北师大版八年级上第五章二元一次方程组导学案

5.1认识二元一次方程
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、分析实际问题，用含有两个未知数的方程来表示实际问题中的等量关系．
2、了解什么是二元一次方程及其一个解，什么是二元一次方程组及其解．
3、会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．
【重点难点】
1、探索实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组．
2、判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．
知识概览图
二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程
二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组 方程，叫做二元一次方程组
二元一次方程的一个解的概念：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解
二元一次方程组的解的概念：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解
二元一次方程与一元一次方程的区别与联系
新课导引
【问题链接】某幼儿园给小朋友分苹果，每个小朋友分6个，则剩下10个，每个小朋友分7个，则少5个．
(1)你能通过列一元一次方程求出有多少个小朋友、多少个苹果吗
(2)如果设有x个小朋友、y个苹果，根据题意，你能列出几个方程 每个方程中有几个未知数？
教材精华
知识点1 二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．例如 x＋y=3，3 x－2y＋4＝0，＝y－1，＝1都是二元一次方程．
拓展 (1)“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数．
(2)“所含未知数的项的次数都是 ( http: / / www.21cnjy.com )1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1．切不可理解为两个未知数的次数都是1．例如，方程3 xy－2＝0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是含未知数的项3 xy的次数是2，所以它不是二元一次方程．
(3)二元一次方程的左边和右边都是整式，例如－y＝1不是二元一次方程，因为它的左边不是整式．
知识点2 二元一次方程组的定义
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
例如：都是二元一次方程组．
二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程的个数也可以超过2个，其中有的方程可以是一元方程．如：都是二元一次方程组．
拓展 方程组各方程中相同字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起．
知识点3 二元一次方程的一个解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
拓展 例如： x＝2，y＝3适合方程 x－y＝－1，显然，满足 x－y＝－1的x，y的值有很多对，如 x＝3，y=4； x＝5，y＝6……均满足方程．因此二元一次方程 x－y＝－1的解有无穷多个，它们可分别记作……因此可以看做是二元一次方程 x－y＝－1的一个解．
知识点4 二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．
拓展 (1)方程组的解满足方程组中的每一个方程．
(2)由于方程组需用大括号“｛”表示，所以方程组的解也要用大括号“｛”表示．
知识点5 二元一次方程与一元一次方程的区别与联系
(1)区别：二元一次方程中含有两个未知数，一元一次方程中只含有一个未知数．
(2)联系：它们都是整式方程，且含有未知数的项的次数都是1．
拓展 “元”就是指未知数，几元就是含有几 ( http: / / www.21cnjy.com )个未知数，“次”就是指含有未知数的项的次数，故可推测二元二次方程就是含有两个未知数，且所含未知数的项的最高次数是2的方程．
规律方法小结 类比法：学习二元一次方程要 ( http: / / www.21cnjy.com )与一元一次方程相类比，得出二元一次方程的特征．同时，二元一次方程组的解与二元一次方程的解相类比，得出同时适合两个方程的一组数值．
课堂检测
基本概念题
1、下列方程是不是二元一次方程
(1) x－2y＝xy； (2) x＋＝；
(3) x(1－ x)＝ x2－(2x2－y)； (4)5x＋2y＝8＋3y．
2、以下不是二元一次方程组的是 ( )
A． B． C． D．2 x＋3y= x＋6y＝25
基础知识应用题
3、下列各组数是不是二元一次方程组的解．
综合应用题
4、已知方程(2m－6) x|n|＋1＋(n＋2) －8=0是二元一次方程，求m，n的值．
探索与创新题
5、足球的表面是由 ( http: / / www.21cnjy.com )一些呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，共计32块，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多2，则两种皮块各有多少 (要求：列出二元一次方程组，可通过其他方法求得两种皮块数，检验所列方程组的正确性)
体验中考
二元一次方程组的解是 ( )
A. B. C. D.
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 根据二元一次方程的定义判断．
解：(1) x－2y＝xy不是二元一次方程，因为方程中含有未知数的项的最高次数不是1．
(2) x＋=中分母含有未知数，所以它不是二元一次方程．
(3) x(1－x)＝ x2－ ( http: / / www.21cnjy.com )(2x2－y)表面上含有 x2项，化简后得 x－x2＝ x2－2x2＋y，即 x－y＝0，是二元一次方程．
(4)方程5 x＋2y=8＋3y是二元一次方程．
规律·方法 判断一个方程是不是二 ( http: / / www.21cnjy.com )元一次方程，首先要理解二元一次方程的概念，即含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是l的方程叫做二元一次方程．可先从形式上看，分母含有未知数的方程一定不是二元一次方程；含有未知数乘积项的方程一定不是二元一次方程．判断一个方程是不是二元一次方程时，有时需对方程进行移项、合并同类项等变形，将其化成ax＋by＝c(其中a，b，c为常数，且a≠0，b≠0)的形式．
2、分析 根据二元一次方程组的定义判断．A中分母中含有未知数，不是；B，C都是；D能变成也是．故选A.
