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17.2一元二次方程的解法(1)导学案
—直接开平方法、配方法
班级_______ 姓名________________ 组别_______
学习目标
1.了解一元二次方程的解法 — 直接开平方法；
2.会用直接开平方法解一元二次方程；
3.掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.
学习重难点：
重点：会用直接开平方法和用配方法解一元二次方程；
难点：理解掌握配方法的推导过程和配方的数学思想.
学习过程
一、课前预习，自主学习
1.请写出完全平方公式。
= =
2.填一填
（1）x2+2x+_______＝(x+______)2 （2）x2－8x+_______＝(x－____)2
（3）y2+5y+_______＝(y+______)2 （4）y2－y+______＝(y－____)2
3.说说什么叫做一元二次方程？
4.如果x2＝a(a≥0)，那么x叫做a的______
5.你会求x2＝9中的x的值吗？
【答案】1.a2+2ab+b2;a2-2ab+b2
2.(1)1,1 (2)16,4 (3), (4),
3.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
4.解
5.x=+3
二、课内探究，合作学习
探究1：
对于形如x2＝9的一元二次方程，我们可以通过求一个正数的平方根的方法来求解，我们称之为这种解一元二次方程的方法叫做___________.
【答案】直接开平方法
练一练：
（1）x2＝81 （2）x2－0.01＝0
（3）2(x+2)2＝18 （4）3(x－1)2＝27
【答案】（1）9 （2）0.1 （3）1 （4）4
探究2：
怎样解一元二次方程x2+2x-1＝0？
解：把常数项移到等号右边，得
x2+2x=1
对等号左边配方，得
x2+2x+1=1+1
即：（x+1)2=2
这时，对上式直接开平方，得
x+1=
所以原方程的根是
x1=-1,x2=--1
同伴交流：
什么叫做配方法？用配方法解一元二次方程有哪些步骤？
【答案】将一元二次方程配成（x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解的方法叫做配方法。
一般步骤：
把原方程化为一般形式
方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边
方程两边同时加上一次项系数一半的平方
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数
（5）进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根
经典例题：
用配方法解下列方程
（1）x2－4x－1＝0； （2）2x2－3x－1＝0
解：（1） x2－4x-1＝0
移项，得：x2－4x＝1，
配方，得：x2－4x+22＝1+4，
即：(x－2)2＝5，
开平方，得：x－2＝±，
∴原方程的解为：x1＝2+，x2＝2-.
（2） 2x2－3x－1＝0
解：移项，得：2x2－3x＝1
把二次项系数化为1，得：x2－x＝，
配方，得：x2－x+()2＝+，
即：(x－)2＝，
开平方，得：x－＝±，
∴原方程的解为：x1＝，x2＝－.
随堂练习：
1.将方程化为的形式，则的值为( )
A． B． C．5 D．11
【答案】C
【分析】本题考查解一元二次方程之配方法，利用完全平方公式整理后得，即可求出与的值．
【详解】解：方程，
变形得：，
配方得：，即，
则，，
故，
故选：C．
2．把方程配方后，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤：一移，二配，三变形，进行求解后，判断即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴；
故选A．
3．用配方法解方程，配方正确的是( )
A． B．( C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程中的配方法，熟练掌握解一元二次方程中的配方法的步骤是解题的关键．
【详解】解：∵，
移项得：，
配方法，方程左右同加得：，
∴，
故选：B．
4．用配方法解方程：，配方后所得的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查配方法解方程．根据题意先将方程常数项移项到等号右侧，再把左边进行配方即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴移项得：，
配方得：，
整理得：，
故选：C．
5.用配方法解一元二次方程：．第一步化二次项系数为1，得 ，方程两边同时加 ，配方得 ．
【答案】 1
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟记相关步骤即可求解．
【详解】解：化二次项系数为1得：；
配方，方程两边同时加1得：；
∴，
故答案为：①；②1；③
6．用配方法解方程时，配方后可得 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了配方法，灵活运用完全平方公式是解题的关键
先给方程两边同时加上1，然后给方程左边运用完全平方公式化简即可解答．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
7．用配方法解方程时，可将方程变化成，则的值是 ．
【答案】13
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，以及知道字母的值，求代数值的值．
【详解】解：，
，
，
，
∴，，
，
故答案为：13．
8．已知，代数式 ．
【答案】
【分析】本题考查配方法的应用，解题的关键是掌握，把变形为：，再代入代数式，即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
9.用配方法解下列方程.
（1） （2）．
（3） （4）
【答案】（1），
，
(3)，
（4），
【分析】（1）本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：第一种情况：形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．第二种情况：形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方．在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
（2）利用配方法解方程即可．
（3）利用配方法解一元二次方程即可；
（4）本题考查了解一元二次方程，利用配方法求解即可，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：移项，得
配方，得
，
即，
开方，得
解得，
（2）解：
，
（3）
解得：，．
（4），
，
，
，
，
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
三、课后练习
1.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁
【答案】C
【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握利用配方法解一元二次方程的步骤是解本题的关键．本题逐步分析各位同学的方程变形即可得到答案．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，，
∴接力中，自己负责的一步出现错误的是甲和丙，
故选：C．
2．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．
【详解】解：
即
∴，即，
故选：D．
3．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据配方法的关键点“等式两边加上一次项系数一半的平方”进行求解即可．
【详解】解：
；
故选D．
4．用配方法解方程时，配方法所得的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法的方法步骤是解本题的关键．方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．
【详解】解：方程，
变形得：，
配方得：，即
故选：B．
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—直接开平方法、配方法
班级_______ 姓名________________ 组别_______
学习目标
1.了解一元二次方程的解法 — 直接开平方法；
2.会用直接开平方法解一元二次方程；
3.掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.
学习重难点：
重点：会用直接开平方法和用配方法解一元二次方程；
难点：理解掌握配方法的推导过程和配方的数学思想.
学习过程
一、课前预习，自主学习
1.请写出完全平方公式。
= =
2.填一填
（1）x2+2x+_______＝(x+______)2 （2）x2－8x+_______＝(x－____)2
（3）y2+5y+_______＝(y+______)2 （4）y2－y+______＝(y－____)2
3.说说什么叫做一元二次方程？
4.如果x2＝a(a≥0)，那么x叫做a的______
5.你会求x2＝9中的x的值吗？
二、课内探究，合作学习
探究1：
对于形如x2＝9的一元二次方程，我们可以通过求一个正数的平方根的方法来求解，我们称之为这种解一元二次方程的方法叫做___________.
练一练：
（1）x2＝81 （2）x2－0.01＝0
（3）2(x+2)2＝18 （4）3(x－1)2＝27
探究2：
怎样解一元二次方程x2+2x-1＝0？
同伴交流：
什么叫做配方法？用配方法解一元二次方程有哪些步骤？
经典例题：
用配方法解下列方程
（1）x2－4x－1＝0； （2）2x2－3x－1＝0
随堂练习：
1.将方程化为的形式，则的值为( )
A． B． C．5 D．11
2．把方程配方后，得（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程，配方正确的是( )
A． B．( C． D．
4．用配方法解方程：，配方后所得的方程是（ ）
A． B． C． D．
5.用配方法解一元二次方程：．第一步化二次项系数为1，得 ，方程两边同时加 ，配方得 ．
6．用配方法解方程时，配方后可得 ．
7．用配方法解方程时，可将方程变化成，则的值是 ．
8．已知，代数式 ．
9.用配方法解下列方程.
（1） （2）．
（3） （4）
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
三、课后练习
1.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁
2．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
4．用配方法解方程时，配方法所得的方程是（ ）
A． B． C． D．
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