD，∴△ADBC是等腰三角形．
【解题策略】证明某直线是一线段的垂直平分线常使用等腰三角形的“三线合一”的性质．
1.4角平分线
学习目标、重点、难点
【学习目标】
掌握角平分线的性质定理及其逆定理性质；
画已知角的平分线；
掌握三角形角平分线的性质定理；
【重点难点】
1、角平分线的性质定理及其逆定理性质
2、画已知角的平分线
3、三角形角平分线的性质定理
知识概览图
　　　　　　角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等　
角平分线的性质定理的逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
画已知角的平分线
三角形角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
新课导引
如右图所示，两条小河交汇形成了三角区，土壤肥 ( http: / / www.21cnjy.com )沃，气候宜人．小猪看中了这块宝地，想在这里建一个小房子，并使房子到两条小河的距离相等，但它不知该如何选址，你能帮帮它吗
【问题链接】因为房子到两条小河的距离相等，所以它应建在两条小河所夹的角的平分线上．
【解析】角平分线上的点到角的两边的距离相等．
教材精华
知识点1 角平分线的性质定理及其逆定理性质
定理的内容：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
逆定理的内容：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
用符号语言表示：如图1－84所示．
（1）性质定理：∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E为垂足，∴PD＝PE．
（2）逆定理：∵PD⊥OA，PE⊥OB，D，E为垂足，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上，即OP是∠AOB的平分线．
（1）定理的证明．
∵点P在∠AOB的平分线上，
∴∠1＝∠2．∵PD⊥OA，PE⊥O ( http: / / www.21cnjy.com )B，∴∠PDO＝∠PEO=90° 又∵OP＝OP，∴△PDO≌PEO（AAS）．∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）．
（2）逆定理的证明．
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵PD＝PE（已知），OP＝OP（公共边），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）．∴∠POD=∠POE．
∴点P在∠AOB的平分线上，即OP是∠AOB的平分线．
√定理和逆定理的作用：证明线段相等或角相等．
知识拓展 对于角平分线的性质定理及其逆定理的应用应注意以下两点：
（1）理解性质定理及逆定理的关系：点在角的平分线上点到这个角的两边的距离相等．
（2）弄清角平分线的性质定理和逆定理与线段垂直平分线的性质定理和逆定理之间的相同点与不同点．
规律 方法小结 角平分线和线段垂直平分线的比较．
相同点 不同点
都有性质定理和逆定理，结构形式相同，证明方法类似，都是利用三角形全等来证明的 角平分线是到角内两边距离相等的点的集合，是点到线的距离相等；线段垂直平分线是到线段的两个端点距离相等的点的集合，是点到点的距离相等
知识点2 作已知角的平分线
已知：∠AOB（如图l－85所示）．
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．
作法：（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE．
（2）分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．
（3）作射线OC．则OC就是∠AOB的平分线．
拓展 关于角的平分线的作法，要注意理解以下三点：
（1）所作图形是过顶点O的射线OC，其关键是确定点C的位置．点C的位置应在∠AOB的内部．
（2）“大于DE”的原因是：当小于专DE时，两弧不相交；当等于DE时，两弧 虽然有一个交点，但难于准确得到点C.