规律·方法 判断一个方程组是二元 ( http: / / www.21cnjy.com )一次方程组的依据：(1)方程组中共含两个未知数；(2)所含未知数的项的次数均为1．注意每一个方程不一定都是二元一次方程，另外形如选项D的也是二元一次方程组．
3、分析 将每对数值分别代入原方程组中的两个方程，既满足方程①，又满足方程②的是此方程组的解，否则不是．
解：(1)将代入方程①，左边＝2×5－7＝3，右边＝5，左边≠右边，
所以不满足方程①，故不是原方程组的解．
(2)将代入方程①，左边＝2×3－1＝5＝右边，
所以满足方程①．
将代入方程②，左边：5×3＋1＝16＝右边，
所以也满足方程②．故是原方程组的解．
规律·方法 检验一对数是不是某个方程组的解 ( http: / / www.21cnjy.com )，当发现这对数不满足其中某一个方程时，无需继续检验，就可以判定它不是此方程组的解；当验证这对数满足其中某一个方程时，还必须继续检验是否满足方程组中其他方程，只有同时满足方程组中的所有方程，它才是此方程组的解．
4、分析 根据二元一次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程的定义可知，所给方程必须含有两个未知数：一个是 x，另一个是y，这就要求2m－6≠0，n＋2≠0；含未知数的项的次数都是1，即|n|＋l＝1，m2－8＝1．
解：由题意得由此可以推出所以
【解题策略】 关于概念的考查，要根据概念来解，解本题时还应注意极易漏掉的隐含条件“2m－6≠0”和“n＋2≠0”．
5、分析 可设黑色皮块有 x块，白色皮块有y块，则黑色皮块数＋白色皮块数＝32，黑色皮块数＝白色皮块数的一半＋2．
解：设黑色皮块有 x块，白色皮块有y块，
列方程组，得
将 x＝12，y＝20代入方程①，②，
得12＋20=32，12=×20＋2．
所以 x＝12，y＝20是方程组的解．
答：黑色皮块有12块，白色皮块有20块，
【解题策略】 正确找出题中所含的数量关系是解决这类问题的关键．
体验中考
分析 现在我们虽然没学习如何解方程组，但是我们可以根据方程组的解的定义把结果代入检验．故选C
【解题策略】 利用定义解题是一种常用的解题方法．
5.2解二元一次方程组
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组.
2、解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”的化归思想.
【重点难点】
1、用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组.
2、掌握解二元一次方程组的"消元"思想.
3、体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
知识概览图
代入消元法
加减消元法
新课导引
【问题链接】某位 ( http: / / www.21cnjy.com )同学买了1．5元一张的贺年卡和2元一张的贺年卡共7张，花了11．5元．设该同学买1．5元一张的贺年卡x张，买2元一张的贺年卡y张．
(1)找出题目中存在的两个相等关系，再列出两个方程；
(2)如果你列出的两个方程分别为 x＋y＝7和1．5 x＋2y=11．5，那么这两个方程中的 x和y分别表示的意义相同吗
(3)你能求出方程组的解吗
(4)你能利用一元一次方程求出这两种贺年卡的张数吗
教材精华
知识点1 代入消元法(简称代入法)
代入法的基本思路是：通过“代入”，达到“消元”(即消去一个未知数)的目的，从而将解二元一次方程组转化为解一元一次方程．
代入法的一般步骤．
下面以方程组为例，具体说明如下：
第一步：由方程①得到y＝2 x－5；
第二步：将y=2 x－5代入②中，得到3 x＋4(2 x－5)=2；
第三步：由3 x＋4(2 x－5)＝2解得 x＝2；
第四步：将 x＝2代入y＝2 x－5，求得y＝－1，得到原方程组的解为
由上例可总结出代入法的一般步骤为：
(1)选择较简单的方程，用其中一个未知数表示另一个未知数，写成 x＝…或y＝…的形式．
(2)代入：将(1)中 x＝…或y＝…代入另一个方程中，消去一个未知数．
(3)求一个未知数的值：解(2)中的—元一次方程，求出一个未知数的值．
(4)求另一个未知数的值：将求 ( http: / / www.21cnjy.com )出的—个未知数的值代入方程组中任一方程．可求出另一个未知数的值，也可代入(1)中得到的 x=…或y＝…中．
(5)写出方程组的解．
这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．
拓展 当二元一次方程组中的系数或未知数的关系较为复杂时，可先将方程组整理成二元一次方程组的标准形式这里a1，b1，c1，a2，b2，c2是整数， x，y是未知数，例如：解方程组时，应先经过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，将方程组变为
知识点2 加减消元法(简称加减法)
加减法的基本思路是：通过“加减”，达到化“二元”为“一元”，即消元的目的．
例如：解方程组
解：② ×3得12 x－3y=42．③
①＋③得14 x＝56，解得 x=4．
把 x=4代入②得y＝2．所以原方程组的解为
以上解法是通过加减达到消元目的，从而求得方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．
加减消元法的理论依据：
等量加等量，和相等；等量减等量，差相等；互为相反数的两数相加等于0．
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)根据“方程两边都乘(或除以)同一个不等于0的数，所得方程与原方程是同解方程”的原理，将原方程组化成一个未知数的系数绝对值相等的形式．如上例中，得到方程组其中未知数y的系数的绝对值相等．
(2)根据“方程两边都加上(或 ( http: / / www.21cnjy.com )减去)同一个数，所得方程与原方程是同解方程”的原理，将变形后的两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．如上例中①＋③得14 x=56．
(3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．
(4)把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值．如上例把 x=4代入②中，得到y＝2．
(5)将两个未知数的值用“{”合写在一起即可．
拓展 (1)运用“方程两边都乘或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程是同解方程”时，容易出现漏乘的项．
(2)将两个方程相加减时，容易弄错符号．
(3)运用加减法解方程组时，注意把含相同未知数的项、常数项写在对应位置上，即这样使对应的项相加减，避免出错．
规律方法小结 学习本节内容应体会 ( http: / / www.21cnjy.com )到解二元一次方程组的关键在于消元，也就是要化“二元”为“一元”，即把陌生的“二元一次方程组”转化为熟悉的“一元一次方程”．消元有两种方法，代入消元法和加减消元法，注意化归思想的应用．
课堂检测
基础知识应用题
1、已知是的解，则ab= ．
2、解方程组
3、解方程组
综合应用题
4、某工程队计划在695米的线路上分别装8．25米和6．25米长的两种规格的水管共100根，则这两种水管各需多少根
5、已知3ay＋4b3 x－1与－3a2 x－2b1－2y是同类项，则 x＝ ，y= .
