北师大版八年级上第七章平行线的证明导学案

7.1为什么要证明
学习目标、重点、难点
【学习目标】
了解通过观察、猜测得到的结论不一定正确；
要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.
【重点难点】要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.
知识概览图
你能肯定吗
新课导引
观察下图中的图形．图(1)中AB，CD的位置关系是怎样的 图(2)中线段a与b相等吗 图(3)中线段d与a，b，c哪一条在同一直线上
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【问题探究】 观察图形，图(1)中AB ( http: / / www.21cnjy.com )∥CD，图(2)中线段a＝b，图(3)中线段d与a在同一条直线上，那么你知道用什么方法来检验对上述问题回答的正确与否呢
点拨 对于上面观察得到的数学结论可以用实验验证后加以检验．
教材精华
知识点 观察和实验得到的结论可靠吗
教材中首先给出了一个几何问题，经过反复画不 ( http: / / www.21cnjy.com )同形状的四边形，反复度量，可能会得出“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”的结论，但是我们的度量准确吗 我们所画的几个四边形有足够的代表性吗 我们的结论肯定能成立吗
教材中给出的第二个例子是“对于所有自然数n ( http: / / www.21cnjy.com )，n2-n+11的值都是质数吗 ”这是一个十分容易得出错误结论的问题．事实上，当n=0，1，2，…，9，10时，n2-n+11的值都是质数，而当n＝11时，n2-n+11＝112变成了合数．当我们依次对自然数进行实验时，若次数达不到11，则很可能得出错误结论．
教材中给出的第三个例子是“用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大 能放进一颗红枣吗 能放进一个拳头吗 ”这个问题若凭直觉去判断，偌大一个地球，围赤道的铁丝仅比赤道长1 m，那还剩什么间隙了，但实际计算一下，又会让人感到意外，铁丝与地球赤道之间的间隙为(C表示赤道的周长)≈0.16(m)，这样的间隙不仅可以放进一颗红枣，而且也能放进一个拳头．
通过上面几个例子，会使我们 ( http: / / www.21cnjy.com )产生这样的认识：通过观察、验证、归纳、猜想所得出的结论未必是正确的，是值得怀疑的．这样就引出了一个问题——如何判断一个数学结论的正确与否呢
拓展 (1)依靠经验、观察或实验能发 ( http: / / www.21cnjy.com )现一些数学结论．(2)要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须进行推理，这也就是证明的必要性．(3)检验数学结论的常用方法：①实验验证；②举出反例；③推理．(4)遇到问题要大胆猜测并尝试用所学知识证明结论．
课堂检测
基础知识应用题
1、当n为正整数时，式子n2+n+41的值都是质数吗
综合应用题
2、观察下列各式及其验证过程．
验证：2
3
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果，并进行验证；
(2)针对上述各式所反映的规律，写出用n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式，并进行验证．
探索创新题
3、如图6-2所示，线段AM∥DN，直线l与AM， DN分别交于点B，C，直线l绕BC的中点P旋转(点C由 D点向N点方向移动)．
(1)线段BC与AD，AB，CD围成的图形在初始状态下，形状是△ABD(即△ABC)，请你写出变化过程中其余的各种特殊四边形的名称；
(2)任取变化过程中的两个图形，测 ( http: / / www.21cnjy.com )量AB，CD的长度后，分别计算每一个图形中的AB+CD(结果精确到1 cm)，比较这两个和是否相等，试说明理由．
体验中考
1、如图6-5所示的是一组有规律的 ( http: / / www.21cnjy.com )图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n(n是正整数)个图案中由 个基础图形组成．
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2、如图6—6所示，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE＝AB，过点C作CF⊥DE，垂足为E．
(1)猜想AD与CF的大小关系；
