北师大版八年级上第二章实数导学案

2.1认识无理数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
能判断给出的数是否为无理数，并能说出理由．
借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动．
中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力．
【重点难点】
1、无理数概念的探索过程．
　　2、用计算器进行无理数的估算．
　　3、了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断．
知识概览图
无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数
估计无理数的范围
新课导引
【问题链接】 我们知道中国象棋 ( http: / / www.21cnjy.com )历史悠长，它不仅是一些专业人士的体育运动项目，也是老百姓茶余饭后、街头巷尾的一种娱乐活动，尤其是老年人的一项必不可少的休闲活动。我们知道中国象棋是马走日，象走田，那么我们观察棋盘(如右图所示)，若每个小正方形的边长为1，那么士走一步、马走一步、象走一步，它们走过的距离各是多少 它们走过的距离是整数吗 是分数吗 是有理数吗
【点拨】士走一步的距离是，马走一步的距离是，象走一步的距离是2．它们走过的距离既不是整数，也不是分数，当然不是有理数．
教材精华
知识点1 体验现实生活中确实存在不是有理数的数
例如，圆的面积公式S＝πR2中，π ( http: / / www.21cnjy.com )不能表示成有理数的形式，它是一个无限不循环小数．我国南北朝时期的祖冲之得到3．1415926＜π＜3．1415927，日本数学家利用计算机算得π的近似值竟精确到2061亿多位，可见，π的小数点后面的数字无限不循环．
又如，在等式x2＝a(a≥0)中， ( http: / / www.21cnjy.com )数x确实存在，它既可以是有理数(有限小数和无限循环小数)，也可以是一个无限不循环小数．当a＝9时，x＝±3；当a＝5时，|x|是介于2．23606～2．23607之间的无限不循环小数．
知识点2 无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数．
无理数的特征．
①无理数的小数部分位数无限．
②无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式．
小数的分类．
有限小数
无限循环小数
无限不循环小数——无理数
知识点3 确定x2=a(a≥o)中的正数x的近似值的方法
确定正数x的整数部分．
根据平方的定义，把 ( http: / / www.21cnjy.com )x夹在两个连续的正整数之间，确定其整数部分．例如：求x2＝5中的正数x的整数部分，∵22＜5＜32，即22＜x2＜33，∴2＜x＜3，因此x的整数部分为2．
确定x的小数部分十分位上的数字．
①将这两个整数平方和的平均数与a比较，预测十分位上数字的取值范围，如两个整数2和3的平方和的平均数为：＝6．5＞5，∴x的十分位上的数字一定比3小，不妨设x≈2．2．
②设误差为k(k必为一个纯小数 ( http: / / www.21cnjy.com )，且k可能为负数)，则x＝2．2+k，∴(2．2+k)2＝5，∴4．84+4．4k+k2＝5，∵k是小数，∴k2很小，把它舍去，∴4．84+4．4k＝5，∴k≈0．036，∴x＝2．2+k≈2．2+0．036＝2．236．
拓展 实际估算中，整数部分的数字 ( http: / / www.21cnjy.com )容易估计，十分位上的数字可以采用试验的方法进行估计，即2．12＝4．41，2．22＝4．84，2．32＝5．29，∵4．84＜5＜5．29，∴2．22＜x2＜2．32，∴2．2＜x＜2．3，∴十分位上的数字为2．
规律方法小结 逐次逼近的极限思想：在实际估算时，通常采用试验的方法逐次逼近进行估算．
课堂检测
基本概念题
1、下列说法：①有限小数和无限循环小数都是有理数；②分数是有理数；③无限小数是无理数；④是分数．其中正确的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、下列各数中，无理数有 ( )
4．，，0，2．121021002100021…(小数点后1和2之间0的个数逐次加1)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
基础知识应用题
3、若正三角形的边长为4，高为h，则h是介于正整数 和 之间的无理数．
综合应用题
4、若a，b都是无理数，且a+b＝2，则a，b的值可以是 .(填上一组满足条件的值即可)
探索创新题
5、利用方程的知识把0．化为分数的形式．
体验中考
1、估算 -2的值 ( )
A．在1到2之间 B．在2到3之间
C．在3到4之间 D．在4到5之间
2、实数-2，0.3，，，-π中，无理数的个数是 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 有理数包括有限小数和无限循环小数，因此①正确；有理数都可以用分数来表示，反之，凡是能表示成分数的数都一定是有理数，因此②正确；无理数是无限不循环小数，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两大类，因此③不正确；看似分数，实质是无理数，因此④不正确．故选B．
2、分析 因为4．是循环小数，0是整数，所以4．和0是有理数．因为π是无理数，所以是无理数．因为2．121021002100021…是无限不循环小数，所以它是无理数．故选B．
3、分析 正三角形的边长为4，内 ( http: / / www.21cnjy.com )角为60°，运用直角三角形中含30°角的性质及勾股定理，得h2＝12，∵32＜12＜42，∴32＜h2＜42，∴h介于3和4之间．
答案：3 4
4、分析 此题较开放，答案也不唯一，只要两个无理数相加，和为2即可．可填π-1，3-π．
5、分析 因为0.是无限循环小数，也是有理数，所以要把它化为分数的形式，就要想办法把它的循环节去掉，因为0．×100＝23．，小数部分也为0．，两式相减，就可以把小数部分的循环节去掉了．
解：设x＝0. ，则l00x＝100×0. ＝23. ，
∴100x-x=23．-0. ，99x=23，∴x=．
【解题策略】 利用这种方法可以将任何一个无限循环小数化为分数，从而验证了无限循环小数是有理数．
体验中考
1、分析 ∵52＜27＜62，∴5＜＜6，∴3＜-2＜4．故选C．
2、分析 由无理数的概念可知，-π为无理数．故选A．
2.2平方根
