北师大版七年级上第二章有理数及其运算导学案

2.1有理数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1. 借助生活中的实例理解负数、有理数的意义，体会负数引入的必要性和有理数应用的广泛性.
2. 会判断一个数是正数还是负数，能应用正、负数表示生活中具有相反意义的量，体会数学知识与现实世界的联系.
3. 在负数概念的形成过程中，培养观察、归纳与概括的能力.
【重点难点】
理解正、负数及有理数的意义
知识概览图
新课导引
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让我们一起走进数的世界吧！
教材精华
知识点1 具有相反意义的量
观察下面给出的每一对数量，指出各对数量有什么共同的特点.
(1)零上3℃和零下12℃；(2)收入800元和支出500元；
(3)增加5kg和减少2kg；(4)水位升高0.5m和降低1.3m.
通过观察，发现这里给出的每一对数量，都有 ( http: / / www.21cnjy.com )一个共同的特点：每个语句中都含有一对具有相反意义的词，如“零上”和“零下”、“收入”和“支出”、“增加”和“减少”、“升高”和“降低”.
像这样，分别由相反意义的词表示的两个数量，就是具有相反意义的量.
知识点2 负数的引入
在我们的生活中，经常会遇到一些具有相反意义 ( http: / / www.21cnjy.com )的量，如气温零上20℃与零下17℃，前进100米与后退80米，海平面以上8844米与海平面以下155米等，为更好地表示这些具有相反意义的量，我们引入一种新数－－负数，如－17，－80，－155等.
为了把小学学过的数(自然数和分数)与这种新数加以区别，我们把小学学过的所有非零的数都叫做正数，如1，，0.3都是正数.
用正数和负数表示具有相反意义的量，既简单明了，又非常方便.
如：气温零上20℃记作+20℃，气温零下17℃就记作－17℃.
海平面以上8844米记作+8844米，海平面以下155米就记作－155米.
注意：用正数和负数表示具有相反意义的量时，可以根据实际，规定哪种意义的量为正数，那么具有相反意义的量就为负数.
知识点3 正数和负数的概念
像3，1，325等比0大的数叫做正数，在小学学过的数除0以外都是正数，正数比0大.
像－3，－l，－325等在正数前面加上“－”号的数叫做负数，负数比0小.
0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界.
知识点4 有理数的有关概念
有理数：整数与分数统称为有理数.
整数包括正整数、零、负整数.例如：1，2，3，0，－1，－2，－3等.
分数包括正分数和负分数，例如：，3，0.6，－，－3，－0.6等.
有理数的分类：
(1)按符号分类：
正有理数
有理数 零：0
负有理数
(2)按定义分类：
正整数：如：1,2,3，…..
有理数 零：0
有理数 负整数：：如－1，－2，－3，…
正分数：如，，5，2…
分数
负分数：如－，－3.5，－，…
注意：(1)到现在为止，我们学过的数可分为 ( http: / / www.21cnjy.com )五类：正整数、正分数、0、负整数、负分数，但研究问题时，通常把有理数分为三类：正有理数、0、负有理数进行讨论.
(2)通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0统称为非负整数(也叫做自然数)，负整数和0统称为非正整数.
(3)在对有理数进行分类时，必须按同一标准进行分类，不能混淆标准.
课堂检测
基本概念题
1、下面的数中哪些数是正数 哪些数是负数
+5，－3.14，125，－200，－7，0.3，10％.
2、把下列各数分别填在相应的括号内.
－，13，－2，+6，，0，0.8，3，－4.2.
正数：{ ,…}；负数：{ ,…}；
正整数：{ ,…}；正分数：{ ,…}；
负整数：{ ,…}；负分数：{ ,…}.
基础知识应用题
3、(1)如果收入60元记作+60元，那么支出20元记作 ，－70元表示 .
(2)如果气温是零上20℃记作+20℃，那么零下7℃记作 .