(2)请证明猜想的结论．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 本题主要考查举出反例的方法来判断问题．
解：当n＝40时，式子n2+n+41＝402+40+41＝412，412不是质数．
∴当n为正整数时，式子n2+n+41的值不都是质数．
【解题策略】 解此题的方法是举出反例对问题作出判断．
2.解：（1）4
验证：4
(2)由题设及(1)可猜想：对于任意自然数n(n≥2)，
都有n
验证：n
＝
【解题策略】 此题运用由特殊到一般的思想对问题作出猜想，并加以推理论证．
3、分析 此题用动态的思维方式来研究图形的变化情况．CB以中点P为中心，点C由D点向N点移动，且CB是按顺时针方向旋转的．
解：(1)其余的各种特殊四边形分别为一般梯形、等腰梯形、直角梯形和平行四边形．
(2)经测量、计算，两个图形中的AB+CD都相等．如图6-3所示，过点P作PP′∥AM，交AD于点P′，
∴PP′是梯形AB1C1D的中位线，
∴AB1+C1D＝2PP′．同理AB2+C2D＝2PP′，
∴这两个和是相等的．
体验中考
1、 分析 第(1)个图中有4个基础图形，即3×1+1．
第(2)个图中有7个基础图形，即3×2+1．
第(3)个图中有10个基础图形，即3×3+1．
第(4)个图中有13个基础图形，即3×4+1．
……
第n个图中有3·n+1＝3n+1．故填3n+1．
【解题策略】 解决本题的关键是准确地找出其中的规律．
2、 分析 通过观察，再根据已知条件，可猜想AD＝CF．再运用理论进行推理论证猜想的结论正确．
解：(1)AD＝CF．
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，
∴∠AED＝∠FDC，
∵DE＝AB＝CD．
又∵CF⊥DE，∴∠CFD＝∠A＝90°，
在△AED和△FDC中，(∠A＝∠CFD，∠AED＝∠FDC， DE＝DC)，
∴△AED≌△FDC，∴AD＝CF．
7.2定义与命题
学习目标、重点、难点
【学习目标】
定义和命题的含义；会判断某些语句是不是命题；
了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论；
了解命题中的真命题、假命题、定理的含义；
【重点难点】
1、定义和命题的含义
2、命题的构成，能区分命题中的条件和结论
3、命题中的真命题、假命题、定理的含义
知识概览图
定义与命题
新课导引
我们前面学习了很多数学语句，如：能使方程成立的未知数的值，叫做方程的解；三角形的内角和等于180°．
【问题探究】 阅读上述语句你发现有什么特点
点拨 第一句是对“方程的解”的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出“方程的解”的定义；第二句是判断一件事情的句子，我们把它叫做命题．
教材精华
知识点1 定义
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．
例如：“有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角；是“对顶角”的定义.
拓展 在定义中，必须提示该事物与其他事物的本质属性的区别，定义必须严密．
知识点2 命题
判断一件事情的句子，叫做命题．
例如：张平的爸爸是劳动模范；同位角相等，两直线平行；老虎会爬树；小红每次考数学，成绩都是全班第一．这些都是命题．
知识点3 命题的条件和结论
每个命题都由条件和结论两部分组成，条件是已知 ( http: / / www.21cnjy.com )的事项，结论是由已知事项推断出的事项．一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．
例如：命题“如果a＝b，b＝c，那么a＝c”中，“a＝b，b＝c”是条件，“a＝c”是结论．
又如：命题“矩形的四个顶角都相等”中，“矩形”是条件，“四个顶角都相等”是结论.
知识点4 真命题与假命题
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．
例如：“如果一个三角形中有 ( http: / / www.21cnjy.com )两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”是真命题；“菱形的四个角都相等”是假命题；“等边三角形的三个内角都是60°”是真命题．
要说明一个命题是假命题， ( http: / / www.21cnjy.com )通常可以举一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．当说明一个命题是假命题时，常举一个反例．
例如：“若a2=b2，则a＝b”这一命题，我们知道(-2)2＝22，但-2≠2，由此可判断“若a2＝b2，则a＝b”是假命题．
知识拓展 “错误的命题不是命题”是错误的，实际上错误的命题也是命题.