（3）C点是两弧交于∠AOB的内部的点，两弧的另一交点没有作出，这是因为由O，C两点就可以确定平分∠AOB的射线．
知识点3 三角形角平分线的性质定理
性质定理的内容：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
用符号语言表示：如图1－87所示，
∵点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，∴点P在∠BAC的平分线上．∴PD＝PE＝PF．
拓展 三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三角形的内心在三角形内部，它到三角形的三条边的距离相等．
探究交流
如图1－88所示，l1，l2，l3，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址是否只有一个呢
点拔 直接确定到三条公路的距离相等的 ( http: / / www.21cnjy.com )点较困难，我们先确定到l1，l2的距离相等的点，它一定在l1，l2所成角的平分线上，到l2，l3的距离相等的点一定在l2，l3所成角的平分线上，这样两个角平分线的交点即为选择的地址．
如图1－89所示，分别作l1和l2所成角 ( http: / / www.21cnjy.com )的平分线，l1和l3，所成角的平分线，l2和l3；所成角的平分线，所有角的平分线分别相交于Ol，O2，O3，O4，则Ol，O2，O3，O4即为货物中转站的地点．故可选择的地址不是只有一个．
规律方法小结 1．类比法：类比法 ( http: / / www.21cnjy.com )就是把形式、结构或内容相似的定义、公理或定理加以比较．角平分线、线段垂直平分线的性质定理虽然内容不同，但它们都有逆定理，都是利用三角形全等的方法进行证明的．除了有解题方法类比和解题思想类比外，还有结构类比等，要善于利用这种方法掌握知识．
2．转化思想：角平分线的性质定理的 ( http: / / www.21cnjy.com )题设、结论互相对调，就可以得到新的定理，即角平分线的性质定理的逆定理．转化思想也是提出新问题和获得新发现的重要方法．
课堂检测
基本概念题
1、已知：如图1－90所示，在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝4 cm，那么AE＋DE等于（ ）
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
基础知识应用题
2、如图1－91所示，CD⊥AB于点D，BF⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证OB＝OC．
3、如图1－92所示，已知A ( http: / / www.21cnjy.com )P，CP是△ABC外角∠MAC，∠FCA的平分线，它们相交于点P，PD⊥BM于点D，PF⊥BF于点F，求证BP是∠ABC的平分线．
综合应用题
4、作图题（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）．
如图l－94所示，在一次军 ( http: / / www.21cnjy.com )事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700 m．如果你是红方的指挥员，请你在作战图上标出蓝方指挥的位置.
探索与创新题
5、如图l－96所示，已知正是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D．你能得出哪些结沦 并说明理由．
体验中考
1、如图1－99所示，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．
（1）求△ABC的面积S；
（2）判断AC，DE的位置关系，并给出证明．
( http: / / www.21cnjy.com )
2、已知∠MAN ，AC平分∠MAN．
（1）如图1—100（1）所示，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证AB＋AD=AC；
（2）如图1—100（2）所示，若∠MAN ( http: / / www.21cnjy.com )=120°，∠ABC＋∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 本题考查角平分线的性质定理和等量 ( http: / / www.21cnjy.com )代换．∵∠ACB＝90°， ∴EC⊥BC．又ED⊥AB，BE平分∠ABC，∴ED＝EC，∴AE＋DE=AE＋EC＝AC＝4 cm．故选C
2、分析 欲证OB＝OC，可证△BOD≌△ ( http: / / www.21cnjy.com )COE，已知有∠BDO＝∠CEO＝90°，∠DOB=∠EOC，只要再证一组边相等即可，可考虑证OD＝OE，而OD＝OE可由角平分线的性质定理得到．
证明： ∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OD＝OE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）．
在△BOD和△COE中，
∵∠BDO=∠CEO＝90°，OD＝OF，∠DOB=∠EOC，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴OB＝OC（全等三角形的对应边相等）．
