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一元二次方程的解法(3)-因式分解法
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1．掌握什么叫做因式分解法解一元二次方程，理论依据；
2.掌握用因式分解法解一元二次方程的基本步骤；
3．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程（缺一次项）.
学习重难点
能熟练地应用因式分解法解一元二次方程.
学习过程
一、课前预习
1.什么叫做因式分解？分解因式有哪些方法？
2. 通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个______________来求的方法叫做因式分解法.
3.因式分解法的理论依据：若ab＝0，则______________________.
4.解下列方程：
（1）(x－3)2＝9（用直接开平方法） （2）x2－2x－3＝0（用公式法）
【答案】1.把一个多项式分解成两个因式的乘积的形式叫做因式分解，分解因式的方法有：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法.
2. 一元一次方程
3.a＝0，b＝0.
4. （1）(x－3)2＝9（用直接开平方法） （2）x2－2x－3＝0（用公式法）
解：x－3＝± a＝1，b＝－2，c＝－3
x－3＝±3 b2－4ac＝4－4×1×(－3)＝16＞0
x－3＝3或x－3＝－3
∴x1＝6，x2＝0 ∴x1＝3，x2＝－1
二、课内探究，交流学习
1.你能用直接开平方法解方程：x2－36=0吗？
【答案】解：x2=36
x=6
2.你还有其它方法来解这个方程吗？
【答案】配方法，公式法
3.转化思想：我们通过对方程进行因式分解，将方程左边化成了两个因式的乘积的形式，从而得到两个一次方程，然后解这两个一次方程即可得到原方程的解，这就把二次方程转化为一次方程来求解（也可称之为降次）.
4.解下列方程，并与同学交流，检查解得的结果是否正确.
（1）x2+3x＝0； （2）x2＝x.
问：如果把上述两个方程像下面这样解，对吗
解：（1）把方程两边同除以x，得
x+3＝0
移项，得：x＝－3
故方程的解为x＝－3.
（2）把方程两边同除以x，得：x＝1，
故方程的解为：x＝1.
像上面这种解法正确吗？为什么？应该怎样解呢？
【答案】这样解不正确，因为这样方程就少了一个根，可用配方法或公式法解。
2.总结前面内容你能否归纳出缺项的二次方程：
ax2+c＝0（a，c异号），ax2+bx＝0（a≠0）的解法.
【答案】x=;x1=0,x2=-
三、典例突破
例1.解下列方程：
x2－5x+6＝0；
解：把方程左边分解因式，得：
(x-2)(x－3)＝0
因此，有
x-2＝0或x－3＝0
∴x1＝2，x2＝3.
例2.解方程：(x+4)(x－1)＝6.
解：将原方程化为标准形式，得：x2+3x－10＝0，
把方程左边分解因式，得：(x+5)(x－2)＝0
x+5＝0或x－2＝0
∴x1＝－5，x2＝2.
四、名师点拨：
1.用因式分解法解一元二次方程的关键：一是要将方程右边化为0；二是要把方程左边分解成两个含未知数的一次因式的积.
2.步骤：（1）通过化简、整理将原方程化为标准形式；
（2）把方程左边进行因式分解，要分解成两个因式的乘积形式；
（3）得到两个一次方程；
（4）分别解这两个一次方程.