探索与创新题
6、已知方程组甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为若按正确的a，b计算，求 x与y的差．
7、m，n为何值时，方程组有解 无解 m为何值时方程组有无数组解
体验中考
孔明同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没看出错，解得此方程组的解为又知直线y=k x＋b过点(3，1)，则b的正确值应该是 ．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 已知 x，y的值，求方程组中的参数，只需将 x，y的值代入即可．当 x＝3，y＝2时，解得∴ab＝1．故填1
【解题策略】 将 x，y代入的过程，实质就是消元过程，将“多元”化为“一元”，用一元一次方程的知识求解．
2、分析 可用代入消元法来解．
解：由②得－y＝5－3 x，即y=3 x－5．③
把③代入①，得2 x＋3(3 x－5)＝7，2 x＋9 x－15＝7，
11 x＝22，∴ x＝2．
把 x=2代入③中，得y=3 x－5＝3×2－5＝6－5＝1，
所以原方程组的解为
【解题策略】 在用代入消元法解 ( http: / / www.21cnjy.com )二元一次方程组时，应注意选择方程组中未知数的系数的绝对值比较简单的一个方程进行变形，可使解题较为简便．
3、分析 方程组中两个方程的同一未 ( http: / / www.21cnjy.com )知数 x的系数相等，因此可直接由①－②或②－①消去未知数 x，又因为②－①得到的方程中y的系数是负数，所以选择①－②．
解：①－②得12y＝－36，所以y＝－3．
把y=－3代入②得4 x－5×(－3)＝17，所以 x＝.
所以原方程组的解为
【解题策略】 相同未知数系数相同时用减法，系数互为相反数时用加法．在运用“加减消元法”时注意符号的处理．
4、分析 首先设两种水管分别需 x根 ( http: / / www.21cnjy.com )和y根，然后找等量关系．两种规格的水管共100根，即 x＋y＝100，两种水管安装的总长度等于695米，即8．25 x＋6．25y＝695．
解：设需8．25米长的水管 x根，需6．25米长的水管y根．
依题意得解得
答：需要8．25米的水管35根，6．25米的水管65根．
【解题策略】 在解实际应用题时，要注意正确列出方程组，而具体的解法要因题适当选择．
5、分析 根据同类项的定义可知，若3ay＋4b3x－1与－3a2x－2b1－2y是同类项，则必有y＋4＝2x－2，3 x－1＝1－2y，将这两个二元一次方程合在一起组成方程组解方程组即可求 x，y的值．即①×2＋②得7x＝14，∴ x＝2．把 x＝2代入①，得y＝－2．
答案：2 －2
6、分析 首先求出正确的a，b的值，再求原方程组的解．甲由于看错了方程①中的a，所以他得到的解只满足②而不满足①，把代入②，得4×(－3)＋b＝－2．因为乙看错了②中的b，他得到的解只满足①而不满足②，把代入①，得5a＋5×4＝15，解方程组即可求出a，b的值．
解：把代入②，得－12＋b＝－2．
把代入①，得5a＋20＝15．
解方程组得
把代入原方程组，得
解这个方程组，得
所以 x－y=14－=8.