4、判断题(对的在括号内画“√”，错的在括号内画“×”)：
(1)零是正数；( )
(2)零是整数；( )
(3)不是正数的数一定是负数；( )
(4)零是非负数；( )
(5)零是偶数.( )
综合应用题
5、三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水，下表是工作人员连续5天的水位记录(如果规定蓄水位为135米)情况，记录如下：(单位：米)
6月1日 6月2日 6月3日 6月4日 6月5日
－5 +2 －1 +3 +2
问：(1)这5天中每天的水位各是多少米
(2)总的来说，水位是上升了，还是下降了 若上升了，上升了多少 若下降了，下降了多少
6、如图2－1－2所示，李 ( http: / / www.21cnjy.com )芳家住黄河边的某市，黄河大堤高出此市区20米，另有市里铁塔高约58米，是此市的一大景观.李芳和好朋友林雪燕、明明出去玩.李芳站在黄河大堤上，林雪燕站在地面上放风筝，顽皮的明明则爬上铁塔顶.
李芳说“以大堤为基准，记为0米，则林雪燕所在的位置高为－20米，明明所在的位置高为+58米.”
明明说：“以铁塔顶为基准，记为0米，则林雪燕所在的位置高为－58米，李芳所在的位置高为－38米，”
林雪燕说：“明明的位置比我高58米.”
他们谁说得对
体验中考
1、如果+10％表示“增加10％”，那么“减少8％”可以记作( )
A.－18％ B.－8％ C.+2％ D.+8％
2、在－1，0，1，2这四个数中，既不是正数也不是负数的是( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析：一般地，在正数前面带有“+”号或省略“+”号的数是正数，在正数前面带有“－”号的数是负数.
解：正数有：+5，125，0.3，10％；负数有：－3.14，－200，－7.
2、分析：以前学过的0以外的数就是正数，正数前面加上“－”号就是负数，再看它们是整数还是分数.
解：正数：{13，+6，，0.8，3}，负数：{－，－2，－4.2，…}；
正整数：{13，+6，…}，正分数：{，0，8，3…}；
负整数：{－2，…}，负分数：{－，－4.2，…}；
3、解析：正数与负数可表示具有相反意义 ( http: / / www.21cnjy.com )的量.我们习惯把收入、零上、比海平面高、上升等规定为正，把与它们意义相反的量如支出、零下、比海平面低、下降等规定为负数“0”除了表示“没有”外，还有“初始”的意义.
答案：(1)－20元 支出70元 (2)－7℃
技巧 正数与负数通常表示具有相反意义的量.若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量.
4、解析：零既不是正数，也不是负数 ( http: / / www.21cnjy.com )，(1)题是错的；(2)题零是整数是对的，因为正整数、零、负整数统称为整数；(3)题是错的，也可能是零；(4)题是对的，正数和零统称为非负数；(5)题是对的，…，－6，－4，－2，0，2，4，6，…都是偶数.
答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√
规律 零既不是正数也不是负数，它 ( http: / / www.21cnjy.com )是正数、负数的分界.小学里学过的零是“没有”的意思，而引入负数后就不能把“0”完全当作“没有”，如温度表示中，0℃就是一个特定的温度.零是整数，也是偶数.非负数就是零和正数.
5、分析：在没有特殊说明的情况下，表格中的正 ( http: / / www.21cnjy.com )数表示高出规定蓄水位的米数，负数则表示低于规定蓄水位的米数.如表中的“－5”表示的水位是135－5=130(米)，“+2”表示的水位是135+2＝137(米).
解：(1)这5天中每天的水位分别是：130米，137米，134米，138米，137米.
(2)上升了；上升了1米.
点拨 表格中的正数和负数 ( http: / / www.21cnjy.com )分别表示比规定蓄水位135米上升的量和下降的量.如－5表示比135米下降了5米的水位，+2表示比135米上升了2米的水位.
6、分析：解答本题时，要 ( http: / / www.21cnjy.com )注意观察示意图，用正数、负数表示具有相反意义的量时，由于基准(0米点)的选法不同，表示的结果也不相同.若以大堤为基准，则地面低于大堤20米，记为－20米，铁塔高于大堤(58－20)米，即38米，应记为+38米.若以铁塔顶为基准，记为0米，则地面低于铁塔顶58米，记为－58米，大堤低于铁塔顶(58－20)米，记为－38米.
解：明明和林雪燕说得对.
点拨 用正数、负数表示具有相反意义的量，必须有“基准”，而这个“基准”可根据需要来确定.
体验中考
1、解析：+10％表示“增加10％”，则“减少8％”用－8％表示.
答案：B
2、解析：因为0既不是正数，也不是负数，所以答案选B.答案：B
2.2数轴
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1. 明确数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，会画出数轴.