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、了解平方根的概念、开平方的概念．
2、明确算术平方根与平方根的区别与联系．
3、进一步明确平方与开方是互为逆运算．
【重点难点】
1、平方根的概念、性质、运算．
2、平方根与算术平方根的区别和联系．
知识概览图
概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)
性质
概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”
性质
新课导引
【问题链接】 某农场有一块长30米、宽20 ( http: / / www.21cnjy.com )米的长方形场地，现要在这块场地上建一个正方形的鱼池，使它的面积为场地面积的一半，这样的正方形鱼池能否建成 若能建成，鱼池的边长为多少米
【点拨】 要判断鱼池能否 ( http: / / www.21cnjy.com )建成，就要看鱼池的边长与场地的宽的大小关系．因此需要先求出符合题意的鱼池的边长再进行比较，在解答这种能否建成(或是否存在等)的问题时，我们可先假设能建成，在此假设之下求出所需的数据，再看求得的数据是否符合题意．若符合，则说明能建成，反之则不能．假设鱼池能建成，且边长为x米，根据题意，得x2＝×30×20．x2＝300，x＝±≈±17．32．因为鱼池的边长为正数，所以只取x≈17．32．因为17．32＜20，所以鱼池能建成，且边长约为17．32米．
教材精华
知识点1 算术平方根
一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”．
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即＝0．
拓展 算术千方根有如下性质：
(1)一个正数a有一个算术平方根，就是．
(2)0有一个算术平方根，就是0．
(3)负数没有算术平方根．
(4) 只要有意义，就表示一个非负数，即≥o．
(5) 中的a是一个非负数，即a≥0．
知识点2 平方根
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)．
拓展 平方根的性质：( ( http: / / www.21cnjy.com )1)一个正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根“”，另一个是“-”，它们互为相反数，合起来记作“±”，读作“正、负根号a”．例如：5的平方根是±．
(2)0的平方根是0．
(3)负数没有平方根．
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
知识点3 平方根与算术平方根的区别与联系
(1)区别．
①定义不同；②个数不同：一个正 ( http: / / www.21cnjy.com )数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；③表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为；④取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根是一正、一负．
(2)联系．
①具有包含关系：平方根包含算术 ( http: / / www.21cnjy.com )平方根，算术平方根是平方根中的正的那个；②存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有；③o的平方根与算术平方根都是0．
拓展 必须明确，当a≥0时, ,-，±的区别，表示一个非负数的算术平方根，-表示一个非负数算术平方根的相反数，±表示一个非负数的平方根．
知识点4 两个重要公式
(1) ＝|a|，即当a≥0时，＝a，当a＜0时，＝-a．
(2)( )2=a(a≥0)．
拓展 两个重要公式的区别：
(1)a的取值范围不同，公式(1)中a的取值可以是正数，可以是负数，也可以是0．而公式(2)中a的取值是非负数．
(2)运算顺序不同，公式(1)是a先平方再开平方，而公式(2)中是a先开平方再平方．
课堂检测
基本概念题
1、判断下列说法是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)5是(-5)2的算术平方根． ( )
(2)4是2的算术平方根． ( )
(3)6是的算术平方根． ( )
(4)49的平方根是7． ( )
(5)的平方根是±3． ( )
(6)平方根等于本身的数是0和1． ( )
基础知识应用题
2、求下列各数的平方根与算术平方根．
(1) ； (2)104； (3)|-169|； (4)(3-π)2．
3、求下列各式中的x.
(1)x2＝225； (2)9(x2+1)＝10； (3)25(x+2)2-36＝0．
综合应用题
4、已知y=+2x，求xy的值．
5、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足+b2-6b+9＝0，求c的取值范围．
6、为了美化校园，学校购进20 ( http: / / www.21cnjy.com )0盆(盆的规格、大小一样，盆为正方形)鲜花，并决定将其摆放成一个长度为宽度的2倍的矩形，且相邻盆间无空隙，则应该摆放成多少行、多少列(行数大于列数)
探索创新题
7、求使等式x·＝0成立的x的值．王强同学的解答过程如下：
解：要使x·＝0，则x＝0，或＝0，即x＝0，或x＝1．
∴当x＝0，或x＝1时，原式成立．
该同学的解答过程是否正确 如果正确，说明每一步的理由；如果不正确，请指出错误的原因，并写出正确的过程．
体验中考
1、 |a-2|++(c-4)2＝0，则a-b+c＝ ．
2、已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6，则这个数是 .
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 此题要用算术平方根、平 ( http: / / www.21cnjy.com )方根的定义及性质去判断，注意区别以下三句舌：(1)a的算术平方根；(2)(a≥0)的算术平方根；(3)a2的算术平方根．
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
2、分析 前三个是以不同形式告诉的几 ( http: / / www.21cnjy.com )个数，必须先化简，如(1)中＝4，(2)中104=10000，(3)中|-169|＝169，然后再求它们的平方根，(4)题中特别注意判断π与3的大小．
解：(1)∵＝4，
∴的平方根是±2，算术平方根是2.
