高二第一次月考复习模拟卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由题意求出，，结合投影向量的计算公式即可求解.
【详解】向量，，，，
向量在向量方向上的投影向量的模为.故选：D.
2．数列的前n项和满足，设甲：数列为等比数列；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A 【详解】当时，，
当时，， 因为数列为等比数列，所以，
即，解得且，即且．
因此充分性成立；若，当且时，，甲不成立，故必要性不成立．故选：A．
3．已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【详解】若等比数列满足“”，
比如，，此时不是单调递减数列，故正向无法推出，即充分性不成立，
若数列为递减数列， ，或，.
则①“，”可以推出;②“，”也可以推出，则必要性成立；
则“”是“是单调递减数列”的必要不充分条件，故选：B.
4．已知等差数列的公差且成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】由已知成等比数列，
所以，解得所以
，
故选：A.
5．已知直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率，满足，则直线l恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】设，，则，，
设直线l的方程为，代入抛物线方程可化为，，，，
所以直线l一定过定点.故选：A．
6．甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由题意知，，，所以，故选：B.
7．已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C【详解】因为直线和垂直，所以，所以，
因为，，所以，
当且仅当，即时取等.故选：C.
8．如图所示，双曲线与抛物线有公共焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】根据题意，如图：
因为双曲线和抛物线共焦点，故可得，又到的距离，即，
又，所以点为线段的中点，则，
设点，由抛物线定义知，解得；由可得，
则由等面积可知：，解得，则，则，
又点在渐近线上，即，即，
又，联立得，即，解得，故.故选：B.
二、多选题
9．对任意实数x，有则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD【详解】由，
当时，，，A选项错误；
当时，，即，C选项正确；
当时，，即，D选项正确；
，由二项式定理，，B选项正确.故选：BCD
10．已知数列满足，，为的前项和，则（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递减数列 D．当或时，取得最大值
【答案】AC【详解】因为，所以，即，，
又因为，所以，所以为首项为，公比为的等比数列，A正确；
，所以，B错误；
因为函数是减函数，所以为递减数列，C正确；
令，即，解得，所以时，，时，，所以当或时，取得最大值，D错误.故选：AC
11．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为递减数列
B．数列为等差数列
C．若数列为递减数列，则
D．当时，则取最大值时
【答案】ABC【详解】根据题意，数列的前项和，
当时，，当时，，
也符合，，故
为常数，
故数列是公差为的等差数列，故A正确，
由于，则，
故，故为等差数列，B正确，
由于，则，
，
若为递减数列，则，
故对任意的恒成立，故，即，C正确，
当时， ，则，当故取最大值时，D错误，故选：ABC．
三、填空题
12．已知随机变量服从正态分布，且，则 .
【答案】/【详解】依题意，，所以.故答案为：
13．在数列中，，则 .
【答案】6【详解】因，故有，即得，所以.故答案为：6.
14．已知数列的前项和为，满足，则 ．
【答案】【详解】因为，则，整理得，且，
可知数列是以首项为3，公比为2的等比数列，可得，所以.故答案为：.
四、解答题
15．2023年，5月18日至19日，中国－中亚峰会在陕西省西安市举办.多家外媒积极评价，认为这次峰会非常重要，中亚国家正在深化合作，共同致力于实现各国人民和平与繁荣.报道中指出“中国－中亚峰会致力于发展新能源绿色经济，符合中亚国家共同利益.”新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，得到表格如下：
月份 6月 7月 8月 9月 10月
月份代码 1 2 3 4 5
产值（亿元） 16 20 23 31 40
(1)求电动汽车产值（亿元）关于（月份）的线性回归方程；
(2)该机构随机调查了该地区100位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性45人，女性35人；购买电动汽车的男性5人，女性15人.请问是否有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.（参考公式如下）
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
①；②；③.
【详解】（1）设所求回归直线方程为，
则，，
，
，
，故所求回归直线方程为.
