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17.3一元二次方程根的判别式(学案)
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.掌握一元二次方程根的判别式 ＝b2－4ac；
2.会用一元二次方程根的判别式在不解方程的情况下判别方程根的情况；
3.会用根的判别式由一元二次方程根的情况求方程中字母的取值范围.
4.会用根的判别式证明方程有无实数根.
学习重难点
能熟练地运用根的判别式在不解一元二次方程的情况下判定方程根的情况.
学习过程
一、课前预习
1.你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？
2. 写出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式.
3.用公式法解下列方程.
（1）x2－3x－4＝0； （2）x2－4x+4＝0；
（3）x2+2x+3＝0.
【答案】1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
2. （b2－4ac≥0）
3. （1）x2－3x－4＝0； （2）x2－4x+4＝0；
解：a＝1，b＝－3，c＝－4， 解： a＝1，b＝－4，c＝－4，
b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－4)＝25＞0 b2－4ac＝(－4)2－4×1×4＝0
∴ x1＝4，x2＝－1 ∴ x1＝x2＝2
x2+2x+3=0
解：a=1,b=2,c=3
b2-4ac=22-4x1x3=-8<0
所以，原方程无解
二、课内探究，交流学习
1.你能说出方程（1）x2－3x－4＝0；（2）x2－4x+4＝0；（3）x2+2x+3＝0解的情况吗？
【答案】（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根 （3）没有实数根
2.交流、探究：
这3个一元二次方程的解为什么会出现不同的情况呢？它们的根的情况由哪个因素来决定呢？何时有两个不相等的实数根？何时有两个相等的实数根？何时没有实数根？
【答案】由b2－4ac来确定,当b2－4ac>0时，有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，没有实数根.
3.感悟新知：
（1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情况由b2－4ac来确定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式.通常用符号“ ”来表示，即 ＝b2－4ac.
（2）一般地，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当 ＞0时，有两个不相等的实数根；当 ＝0时，有两个相等的实数根；当 ＜0时，没有实数根.
三、典例突破
例：不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）5x2－3x－2＝0；
（2）25y2+4＝20y；
（3）2x2+x+1＝0.
解：（1）因为 ＝(－3)2－4×5×(－2)＝49＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
（2）原方程可变形为：25y2－20y+4＝0
因为 ＝(－20)2－4×25×4＝0，
所以原方程有两个相等的实数根.
（3）因为 ＝()2－4×2×1＝－5＜0，
所以原方程没有实数根.
四、名师点拨：
﹥0 方程有两个不相等的实数根；
＝0方程有两个相等的实数根；
＜0方程没有实数根；
≥0方程有实数根
五、随堂练习
1.对于一元二次方程，下列说法错误的是( )
A．若，则方程必有一根为；
B．若是一元二次方程的根，则
C．若方程两根为，且满足，则方程，必有实根
D．若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，由，可得出方程必有一根为，即可判断A；利用求根公式得出，变形即可判断B；由一元二次方程根与系数的关系可得，，变形即可判断C；根据一元二次方程根的判别式即可判断D；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
当时，，
若，方程必有一根为，故A说法正确，不符合题意；
是一元二次方程的根，
，
，
，故B说法正确，不符合题意；
方程两根为，且满足，
，，
，，
方程，必有实根，故C说法正确，不符合题意；
方程有两个不相等的实根，
，
，
方程有两个不相等的实根，故D说法错误，符合题意；
故选：D．
2.已知关于的一元二次方程．
求证：无论为何值，方程总有两个实数根．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式
由判别式，然后进行整理，再与比较大小，即可得证；
【详解】证明：∵
，
∴无论为何值，方程总有两个实数根；
六、达标巩固
1.已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，先根据一元二次方程的解得的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故选：D．
2. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．求实数k的取值范围；
【答案】；
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系等知识点，
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
【详解】∵原方程有两个实数根，
∴，
∴，
∴当时，原方程有两个实数根．
3.关于x的方程有两个不相等的实数根．
求k的取值范围；
【答案】且
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键；
由二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且．
∴k的取值范围为且．
七、拓展提高：
关于的一元二次方程．
（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若两个实数根，满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和．
（1）由方程求出判别式即可．
（2）由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，进而求解．
【详解】（1）解：，
∵方程总有两个实数根，
（2）由，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵，
∴．
八、小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流
（1）一元二次方程根的判别式；
（2）一元二次方程根的情况与根的判别式的关系.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
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班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.掌握一元二次方程根的判别式 ＝b2－4ac；
2.会用一元二次方程根的判别式在不解方程的情况下判别方程根的情况；
3.会用根的判别式由一元二次方程根的情况求方程中字母的取值范围.
4.会用根的判别式证明方程有无实数根.
学习重难点
能熟练地运用根的判别式在不解一元二次方程的情况下判定方程根的情况.
学习过程
一、课前预习
1.你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？
2. 写出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式.
3.用公式法解下列方程.
（1）x2－3x－4＝0； （2）x2－4x+4＝0；
（3）x2+2x+3＝0.
二、课内探究，交流学习
1.你能说出方程（1）x2－3x－4＝0；（2）x2－4x+4＝0；（3）x2+2x+3＝0解的情况吗？
2.交流、探究：
这3个一元二次方程的解为什么会出现不同的情况呢？它们的根的情况由哪个因素来决定呢？何时有两个不相等的实数根？何时有两个相等的实数根？何时没有实数根？
3.感悟新知：
（1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情况由b2－4ac来确定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式.通常用符号“ ”来表示，即 ＝b2－4ac.
（2）一般地，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当 ＞0时，有两个不相等的实数根；当 ＝0时，有两个相等的实数根；当 ＜0时，没有实数根.
三、典例突破
例：不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）5x2－3x－2＝0；
（2）25y2+4＝20y；
（3）2x2+x+1＝0.
四、名师点拨：
﹥0 方程有两个不相等的实数根；
＝0方程有两个相等的实数根；
＜0方程没有实数根；
≥0方程有实数根
五、随堂练习
1.对于一元二次方程，下列说法错误的是( )
A．若，则方程必有一根为；
B．若是一元二次方程的根，则
C．若方程两根为，且满足，则方程，必有实根
D．若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
2.已知关于的一元二次方程．
求证：无论为何值，方程总有两个实数根．
六、达标巩固
1.已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．求实数k的取值范围；
3.关于x的方程有两个不相等的实数根．
求k的取值范围；
七、拓展提高：
关于的一元二次方程．
（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若两个实数根，满足，求的值．
八、小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流
（1）一元二次方程根的判别式；
（2）一元二次方程根的情况与根的判别式的关系.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
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