(2)∵104＝10000，
∴104的平方根为±100，算术平方根为100．
(3)∵|-169|＝169，
∴|-169|的平方根为±13，算术平方根为13．
(4)∵π＞3，∴π-3＞0．
∴(3-π)2的平方根为±(3-π)，算术平方根为π-3．
【解题策略】 出现求类似(3 ( http: / / www.21cnjy.com )-π)2形式的数的算术平方根时，注意判断括号内数的正负．求一个式子的平方根与算术平方根时，应先求出这个式子的值，然后再求这个值的平方根或算术平方根．
3、分析 要求出各题中的x，其实就是求一个数的平方根的问题，注意(2)(3)中需先把等式化成x2＝a的形式．
解：(1)∵(±15)2＝225，∴x＝±15．
(2)∵9(x2+1)=10，∴x2+1=,∴x2=.
又∵(±)2=，∴x=±.
(3)∵25(x+2)2-36＝0，∴25(x+2)2＝36，∴(x+2)2＝．
又∵(±)2＝，∴x+2＝±.
当x+2=时，x=-；
当x+2=-时，x=-.
【解题策略】 在第(3)小题中，由(x+2)2＝得到的是x+2＝±，不要误认为是x＝±．
4、分析 要想求出x，y的值 ( http: / / www.21cnjy.com )，可考虑由已知出发，因为，有意义，所以x-2≥0，且2-x≥0，得出x的值后，代入原式即可求出y的值．
解：∵，有意义，∴x-2≥0，2-x≥0，
∴x≥2，且x≤2，∴x=2，∴y＝4，∴xy=24＝16．
5、分析 本题考查的是非负数的性质、算术平方根的意义及三角形三边关系定理．
解：∵+b2-6b+9＝0，∴+(b-3)2＝0．
又∵≥0，(b-3)2≥0，∴＝0，(b-3)2＝0，
∴a＝2，b＝3，∴c的取值范围是1＜c＜5．
规律·方法 若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零．
6、分析 要读懂题意，把实际问题转化成数学问题．“相邻盆间无空隙”且“花盆大小一样”，可见横、竖所放花盆个数关系即为长度与宽度的关系．
解：设摆放成x行、y列，则x＝2y．
∵总数为200盆，且各盆规格一样，相邻盆间无空隙，
∴x·y＝2y·y＝2y2＝200，即y2＝100，∴y＝±10．
又∵x＞0，y＞0,∴y=10,x=2y=20.
即应摆放成20行、10列.
【解题策略】 解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题，解方程过程中，要把二次方程用求平方根的方法来解决，所得解要符合题意．
7、分析 此题中的x的取值必须同时符合两 ( http: / / www.21cnjy.com )个条件：一是x和中的某一个为零，二是使x和都有意义．显然x＝1符合这两个条件，当x＝0时，＝没有意义．
解：该同学的解答过程不正确，错误的原因是忽略了“负数没有算术平方根”．
要使x·＝0成立，则x＝0，或＝0，即x＝0，或x＝1，
但当x＝0时，无意义，∴使x·＝0成立的x的值为1．
【解题策略】具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0；②本身是非负数，即≥0．
体验中考
1、分析 几个非负数的和为 ( http: / / www.21cnjy.com )0，则每个非负数均为0，所以|a-2|＝0，=0，(c-4)2＝0，解得a＝2，b＝3，c＝4，所以a-b+c＝3．故填3．
2、分析 正数有两个平方根，它们互为相反数，∴2-3x＝5x+6，解得x＝-，∴3x-2＝-，(-)2＝．故填．
【解题策略】 根据平方根的性质，挖掘出题目中的隐含条件：3x-2与5x+6互为相反数，是解决本题的关键．
2.3立方根
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根．
2、能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算．
3、了解立方根的性质．
4、区分立方根与平方根的不同．
【重点难点】
1、正确理解立方根的概念．
2、会求一个数的立方根．
3、区分立方根与平方根的不同之处．
知识概览图
定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根
表示方法：
读作：三次根号a
性质：①正数的立方根是正数；②负数的立方根是负数；③0的立方根是0
开立方的定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方
平方根与立方根的区别与联系
新课导引
【生活链接】 传说很久很久以前 ( http: / / www.21cnjy.com )，在古希腊的某个地方发生了大旱，地里的庄稼都旱死了，于是大家一起到神庙里去向神祈求，神说：“我之所以不给你们降水，是因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小，如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前，我就会给你们降水．”大家觉得这好办，于是很快做好一个新祭坛送到神那儿，新祭坛的边长是原祭坛边长的2倍，可是神更加恼怒地说：“你们竟敢愚弄我!这个祭坛的体积根本不是原来那个体积的2倍，我要进一步惩罚你们!”
【问题探究】 (1)新祭坛的体积到底是原祭坛体积的多少倍
(2)要做一个体积是原来祭坛体积2倍的新祭坛，它的边长应是原来的多少倍
【点拨】 (1)新祭坛的体积是原祭坛体积的8倍．(2)它的边长应是原来的倍．
教材精华
知识点1 立方根
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)．
拓展 (1)每个数a都只有一个立方根，记为“”，读作“三次根号a”．
(2)立方根的性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数．
知识点2 两个重要公式
(1) ，如.