（2）根据题意，得2×2列联表如下：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 合计
男性 45 5 50
女性 35 15 50
合计 80 20 100
，故有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.
16．已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．
【详解】（1）由题意，得 当
当，适合上式.
（2）
所以.
17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，点在棱上，且．
(1)求证：；
(2)若，求二面角的余弦值．
【详解】（1）设与相交于点，因为平面，平面，所以，
在中，，
在中，，又，均为锐角，所以，
因为，所以，所以，即，
因为，平面，且，所以平面，又平面，所以；
（2）由题意知，，两两垂直，以为坐标原点，
，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，．
设平面的一个法向量，则即，
令，则，，所以，
设平面的一个法向量，则即，令，则，，所以，
设二面角的大小为，由题意知为锐角，所以．
18．现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的．
(1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望；
(2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？
【详解】（1）由题知：可取2，4，6，8，则，，
，，
故的分布列为：
2 4 6 8
则的期望.
（2）解法一：由（1）知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为，
则某参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人”勋章的枚数为，则，
故（），
假设当时，概率最大，则，解得，而.
故某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大．
解法二：由（1）知参赛选手在一轮获得“挑战达人”勋章的概率为，
则某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得“挑战达人”勋章的枚数为，则，
故（），
所以Y的分布列为：
0 1 2 3 4 5
从分布列中可以看出，概率最大为，
所以参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大．
19．如图，在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为．已知点和都在双曲线上，其中为双曲线的离心率．
(1)求双曲线的方程；
(2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点．
（I）若，求直线的斜率；
（II）求证：是定值．
【详解】（1）将点和代入双曲线方程得：
，结合，化简得：，解得，双曲线的方程为．
（2）（Ⅰ）设关于原点对称点记为，则．
因为,所以，
又因为，所以，即，故三点共线．
又因为与互相平分，所以四边形为平行四边形，故，所以．
由题意知，直线斜率一定存在，设的直线方程为，代入双曲线方程整理得：
，故，
直线与双曲线上支有两个交点，所以，解得．
由弦长公式得，代入解得．
（Ⅱ）因为，由相似三角形得，
所以．
因为
．
所以，故为定值．高二第一次月考复习卷 10．已知数列 an 满足 a1 26，3an+1 = an - 2， Sn为 an 的前 n项和，则（ ）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A． an 1
1
为等比数列 B． an 的通项公式为 an
一、单选题 3n 4 1
1．已知向量a
2, 3,0 ，b 0,3,4 ，则向量 a在向量b 方向上的投影向量的模为（ ） C． an 为递减数列 D．当 n 4或 n 5时， Sn取得最大值
A 13 B 9 13
5 9
C D 2． ． ． ． 11．已知数列 a 的前 n项和 S n n ，则下列说法正确的是（ ）
9 13 9 5
n n
2．数列 an n n
S
的前 项和 Sn满足 Sn a 2 b，设甲：数列 an 为等比数列；乙： a b
0，则甲是乙的（ ） A．数列 an 为递减数列 B．数列 n 为等差数列
n
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
Sn 2
n
3 4 S
3．已知数列 an 是以 a
C．若数列 为递减数列，则 D．当 时，则 n取最大值时n 3
1为首项，q为公比的等比数列，则“ a1 1 q 0 ”是“ an 是单调递减数列”的（ ） n
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 三、填空题
a2 a a4．已知等差数列 an 的公差 d 0且 a1,a ,a 4 10 23 9 成等比数列，则 N 2, P(2 X 2.5) 0.36 P X 2.5 a1 a3 a
（ ） 12．已知随机变量 X 服从正态分布 ，且 ，则 .