2. 能在数轴上表示已知数，会利用数轴比较两个有理数的大小.
3. 理解相反数的概念，了解两个互为相反数的数在数轴上的位置关系，给出一个数，能求出它的相反数.
【重点难点】
数轴上点所表示的数的大小关系与相对位置的关系。
知识概览图
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新课导引
我国的北方，一年四季的气温变化非常明显 ( http: / / www.21cnjy.com )，利用如图2—2—1所示的温度计可以很方便地读出一天中每时每刻的温度.夏天热了，温度可达37℃，冬天冷了，温度可达零下20℃.通过温度计，你能得出一些数的表示方法的启示吗 当你学习完本节知识以后，你会有所收获的.
教材精华
知识点1数轴
数轴的概念
画一条水平直线，在直线上取一点表示0( ( http: / / www.21cnjy.com )叫做原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到下面的数轴(如图2—2—2所示).
数轴的概念包含三层含义：第一层含义 ( http: / / www.21cnjy.com )是数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；第二层含义是数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；第三层含义是原点的选定、正方向的选取、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的.
数轴的画法
①画一条直线(一般画成水平的直线).
②在直线上选取一点为原点，并用这点表示零(在原点下边标上“0”).
③确定正方向(一般规定向右为正)，用箭头表示出来.
④选取某一长度作为单位长度，从原点向右， ( http: / / www.21cnjy.com )每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3，…(如图2—2—2所示).
说明：(1)原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取.
(2)确定单位长度时，根据实际情况， ( http: / / www.21cnjy.com )有时也可以每隔两个(或更多)单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2，4，6，…；从原点向左，依次表示为－2，－4，－6，…(如图2—2—3所示).
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(3)画数轴常见的几种错误：没有正方向；没有原点；单位长度不统一；负数的排列错误，如图2—2—4所示.
数轴上的点与有理数的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示.
如图2—2—5所示，从原点向右1.4个单位长度的A点表示1.4，从原点向左l专个单位长度的B点表示－1等.
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知识点2 相反数的概念
相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁， ( http: / / www.21cnjy.com )与原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数.如图2—2—8所示，4与－4互为相反数，1与－1互为相反数.
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在数轴上，表示互为相反数的两点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等.
相反数的代数定义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0.
注意：(1)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能把它漏掉.
(2)相反数是成对出现的，不能 ( http: / / www.21cnjy.com )单独存在.例如，－3和+3互为相反数，是说－3是+3的相反数，+3也是－3的相反数，单独的一个数不能说是相反数.
(3)“只有符号不同”中的“只有”指的 ( http: / / www.21cnjy.com )是除了符号不同以外其余完全相同(也就是以后学到的绝对值相同).不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，例如－2和+3，虽然符号不同，但它们不互为相反数.
知识点3 利用数轴比较有理数的大小
数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大.
正数大于0，负数小于0，正数大于负数.
提示：因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以我们可用a>0表示a是正数；反之，知道a是正数也可以表示为a>0.
同理，a<0表示a是负数；反之，a是负数也可以表示为a<0.
课堂检测
基本概念题
1、下列选项中，表示的数轴正确的是( )
2、(1)在数轴上画出表示下列各数的点：2，－1，0，－3，+3.5，－5；
(2)指出如图2—2—6所示的数轴上A，B，C，D，E，O各点分别表示什么数.
3、将有理数－2，+1，0，－2，3在数轴上表示出来，并用“<”号连接各数.
基础知识应用题
4、李华的家(记为A)、他上学的学校(记为 ( http: / / www.21cnjy.com )B)、体育馆(记为C)依次坐落在一条东西走向的大街上，李华家位于学校西边60米处，体育馆位于学校东边50米处，李华从学校沿着这条大街向东走了30米，接着又向西走了90米到达D处.试在数轴上表示上述A、B、C、D的位置.
5、已知字母a表示有理数，请问a与－a哪个大
体验中考
下列各数中，相反数等于5的数是( )
A. －5 B. 5 C. － D.
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、解析：A中的单位长度不统 ( http: / / www.21cnjy.com )一，应排除；B中负方向的刻度应从原点向左依次排列为－1，－2，－3，…，而不是向右排，所以应排除；D中没有确定正方向，所以不是数轴；C才是正确的数轴.答案：C.