(2) =a，如()3==8．
知识点3 平方根与立方根的区别与联系
(1)区别：①在用根号表示平方 ( http: / / www.21cnjy.com )根时，根指数2可以省略，而用根号表示立方根时，根指数3不能省略；②平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有，且每个数都只有一个立方根，如：-8没有平方根，但有立方根-2；③正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个，如：2的平方根是±，而立方根是．
(2)联系：①开平方与开立方运算 ( http: / / www.21cnjy.com )都与相应的乘方运算互为逆运算；②都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即；③0的平方根和立方根都是0．
规律方法小结 类比思想的运用：在两个或两类 ( http: / / www.21cnjy.com )不同对象之间，或者在事物与事物之间，对它们某些方面的相似之处进行比较，通过联想和预测，推断出它们在其他方面也可能相似，从而进行猜想和发现真理．
课堂检测
基本概念题
1、83的立方根是 ，8的立方根是 ，的立方根是 .
基础知识应用题
2、求下列各式中x的值．
(1) (2x-3)3=36； (2)(5x-2)3=-125．
3、计算．
(1)-; (2)
综合应用题
4、已知x-2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．
5、用铁皮焊制一密封的正方体水箱，使其容积为1.728米3，则至少需要多大面积的铁皮
探索创新题
6、如果xn＝a(n为大于1的整数)，那么x叫做a的n次方根．
例如：34＝81，(-3)4＝81， ( http: / / www.21cnjy.com )则3和-3都是81的4次方根，即81的4次方根有两个，分别是3和-3；又如：25＝32，(-2)5≠32，所以32的5次方根只有一个，是2．
(1)①求-32的5次方根；
②求625的4次方根；
(2)①0的n次方根是多少(n为大于0的整数)
②负数有没有偶次方根(即n为偶数时的方根)
体验中考
1、下列运算正确的是 ( )
A．＝3 B．(π-3.14)0＝1 C．()-1＝-2 D．＝±3
2、一个正方体的水晶砖体积为100 cm3，它的棱长大约在 ( )
A．4 cm～5 cm之间 B．5 cm～6 cm之间
C．6 cm～7 cm之间 D．7 cm～8 cm之间
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 此题要运用立方根的定义求解，并且要注意先把原数化简．
答案:8 2
2、解：(1)∵(2x-3)3=216，∴2x-3==6，∴x＝.
(2)∵(5x-2)3＝-125，∴5x-2＝＝-5，∴x＝-.
【解题策略】 (1)解形如( ( http: / / www.21cnjy.com )ax+b)3＝c的方程时，通常视ax+b为一个整体，先开立方求ax+b，再进一步求出x，且x的值只有一个．
(2)要记住10以内正整数的立方，例如：73＝343，83＝512，93＝729，这将给计算带来极大方便．
3、分析 利用平方与开平方、立方与开立方的互逆关系求出相应的算术平方根、立方根．
解：(1)- =-
(2) =3-×8=3-4=-1．
【解题策略】 注意运算顺序．
4、分析 由平方根、立方根的定义求出x和y的值．
解：∵x-2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，
∴x-2＝(±2)2＝4，2x+y+7＝33＝27．
∴x＝6，y＝8，∴x2+y2＝62+82＝100．
∴x2+y2的平方根为±10，即±＝±10．
【解题策略】 x2+y2的平方根有两个，书写时要有正负号．
5、分析 本题考查的是正方体的体积公式及开立方运算，在运算过程中，要注意水箱是由6块正方形铁皮围成的．
解：设水箱的棱长为x米，由题意得x3＝1.728，
∴x＝＝1.2，∴所需铁皮的面积至少为1．22×6＝8．64(米2)．
答：所需铁皮的面积至少为8.64米2．
【解题策略】 注意把实际问题转化为数学问题，把棱长与体积之间的关系转化为立方根与被开方数之间的关系．
6、解：(1)①因为(-2)5＝-32，所以-32的5次方根是-2．
②因为54＝625，(-5)4＝625，所以625的4次方根是±5．
(2)①因为0n＝o，所以0的n次方根是0(n为大于0的整数)．
②因为没有一个数的偶次方是负数，所以负数没有偶次方根．
【解题策略】 本题实际上是平方根和立方 ( http: / / www.21cnjy.com )根的推广，偶次方根的概念与性质和平方根类似，奇次方根的概念与性质和立方根类似．在平方根和立方根的基础上，可以求出非负数的偶次方根以及任何数的奇次方根．
体验中考
1、分析 此题考查乘方与开方的简单运算，注意立方根与算术平方根的性质，π与3．14的不同及负指数的意义．故选B．
2、分析 由V正方体＝棱长3知棱长＝，即棱长＝.∵＜＜，∴4＜＜5．故选A.