知识点5 公理、定理、证明
挑选一部分数学名词和一部分公认的真命题 ( http: / / www.21cnjy.com )作为证实其他命题的起始依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理．除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明．经过证明的真命题称为定理．
本套教材所选用的公理如下．
1．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
3．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
4．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
5．三边对应相等的两个三角形全等．
6．全等三角形的对应边相等、对应角相等．
此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理．
例如：“如果直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c“那么a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”是定理．
又如：“经过平移，对应线段、对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等”是定理．
如何证明将在以后的几节中介绍．
课堂检测
基础知识应用题
1、判断下列句子是不是命题．
(1)人离不开空气；
(2)洪水滔滔；
(3)若a>b，b>c，则a>c；
(4)自然数不是负数；
(5)我们现在学习的图形主要是平面图形；
(6)延长线段AB；
(7)梯形中没有相互平行的线段．
2、下列命题的条件是什么 结论是什么 是真命题还是假命题
(1)每一个有理数都对应数轴上的一个点；
(2)一个三角形的三个内角中，可能有两个钝角；
(3)小红的三角板中有—个钝角；
(4)任何一条线段都是由无数个点组成的．
综合应用题
3、下列语句中，哪些是命题 哪些不是命题 如果是命题．指出它是真命题还是假命题．
(1)小于直角的角是锐角；
(2)一个角的补角只有一个；
(3)∠l与∠2是同旁内角吗
(4)直线AB与CD相交于点C；
(5)平面内两条相交直线不可能垂直于同一条直线．
探索创新题
4、某中学开田径运动会，其中一个项目是由5名运动员进行100米短跑比赛，赛后5名观众介绍了这场比赛结果：
甲说：“A是第二名，B是第三名．”
乙说：“C是第三名，D是第五名．”
丙说：“D是第一名，C是第二名.”
丁说；“A是第二名，E是第四名．”
戊说：“B是第一名，E是第四名．”
他们最后都声明：“我们的话只有一半是真的．”求这5名运动员的名次究竟各是多少.
体验中考
1、判断下列两个结论：①正三角形是轴对称图形，②正三角形是中心对称图形，正确的是 ( )
A. ①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
2、已知下列命题：①若|x|＝3，则x ( http: / / www.21cnjy.com )＝3；②当a>b时，若c>0，则ac>bc；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④矩形的两条对角线相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 看一个句子是不是命题，主要看这个句子里是否隐含着条件和结论这两个部分，或者这个句子能否改写咸“如果……那么……”的形式．
解：(1)是． (2)不是． (3)是． (4)是． (5)是． (6)不是． (7)是．
【解题策略】 根据命题的概念及结论来判断
2解：(1)条件是“每一个有理数”，结论是“都对应数轴上的一个点”．是真命题．
(2)条件是“一个三角形的三个内角中”，结论是“可能有两个钝角”．是假命题．
(3)条件是“小红的三角板”，结论是“其中有一个钝角”．是假命题．
(4)条件是“任何一条线段”，结论是“都是由无数个点组成的”．是真命题．
3、分析 命题是判断某一件事情的 ( http: / / www.21cnjy.com )句子，即命题一定要对某件事情下结论，不管这个结论是正确的还是错误的，因此疑问句或一般陈述句都不是命题，即(3)(4)都不是命题．命题中如果结论正确就是真命题，如果结论错误就是假命题，而不必管其语句的形式是肯定还是否定．在本题所给的语句中，(2)显然是混淆了补角与邻补角的概念，所以(2)是假命题．
解：(1)(2)(5)是命题；(1)(5)是真命题；(2)是假命题．
【解题策略】 首先找出命题，再从命题中指出真命题；学会利用反例来证明一个命题是错误．
4、分析 我们将5名观众介绍的结果列成 ( http: / / www.21cnjy.com )表，用打“√”和打“×”来分别表示他们说真话和说假话，由于他们每人的介绍半真半假，故表中每行都应打一“√”和一“×”，从甲的介绍入手讨论，有两种情况(分别见表1和表2)．
表1
A B C D E
甲 2√ 3×
乙 3√ 5×
丙 2× 1√
丁 2√ 4×
戊 1√ 4×
表2
A B C D E
甲 2× 3√
乙 3× 5√
丙 2√ 1×
丁 2× 4√
戊 1× 4√
解：①若甲认为A为第二名是真的，则B ( http: / / www.21cnjy.com )为第三名是假的，这样可以依次推出：丙认为D为第一名是真的，丁认为E为第四名是假的，戊认为B是第一名是真的，这样B，D都是第一名．从而产生了矛盾，这种情况应舍去(见表1)．②若甲认为A为第二名是假的，则B为第三名是真的，这样可以依次推出：乙认为D为第五名是真的，丙认为C为第二名是真的，丁认为E为第四名是真的，戊认为B为第一名是假的(见表2)．所以A，B，C，D，E的名次分别为1，3，2，5，4．
体验中考
1、分析 本题是考查轴对称图形和中心对称图形的概念，正三角形是轴对称图形，有三条对称轴，但它不是中心对称图形而是旋转对称图形．故选C．
解题策略 解决本题的关键是把握好轴对称图形和中心对称图形的概念.
