北师大版八年级上第六章数据的分析导学案

6.1平均数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、掌握算术平均数，加权平均数的概念．
2、会求一组数据的算术平均数和加权平均数，并体会权的差异对结果的影响．
3、理解算术平均数和加权平均数的联系和区别，并能利用它们解决一些现实问题．
【重点难点】
1、算术平均数、加权平均数的概念．
2、算术平均数和加权平均数的联系和区别．
3、求一组数据的算术平均数和加权平均数并体会权的差异对结果的影响，认识到权的重要性．
知识概览图
算术平均数：一般地，对于n个数 x1， x2，…， xn，我们把( x1＋ x2＋…＋ xn)叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为
加权平均数：如果n个数中， x1出现f1次， x2出现f2次…… xk出现fk次(f1＋f2＋…＋fk=n)，那么这n个数的平均数可以表示为=，这样的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权
新课导引
【问题链接】某中学举行歌咏比赛， ( http: / / www.21cnjy.com )六名评委给某选手打分如下：78分，77分，82分，95分，83分，75分，去掉一个最高分，去掉一个最低分，再统计他的平均分作为该歌手的最后得分．
【点拨】根据规则，选手的得分是：×(78＋77＋82＋83)＝×320＝80(分)．除了用平均数来衡量选手的得分外，还有其他的方法，本节课我们就进一步学习一下．
教材精华
知识点1 平均数的概念
算术平均数的概念：一般地，对于n个数 x1， x2，…， xn，我们把( x1＋ x2＋…＋ xn)叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为 .
加权平均数的概念：在n个数据中，如果 x1出现f1次， x2出现f2次…… xk出现fk次(这里f1＋f2＋…＋fk=n)，那么这n个数据的平均数 ＝( x1f1＋ x2f2＋…＋ xkfk)就叫做这n个数据的加权平均数．
对加权平均数的理解，应注意以下两个方面：
(1)“权”含有所占分量轻重之意，fk越大，表明 fk这个数据越多，“权”就越重．
(2)当各数据的权均为l时，加权平均数即为算术平均数．算术平均数实质上是加权平均数的一种特殊情况．
拓展 (1)算术平均数所反映的是一组数据的平均程度．
(2)算术平均数与加权平均数的区别：算术平 ( http: / / www.21cnjy.com )均数与加权平均数是既有联系又有区别的，一般而言，求一组数据的算术平均数，必须是该组数据中各数的“重要性”相当(“权”相等)，且重复数据较少；求一组数据的加权平均数有两种情况：一是该组数据中各数据重要程度不一，所占比例不一样，二是该组数据中有多个数据反复多次出现．
知识点2 用部分估计总体
当一组数据的个数非常多，或很难获得 ( http: / / www.21cnjy.com )全部数据时，可以从这些数据中抽出部分个体作为样本进行分析、统计，由此估计总体的特征或信息．如养鱼池里大约有多少条鱼，这些鱼大约有多重，一棵苹果树大约结多少千克苹果等，这些问题都可以用上述方法解决，因此用部分估计总体是我们解决实际问题常用的方法．
拓展 所抽取的样本容量越大，估算的总体的平均数越准确．
课堂检测
基本概念题
有5个10，3个9，4个8，则平均数是多少 (精确到0．1)
基础知识应用题
2、某人打靶，前3次每次中靶环数为9环，后7次每次中靶环数为7环，那么估计一下此人10次打靶的平均数应大于8环还是小于8环．
综合应用题
3、某公司欲招聘一名推销员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如下表：(百分制)
候选人 面试 笔试
甲 90 87
乙 84 94
(1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，依据平均成绩谁将被录取
(2)如果公司认为 ( http: / / www.21cnjy.com )作为推销员，面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权．计算甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取．
探索与创新题
4、已知两组数据 x1， x2， x3，…， xn和y1，y2，y3，…，yn的平均数分别是4和18．
(1)若 x1， x2， x3的平均数 ( http: / / www.21cnjy.com )为4，y1，y2，y3，y4的平均数为18，求 x1， x2， x3，y1，y2，y3，y4的平均数；
(2)求一组新数据6 x1，6 x2，…，6 xn的平均数；
(3)求一组新数据mx1＋ky1，mx2＋ky2，…，mxn＋kyn的平均数．
体验中考
1、小明记录了今年元月份某五天的最低温度(单位：℃)：1，2，0，－1，－2，这五天的最低温度的平均值是 ( )
A．1 B．2
C．0 D．－1