【解题策略】 本题是立方根的知识在实际问题中的应用．
2.4估算
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围,并能通过估算比较两个数的大小．
2、掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感．
【重点难点】
1、掌握估算的方法，能通过估算检验计算结果的合理性．
2、掌握估算方法，形成估算的意识．
知识概览图
估算→比较两个数的大小→应用
新课导引
【问题链接】 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000
米2，如右图所示．
(1)公园的宽有100米吗
(2)如果要求误差小于10米，它的宽在什么范围内
【点拨】 由题意可知2x·x＝4 ( http: / / www.21cnjy.com )00000，即x2＝200000，欲知公园宽大约是多少，就要估计x的大小．193600＜200000＜202500，即4402＜x2＜4502，又x＞0，则440＜x＜450.(1)公园的宽有100米．(2)如果要求误差小于10米，它的宽在440米～450米之间．
教材精华
知识点1 确定无理数近似值的方法(估算法)
(1)当被开方数在1～100 ( http: / / www.21cnjy.com )0以内时，可利用乘方与开方为互逆运算来确定无理数的整数部分，然后再根据所要求的误差大小确定小数部分．例如：估算的值(误差小于1)，∵192＜385＜202，∴19＜＜20，∴的整数部分是19，由于误差小于l，则的估算值是19或20，即约等于19或20，若要确定十分位上的数字，则可以采用试验的方法，即19.12＝364．81，19．22＝368．64，…，19．52＝380．25，19．62＝384．16，19．72＝388．09，于是19．62＜385＜19．72，所以19．6＜＜19．7．
(2)当被开方数是正的纯小数或 ( http: / / www.21cnjy.com )比1000大时，利用方根与被开方数的小数点之间的规律，移动小数点的位置，将其转化到被开方数在1～1000以内进行估算，即平方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动2n位，其结果的小数点向左(或向右)移动n位；立方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动3n位，其结果的小数点向左(或向右)移动n位．例如：要确定的整数部分，∵≈1．111，把中的被开方数的小数点向右移动4位，得，其算术平方根1．111的小数点相应地向右移动2位，得111．1，∴的整数部分是111．
探究交流 你知道有多大吗 它所对应的点究竟在数轴上哪个位置呢 让我们一起来找找看吧!
点拨 由于22＜5 ( http: / / www.21cnjy.com )＜32，因此可以肯定2＜＜3，也就是的位置应该在2与3之间.能不能再精确一点呢 再尝试一下，你会发现2．22＜5＜2.32，那么的位置就在2．2与2．3之间了．按照这个方法，继续试下去，有2．232＜5＜2．242，2．23＜＜2．24，2．2362＜5＜2．2372，2．236＜＜2．237……
你看，我们离来越近了，依据这样的想法，我们确定可以在数轴上找到那么一点，它所代表的数值就是．
规律方法小结 极限思想：在确定无理数的近似值时，采用的试验法中透着逐次逼近的极限思想．
知识点2 无理数大小比较的常用方法
(1)估算法．例如：比较与的大小，∵3＜＜4，∴0＜-3＜1，∴＜.
(2)作差法．若-＞0，则＞；若-＜0，则＜例如上题也可以这样解：∵-=＜0，∴＜.
(3)平方法．把含 ( http: / / www.21cnjy.com )有根号的两无理数同时平方，根据平方后的数的大小进行比较，例如比较2和3的大小．∵(2)2＝24，(3)2＝27，∴2＜3．
(4)移动因式法．当a＞0，b＞0时，若a＞b，则＞，因此可以把根号外的因式移到根号内进行比较大小．
另外还有倒数法、作商法．
比较两个无理数的大小，要根据它们的 ( http: / / www.21cnjy.com )特点灵活选用上述方法．例如：比较和 的大小．因为分子都是，所以只需比较分母的大小，因为3＞2，所以＜.也就是说，分子相同，分母大的这个数反而小．
课堂检测
基础知识应用题
1、写出所有适合下列条件的整数．
(1)大于-且小于的所有整数；
(2)小于的所有正整数；
(3)大于-的所有负整数；
(4)绝对值小于的所有整数．
2、通过估算比较下列各组数的大小．
(1) 与1．5； (2) 与2．1．
综合应用题
3、估算下列各数的大小．
(1) ；(误差小于0．1) (2) .(误差小于1)
一个水池容积是6．05m3，是长方体形状，池 ( http: / / www.21cnjy.com )底为正方形，池深0．80m，求池底边长(精确到0．01 m，有≈2750和≈8．70可选择，不用计算器开方)．
探索创新题
5、先阅读理解，再回答问题．
因为＝，且1＜＜2，所以的整数部分是1．
因为＝，且2＜＜3，所以的整数部分是2．
因为=，且3＜＜4，所以的整数部分是3．
以此类推，我们会发现(n为正整数)的整数部分是多少 并说明理由．
体验中考
1、下列判断正确的是 ( )
A．＜＜2 B．2＜+＜3
C．1＜-＜2 D．4＜·＜5
2、请写出一个比小的整数 ．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 解此类题的关键是找出满足条件的最大数和最小数，然后就可将所有满足条件的数写出来．
解：(1)∵4＜＜5，∴-5＜-＜-4．
又∵3＜＜4，
∴满足大于-且小于的最大整数是3，最小整数是-4．
故它们是-4，-3，-2，-1，0，1，2，3．
(2)∵6＜＜7，∴小于的所有正整数中最大的是6，最小的是1．
故它们是1，2，3，4，5，6．
(3)∵-5＜-＜-4，
∴大于-的所有负整数中最大的为-1，最小的为-4．
故它们是-4，-3，-2，-1．
(4)∵-5＜-＜-4，4＜＜5，
∴绝对值小于的所有整数中最大的为4，最小的为-4．
故它们是-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
【解题策略】 两个负数进行比较，绝对值大的反而小．
2、分析 (1)先估算的大小，再比较与2的大小，从而进一步比较与1.5的大小．(2)先估算的大小，或将2．1立方，比较26与2．13的大小．
解：(1)∵6＞4，∴＞，∴＞2，∴＞，即＞1.5．
(2)∵26＜27，∴＜，即＜3，但接近于3，∴＞2．1．
3、分析 先看估算的是平方根，还是立方根，再确定估算的整数部分，然后再按误差的大小确定小数部分．
解：(1)∵15．8接近于16，∴的估算值是3．9或4．
(2)∵93＜900＜103，∴9＜＜10，∴的估算值是9或10．
【解题策略】 熟记1～10这几个自然数的立方，使估算更快捷.