点拨 要判断一条直线是否是数轴，要抓住它的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可.
2、分析：(1)第一步：画数轴.第二步：在数轴上找出相应的点，每个正有理数都可用数轴上原点右边的一个点表示，例如2，+3.5可用数轴上分别位于原点右边距原点2个单位长度，3.5个单位长度的点表示；每个负有理数都可用数轴上原点左边的一个点表示，例如－1，－3，－5可用数轴上分别位于原点左边距原点1个单位长度，3个单位长度，5个单位长度的点表示；数0就用原点表示.第三步：用字母标出或直接写出数.(2)由数轴上所标出的字母，找出所对应的有理数.
解：(1)如图2—2—7所示.
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(2)A表示－3.5，B表示1.5，C表示3.5，D表示－5，E表示－1，O表示0.
数轴上表示数的点可用大写字母标出，写在 ( http: / / www.21cnjy.com )数轴上方相对应的点的上面，原点用O标出，它表示数0，数轴上原点的位置根据需要来确定，不一定在中间，在同一数轴上，单位长度要一致.
3、分析：先画出数轴，再根据数的正、负及它们到原点的距离标出各点.
解：如图2—2—9所示.
由图知，－2<－2<0<+1<3
方法 一般地，利用数轴比较多个数的大小，可利用“数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大”这一性质进行比较。
4、分析：首先根据数轴的有关概念画出数 ( http: / / www.21cnjy.com )轴，再根据题意标出A、B、C、D四点的位置.可以以学校所在位置为原点，以向东的方向为正方向，画出数轴.
解：设学校所在位置为原点，向东的方向为正方向，画出数轴如图2—2—11所示.(答案不惟一，原点选取不同，表示的方法也不同)
技巧 在本题中A、B、C、D都与B有一定的关系，故确定B点为原点最合适.
5、分析：a与－a互为相反数，因为正数的 ( http: / / www.21cnjy.com )相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0，所以要比较一个有理数与它的相反数的大小，可以将有理数分为正数、负数、0三类来考虑.解：(1)当a是正数时，－a是负数，因为正数大于负数，所以a>－a；
(2)当a是负数时，－a是正数，因为负数小于正数，所以a<－a；
(3)当a是0时，－a＝0，所以a＝－a.
方法 比较两个数的大小，当这两个数不能确定是何数时，一般要按正数、负数、0来分类讨论.
体验中考
解析：－5的相反数等于5. 答案：A
2.3绝对值
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1. 理解绝对值的意义，会求一个数的绝对值.
2. 会利用绝对值比较两个负数的大小.
3. 学习数形结合、分类讨论的数学思想方法.
【重点难点】
1．绝对值的意义以及求一个数的绝对值.
2.绝对值定义的得出、意义的理解及求一个负数的绝对值.
知识概览图
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新课导引
有一个猜成语的游戏，规则是两个人一组，主持人 ( http: / / www.21cnjy.com )出示写有成语的一块牌子给两个人中的一个人(甲)看，而另一个人(乙)是看不到的，现在请甲用一句话(这句话中不能出现成语中含有的字)或一个动作表示牌子上的成语，要求乙根据甲的话或动作猜出这个成语.现在将这个游戏中的成语改为整数1和－1，要求用一句话、一个式子或一个图形告诉乙这两个数(同样要求不能出现与牌子上相同的数字).
如果你是甲，对这两个整数，你将怎样告诉乙
教材精华
知识点1 绝对值的概念
绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应 ( http: / / www.21cnjy.com )的点与原点的距离叫做该数的绝对值.例如，+3的绝对值等于3，记作|+3|＝3；－3的绝对值等于3，记作|－3|＝3.
表示0的点与原点的距离是0，所以|0|＝0.
一个数的绝对值与这个数的关系：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
注意：从数轴上看，一个数的绝对值就是表 ( http: / / www.21cnjy.com )示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小.由于距离总是正数或零，故有理数的绝对值不可能是负数.
知识点2 绝对值的求法
要求一个数的绝对值，应先判断这个数是正数、负数还是0，再求这个数的绝对值.