2、分析 原命题与逆命题均为真命题的有②③．故选B．
7.3为什么它们平行
学习目标、重点、难点
【学习目标】
熟练掌握证明的基本步骤和书写格式；
会根据“同位角相等，两直线平行”（公理）证明“同旁内角互补，两直线平行”“内错角相等，两直线平行”（定理），并能应用这些结论.
【重点难点】
证明的基本步骤和书写格式
两直线平行的判定公理及两个判定定理
知识概览图
为什么它们平行
新课导引
同学们在物理中学到了潜望镜，如右图所示，在镜管中，AB与CD是两块与水平方向成45°角的平面镜，这样水面上的光线就可以进入到人的眼睛．
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【问题探究】 观察上图可知入射光线与射入到人眼的光线是平行的，你知道它们为什么平行吗
点拨 因为内错角相等，两直线平行.
教材精华
知识点1 两直线平行的判定公理及两个判定定理
两直线平行的判定公理．
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．
两直线平行的判定定理．
(1)两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
知识点2 利用已有知识证明简单的几何问题
证明步骤：(1)根据题意画出图形；(2)依照所画图形，将条件写为已知，结论写为求证；（3）根据已有的定义、定理进行推理论证．
知识拓展 (1)当题中给出图形、已知 ( http: / / www.21cnjy.com )、求证时，直接论证即可；(2)为了方便，在证明过程中，用“∵”’代替因为，“∴”代替所以．分别读作因为、所以．
规律方法小结 1．有关平行线的判定如下表：（推论 的概念以后将学到）
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2．证明两条直线平行有以下几种 ( http: / / www.21cnjy.com )方法：(1)从“角”的方面去考虑，即去找同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补．(2)证平行四边形，得对边平行.（3）三角形三条中位线分别平行于三边．(4)梯形中位线平行于两底．(5)证比例线段，得两直线平行.
课堂检测
基础知识应用题
1、如图6-14所示，直线a，b与直线 ( http: / / www.21cnjy.com )c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠3＝180°．其中能判定a∥b的是 ( )
A．①②③④ B．①③④
C．①③ D. ②④
综合应用题
2、如图6-16所示，根据图形及上下文的含义推理并填空．
(1)∵∠A＝ (已知)，∴AC∥ED( )；
(2)∵∠1＝ (已知)，∴AC∥ED( )；
(3)∵∠A+ ＝180°(已知)，∴AB∥FD( )；
(4)∵∠1+ ＝180°(已知)，∴AC∥DE( )．
探索创新题
3、已知如图6-18所示，∠1＝∠2，OE⊥OA于点O，EH⊥CD于点H，∠5＝∠6．求证BE∥AO．
体验中考
1、如图6-20所示，已知∠l＝∠2，∠3＝55°，则∠4的度数是 ( )
A．110° B．115°
C．120° D．125°
2、如图6-2l所示，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1＝130°，则∠2等于 ( )
A．40° B．50°
C.130° D．140 °
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 本题主要考查判断两直线平行的方法 ( http: / / www.21cnjy.com )及对顶角、邻补角的性质．∵∠1＝∠2，∴a∥b(内错角相等，两直线平行)．∵∠4+∠7＝180°，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．∵∠2＝∠3，∴∠5+∠3＝∠5+∠2＝180°，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．故选B.
解题策略 熟练掌握平行线判定方法.
2分析 本题主要考查两直线平行的判定方法．
答案：(1)∠BED 同位 ( http: / / www.21cnjy.com )角相等，两直线平行 (2)∠DFC内错角相等，两直线平行 (3)∠AFD 同旁内角互补，两直线平行 (4)∠DFA同旁内角互补，两直线平行.
【解题策略】 灵活运用平行线的判定方法．
3、证明：∵OE⊥OA，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠4＝90°．
又∵EH⊥CD，∴∠4+∠6＝90°．
∴∠1＝∠6．又∵∠5＝∠6，∴∠1＝∠5．
又∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠2．
∴BE∥AO(内错角相等，两直线平行)．
【解题策略】 要证BE∥AO，则需找BE，AO被OB所截得到的内错角，即证∠2=∠5即可.