4、分析 本题关键 ( http: / / www.21cnjy.com )是探索被开方数小数点与其算术平方根的十数点的位置关系：被开方数小数点每移动两位，其算术平方根小数点相应地移动一位．
解：设池底边长为x m，由题意得x2×0.80＝6.05，
整理，得x2＝≈7．563．∵x＞0，∴x＝.
又∵≈2750，∴x=≈2．75．
答：池底边长约为2．75 m．
5、分析 本题是一个探索性问题，关键要仔细观察，发现规律，这类题目是近几年中考热点题型．
解：的整数部分是n．理由如下：
因为n2+n＝n(n+1)，而n2＜n(n+1)<(n+1)2．
所以＜＜．又n为正整数，
所以n＜＜n+1，所以的整数部分是n．
体验中考
1、分析 由≈1．414，≈1．732，≈2．236可判断．故选A．
2、分析 ≈2．236，∴我们可以填小于或等于2的任意一个整数，如2．
【解题策略】 熟记，，的
2.5用计算器开方
学习目标、重点、难点
【学习目标】
学会用计算器求平方根和立方根．
经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力．
【重点难点】
1、用计算器求平方根和立方根．
2、运用计算器探求数学规律．
知识概览图
基本操作
开平方
开育方
新课导引
【问题链接】 任意找厂个你认为很大的正数，利用计算器对之进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么
【点拨】 对任意大的数进行多次开平方运算，其结果趋向于l，离l越来越近．
教材精华
知识点1 科学计算器的基本操作
(1)开机清零键ON/C 按该键后，显示器右下方显示字符“0”，表示计算器已进人工作状态．
(2)2ndF 键为第二功能转换键．按该键后，显示器左上方出现字符“2ndF”，以后再按某键，则为启用其第二功能．
(3)关机键OFF按此键后，显示器上的字符、算式及运算结果全都消失，计算器停止工作．
拓展 各种不同型号的计算器的基本操作几乎都是一样的．
知识点2 用计算器开平方和开立方的按键顺序
对于开平方运算，按键顺序为：被开方数 = ．
对于开立方运算，按键顺序为：被开方数 = ．
例如：用计算器求45的平方根的按键顺序是：， 4 ， 5 ， = ，显示6．708203932．
用计算器求512的立方根的按键顺序是：， 5 ， 1 ， 2 ， = ，显示8．
拓展 用不同型号的计算器进行开方运算，按键顺序可能有所不同．如有的计算器进行开平方运算时，先按被开方数，再按键．
规律方法小结 由特殊到一般的思想：在借助计算器进行规律探究时，运用的就是由特殊到一般的数学思想．
课堂检测
基础知识应用题
1、求下列各数的算术平方根．(精确到0．01)
(1)2189；(2)88．42．
2、用计算器求下列各数的立方根．(精确到0.01)
(1)1972；(2)-86.73．
综合应用题
3、比较与的大小．
4、用计算器求(-5)4-2×(-3)2+的值．(结果精确到0.1)
探索创新题
5、借助计算器计算下列各题．
(1) ＝ ； (2) ＝ ；
(3) ＝ ； (4) ＝ ．
仔细观察上面几道题及其计算结果，试猜想= ．
体验中考
1、用计算器求2008的算术平方根时，下列四个键中，必须按的键是 ( )
A． sin B． cos C． D． ^
2、如图2-4所示的是一个简单的数值运算程序：
若输入的值为，则输出的数值为 ．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、解：(1)在计算器上依次键入 ( http: / / www.21cnjy.com )， 2 ， 1 ， 8 ， 9 ， = ，显示46.78675026，故2189的算术平方根为≈46.79。
(2)在计算器上依次键人， 8 ， 8 ， · ， 4 ， 2 ， = ，显示9．403190948，故88．42的算术平方根为≈9．40．
【解题策略】 对这类不易求出平方根的，可用计算器直接得出．
2、解：(1)在计算器上依次键人， 1 ， 9 ， 7 ， 2 ， = ，显示12．54013765，故1972的立方根为≈12．54．
(2)在计算器上依次键人，（一）， 8 ， 6 ， · ， 7 ， 3 ， = ，显示-4．426459029，故-86.73的立方根为≈-4.43．
【解题策略】 用计算器求一个数的立方根时，一般情况下按书写顺序按键即可，“一”的输入可按区（一）键．
3、分析 先利用计算器算出各数的近似值，再比较大小．
解：比较与的大小时，按键 ( http: / / www.21cnjy.com ) 3 = ，显示1．44224957；按键 2 = ，显示1.414213562．所以＞.
【解题策略】 此类型题多数比较的是一个平方根和一个立方根的大小，或是一个平方根和一个分数等不同类别的两个数的大小．
4、分析 这是一道混合运算题，由于计算器能自动识别运算顺序，故一般情况下，按键顺序与书写顺序完全一致．
解：按键顺序为 （ ，（一 ( http: / / www.21cnjy.com )）， 5 ， ） ， yx ， 4 ， - ， 2 ， × ， ( ， (一) ，3 ， ） ， yx ， 2 ， + ，， 3 ， 2 ， = ，显示612．6568542，∴原式≈612．7．
【解题策略】 (1)负数的输入方法：先按符号变换键（一），再输入其相反数．
(2)求一个数的平方，也可先输入这个数，再按 x2 键．
(3)根据互为相反数的两个数的偶次方相等，此题可。简化按键步骤为： 5 ， yx ， 4 ，
- ， 2 ， × ， 3 ， x2 ， + ，， 3 ， 2 ， = .