2、为了解某新品种黄瓜的生 ( http: / / www.21cnjy.com )长情况，抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图8－1所示的条形图，观察该图，可知共抽查了 株黄瓜，并可估计出这个新品种黄瓜平均每株结 根黄瓜．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 求平均数时，一定要算出数据总数与数据总个数，再求平均数．
解：平均数=≈9.1．
【解题策略】 求平均数时，分别计算出所有数据之和和总的数据个数，再作商．
2、分析 这个问题可以看成是求10次打靶的加权平均数，3和7是9环和7环的权，求出平均数后与8环进行比较．
解：=7．6(环)，7．6＜8，
即此人10次打靶的平均数小于8环．
【解题策略】 求平均数时不能简单写成＝8(环)．
3、分析 (1)面试和笔试同等重要，即它们的权各为50％；(2)面试比笔试更重要，它们的权分别是6和4，计算并比较两人的加权平均数．
解：(1)甲的平均成绩为90×50％＋87×50％=88．5(分)．
乙的平均成绩为84×50％＋94×50％=89(分)，
因为89＞88．5，所以从平均成绩看乙将被录取．
(2)甲的平均成绩为上＝88．8(分)，
乙的平均成绩为＝88(分)，
因为88．8＞88，所以从平均成绩看甲将被录取．
【解题策略】 要注意权所反映的相对“重要程度”．
4、分析 (1)求出各数据的总和 ( http: / / www.21cnjy.com )，再除以它们的个数．几个数的和等于它们的平均数乘它们的个数．(2)探索出当一组数据中的每一个数据都乘同一个非零数后，这组数据的平均数与原数据的平均数的关系即可．(3)根据(2)的结果进行求解．
解：(1)∵ x1，x2，x3，的平均数为4，y1，y2，y3，y4的平均数是18，
∴ x1＋ x2＋x3＝4×3＝12，y1＋y2＋y3＋y4＝18×4＝72，
∴x1，x2，x3，y1，y2，y3，y4的平均数是(12＋72)÷7＝12．
(2)∵x1，x2，…， xn的平均数是4，
∴ x1＋x2＋…＋ xn＝4n，
∴6x1，6x2，…，6xn的平均数＝(6 x1＋6x2＋…＋6 xn)
＝×6( x1＋x2＋…＋xn)＝24．
(3)mx1＋ky1，m x2＋ky2，…，mxn＋kyn的平均数
＝(mx1＋ky1＋mx2＋ky2＋…＋mxn＋kyn)
＝[m(x1＋x2＋… xn)＋k(y1＋y2＋…＋yn)]
＝m·(x1＋x2＋…＋xn)＋k·(y1＋y2＋…＋yn)
＝4m＋18k．
【解题策略】 若 x1， x2，…，xn的平均数是，y1，y2，…，yn的平均数是，则有如下结论：(1)kx1，k x2，…，kxn的平均数是k；(2)k x1＋a，k x2＋a，…，kxn＋a的平均数是k＋a；(3) x1＋y1， x2＋y2，…， xn＋yn的平均数是＋；(4)k x1＋ay1，k x2＋ay2，…，k xn＋ayn的平均数是k＋a．牢记以上结论或者掌握推导的方法，对解填空题、选择题有很大帮助．
体验中考
1、分析 本题主要考查算术平均数的定义：．故选c．
2、分析 本题主要考查加权平均数的定义，总株数：15＋10＋15＋20=60．平均每株结=13根黄瓜．
答案：60 13
6.2中位数与众数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、掌握中位数和众数的概念，并会求一组数据的中位数和众数．
2、通过结合具体情境，区别平均数、中位数和众数三者的差异，能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的评判．
【重点难点】
求一组数据的中位数和众数．　　
平均数、众数、中位数这三量之间的区别与联系．
知识概览图
中位数的概念：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数
众数的概念：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数
平均数、中位数、众数的关系
新课导引
【问题链接]为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果进行了民意调查．
(1)根据调查的结果决定买什么水果，那么调查的数据中最值得关注的是什么
(2)如果你是班长，你会怎样收集、整理数据并最后作出决策呢
教材精华
知识点1 中位数的概念
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据。(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
拓展 (1)中位数是一组数据的分界线，它可 ( http: / / www.21cnjy.com )能在这组数据中，也可能不在这组数据中．若这组数据的个数为奇数，则中位数在这组数据中；若这组数据的个数为偶数，则中位数可能不在这组数据中．
(2)在统计数据个数时，相等的数据不能算作是一个数据．
(3)找一组数据的中位数，一定要先严格按从小到大(或从大到小)的顺序将这组数据排序，且两种排序方法得到的中位数是相同的．
知识点2 众数的概念
一组数据—中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.
