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17.1《一元二次方程》导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_________
学习目标
1.掌握一元二次方程的概念，会判别某些方程是否是一元二次方程，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）.
2.弄清一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
3.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.
学习重点与难点：
重点：把一元二次方程整理成一般形式，会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
难点：把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）.
学习过程
课前预习：
问题1：某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为100t，计划2011年无公害蔬菜的产量比2009年翻一番（即为200t）要实现这一目标，2010年和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
分析：如果设这个队2010～2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率为x，那么：2010年无公害蔬菜产量为100+100x＝100(1+x)(t)；2011年无公害蔬菜产量为:
100(1+x)+100(1+x) ﹒x=100(1+x)2(t).
根据题意，2011年无公害蔬菜产量为200t，得：100(1+x)2＝200，
即 (1+x)2＝2
整理，得：x2+2x+1＝0
问题2：在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛，如图17-2，要使花坛的总面积为570m2(图中长度的单位：m)，问小路的宽应是多少？
分析：设小路的宽是xm,则横向小路的面积是32xm2,纵向小路的面积是2x20xm2，两者重叠部分的面积是2x2m2。由于花坛的总面积是570m2，则
32x20-(32x+2x20x)+2x2=570
整理，得
x2-36x+35=0
课内探究学习：
探究1：x2+2x+1＝0，x2-36x+35=0这两个方程和以前学过的一元一次方程有什么异同？它们有什么特点？
师：方程中未知数的个数、次数各是多少？
【答案】方程中有一个未知数，未知数的次数是2
2．总结归纳：一元二次方程的概念
像这样的等号两边都是 ，只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.
【答案】整式，一，2
例题解答：
例1 :下列方程中哪些是一元二次方程？
（1）x－2x2+ （2）4x2－3x－1＝0 （3）ax2+bx+c＝0
（4）x(x+1)－2＝0 （5）a2+＝0 （6）(m－2)2＝1
【答案】（2）（3）（4）（6）是一元二次方程
2.归纳：一元二次方程的一般形式___________________________________ .
想一想：为什么要限制a≠0，可以为0吗？
【答案】ax2+bx+c=0
其中a不能为0，因为若a=0，则二次项系数为0，就不存在二次项系数了，就不再是一元二次方程了。
思考：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）中的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少？
【答案】二次项系数是a,一次项系数是b,常数项是c
精典例题：
将方程3x(x-1)=2(x-2)-4化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项。
解：去括号，得：
3x2-3x=2x-4-4
移项，合并同类项，得方程的一般形式：
3x2－5x+8=0；
二次项系数为3；一次项系数为－5；常数项为8.
随堂练习
1.下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；形如叫做一元二次方程的一般式．
【详解】解：A、含有三个未知数，故该选项不合题意；
B、是一元二次方程，故该选项是符合题意；
C、未知数的最高次数是1，故该选项不合题意；
D、未知数的最高次数是2，但不是整式，故该选项不合题意；
故选：B．
2.如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断．本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，
故，
故选B．
3.已知为一元二次方程的根，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，进而得到．，再由，利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵为一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故选D．
4.把一元二次方程化为一般形式,二次项系数，一次项系数,常数项分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程定义问题,完全平方公式．形如“”的形式是关于的一元二次方程的一般形式，根据定义即可选出答案．
【详解】解:∵
∴，
∴一般形式为:，
∴二次项系数为，一次项系数常数项，
故选:C．
小结与思考
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c＝0的形式，我们把ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
巩固练习
1.若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的一般形式，得到，即可．掌握一元二次方程的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵是一元二次方程，
∴；
故选：C．
2.将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式即可得到答案．
【详解】解：
，
∴将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为，
故选B．
3.若是关于的一元二次方程的一个根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：
故答案为：．
4.一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 ，m是的一个根，则的值为 ．
【答案】 6 2020
【分析】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程的根，整体代入求值；直接根据方程即可得到第一空的答案；根据m是的一个根可得，再对进行变形，最后代入求值即可得第二空的答案．
【详解】解：，
，，，
；
是的一个根，
，
，
；
故答案为：6；2020．
5.已知m为一元二次方程的一个根，则代数式的值为
【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
先利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，
，
∴，
∴．
故答案为：2025．
6．若关于x的一元二次方程的一个实数根是a，则的值为 .
【答案】
【分析】本题考查了理解方程解的含义，把代入得，利用方程进行等式变形即可求解．
【详解】解：把代入得，
∴，
∴
，
故答案为：．
7.已知关于x的方程
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了一元一次方程的定义以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
（1）根据一元一次方程的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵是一元一次方程，
∴，
解得．
即时，此方程是一元一次方程；
（2）∵是一元二次方程，
∴，
解得．
即时，此方程是一元二次方程．
学习反思
通过本节课的学习你有哪些收获？还有哪些困惑？
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班级________ 姓名_____________ 组别_________
学习目标
1.掌握一元二次方程的概念，会判别某些方程是否是一元二次方程，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）.
2.弄清一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
3.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.
学习重点与难点：
重点：把一元二次方程整理成一般形式，会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
难点：把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）.
学习过程
课前预习：
问题1：某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为100t，计划2011年无公害蔬菜的产量比2009年翻一番（即为200t）要实现这一目标，2010年和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
问题2：在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛，如图17-2，要使花坛的总面积为570m2(图中长度的单位：m)，问小路的宽应是多少？
课内探究学习：
探究1：x2+2x+1＝0，x2-36x+35=0这两个方程和以前学过的一元一次方程有什么异同？它们有什么特点？
师：方程中未知数的个数、次数各是多少？
2．总结归纳：一元二次方程的概念
像这样的等号两边都是 ，只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.
例题解答：
例1 :下列方程中哪些是一元二次方程？
（1）x－2x2+ （2）4x2－3x－1＝0 （3）ax2+bx+c＝0
（4）x(x+1)－2＝0 （5）a2+＝0 （6）(m－2)2＝1
2.归纳：一元二次方程的一般形式___________________________________ .
想一想：为什么要限制a≠0，可以为0吗？
思考：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）中的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少？
精典例题：
将方程3x(x-1)=2(x-2)-4化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项。
随堂练习
1.下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2.如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
3.已知为一元二次方程的根，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
4.把一元二次方程化为一般形式,二次项系数，一次项系数,常数项分别为（ ）
A． B． C． D．
小结与思考
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c＝0的形式，我们把ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
巩固练习
1.若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2.将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A． B． C． D．
3.若是关于的一元二次方程的一个根，则 ．
4.一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 ，m是的一个根，则的值为 ．
5.已知m为一元二次方程的一个根，则代数式的值为
6．若关于x的一元二次方程的一个实数根是a，则的值为 .
7.已知关于x的方程
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
学习反思
通过本节课的学习你有哪些收获？还有哪些困惑？
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