5、答案：(1)5 (2)55 (3)555 (4)5555
【解题策略】 用计算器得出(1) ( http: / / www.21cnjy.com )～(4)的结果后，仔细观察便可得出规律：被开方数是两个正整数的平方和，这两个数分别是由数字4和3组成的，且数字4的个数和数字3的个数相等，得到的结果是由数字5组成的，且数字5的个数与数字4或3的个数相等．因此当被开方数是2007个4组成的数和2007个3组成的数的平方和时，所得结果应为由2007个5组成的数.
体验中考
1、分析 由用计算器求算术平方根的过程可知是必须按的键．故选C.
【解题策略】 本题考查的是用计算器求算术平方根，熟悉计算器的使用方法是解决此类问题的关键．
2、分析 根据输入程序写出表达式为x2-1，将代入得()2-1＝2．故填2．
【解题策略】 此类问题都是运算程序翻译成数学表达式，进而求值，这里注意应用公式()2=a(a≥0)．
2.6实数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、了解实数的意义，能对实数按要求 进行分类．
2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义．
3、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数．
【重点难点】
1、了解实数意义，能对实数进行分类，明确数轴上的点与实数一一对应并 能用数轴上的点来表示 无理数．
2、用数轴上的点来表示无理数．
知识概览图
定义：有理数和无理数统称为实数
分类：(1)按定义可分为有理数和无理数；(2)按性质符号可分为正实数、零、负实数
实数与数轴的关系
实数大小的比较法则
实数的运算法则和运算律
新课导引
【问题链接】 你能在数轴上找到表示的点吗
【问题探究】 如图(1)所示，将两 ( http: / / www.21cnjy.com )个边长为l的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个全等的等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形．容易知道，这个正方形的面积是2，所以大正方形的边长为．
【点拨】 利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示的点，如图(2)所示．
教材精华
知识点1 实数
实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
实数的分类．
①按定义分类：实数可分为有理数和无理数．
正整数
正分数
零
负整数
负分数
正无理数
负无理数
②按实数的性质符号分类：实数可分为正实数、零、负实数．
拓展 (1)无理数是指无限不循环小数，并不是带根号的数都是无理数，如，等都是有理数，无理数中不包括0．
(2)数的范围从有理数扩充到实数后，要注意有理数与无理数的本质区别．
探究交流 (1)任意一个有理数或无理数都是实数吗
(2)任意一个实数不是有理数就是无理数吗
点拨 有理数和无理数统称为实数. (1)任意一个有理数或无理数都是实数．(2)任意一个实数不是有理数就是无理数．
知识点2 实数的有关概念和性质
有关概念．
实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数的相反数、绝对值、倒数的意义是相同的，即有理数中的概念在实数范围内仍适用．
①相反数：a与-a表示任意一对相反数．如与-互为相反数．
②绝对值：
a(a＞0) 正实数的绝对值等于它本身．如||＝.
0(a＝0) 0的绝对值是0．如|0|＝0．
-a(a＜0) 负实数的绝对值等于它的相反数．如|3-π|＝π-3．
③倒数：如果a表示一个非零数，那么a与(a≠0)互为倒数．如与互为倒数．
有关性质．
①a与b互为相反数a+b＝0．
②a与b互为倒数ab＝1．
③|a|≥0．
④互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|＝|-a|．
⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数．
知识点3 实数和数轴上的点的一一对应关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每——个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的．
例如：如图2-5所示，四边形OCAD是 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为l的正方形，根据勾股定理我们知道它的对角线OA的长为，以O为圆心，OA长为半径画弧，交数轴于点A′，A″，则A′表示的数为，A″表示的数为-．
拓展 数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数．
知识点4 实数大小的比较
有理数大小的比较法则在实数范围内仍适用．
法则1：在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．
法则2：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
知识点5 实数的运算法则和运算律
有理数的运算法则和运算律同样适用于实数，包括运算顺序.
实数有加、减、乘、除、乘 ( http: / / www.21cnjy.com )方、开方等运算，混合运算的顺序是先乘方、开方，再除，最后加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号要先算括号里的．
探究交流 +＝，对吗
点拨 不对．实际上，≈1.414，≈1.732，≈2.236，所以+≈3.146．所以+≠.一般地，≠，≠．
知识点6 无理数的乘除法法则
（1）·=（a≥0,b≥0）.
例如：·==（a≥0,b＞0）.
（2）=（a≥0,b>0）.
例如：==2．
知识点7 最简无理数
最简无理数必须同时满足下列条件：①被开方数的因数是整数；②被开方数中不含能开得尽方的因数；③分母中不含根号．
常利用＝·(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b≥0)化简无理数．
知识拓展 无理数的计算结果必须是最简无理数，如＝＝2， =.
知识点8 实数中的非负数的形式及性质
(1)形式：①|a|≥0；②a2≥0；③≥0(a≥0)．
(2)性质：①非负数有最小值零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③若几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0．
例如：若+|b+2|+(c-3)2＝0，则a＝1，b＝-2，c＝3．
知识点9 实数中的无理数的常见类型
(1)所有开不尽的方根，如.