【解题策略】 方程组的解适合方程组中的每一个方程，所以看错其中一个方程的系数求出的解是另一个方程的解．
7、分析 把m，n作为已知数正常求解．
解：
①×2－②，得(m－6)y=2－n，
当m≠6时，y＝
①×m－②×3，得(2m－12) x=m－3n，
当m≠6时， x＝
∴当m≠6时，方程组的解是
当m＝6，且n≠2时，方程组无解．
当m=6，且n＝2时，方程组有无数组解．
规律·方法 讨论含有字母系数的方程组的解的情况，可用如下方法，即对关于 x，y的方程组a1，b1，c1，a2，b2，c2均为已知数，且a1与b1，a2与b2都至少有一个不等于零，则：
①当时，原方程组有唯一一组解；
②当时，原方程组有无穷多组解；
③当时，原方程组无解．
实质上，有无穷多组解的方程组中的两个二元一次方程是同一个方程，而无解的方程组中的两个二元一次方程是互相矛盾的方程．
体验中考
分析 把代入y＝k x＋6，得k＝4．把代入y=k x＋b，得b＝－11．故填－11．
规律·方法 化归思想：无论是代入法，还是加减法，其目的都是消元，化“未知”为“已知”，化复杂问题为简单问题．
5.3鸡兔同笼
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、使学生初步掌握列二元一次方程组解应用题．
2、通过将实际问题转化成纯数学问题的应用训练，培养学生分析问题、解决问题的能力．
【重点难点】
1、根据等量关系列二元一次方程组解应用题．
2、根据题意找出等量关系，列出方程．
知识概览图
代入法
消元法
新课导引
【问题链接】某养殖场有鸡和兔共100只，且鸡的数量比兔的数量多20只．
(1)找出题中的两个相等关系；
(2)如果设有鸡 x只，有兔y只，根据(1)中的相等关系列出一个二元一次方程组；
(3)你能通过列一元一次方程求出鸡和兔各有多少只吗
点拨 (1)总只数为100只，鸡比兔多20只． (2)
(3)能，设有鸡 x只，则有兔( x－20)只．所以 x＋( x－20)＝100，解得 x＝60．所以 x－20=40．
教材精华
知识点 列二元一次方程组解应用题的一般步骤
(1)弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题中的两个未知数．
(2)找出表示应用题全部含义的两个相等关系．
(3)根据找出的两个相等关系列出所需的代数式，从而列出方程组．
(4)解方程组．
(5)检验所得的解是不是方程组的解，并且要检验其是否符合题意，否则要舍去．
(6)写出答案，包括单位名称．
规律方法小结 解含有两个未知 ( http: / / www.21cnjy.com )数的问题，一般列二元一次方程组要比列一元一次方程容易一些，二元一次方程组的知识是解决实际生活中常遇到的更多元的问题的基础．
课堂检测
基础知识应用题
1、人民币10元买得10分和2 ( http: / / www.21cnjy.com )0分的邮票共80张，则其中10分和20分的邮票各几张 设10分和20分的邮票的张数分别为 x，y，依题意，列方程组为 .
2、小红去年9月份在商店买了3支笔 ( http: / / www.21cnjy.com )芯和5支铅笔，刚好用去5元钱，今年3月，他又带5元钱去买同样的笔芯和铅笔，因笔芯比原来每支涨价1角，铅笔每支比原来涨价8分，小红就只好买3支笔芯和4支铅笔，结果找回8分钱，则去年9月份每支笔芯和每支铅笔各多少钱
综合应用题
3、一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车辆数（单位：辆） 2 5
乙种货车辆数（单位：辆） 3 6
累计运货吨数（单位：吨） 15.5 35
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，则货主应付运费多少元
探索与创新题
4、某中学新建了一栋4层的教 ( http: / / www.21cnjy.com )学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生．
(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生；
(2)检查中发现，紧急情况时因 ( http: / / www.21cnjy.com )学生拥挤，出门的效率将降低20％．安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定 请说明理由．
体验中考
某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动，下面是九年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．”
小芳说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座的客车和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元．”
小明说：“我们九年级的师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元
(2)按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 本题中有两个数量关系，10分和20分的邮票共80张，80张共用去10元钱，可根据这两个数量关系列出方程组．故填
【解题策略】 针对题中给出的数量关系列出方程，同时要注意单位的统一．
2、分析 此题有两个未知数，即笔芯的 ( http: / / www.21cnjy.com )单价和铅笔的单价，相等关系有两个．(1)去年9月买3支笔芯和5支铅笔所花的钱正好是5元．(2)今年3月买3支笔芯和4支铅笔所花的钱等于5元找回8分．
解：设去年9月份每支笔芯和每支铅笔的价格分别为 x分和y分．
依题意得
解得
答：去年9月份每支笔芯的价格为5角，每支铅笔的价格为7角．
【解题策略】 依据题意列出方程组，注意统一单位．
3、分析 要求出货主应付运费数，必须知 ( http: / / www.21cnjy.com )道运货吨数，运货总吨数与甲种货车、乙种货车每辆每次运货吨数有关，根据表中数据可先求出甲种货车、乙种货车每辆每次的运货量．
解：设甲种货车每辆每次运货 x吨，乙种货车每辆每次运货y吨，
依题意，得解得
30(3 x＋5y)＝30×(3×4＋5×2．5)＝735(元)．