五、随堂练习
用因式分解法解下列方程：
； (2)
【答案】(1)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．
利用因式分解法解一元二次方程即可；
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
∴，，
解得：；
（2），
∴，
∴，
解得：．
六、达标巩固
1.一元二次方程的根为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
移项得，，
因式分解得，，
∴或，
解得，，，
故选：C．
2.一元二次方程的根为（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：，
即，
解得：，，
故选：C．
3.已知三角形的两条边分别是3和8，第三边是方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．17或18 B．17 C．18 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查解一元二次方程；先利用因式分解法解方程，然后根据三角形三边的关系确定第三边的长，再计算三角形周长．
【详解】解：
，
所以，
当时，,能构成三角形，三角形的周长为；
当时，,能构成三角形，三角形的周长为；．
故选A．
方程的两个根为（ ）
， B．，
C.， D．，
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程．
【详解】解：，
，
即或，
解得：，，
故选：A．
方程 的根是 ．
【答案】，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用因式分解法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
【详解】
∴或
解得，．
已知关于x的方程的解与的解相同，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查解一元二次方程以及一元二次方程的解，利用因式分解法求出方程的解，然后把代入方程可得即可．
【详解】解：∵，
∴或，
解得，，，
把代入方程得，，
故答案为：1．
解下列方程：
； (2)．
【答案】
，
，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，
利用公式法解一元二次方程即可；
利用因式分解法解一元二次方程即可；
解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
【详解】（1）
∴，，
∴
∴
∴，；
（2）
∴或
解得，．
8.解下列方程：
．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，即，
或，
，．
拓展提高：
已知关于的一元二次方程．
求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值；
(2)若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)或．
【分析】（）先通过因式分解解方程，从而可得到两个因式的积为，从而可求解；
（）由（）求出方程的两个根为，，，然后分两种情况讨论即可；
本题主要考查一元二次方程解法，勾股定理，分类思想，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及其应用．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，，
∴无论为何值，此方程总有一个根是定值；
（2）分两种情况：
当为直角边时，则，得，
又∵边长，
∴，
当为斜边时，则，得，
又∵边长，
∴，
综上所述，的值为或．
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流
（1）什么叫做用因式分解法解一元二次方程？
（2）用因式分解法解一元二次方程的基本步骤？
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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一元二次方程的解法(3)-因式分解法
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1．掌握什么叫做因式分解法解一元二次方程，理论依据；
2.掌握用因式分解法解一元二次方程的基本步骤；
3．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程（缺一次项）.
学习重难点
能熟练地应用因式分解法解一元二次方程.
学习过程
一、课前预习
1.什么叫做因式分解？分解因式有哪些方法？
2. 通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个______________来求的方法叫做因式分解法.
3.因式分解法的理论依据：若ab＝0，则______________________.
4.解下列方程：
（1）(x－3)2＝9（用直接开平方法） （2）x2－2x－3＝0（用公式法）
二、课内探究，交流学习
1.你能用直接开平方法解方程：x2－36=0吗？
2.你还有其它方法来解这个方程吗？
3.转化思想：我们通过对方程进行因式分解，将方程左边化成了两个因式的乘积的形式，从而得到两个一次方程，然后解这两个一次方程即可得到原方程的解，这就把二次方程转化为一次方程来求解（也可称之为降次）.
4.解下列方程，并与同学交流，检查解得的结果是否正确.
（1）x2+3x＝0； （2）x2＝x.
问：如果把上述两个方程像下面这样解，对吗
解：（1）把方程两边同除以x，得
x+3＝0
移项，得：x＝－3
故方程的解为x＝－3.
（2）把方程两边同除以x，得：x＝1，
故方程的解为：x＝1.
像上面这种解法正确吗？为什么？应该怎样解呢？
2.总结前面内容你能否归纳出缺项的二次方程：
ax2+c＝0（a，c异号），ax2+bx＝0（a≠0）的解法.
三、典例突破
例1.解下列方程：
x2－5x+6＝0；
例2.解方程：(x+4)(x－1)＝6.
四、名师点拨：
1.用因式分解法解一元二次方程的关键：一是要将方程右边化为0；二是要把方程左边分解成两个含未知数的一次因式的积.
2.步骤：（1）通过化简、整理将原方程化为标准形式；
（2）把方程左边进行因式分解，要分解成两个因式的乘积形式；
（3）得到两个一次方程；
（4）分别解这两个一次方程.
五、随堂练习
用因式分解法解下列方程：
； (2)
六、达标巩固
1.一元二次方程的根为（ ）
A． B．
C．或 D．或
2.一元二次方程的根为（ ）
A． B． C．， D．，
3.已知三角形的两条边分别是3和8，第三边是方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．17或18 B．17 C．18 D．不能确定
方程的两个根为（ ）
， B．，
C.， D．，
方程 的根是 ．
已知关于x的方程的解与的解相同，则 ．
解下列方程：
； (2)．
8.解下列方程：
．
拓展提高：
已知关于的一元二次方程．
求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值；
(2)若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值．
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流
（1）什么叫做用因式分解法解一元二次方程？
（2）用因式分解法解一元二次方程的基本步骤？
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
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