4、分析 我们将5名观众介绍的结果列 ( http: / / www.21cnjy.com )成表，用打“√”和打“×”来分别表示他们说真话和说假话，由于他们每人的介绍半真半假，故表中每行都应打一“√”和一“×”，从甲的介绍入手讨论，有两种情况(分别见表1和表2)．
表1
A B C D E
甲 2√ 3×
乙 3√ 5×
丙 2× 1√
丁 2√ 4×
戊 1√ 4×
表2
A B C D E
甲 2× 3√
乙 3× 5√
丙 2√ 1×
丁 2× 4√
戊 1× 4√
解：①若甲认为A为第二名是真的，则B为 ( http: / / www.21cnjy.com )第三名是假的，这样可以依次推出：丙认为D为第一名是真的，丁认为E为第四名是假的，戊认为B是第一名是真的，这样B，D都是第一名．从而产生了矛盾，这种情况应舍去(见表1)．②若甲认为A为第二名是假的，则B为第三名是真的，这样可以依次推出：乙认为D为第五名是真的，丙认为C为第二名是真的，丁认为E为第四名是真的，戊认为B为第一名是假的(见表2)．所以A，B，C，D，E的名次分别为1，3，2，5，4．
体验中考
1、分析 本题主要考查直线截平行线所成 ( http: / / www.21cnjy.com )角的位置关系，由图6—20可知∠4＝∠5，∠2＝∠6，由∠1＝∠2可知∠1＝∠6，故l1∥l2，所以∠3+∠5＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，故∠4＝∠5＝180°-∠3＝180°-55°＝125°.故选D.
2、分析 因为AB∥CD，∠l与∠2为同位角，所以∠2＝∠l＝130°．故选C．
7.4平行线的性质
学习目标、重点、难点
【学习目标】
了解平行线性质定理和判定定理在条件和结论上的区别，体会互逆的思维过程；
能熟练应用平行线的性质公理及定理
【重点难点】两直线平行的性质公理及两个性质定理
知识概览图
如果两条直线平行
新课导引
你能测量如右图所示的斜坡的倾斜程度吗
工人师傅是这样做的：将量角器斜放在坡面上，取中心点引直线BC，当BC平行于水平面时，这时得到的角β的度数就是坡角α的度数.
教材精华
知识点 两直线平行的性质公理及两个性质定理
两直线平行的性质公理.
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等(两直线平行，同位角相等)．
两直线平行的性质定理．
(1)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等(两直线平行，内错角相等)．
(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补(两直线平行，同旁内角互补)
平行线的性质补充结论．
(1)垂直于两平行线之一的直线必垂直于另一条直线．
(2)夹在两平行线问的平行线段相等．
(3)两条平行线间的距离处处相等.
(4)经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．
(5)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或者互补.
课堂检测
基础知识应用题
1、如图6-31所示，已知∠3＝∠4，若要使∠l＝∠2，则需 ( )
A．∠l＝∠3 B. ∠2＝∠3
C. ∠l＝∠4 D．AB∥CD
综合应用题
2、已知如图6-34所示，AB∥CD，∠1＝∠3．求证AC∥BD．
探索创新题
3、已知如图6-38所示，C，P，D在同一直线上，∠BAP与∠APD互补，∠1＝∠2．求证∠E＝∠F．
体验中考
1、如图6-40所示，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB，若∠AEC＝100°，则∠D等于 ( )
A．70° B．80° C．90° D．100°
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 当AB∥CD时，∠1+∠3＝∠2+∠4(两直线平行，内错角相等)．又∠3＝∠4，所以∠1＝∠2．故选D.
【解题策略】 把已知条件和要求证的结论在一起分析可知，需要∠BAD＝∠CDA，因此需条件AB∥CD
2.证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＝∠3(已知)，
∴∠3＝∠2(等量代换)．
∴AC∥BD(同位角相等，两直线平行)．
【解题策略】 此题在证明过程中首先使用了平行线的性质定理，然后又使用了平行线的判定公理，使证明的过程有了初步的综合性.