答：货主应付运费735元．
4、分析 本题中数量较多，理清数量关系是解答的关键．
解：(1)设平均每分钟一道正门可以通过 x名学生，一道侧门可以通过y名学生．
由题意，得
解这个方程组，得
答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生．
(2)建造的4道门符合安全规定．理由 ( http: / / www.21cnjy.com )：这栋楼最多有学生4×8×45=1440(名)，拥挤时5分钟内4道门能通过5×2×(120＋80)×(1－20％)＝1600名学生．
因为1600＞1440，所以建造的4道门符合安全规定．
【解题策略】 本题的第(1 ( http: / / www.21cnjy.com ))小题的等量关系是：一道正门2分钟通过的学生数＋两道侧门2分钟通过的学生数=560，一道正门4分钟通过的学生数＋一道侧门4分钟通过的学生数＝800．
体验中考
解：(1)设60座和45座的客车每辆每天的租金分别为 x元和y元，
则解得
答：60座和45座的客车每辆每天的租金分别为900元和700元．
(2)5×900＋700=5200(元)．
答：按小明提出的方案共需租金5200元．
【解题策略】 此题题干较长，要认真读题，弄清题意，找出两个相等关系，列出二元一次方程组，然后再进行有关计算．
5.4增收节支
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、能运用列表分析法分析数量关系．
2、能熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题．
3、掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能．
【重点难点】
1、初步体会列方程组解决实际问题的步骤．
2、学会用图表分析较复杂的数量关系问题．
3、将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系．
知识概览图
实际问题列二元一次方程组
新课导引
【问题链接】 某服装店老板购进2件服装共花了270元，销售时，共得240元，其中一件赚了20％，另一件赔了20％．
(1)如果设赔20％的服装进价为 x元，赚20％的服装进价为y元，填写下表;
赔20%的服装 赚20%的服装 共计
进价 x元 y元 270元
售价
(2)根据上表你能列出二元一次方程组吗 试一试．
【点拨】 (1)表中依次填x元，y元，240元．
(2)
教材精华
知识点1 有关销售问题的公式
(1)利润＝总产值一总支出．
(2)利润率＝×100％．
(3)商品利润＝销售价格－进货价格．
(4)商品利润率=×100％．
拓展 列方程组解应用题常用的关系式还有：
(1)工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
(2)行程问题：路程＝速度×时间．
顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度．
(3)浓度问题：溶质=溶液×浓度．
(4)储蓄问题：利息＝本金×利率×期数，本息和＝本金＋利息．
知识点2 列方程组解应用题应掌握的几个技巧
(1)列方程组时，要抓住关键词 ( http: / / www.21cnjy.com )语，如：和、差、倍、几分之几、多、少、大、小等，要挖掘各类问题中的相等关系，如：相遇问题中，快行距＋慢行距＝原距；追及问题中，快行距－慢行距＝原距；浓度问题中，稀释前、后溶质质量不变等．
(2)借助几何图形或表格帮助我们理解题意，如：工程问题、行程问题可以利用线段图来分析理解，浓度问题可以借助表格来帮助理解题意．
(3)注意检验：既要检验所求结果是否为方程组的解，又要检验是否符合题意．
拓展 列二元一次方程组解应用题，关键在于寻找题中的两个等量关系，常见等量关系如下：
(1)在行程问题中，总是涉及时间(t)、速度(v)、路程(s)三个量，它们之间的基本关系是s＝vt，v＝，t＝．
(2)在工程问题中，总是涉及时间(t)，工作效率(η)，工程总量(Q)三个量，它们之间的基本关系是Q＝ηt,η＝，t=.
课堂检测
基础知识应用题
1、某商店出售一批套装，甲顾客以7折的优 ( http: / / www.21cnjy.com )惠价买了20件，乙顾客以8折的优惠价买了5件，结果商店都可获利200元．设进价为 x元，售价为y元，列出方程组为 .
2、甲、乙、丙三种零件个数 ( http: / / www.21cnjy.com )分别为1，2，3时配成一套，已知每天能生产甲种零件50个，或乙种零件80个，或丙种零件100个，现要在30天内生产最多的成套产品，甲、乙、丙三种零件各应安排生产多少天
综合应用题
3、现有两种酒精溶液，甲种酒 ( http: / / www.21cnjy.com )精溶液的酒精与水的质量比是3：7，乙种酒精溶液酒精与水的质量比是4：1，今要得到酒精与水的质量比为3：2的酒精溶液50千克，则甲、乙两种酒精溶液各取多少
探索与创新题
4、某商场用2500元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示：
类型价格 A型 B型
进价（元/盏） 40 65
标价（元/盏） 60 100
(1)这两种台灯各购进多少盏
(2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售完后，商场共获利多少元
体验中考
自2008年爆发全球金融危机以来，部分 ( http: / / www.21cnjy.com )企业受到了不同程度的影响，为落实“保民生，促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成(计件奖励工资＝销售每件的奖励金额 ×销售的件数)．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：
职工 甲 乙
月销售件数（件） 200 180
月工资（元） 1800 1700
(1)试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各是多少元；
(2)若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 利润=售价－成本.故填
【解题策略】 根据利润=售价一成本和题中的两个均盈利200元可列出方程组．