拓展 (1)若一组数据中有两个或两个以上数据出现的频数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众数．
(2)若一组数据中所有数据出现的频数都相同，此时我们说这组数据没有众数．
(3)一组数据可以 ( http: / / www.21cnjy.com )有不止一个众数，也可以没有众数，但如果一组数据存在众数，那么众数必是这组数据中的数．如一组数据4，2，3，2，2，3，5，3中，3和2出现的次数并列最多，所以3和2都是这组数据的众数，这组数据有两个众数，这两个众数都是这一组数据中的数．
知识点3 平均数、中位数、众数的关系
(1)平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的量．
(2)平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数据都有关．
平均数的优点是所有数据都参与运算，它能充分利用数据所提供的信息，因此在现实中常用；缺点是易受极端值的影响．
(3)中位数反映一组数据的一般水平．
中位数的优点是计算简单，受极端值影响较小；缺点是不能充分利用数据所提供的信息．
(4)众数只与数据出现的频数有关，不受个别数据影响，有时是我们最为关心的统计数据．
众数的优点：它是 ( http: / / www.21cnjy.com )人们特殊关心的一个量，因为它是一组数据中重复出现次数最多的一个数；缺点是当各个数据的重复次数大致相等时，众数就没有什么意义了．
规律方法小结 中位数：按低高排序，分奇偶查找．
众数：一看二找．
课堂检测
基本概念题
1、求数据1，4，3，4，3，4，5，5，2，5的中位数和众数．
基础知识应用题
2、某班4个课外兴趣小组人数如下：10，10， x，8．已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．
综合应用题
3、某公司有15名员工，他们所在的部门相应每人所创的年利润如下表所示：
部门 人数 每人所创年利润（万元）
A 1 20
B 1 5
C 2 2.5
D 4 2.1
E 2 1.5
F 2 1.5
G 3 1.2
根据表中提供的信息填空：
(1)该公司每人所创年利润的平均数是多少万元
(2)该公司每人所创年利润的中位数是 万元；
(3)你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述公司每人所创年利润的一般水平
探索与创新题
4、下表是九年级(1)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损)．
成绩（分） 50 60 70 80 90 100
人数（人） 2 5 7 3
已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分．
(1)求该班80分和90分的人数分别是多少；
(2)设此班30名学生成绩的众数为a，中位数为b，求a＋b的值．
体验中考
1、某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：
年龄（岁） 14 15 16 17 18
人数 1 4 3 2 2
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是 ( )
A.15，16 B．15，15 C．15，15．5 D．16，15
2、某商场试销一种新款衬衫，一周内销售情况如下表所示：
型号（厘米） 38 39 40 41 42 43
数量（件） 25 30 36 50 28 8
商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是 ( )
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 对于本题，要求中位数，可将 ( http: / / www.21cnjy.com )数据由小到大排列，然后取中间两个数的于均数．对于众数可能不止一个，只要出现次数相同，并且比其他数据出现的次数多，那么它们都是这组数据的众数．
解：将这组数据按从小到大顺序排列为1，2，3，3，4，4，4，5，5，5.
中间两个数都为4，它们的平均数为＝4，所以中位数是4．
因为4，5都出现了3次，且出现次数最多，所以众数为4，5．
【解题策略】 众数是出现次数最多的数据，而不是出现次数．
2、分析 因为中位数是其中两数的平均数，而 x不知其大小，故必须对 x与8，10的大小关系进行讨论．
解：平均数＝
①当 x≤8时，四个数从小到大排列为 x，8，10，10．
∴中位数＝=9．∴＝9， x=8，满足 x≤8的条件．
②当8＜ x≤10时，四个数从小到大排列为8， x，10，10．
∴中位数=．∴＝．
∴ x=8，不满足8＜ x≤10的条件．
③当 x＞10时，四个数从小到大排列为8，10，10， x.
∴中位数＝=10．∴10＝, x＝12，满足 x＞10的条件．
综上可知， x的值为8或12，当 x＝8时，中位数为9；当 x=12时，中位数为10．
3、分析 (1)(2)两问是基本知识，关键是第(3)问，要求选择更能反映接近实际情况的统计数据．
解：(1) ＝(20×1＋5×1＋2．5×2＋2．1×4＋1．5×4＋1.2×3)＝3．2(万元)．
(2)2．1
(3)中位数．
【解题策略】 个别特殊的数值对平均数具有很大的影响，但中位数和众数不受“干扰”．
4、分析 (1)设80分人数为 x， ( http: / / www.21cnjy.com )90分人数为y，则有2＋5＋7＋ x＋y＋3=30，再由平均数定义，得76×30＝50×2＋60×5＋70×7＋80 x＋90y＋100×3，两个方程组成方程组，即可求得 x，y．(2)由中位数和众数定义即可求得a，b，代入a＋b即可．
解：(1)设该班得80分的有 x人，得90分的有y人．
根据题意和平均数的定义，得：
整理得，解得
即该班得80分的有8人，得90分的有5人．
(2)因为80分出现8次且出现次数最多，所以a＝80．
第15，16两个数均为80分，所以b=80．则a＋b＝80＋80＝160．
【解题策略】 解决这类实际问题，要充分利用方程组和统计知识．
体验中考
1、分析 由众数和中位数的定义可知应选A．故选A.