知识点3 比较两个负数的大小
对于两个负数，由于它们都位于原点的左侧， ( http: / / www.21cnjy.com )因而，绝对值越大的，在数轴上的位置就越靠左，而在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
比较两个负数的大小的步骤：
(1)先分别求出两个负数的绝对值；(2)比较这两个绝对值的大小；
(3)根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断.
知识点4 有理数大小的比较法则
法则 正数大于0；负数小于0；正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
课堂检测
基本概念题
1、求下列各数的绝对值：2，－6，3，－1.5，0.
2、比较下列有理数的大小：(1)－和－20；(2)－和－.
基础知识应用题
3、化简：(1)－；(2)+|－24|；(3) ；(4)|－(－7.5).|
4、比较下列每组数的大小：
(1)－(－5)与－|－5|；(2)－ (+3)与0；
(3)－与－；(4)－π与－|－3.14|.
综合应用题
5、(1)一个数的绝对值是12，求这个数；(2)已知|a|=10，求a.
6、某车间生产一批圆形机器零件，从中抽取6件进行检验，比规定直径长的毫米数记作正数，比规定直径短的毫米数记作负数.
检查记录如下：
1 2 3 4 5 6
+0.2 －0.3 －0.2 +0.3 +0.4 －0.1
指出第几个零件好些 用学过的绝对值知识来说明什么样的零件好些
探索创新题
7、(1)已知|a|＝，|b|＝，且b(2)已知a<0，b>0，|a|>|b|，试用“<”将a、b、－a、－b连接起来.
体验中考
如果a与1互为相反数，则|a|等于 ( )
A.2 B.－2 C.1 D.－1
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析：正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.
解：|2|＝2，|－6|＝6，|3|＝3，|－1.5|＝1.5，|0|＝0.
2、分析：根据法则“两个负数相比较，绝对值大的反而小”进行比较：先确定各数的绝对值；再比较绝对值的大小.
解：(1) 因为=，|－20|=20，<20，所以－>－.
(2)因为==，==，<，所以－>－
技巧 (1)比较两个分数的大小， ( http: / / www.21cnjy.com )先通分再比较.(2)要比较a、b两个数的大小，还可以用下面的方法：①若a－b>0，则a>b；②若a－b<0，则a3、解：(1)－ =－；(2)+|－24|=24；
(3) ＝3；(4)|－(－7.5)|＝7.5.
4、分析：先把多重符号与绝对值化简，再利用法则进行比较.
解：(1)化简：－(－5)＝5，－|－5|＝－5.
因为正数大于负数，所以－(－5)>－|－5|.
(2)化简：－(+3)＝－3.因为负数小于0，所以－(+3)<0.
(3)化简：－＝－.因为两个负数比较大小，绝对值大的反而小，
而＝，＝，>，所以－<－.
(4)化简：－|－3.14|＝－3.14.因为π>3.14，所以－π<－|－3.14|.
方法 先化简再进行比较：注意π是无限不循环小数.
5、分析：(1)绝对值是12的数是在数轴上到原点的距离等于12的点表示的数，
(2)a是在数轴上到原点距离等于10的点表示的数.
解：(1)绝对值等于12的有理数有两个：12，－12，所以这个数是12或－12：
(2)因为，|a|＝10，所以a＝±10.
点拨 绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数互为相反数.
6、分析：由绝对值意义可知，一个数绝 ( http: / / www.21cnjy.com )对值越小，离原点越近，将实际问题转化为数学问题，则为距离标准零件尺寸的偏差越小越好，即绝对值越小越接近零件的标准尺寸.
解：|+0.2|＝0.2，|－0.3| ( http: / / www.21cnjy.com )＝0.3，|－0.2|＝0.2，|+0.3|＝0.3，|+0.4|＝0.4，|－0.1|＝0.1.显然，|－0.1|最小，故第6个零件好些.绝对值越小，越接近零件的标准尺寸，零件越好.
点拨 对于本题判断零件的好坏，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正负数无关.
7. 分析：(1)需分别求出a、b的具体值，再根据b(2)可借助数轴来解决.
解：(1)易知=<，即<.由|a|＝，知a=或a＝－；由|b|＝，知b＝或b＝－.又b(2)画数轴，先由已知条件确 ( http: / / www.21cnjy.com )定a、b所对应的点A、B.由a<0，故A在原点的左边；由b>0，故B在原点的右边；由，|a|>|b|，故A到原点的距离大于B到原点的距离，再依据相反数的概念，找出－a、－b所对应的点.