2、分析 等量关系：(1)三种零件生产的数量恰能完整配套．(2)生产三种零件所用的时间之和恰为30天．
解：设安排甲、乙、丙三种零件的生产时间分别为 x天，y天，z天，
依题意得
设50 x＝k，则80y＝2k，l00z＝3k，
∴ x=，y=，z=,代入①得k()=30．
即k=30，∴k=400，于是 x=8，y=10，z=12．
答：应安排生产甲种零件8天，生产乙种零件10天，生产丙种零件12天．
【解题策略】 若 x:y: ( http: / / www.21cnjy.com )z=a:b:c，那么可设 x=ak，y＝bk，z＝ck，代入题设另一条件可解出k的值，从而依次求出 x，y，z的值．
3、分析 本题欲求两个未 ( http: / / www.21cnjy.com )知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：(1)甲、乙两种酒精溶液质量和为50千克．(2)混合前两种溶液所含纯酒精质量之和＝混合后溶液所含纯酒精的质量．(3)混合前两种溶液所含水的质量之和=混合后溶液所含水的质量．(4)混合前两种溶液所含纯酒精质量之和与水质量之和的比=混合后溶液所含纯酒精与水的质量比．其中第(1)个相等关系与另外三个中的任何一个组合在一起恰能表达题中的全部含义．
解法1：设甲、乙两种酒精溶液分别取 x千克和y千克．
依题意，有
整理②，得3 x＋8t＝300．③
③－①×3，得5y＝150，y＝30．
把y＝30代入①，得 x＝20．∴
答：甲种酒精溶液取20千克，乙种酒精溶液取30千克．
解法2：设甲、乙两种溶液分别取l0 x千克和5y千克，则甲种溶液中含纯酒精3 x千克，乙种溶液中含纯酒精4y千克．
根据题意得整理得
解得∴10 x=20，5y=30．
答：甲种酒精溶液取20千克，乙种酒精溶液取30千克．
解法3：设甲、乙两种溶液分别取10 x千克和5y千克，则甲种溶液含水7 x千克，
乙种溶液含水y千克，依题意，得
解得∴10 x＝20，5y＝30．
答：甲种酒精溶液取20千克，乙种酒精溶液取30千克．
解法4：设甲、乙两种溶液分别取l0 x千克和5y千克，
则
整理得解得
∴10 x＝20，5y＝30．
答：甲种酒精溶液取20千克，乙种酒精溶液取30千克．
【解题策略】 此题的第(1)个相等关系比 ( http: / / www.21cnjy.com )较明显，关键是正确找到另一个相等关系，这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质质量相等或混合前后所含溶剂质量相等．
4、分析 总购进价和总台数可作为两个相等关系，列出方程组，求出各购进多少台，然后再进一步计算利润．
解：(1)设A型台灯购进 x台，B型台灯购进y台，
则解得
答：A型台灯购进30台，B型台灯购进20台．
(2)30×60×＋100×20×－2500＝1620＋1600－2500=720(元)．
答：商场共获利720元．
体验中考
分析 题目中有两个相等关系，甲的月工资1800元，乙的月工资1700元，分别等于甲、乙两人的基本保障工资和计件奖励工资之和.
解：(1)设月基本保障工资为 x元，销售每件产品的奖励金额为y元，
则解得
答：月基本保障工资为800元，销售每件产品的奖励金额为5元．
(2)设丙至少应销售a件产品，则：
800＋5a＝2000，
解得a＝240．
答：丙至少应销售240件产品．
【解题策略】 找出题目中的两个相等关系
5.5里程碑上的数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题．
2、归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤．
【重点难点】
1、用二元一次方程组刻画学问题和行程问题，初步体会列方程组解决实际问题的步骤．
2、将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型．
知识概览图
数字问题→实际应用题→列二元一次方程组→求得符合条件的解
新课导引
【情境链接】小明和小梅做猜数游戏，小 ( http: / / www.21cnjy.com )明说：“我写了从小到大排列的三个数，第一个数(最小)是两位数，且数字之和为7，第二个数(中间的数)是第一个数的十位数字与个位数字对调后的两位数，第三个数(最大的数)是将第一个数的中间添上一个0得到的三位数．这三个数中相邻两个数的差相等”．你知道这三个数吗 小梅用列方程组的方法解决了它．
【问题探究】(1)你知道小梅是怎样做的吗
(2)列一元一次方程也可以解决这一问题，请你试一试．
【点拨】 (1)设第一个数十位数字为 x，个位数字为y
则有
解得故这三个数依次为16，61，106．
(2)设第一个数十位数字为 x，则个位数字为7－x，
则有l00 x＋(7－ x) －10(7－ x) － x＝10(7－ x)＋ x－10 x－(7－ x)．
解得 x=1．故这三个数依次为16，61，106．
教材精华
知识点1 数字问题(十进制整数的表示方法)
两位数=10a1＋a2，
三位数＝l00a1＋10a2＋a3，
四位数＝1000a1＋100a2＋10a3＋a4，
以上三种数的表示方法在数字问题中经常用到．
例如：73=7×10＋3，56＝5×10＋6，235＝2×100＋3×10＋5，4321=4×1000＋3×100＋2×10＋1．
即：两位数＝十位数字×10＋个位数字，
三位数＝百位数字×100＋十位数字 X10＋个位数字，
四位数=千位数字×1000＋百位数字×100＋十位数字×10十个位数字．
拓展 (1)如果一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数表示为l0a＋b．
(2)两个两位数分别为a，b，若把b放在a的前面组成一个四位数，那么这个四位数表示为l00b＋a．
知识点2 路程由两段组成的行程问题
问题中涉及的量的关系如图7－2所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
解决此类应用题常用的两个相等关系；
(1)s＝s1＋s2=v1t1＋v2t2．
(2)t＝t1＋t2=．
课堂检测
基础知识应用题
1、已知一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字为b，则这个两位数是 .
