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17.4一元二次方程的根与系数的关系(学案)
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；
2.会运用一元二次方程的根与系数关系由已知二次方程的一个根求出另一个根与未知字母的值，会求二次方程两根的倒数和与平方差，两根之差等；
3.关注一元二次方程中的隐含条件：a≠0， ＝b2－4ac.
学习重难点
重点：理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；
难点：运用根与系数的关系解涉及到一元二次方程两根的有关问题.
学法指导
通过观察、练习、猜想、证明等学习活动发现问题，解决问题，在学习过程中掌握思考问题的方法及解决问题的途径等.
学习过程
一、课前预习
1.你能说出一元二次方程的标准形式吗？
2.写出一元二次方程根的判别式，如果在不解方程的情况下判定方程的根的情况.
3.写出一元二次方程的求根公式.
4.写出下列一元二次方程中的二次项系数a，一次项系数b，常数项c的值.
（1） x2+2x－15＝0； （2） 3x2－4x+1＝0； （3）2x2－5x+1＝0.
5.请你用适当的方法求出下列方程的根，并填写好下表.
（1） x2+2x－15＝0； （2） 3x2－4x+1＝0； （3）2x2－5x+1＝0.
方 程 x1 x2 x1+ x2 x1 x2
x2+2x－15＝0
3x2－4x+1＝0
2x2－5x+1＝0
二、课内探究，交流学习
1.思考：
通过填写上表你是否发现每个方程中的两根之和（x1+ x2）、两根之积（x1 x2）与该方程的各项系数之间存在着怎样的关系？
2.猜想：
方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根如果是x1，x2，那么x1+x2＝_____，x1x2＝____.
3.试试证明上面你的猜想.
4.归结总结：
写出韦达定理：
5.思考：如果二次项系数为1时，一元二次方程的标准形式为：x2+px+q＝0，这时韦达定理又是怎样的？
三、典例突破（以自学为主）
例1.已知关于x的方程2x2+kx－4＝0的一个根是－4，求它的另一个根及k的值.
例2.方程2x2－3x+1＝0的两个根记作x1，x2，不解方程，求x1－x2 .
四、随堂练习
1.若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
2.一元二次方程的两根分别为和，则为（ ）
A． B．1 C．2 D．0
3.已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根为，，且，求的值．
五、名师点拨：
1.在实数范围内运用根与系数关系时，必须注意两个条件：
（1）方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0；
（2）方程有实数根，即 ≥0，因此，解题时要注意分析题中隐含条件 ≥0和a≠0.
六、达标巩固
1.下列一元二次方程中，两根之和是的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若是关于x的一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3.一元二次方程的两根分别为和，则为（ ）
A． B．1 C．2 D．0
4.若方程的两根为和，则等于（ ）
A． B． C． D．
5.若是方程的两个根，则的值是 ．
7.已知关于x的一元二次方程．
(1)当 时，求出方程的解．
(2)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(3)若方程有两个实数根 ，且 求m的值．
8.已知关于的方程有两个实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求k的值．
七、拓展提高：
已知：矩形的两边的长是关于x的方程的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形为正方形？并说明理由；
(2)若的长为2，则矩形的对角线长为___________．
八、小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流
（1）一元二次方程根的判别式；
（2）一元二次方程根的情况与根的判别式的关系.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
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17.4一元二次方程的根与系数的关系(学案)
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；
2.会运用一元二次方程的根与系数关系由已知二次方程的一个根求出另一个根与未知字母的值，会求二次方程两根的倒数和与平方差，两根之差等；
3.关注一元二次方程中的隐含条件：a≠0， ＝b2－4ac.
学习重难点
重点：理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；
难点：运用根与系数的关系解涉及到一元二次方程两根的有关问题.
学法指导
通过观察、练习、猜想、证明等学习活动发现问题，解决问题，在学习过程中掌握思考问题的方法及解决问题的途径等.
学习过程
一、课前预习
1.你能说出一元二次方程的标准形式吗？
【答案】ax2+bx+c=0（a≠0）
2.写出一元二次方程根的判别式，如果在不解方程的情况下判定方程的根的情况.
【答案】 b2－4ac，当 ＞0时，有两个不相等的实数根；当 ＝0时，有两个相等的实数根；当 ＜0时，没有实数根.
3.写出一元二次方程的求根公式.
【答案】
4.写出下列一元二次方程中的二次项系数a，一次项系数b，常数项c的值.
（1） x2+2x－15＝0； （2） 3x2－4x+1＝0； （3）2x2－5x+1＝0.
【答案】（1）a=1,b=2,c=-15
a=3,b=-4,c=1
a=2,b=-5,c=1
5.请你用适当的方法求出下列方程的根，并填写好下表.
（1） x2+2x－15＝0； （2） 3x2－4x+1＝0； （3）2x2－5x+1＝0.