3、分析 图中线段较多，所注字母也较多，应 ( http: / / www.21cnjy.com )思路清晰．题中要证∠E＝∠F，显然必须先证AE∥FP，而要证得此结论，只有一对内错角可入手；再由已知两角互补能推出AB∥CD，这时能得出内错角∠BAP＝∠APC，再加上∠1＝∠2，便可推出所要证的结论．
证明：∵∠BAP与∠APD互补(已知)，
∴AB∥CD(同旁内角互补．两直线平行)．
∴∠BAP＝∠APC(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠EAP＝∠BAP-∠2＝∠APC-∠1＝∠APF(等式的性质)．
∴AE∥FP(内错角相等，两直线平行)．
∴∠E＝∠F(两直线平行，内错角相等)．
【解题策略】 两条直线平行的判定、性质的应用，注意它们的区别．
体验中考
1、分析 由题意知∠D＝∠BEC＝180°-∠AEC=180°-100°＝80°．故选B．
7.5三角形内角和定理的证明
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用
2、体会思维实验和符号化的理性作用
【重点难点】“三角形内角和定理”的证明及其简单应用
知识概览图
三角形内角和定理
新课导引
在探究“勾股定理”时，我们应用拼图的方法，如右图所示，图形I与Ⅱ是30°角的直角三角板，图形Ⅲ是45°角的直角三角板，由面积公式得，所以a2+b2=c2．
教材精华
知识点1 三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°．
拓展 直角三角形两锐角互余．
知识点2 三角形内角和定理的证明
已知△ABC，如图6-58所示．
求证∠A+∠B+∠C＝180°．
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证法1：如图6-58所示，作BC的延 ( http: / / www.21cnjy.com )长线CD，过点C作CE∥BA，则∠1＝∠A，∠2＝∠B．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．
证法2：如图6-59所示，过点A作PQ ( http: / / www.21cnjy.com )∥BC，则∠1＝∠B，∠2＝∠C．∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°.
本定理还有多种证法，如图6-60所示，过 ( http: / / www.21cnjy.com )点P(点P在三角形的一边上或三角形内部或三角形外部)作AB，BC，CA的平行线，你发现如何证明了吗 试一试吧!
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拓展 三角形内角和定理的证明思路：作平行线转移三角形的一个或两个或三个内角，构造平角．
课堂检测
基本概念题
1、如图6-61所示，在△ABC中，∠C＝90°，试说明∠A+∠B=90°．
基础知识应用题
2、如图6-62所示，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A=35°，则∠BDC的度数为 ．
综合应用题
3、已知如图6-65所示，AB∥CD．求证∠P＝∠A+∠C．
探索创新题
4、在△ABC中，∠B比∠A的2倍少5°，∠C比∠A多21°，求∠A，∠B，∠C的度数．
体验中考
1在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为 ( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
2、若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为 ( )
A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、解：在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°．
【解题策略】 也就是说“直角三角形两锐角互余”.
2. 分析 本题主要考查三角形内 ( http: / / www.21cnjy.com )角和定理．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A=35°，∠1=20°，∴∠2＝25°，∴∠DBC+∠DCB＝100°．在△BCD中，∠BDC＝180°-∠DBC-∠DCB＝80°．故填80°．
【解题策略】 灵活运用三角形内角和定理．
3、分析 连接AC，构造三角形，应用三角形内角和定理及平行线性质进行证明．
证明：如图6-65所示，连接AC，∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°．
即∠BAP+∠CAP+∠ACP+∠PCD＝180°．
∵∠CAP+∠ACP+∠P＝180°，∴∠P+180°-∠BAP-∠PCD＝180°，
∴∠P＝∠BAP+∠PCD．
【解题策略】 此题作辅助线的方法很多，可以过点P作AB或CD的平行线，也可以延长AP(或延长CP)均可解决此题.
4、分析 本题考查三角形内角和定理与方程的综合应用.根据题意列出方程，解方程即可求出各角的度数．
解：设∠A等于x°，则∠B＝(2x-5)°，∠C＝(x+21)°．
∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x°+(2x-5)°+(x+21)°＝180°．
解这个方程，得x＝41．
∴2x-5＝2×41-5＝77，x+21＝41+21＝62．
∴∠A＝41°，∠B＝77°，∠C＝62°．
【解题策略】 运用方程思想解决几何问题.
体验中考
1、分析 本题主要考查三角形内角和定理，∠A＝180°-∠B-∠C=60°．故选D．
2、分析 本题考查等腰三角形性质及 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形内角和定理．50°角既可以作为顶角也可以作为底角．当50°角作为底角时，顶角为180°-2×50°＝80°，所以这个等腰三角形的顶角的度数为50°或80°．故选D