2、分析 最畅销的型号即出现次数最多的数．故选B．
6.3利用计算器求平均数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、根据给定信息，会利用计算器求一组数据的平均数．
2、会进行数据的收集、加工与整理．
【重点难点】
1、探索用计算器求平均数的方法，用计算器求平均数．
2、从所给条形图中正确获取信息，并能进行加工与整理．
3、会进行数据的收集、加工与整理．
知识概览图
用计算器计算→平均数
新课导引
【问题链接】 某班第一小组 ( http: / / www.21cnjy.com )的10名学生在一次数学测验中的成绩如下(单位：分)：75，85，72，74，62，85，65，90，85，63．
(1)你能利用计算器求出这个小组的平均成绩吗
(2)如果把以上每个数据都减去75，那么所得的新数据为 ，这些新数据的平均数 是多少
(3)观察，的值，你有什么发现
教材精华
知识点 利用计算器求平均数的一般步骤
(1)打开计算器，按键 MODE 2进入统计状态．
(2)按键SHIFT AC/ON ＝清除机器中原有统计数据．
(3)输入数据，键入第一个数据并 ( http: / / www.21cnjy.com )按M＋，完成第1个数据的输入，重复上述步骤，直至输入了所有的数据为止．如果某个数据出现了n次，可先键入该数据，然后连续按，M＋ 键n次；也可以键入该数据后按键SHIFT ， ，键人该数据的次数n，再按M＋键．
(4)显示结果．按键SHIFT 1 ＝，则屏幕上自动显示出这组数据的平均数．
(5)退出．运算结束后，可按 ( http: / / www.21cnjy.com )MODE 1退出统计状态进入计算状态；也可按SHIFT AC/ON = 来清除所有数据进入下一组数据的统计工作．
拓展 (1)利用不同型号的计算器求平 ( http: / / www.21cnjy.com )均数时，按键顺序可能有所不同．使用计算器求平均数方便快捷，特别是当数据较多时，用计算器进行统计计算的优越性就会更加明显．
(2)在输入数据的过程中，如果发现刚输入的数据有误，可按DEL将它消除．
规律方法小结 因为不同型号计算器计算的顺序和功能键的位置可能不同，所以在使用前要详细阅读说明书．
课堂检测
基础知识应用题
1、为了了解某地八年级学生的学习情况，从其中的一所学校选取60人进行考试，考试分数和所占百分比情况如下表所示：
分数 70分 80分 90分 100分
人数 6 21 m
百分比 a 10%
(1)求表中的a和m的值；
(2)利用计算器求出平均分．
综合应用题
2、某中学要召开运动会 ( http: / / www.21cnjy.com )，决定从九年级全部的150名女生中选30人组成一个彩旗队(要求参加方队的同学的身高尽可能接近)，现在抽测了10名女生的身高，结果如下(单位：厘米)：166，154，151，167，162，158，160，162，158，162．
(1)依据样本数据估计九年级全体女生的平均身高是多少厘米；
(2)这10名女生的身高的中位数、众数各是多少
(3)请你依据样本数据设计一个挑选参加方队的女生的方案，并简要说明．
探索与创新题
3、某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输成了15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是多少
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 (1)100分的人数占10％，从而可求出m，用60－6－21－m可得90分的人数．(2)注意用计算器求平均数的步骤和方法．
解：(1)m＝60×10％＝6，90分的人数为60－6－21－6=27，∴a＝＝45％．
(2)进入统计状态后，依次按键7 0 ( http: / / www.21cnjy.com ) M+ M+ M+ M+ M+ M+ 8 0 M+ …M+ 9 0 M+ …M+ 1 0 0 M+…M+ SHIFT 1 =，则屏幕上显示的数据85．5就是这
组数据的平均数．
【解题策略】 在利用计算器进行运算时，要记住各键的按入次序．
2、解：(1)∵(166＋154＋151＋167＋162＋158＋160＋162＋158＋162)＝160，
∴九年级全体女生的平均身高约是160厘米．
(2)这10名女生身高的中位数是161厘米，众数是162厘米.
(3)先将九年级中身高为162厘米的所有女 ( http: / / www.21cnjy.com )生挑选出来作为参加方队的人选，如果人数不够，则以身高与162厘米的差的绝对值越小越好的标准来挑选参加方队的女生，如此继续下去，直到挑选到30人为止.
3、分析 本题知道30个数据中的一个的相应误差，要求平均数的误差，只需看它对平均数产生的“影响”．
解：15－105＝－90，
∴平均数与实际平均数的差是＝－3．
平均数
中位数与众数
6个
27个
21个