【答案】
解：（1） x2+2x－15＝0
（x+5）（x-2)=0
x1=-5,x2=2
(2)3x2－4x+1＝0
(x-1)(3x-1)
x1=1,x2=
(3)2x2－5x+1＝0
x1=，x2=
方 程 x1 x2 x1+ x2 x1 x2
x2+2x－15＝0 -5 2 -3 -10
3x2－4x+1＝0 1 1
2x2－5x+1＝0 -8
二、课内探究，交流学习
1.思考：
通过填写上表你是否发现每个方程中的两根之和（x1+ x2）、两根之积（x1 x2）与该方程的各项系数之间存在着怎样的关系？
【答案】两根之和为 -；两根之积为
2.猜想：
方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根如果是x1，x2，那么x1+x2＝_____，x1x2＝____.
【答案】；
3.试试证明上面你的猜想.
【答案】我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为
x1=, x2=
所以，x1+x2=+
=-
x1x2= ·
=
4.归结总结：
写出韦达定理：
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，那么x1+x2==-
x1x2 =
5.思考：如果二次项系数为1时，一元二次方程的标准形式为：x2+px+q＝0，这时韦达定理又是怎样的？
【答案】x1+x2==-p, x1x2 =q
三、典例突破（以自学为主）
例1.已知关于x的方程2x2+kx－4＝0的一个根是－4，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的另一个根是x2，
由韦达定理，得： ， 解得： ，
∴方程的另一个根是，k的值为7.
例2.方程2x2－3x+1＝0的两个根记作x1，x2，不解方程，求x1－x2 .
解：由韦达定理，得： ,
∴(x1－x2)2＝(x1+ x2)2－4 x1 x2＝()2―4×＝，
∴x1－x2＝±.
四、随堂练习
1.若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
故选：C．
2.一元二次方程的两根分别为和，则为（ ）
A． B．1 C．2 D．0
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据根与系数的关系可直接得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为和，
∴，
故选：B．
3.已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根为，，且，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
（1）根据一元二次方程根的判别式可得，由此即可得出答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入得出关于的方程，解之即可．
【详解】（1）证明：∵
，
∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系，得，，
由，得，
解得．
五、名师点拨：
1.在实数范围内运用根与系数关系时，必须注意两个条件：
（1）方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0；
（2）方程有实数根，即 ≥0，因此，解题时要注意分析题中隐含条件 ≥0和a≠0.
六、达标巩固
1.下列一元二次方程中，两根之和是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据根和系数的关系：两根之和等于，两根之积等于，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】、两根之和等于，不合题意；
、两根之和等于，符合题意；
、两根之和等于，不合题意；
、两根之和等于，不合题意；
故选：．
2．若是关于x的一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．由题意得，，根据即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
，
故选：A
3.一元二次方程的两根分别为和，则为（ ）
A． B．1 C．2 D．0
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据根与系数的关系可直接得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为和，
∴，
故选：B．
4.若方程的两根为和，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握：如果和是一元二次方程的两个实数根，则，．据此解答即可．
【详解】解：∵方程的两根为和，
∴．
故选：C．
5.若是方程的两个根，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得，即可求解．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，
故答案为：．
6．若关于x的一元二次方程有一个根是，则此方程的另一个根是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，首先设关于x的一元二次方程的另一个实数根是，然后根据根与系数的关系，即可得，继而求得答案．
【详解】解：设方程的另一个根是α，
则，
解得．
故答案为：4．
7.已知关于x的一元二次方程．
(1)当 时，求出方程的解．
(2)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(3)若方程有两个实数根 ，且 求m的值．
【答案】(1)；
(2)证明见详解；
(3)8．
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握是方程的两根时，．
（1）将代入方程，再解一元二次方程即可；
（2）根据根的判别式得出，据此可得答案；
（3）根据根与系数的关系得出，，代入得出关于m的方程，解之可得答案．
【详解】（1）解：当 时，得方程，
解得：；
（2）证明：
，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（3）解：由根与系数的关系得出
由得，
解得．
8.已知关于的方程有两个实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解一元二次方程；
（1）有两个实数根，则，根据可求得的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得出，，代入中，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，，
∴，
解得：．
（2）∵方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：或．
∵，
∴．
七、拓展提高：
已知：矩形的两边的长是关于x的方程的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形为正方形？并说明理由；
(2)若的长为2，则矩形的对角线长为___________．
【答案】(1)时，四边形为正方形，理由见详解
(2)
【分析】（1）利用正方形的判定方法得到时，矩形为正方形，则根据根的判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可；
（2）设，利用根与系数的关系得，通过解方程组得到，然后利用勾股定理计算矩形的对角线长．
【详解】（1）解：当m为1时，四边形为正方形．
理由如下：
当时，矩形为正方形，
此时，即，
解得，
即时，四边形为正方形；
（2）设，
根据根与系数的关系得，
即，②，
得，
解得，
即，
∴矩形的对角线长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则．也考查了矩形的性质，勾股定理，正方形的性质，一元二次方程根判别式．
八、小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流
（1）一元二次方程根的判别式；
（2）一元二次方程根的情况与根的判别式的关系.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
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