8
4 3 16 15
A． B． C． D．
3 4 15 14 a n 313．在数列 an 中，a1 3, n 1 ，则 a34 .an n 21
5．已知直线 l与抛物线C : y 2 2x 交于 A，B两点，O为坐标原点，若直线 OA，OB的斜率 k1， k2满足 k1k2 ，则2
14．已知数列 a
l n
的前 n项和为 Sn，满足 Sn an 1 1,a1 2，则 Sn ．
直线 恒过定点（ ）
4,0 0, 4 8,0 0, 8 四、解答题A． B． C． D．
15．2023年，5月 18日至 19日，中国－中亚峰会在陕西省西安市举办.多家外媒积极评价，认为这次峰会非常重要，
6．甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件 中亚国家正在深化合作，共同致力于实现各国人民和平与繁荣.报道中指出“中国－中亚峰会致力于发展新能源绿色经
A：甲和乙选择的活动各不同，事件 B：甲和乙恰好一人选择①，则 P(B | A)等于（ ） 济，符合中亚国家共同利益.”新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，为了解某一地区电动汽车销售情况，一
1 2 9 9 机构根据统计数据，得到表格如下：
A． B． C． D．
5 5 25 20 月份 6月 7月 8月 9月 10月
7．已知a 0，b 0，直线 (a 1)x y 1 0和 x 2by 1 0
2 1
垂直，则 的最小值为（ ）
a b 月份代码 x 1 2 3 4 5
A．2 B．4 C．8 D．16
产值 y（亿元） 16 20 23 31 40
8 x
2 y2 2
．如图所示，双曲线C1 : 1(a 0,b 0) 与抛物线Ca2 b2 2
: y 2 px( p 0)有公共焦点 F ，过 F 作双曲线一条渐近 (1)求电动汽车产值 y（亿元）关于（ x月份）的线性回归方程；
1 (2)该机构随机调查了该地区 100位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性 45人，女性 35人；购买
线的垂线，垂足为点A，延长 FA与抛物线C2相交于点 B，若OA OF OB ，双曲线C1的离心率为 e，则e2 （ ）2 电动汽车的男性 5人，女性 15人.请问是否有 95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.（参考公式如下）
P K 2 k0 0.10 0.05 0.01
k0 2.706 3.841 6.635
n
5 xi x yi y 2
A 3 1 B 5 1 C 5 1 D 5 2． ． ． ． ① xi x yi y 59；②b i 1 2
n ad bc K n ；③ .
2 2 3 3 i 1 xi x
2 a b c d a c b d
二、多选题 i 1
9 9．对任意实数 x，有 (2x 3) a0 a1 (x 1) a2 (x 1)
2 a3 (x 1)
3 a9 (x 1)
9
则. 下列结论成立的是（ ）
A． a0 1 B． a2 144 C．a0 a1 a2 L a9 1 D． a0 a1 a2 a3 a9 3
9
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2 2
16．已知数列 an 满足 a1 a2 a3 a 2 y xn n ． 19．如图，在平面直角坐标系 xoy中，双曲线 2 2 1 a 0,b 0 的上下焦点分别为 F1(0,c),F2 0, c ．已知点 e, 5 a b
(1)求数列 an 的通项公式； 和 0, 2 都在双曲线上，其中 e为双曲线的离心率．
1
(2)求数列 na a 的前 项和
Sn．
n n 1
(1)求双曲线的方程；
(2)设 A,B是双曲线上位于 y轴右方的两点，且直线 AF1与直线 BF2平行， AF2与 BF1交于点 P．
（I）若 AF1 BF2 2 2 ，求直线 AF 的斜率；17．如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形， PD 平面 ABCD， AB 2PD 2AD ，点 E AB 1在棱 上，且
BE 1 AB． （II）求证： PF1 PF2 是定值．4
(1)求证：CE PB；
(2)若 AD 2，求二面角D PE C的余弦值．
18．现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加 5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从 10
道题中随机抽取 4道回答，每答对一道题积 2分，答错或放弃均积 0分；③每一轮比赛中，获得积分至少 6分的选手
将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这
10道题中有 7道题是大家都会做的，有 3道题是大家都不会做的．
(1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分 X的分布列和期望；
(2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在 5轮参赛中，获得多少枚“挑
战达人”勋章的概率最大？
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