规律·方法 角平分线的性质定理在证明中的主要作用是证明线段相等．在解题中正确运用角平分线的性质定理可使证明步骤简捷．
3、分析 欲证BP为∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )C的平分线，根据角平分线的性质定理的逆定理，只需证出PD＝PF．因为点P在∠MAC，∠FCA的平分线上，所以点P到BM，AC的距离相等，点P到AC，BF的距离相等。即PD＝PF，PE＝PF，所以PD＝PF，故问题得证．
证明： 过点P作PE⊥AC于点E．
∵AP，CP分别是∠MAC，∠FCA的平分线，
PD⊥AM，PE⊥AC，PF⊥CF，
∴PD＝PE，PE=PF（角平分线上的点到这个角的两边的距离
相等）．
∴PD＝PF．
又∵PD⊥BM，PF⊥BF，
∴点P在∠ABC的平分线上（在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点
在这个角的平分线上）．
∴BP为∠ABC的平分线．
【解题策略】在证明有关角平分线的 ( http: / / www.21cnjy.com )问题时，角平分线的性质定理及其逆定理一般需结合运用，性质定理中指出了“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”，而其逆定理“在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上”可以判定一条射线是否是一个角的平分线．
4、解：依据角平分线的性质定理可知，蓝方指挥部必在A区内两条路所夹角的平分线上，依据比例尺计算出图上距离为×700＝0．035（m）＝3．5（cm）．在角平分线上截取BC=3．5 cm，则C点即为所求．
【解题策略】近几年中考中有关实际问题的内容 ( http: / / www.21cnjy.com )越来越多，有关尺规作图的实际应用题也屡见不鲜，主要考查应用某一具体内容解决实际问题的能力．解决此类作图题的关键是将实际问题转化为数学问题，再根据尺规作图的方法画图．
5、分析 把∠AOB沿直线OE翻折，即可发现相等或垂直关系，再用角平分线的性质或三角形全等证明．
解：结论有：DE=CE；∠ECD=∠EDC；OC＝OD；PD= PC；OP⊥CD等．
理由如下．
因为OE平分∠AOB，FD⊥OB，EC⊥OA，所以DE=CE．
因为OE平分∠AOB，所以∠DOE=∠COE．
又因为∠EDO＝∠ECO＝90°，OE=OE，
所以△EDO≌ECO，所以OD＝OC．
在△DOP和△COP中，OD＝OC，∠DOP=∠COP，OP=OP，
所以△DOP≌△COP，所以∠ODP＝∠OCP，PD＝PC，∠OPD=∠OPC
因为∠OPD＋∠OPC＝180°，所以∠OPD＝∠OPC＝90°，所以OP⊥CD．
因为CE＝DE，所以∠ECD＝∠EDC
【解题策略】本题的创新之处在于条件已知，而结论未确定，需我们大胆地猜想并加以证明.
体验中考
1、分析 由正三角形的三线合一的特殊性质，可得出结论．
解：（1）在正三角形ABC中，AB＝4，AD⊥BC，
∴BD＝2，AD＝=2，
∵S=·AD·BC=·２·４＝４.
（2）AC是线段DE的垂直平分线．证明如下：
∵AD丄BC．∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=30°
又∵∠DAE=60°∴∠EAF=30°，
∴在正三角形DAE中，AF平分∠DAE，
∴AC是DE的垂直平分线（三线合一）．
2、证明：（1）∵AC平分∠MAN，∠MAN=l20゜∴∠CAB=∠CAD=60゜．
∵∠ABC=ADC=90°，∠ACB=∠ACD=30°，
AB=AD=AC，∴AB＋AD=AC．
解：（2）成立．证明过程如下．
过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F，
∴AC平分∠MAN，∴CE=CF．
∵∠ABC＋∠ADC=180°，∠ADC＋∠CDE=180°，
∠CDE=∠ABC．
∠CED=∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB，∴ED=FB．
∴AB＋AD=AF＋BF＋AE—ED=AF＋AF．
由（１）知AF＋AE=AC，∴AB＋AD=AC．
【解题策略】 在（1）中∠ABC=∠A ( http: / / www.21cnjy.com )DC=90°，有∠ABC＋∠ADC=180°，而在（2）中∠ABC＋∠ADC=180°，但∠ABC≠∠ADC≠90°，原结论是否仍然成立，这是由特殊到一般的探索，是发现新问题的基本方法，在平时学习中要注意探索，这样有助于创新能力的形成与提升．
等 腰 三 角 形
性质定理:等边对等角
判定定理:等角对等边
推论：(1)等腰三角形“三线合一”
（2）等边三角形的每个角都等于60°
推论：(1)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形
（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
勾股定理：a2+b2＝c2（a，b为直角边长，c为斜边长）
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
互逆命题与互逆定理
直角三角形全等的判定：斜边、直角边定理（ＨＬ）
直角三角形
线段的垂直平分线
角平分线