(2)圆周率π及含有π的数，如3π-1．
(3)看似循环，但实质上不循环的无限小数，如0.12345678910111213…，0．1010010001…．
拓展 带根号的数不一定是无理数，如 是有理数；不带根号的数也可能是无理数，如π等．
课堂检测
基本概念题
1、把下列各数填人相应的集合内.
0，-，，-4，，0.，，-1.2345…．
(1)有理数集合：{ …)； (2)无理数集合:{ …}；
(3)正实数集合：{ …}； (4)负实数集合：{ …}．
2、求下列各数的相反数、倒数和绝对值．
(1)；(2)-；(3) ．
基础知识应用题
3、比较下列各对实数的大小．
(1)-和-3.1；(2)π和3．14；(3)2和3．
4、化简．
(1)2-4+3； (2)(2-3)(2+3)；
(3)(-3）2； (4)2×÷5
综合应用题
5、已知s，t为实数，且(4s-1)2+|t+2|＝0，则实数s3-的倒数的相反数是多少
6、设x，y是有理数，且x，y满足等式x2+2y-y=17+4，求x-y的值．
探索创新题
7、计算，你能从中找出计算的规律吗 如果将根号内的2换成10，那么这种规律是否仍然成立
体验中考
1、如图2-7所示，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是 ( )
A．a+b＞0 B．ab＞0
C．a-b＞0 D．|a|-|b|＞0
2、估计×+的运算结果应在 ( )
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
3、计算()-1-20090+|-2|-．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 由定义先找出无理数，填入无理数集合，其余是有理数．再按正、负分类，填入相应的集合，注意0既不是正数，也不是负数．
解：（1）{0，-4，，0.，…} （2）.
（3）. （4）.
【解题策略】 归类法：把事物按某些特性进行归类．进行归类时要注意以下几点：
(1)不重复，即同一事物不能归到两个类别中．
(2)不遗漏，即某一事物在各类别中不能都找不到，如实数包括正实数、负实数，这种分类就把0给漏掉了．
(3)非对等级别的事物不能并列在一起，如实数分为整数、分数、无理数，整数和分数与无理数不是同一对等级别上的数，所以不能这样分类．
2、分析 本题主要考查相反数、倒数和绝对值的意义．
解：(1)的相反数是-，倒数是＝，绝对值是.
(2)-的相反数是，倒数是-=-，绝对值是.
(3) 的相反数是-，倒数是，绝对值是．
3、分析 按实数大小的比较法则进行比较，同时也要采取一些技巧．
解：(1)∵3．12＝9．61＜10，
∴|-|＞|-3.1|，∴-＜-3.1
(2)∵在数轴上表示π的点在表示3．14的点的右边，∴π＞3.14．
(3)∵2＝，3＝，且12＜18，∴2＜3．
【解题策略】 比较两个实数的大小 ( http: / / www.21cnjy.com )，可以直接利用法则，也可以利用平方法、移动因式法、作商法、作差法等，至于选用哪种方法，取决于这两个数的特征．
4、分析 运用运算法则进行化简即可，但要注意书写步骤．
解：(1)原式=2-4+3=4-+12=.
(2)原式=(2)2-(3)2=12-18=-6．
(3)原式=()2-2××3+(3)2＝6-6+27＝33-18.
(4)原式=2×××=4××=.
规律·方法 实数的运算可以运用公式，可在多种途径中选择较为简便的方法计算．
5、解：因为s，t为实数，(4s-1)2+|t+2|＝0，且(4s-1)2≥0，|t+2|≥0，
所以4s-1＝0，t+2＝0，所以s＝，t＝-2，
所以s3-=()3-=．
所以s3-的倒数的相反数为-．
【解题策略】 任意实数的平方是非负数，任意实数的绝对值是非负数．若几个非负数的和为零，则这几个非负数分别等于零．由此可求得s，t的值．
6、解：因为x，y是有理数，由题意，得
所以解得或所以x-y=9或x-y＝-1．
【解题策略】 ( http: / / www.21cnjy.com )本题好像由一个等式不能求出两个未知数x，y的值，但实际上运用实数运算规律可求解．因为x，y都是有理数，它的加、减、乘、除、乘方运、算结果仍然是有理数，有理数与无理数的乘除的结果是无理数，而无理数的加、减、乘、除、乘方运算的结果不一声是无理数(如π-π＝0)，所以等式左边的有理数与右边的有理数一定相等，左边的无理数与右边的无理数一定相等．由此可得关于x，y的方程组，求解即可求得x，y的值，进而求得x-y的值．
7、分析 通过观察发现，这几个数的被开方数都是幂的形式，底数都是2，变化的是幂的指数和根指数，因此应从变化中寻找规律．
解：
通过以上计算可以看出，计算的规律 ( http: / / www.21cnjy.com )是：被开方数的幂指数与根指数的比值为所得 结果的幂指数(底数是被开方数的底数)．如果将2换成10，这种规律仍然成立．
体验中考
1、分析 由图可知0＜a＜l，b＜-1，从而可知C正确．故选C.
2、分析 应先把原式化简后再估算范围，×＋＝2+．∵1＜＜2，∴ 3＜2+＜4．故选C．
3、解：()-1-20090+|-2|-
=6-1+2-2
＝5．
规律·方法 实数的混合运算，要先通览全题，再选择适当的方法及运算律运算-
实际问题→无理数
有理数
小数
平方根
算术平方根
立方根
按键顺序应用
计算器
实数
正有理数
有限小数或无限循环小数
有理数
小数
实数
负有理数
无限不循环小数
无理数
|a|＝