2、一个三位数，三个数位上的数字之和 ( http: / / www.21cnjy.com )为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位数字大3，把百位上的数字与个位数字对调后，所得的新数比原数小198，求原数．
综合应用题
3、从A地到B地共28km， ( http: / / www.21cnjy.com )一人先乘车，后步行，全程用了1h，已知车速为36 km／h，步行速度为4 km／h，则乘车路程和步行路程分别为多少千米
探索与创新题
4、仔细观察图7－3，认真阅读对话：
( http: / / www.21cnjy.com )
根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元．
体验中考
一辆汽车从A地驶往B地，当路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 km／h，在高速公路上行驶的速度为100 km／h，汽车从A地到B地一共行驶了2．2 h．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 已知个位和十位上的数字，则依据十位上1是10可得．故填10a＋b．
2、分析 可由题意设百位数字、 ( http: / / www.21cnjy.com )十位数字、个位数字分别为 x，y，17－x－y，等量关系为：百位数字＋十位数字＝个位数字＋3；原数－新数＝198．
解：设原三位数的百位、十位、个位数字分别为 x，y，17－ x－y，
根据题意，得
解这个方程组，得
故原三位数为100 x＋10y＋17－ x－y=100×9＋10×1＋17－9－1＝917．
答：原三位数为917．
【解题策略】 像本题这样设未知数的方法叫做间接设法，它不是直接设所求量，而是设与所求量有关的量，数字问题一般用间接设法．
3、分析 包含题目全部含义的两个相等关系：(1)总路程＝乘车路程＋步行路程；(2)总时间＝乘车时间＋步行时间．
解：设乘车路程为 x km，步行路程为y km，
则解得
答：乘车路程为27 km，步行路程为1 km．
【解题策略】 找出此类问题中常用的两个相等关系是解决这类问题的关键．
4、分析 通过对话中的数量关系可列出方程．
解：设饼干标价为 x元，牛奶标价为y元．
根据题意，得0．9 x＋y＝10－0．8．①
由题意可知 x为正整数， x与y的和大于10， x小于10，
则 x可取1，2，3，4，5，6，7，8，9．
把 x=1代入方程①，得y＝8．3， x＋y＝9．3＜10．
∴ x＝1不合题意，舍去．
把 x＝2代入方程①，得y＝7．4， x＋y＝9．4＜10．
∴ x＝2不合题意，舍去．
把 x＝3代入方程①，得y＝6．5， x＋y＝9．5＜10．
∴ x＝3不合题意，舍去．
把t＝4代入方程①，得y＝5．6，z＋y＝9．6＜10．
∴ x＝4不合题意，舍去．
把 x＝5代入方程①，得y＝4．7， x＋y＝9．7＜10．
∴ x＝5不合题意，舍去．
把 x＝6代入方程①，得y＝3．8， x＋y＝9．8＜10．
∴ x＝6不合题意，舍去．
把 x＝7代入方程①，得y＝2．9， x＋y＝9．9＜10．
∴ x＝7不合题意，舍去．
把 x＝8代入方程①，得y＝2， x＋y＝10．
∴ x＝8不合题意，舍去．
把 x＝9代入方程①，得y＝1．1， x＋y＝10．1＞10，符合题意．
答：饼干的标价为9元，牛奶的标价为1．1元．
体验中考
分析 此题有一定的开放性．
解：答案不唯一．可令问题是“普通公路和高速公路各为多少千米 ”
设普通公路 x km，高速公路y km，
则解得
答：普通公路为60 km，高速公路为120 km．
【解题策略】 路程由两段组成的行程问题中，s＝s1＋s2，t＝t1＋t2是两个常用的关系式．
5.6二元一次方程与一次函数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、初步理解二元一次方程和一次函数的关系．
2、掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系．
3、掌握二元一次方程组的图像解法．
【重点难点】
1、二元一次方程和一次函数的关系．
2、二元一次方程组和对应的两条直线的关系．
3、数形结合和数学转化的思想意识．
知识概览图
二元一次方程(组)与一次函数的关系
二元一次方程组的图象解法
新课导引
【问题链接】 在某地，人们发现某种蟋蟀1分钟所叫次数与当地温度之间近似为一次函数关系，下面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表．
蟋蟀1分钟所叫次数 … 84 98 119 …
温度（℃） … 15 17 20 …
(1)设蟋蟀1分钟所叫次数为y，温度为 x℃，你能根据表中数据确定该一次函数的关系式吗
(2)如果蟋蟀1分钟叫了63次，那么该地当时的温度约为多少摄氏度
【点拨】(1)能．设y=k x＋b，可得解得所以y=7 x－21．(2)12℃．
教材精华
知识点1 一次函数与一元一次方程的关系
直线y＝k x＋b(k≠0)与 x轴交点的横坐标就是一元一次方程k x＋b＝0(k≠0)的解．在求直线y＝k x＋b与 x轴交点的横坐标时，可令y＝0，得到一元一次方程k x＋b＝0，解方程得 x＝，则就是直线y＝k x＋b与 x轴交点的横坐标．
对于一次函数y=k x＋b(k≠0 ( http: / / www.21cnjy.com ))，在已知 x值求y值或已知y值求 x值时，也都是把问题转化成关于y或关于 x的一元一次方程来求解的．
拓展 y=k x＋b既可以看做是一个 ( http: / / www.21cnjy.com )二元一次方程，也可以看做是一个一次函数的表达式，而y-k x=b与y=k x＋b虽然只有形式不同，但却只能表示二元一次方程，而不能表示一次函数表达式，因此对于一个二元一次方程，只有把它写成用一个未知数表示另一个未知数的形式时，才能看做是一个一次函数的表达式．
知识点2 一次函数与二元一次方程(组)的关系
每个二元一次方程都可转化为一个一次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的表达式，对应着一条直线；每个二元一次方程组可以转化成两个一次函数的表达式，对应着两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于求出自变量的取值，使两个函数的值相等的过程，从“形”的角度看，解方程组可以看做确定两条直线交点的坐标．
用图象法求二元一次方程组的近似解 ( http: / / www.21cnjy.com )的一般方法：①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式；②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；③写出这两条直线的交点的横、纵坐标，这两个数合起来就是二元一次方程组的解，横坐标为 x，纵坐标为y.
例如：用作图象的方法解方程组将方程在平面直角坐标系中分别作出①与②的图象，通过观察图象，可以得到交点的坐标．如图7－5所示，在平面直角坐标系中作两个一次函数的图象，可分别取两对有序实数，根据“过两点有且只有一条直线”画出图象，如果两点分别取在 x轴或y轴上，可简化问题，即令 x=0，或y＝0，于是由图象可得交点坐标为(3，－2)．
拓展 若一次函数y＝k1 x＋b1与y＝k2x＋b2的图象在平面直角坐标系中的交点坐标为(a，b)，则方程组的解为
规律方法小结 直线上的点的坐标与二元一次方程的解一一对应．
课堂检测
基础知识应用题
1、小明用作图象的方法解二元一 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程组时，在同一直角坐标系内画出了相应的两个一次函数的图象l11，l2，如图7—6所示，则他解的这个方程组是 ( )
A． B.
C． D．
2、一次函数y＝k x＋b的图象经过点(1，3)和(4，6)，求k和b．
综合应用题
3、已知直线y＝2 x＋1与直线y＝ x－1的交点为P，那么直线y＝4 x＋5经过点P吗 并说明理由．
探索与创新题
4、不久前，共青团中央发起了“保护母亲河行动”，捐赠办法中有一种是：5元钱植一棵树，某校九年级两个班的115名学生积极参与，踊跃捐款，已知九年级(1)班的学生每人捐了10元，九年级(2)班的学生每人捐了10元，两班其余学生每人都捐了5元，设九年级(1)班有学生 x名，两班捐款总额为y元．
(1)写出y与 x之间的函数关系式；
(2)若y＝785，则两班中哪班捐赠的树多 多多少
体验中考
某航空公司规定，旅客乘机所 ( http: / / www.21cnjy.com )携带行李的质量 x(kg)与其运费y(元)由如图7－8所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为 ( )
A．20 kg B．25 kg
C．28 kg D．30 kg
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 从图象上看，两个一次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )都是随着 x的增大而减小，故可排除A，C；正比例函数的图象必经过原点，而l1，l2均不过原点，故可排除B；对照D，结合图7—6，不难发现它们数形一致．故选D．
【解题策略】 根据正比例函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象与一次函数图象的特点，用排除法选择符合条件的选项，最重要的是选择过程中，要领会“数形结合”的思想方法．
2、分析 直线y＝k x＋b经过两点，说明它们的坐标适合函数y＝k x＋b，代入后可得到关于k，b的二元一次方程组．
解：∵一次函数y=k x＋b的图象经过点(1，3)和(4，6)，
∴解得
【解题策略】 求经过两点的直线的解析式的实质是解二元一次方程组．
3、分析 两直线的交点坐标就是两直线的解析式组成的方程组的解，直线是否经过点，就是点的坐标是否适合直线的解析式．
解：经过点P.理由：由题意列方程组，得解得
∴点P的坐标为(－2，－3)．
当 x＝－2，y＝－3时，方程y＝4 x＋5成立，
∴直线y＝4 x＋5经过点P.
【解题策略】 数形结合的思想是解答本题的思想基础，由方程组确定交点坐标．
4、分析 解本题应正确理解数量之间的关系．
解：(1)由题设可知九年级(2)班有学生(115－ x)人，
则y＝× x×10＋× x×5＋(115－ x)×10＋(115－ x)×5，
∴y与 x之间的函数关系式为y＝－x＋805．
(2)把y=785代入y＝－x＋805，
得785=－x＋805，解得 x＝60．
∴九年级(1)班捐款额为×60×10＋×60×5＝400(元)．
九年级(2)班捐款额为785－400＝385(元)．
∵400－385=15，15÷5＝3，
∴九年级(1)班捐赠的树多，多3棵．
【解题策略】 列一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数关系式与建立二元一次方程实质是同一意义上的不同形式，但反映的数学概念不同，前者反映的是函数思想，而后者反映的是方程思想．
体验中考
分析 设函数解析式为y＝k x＋b(k≠0)，由图可知图象经过点(30，300)和(50，900)，把点的坐标代入解析式可得方程组解得∴解析式为y=30 x－600．把y=0代入y=30 x－600，得 x=20，∴可携带的免费行李的最大质量为20 kg．故选A.
二元一次方程组
二元一次方程组的解法
实际问题→列二元一次方程组→求解
二元一次方程与一次函数