如图2—3—2所示，显然有a<－b体验中考
解析：因为a与1互为相反数，所a＝－1，|a|＝|－1|＝1. 答案：C
2.4有理数的加法
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.经历探索有理数加法法则和运算律的过程，理解有理数加法法则和运算律.
2.能熟练进行有理数加法运算，并能用运算律简化运算.
3.进一步体验数形结合的数学思想.
【重点难点】
1．是依据有理数的加法法则熟练进行有理数的加法运算.
2.有理数的加法法则的理解.
知识概览图
新课导引
小红的妈妈开了一家服装店，根据下面所记的收益情况，你能帮她解决疑问吗
星期一：上午赚了10元，下午处理了一件积压货，赔了8元，这天的收益怎样
星期二：上午处理了几件积压货，赔了12元，下午赚了4元，这天的收益怎样
星期三：上午处理了几件积压货，赔了6元，下午又处理了一些，赔了15元，这天的收益怎样
以上蕴含了哪些数学知识 你将怎样解决这些问题
教材精华
知识点1 有理数加法法则
有理数的加法法则如下：
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
(2)异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
(3)一个数同0相加，仍得这个数.
有理数加法法则有三条：第一条是说同号两数相加；第二条是说异号两数相加；第三条是说一个数同0相加.
知识点2 有理数加法的运算律
有理数加法的运算律用字母表示如下：
交换律：a+b＝b+a；结合律：(a+b)+c＝a+(b+c).
使用运算律是为了简化运算， ( http: / / www.21cnjy.com )在使用时，一般先把具有以下特征的数相加：(1)互为相反数的两个数；(2)符号相同的数；(3)相加能得到整数的数；(4)分母相同的数.
课堂检测
基本概念题
1、计算：(1) ；(2)(－2.76)+(+1.25)；
(3) ；(4)0+(－76).
2、计算：
(1)(+26)+(－14)+(－16)+(+18)；
(2)18.56+(－5.16)+(－1.44)+(+5.16)+(－18.56).
基础知识应用题
3、若a，b，c在数轴上的位置如图2—4—1所示，且|b|＝|c|，求|a|+b+c.
综合应用题
4、某公路养护小组乘车沿公路(南北方向)巡 ( http: / / www.21cnjy.com )视维护，某天早晨从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下(单位：千米)：+18，－9，+7，－14，－6，+13，－6，－8.
(1)B地在A地的什么位置
(2)若汽车行驶每千米耗油a升，求该天共耗油多少升.
体验中考
1、如果a+b＝0，那么a，b两个数一定( )
A.都等于0 B.一正一负
C.互为相反数 D.互为倒数
2、有理数a，b在数轴上的位置如图2—4—2所示，则a+b的值( )
A.大于0 B.小于0
C.小于a D.大于b
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析：利用有理数加法法则进行计算.(1)是同号两数相加；(2)是异号两数相加：(3)是互为相反数的两个数相加；(4)是0与一个数相加.
解：(1) =；
(2)(－2.76)+(+1.25)=－(2.76－1.25)＝－1.51；
(3) =0； (4) 0+(－76)= －76.
方法 有理数的加法运算的一般步骤：(1)首 ( http: / / www.21cnjy.com )先判断是同号两数相加还是异号两数相加；(2)再判断结果是正号还是负号；(3)最后判断是利用绝对值的和还是差进行计算.
2、分析：(1)可把符号相同的数相加；(2)可把相加能得到整数的数相加.
解：(1)(+26)+(－14)+(－16)+(+18)
＝[(+26)+(+18)]+[(－14)+(－16)]＝44+(－30)＝14；
(2)18.56+(－5.16)+(－1.44)+(+5.16)+(－18.56)
＝[18.56+(－18.56)]+[(－5.16)+(+5.16)]+(－1.44)＝－1.44.
技巧 根据加数特点，灵活选择合适的运算律，使运算简便.
3、分析：由图2—4—1可知a<0，b<0，c>0，且b，c互为相反数.
解：由题意可知，|a|+b+c=－a+0＝－a.
点拨 绝对值相等符号相反的两个数互为相反数，其和为0.
4、分析：(1)求出记录的各数的和，由于向北 ( http: / / www.21cnjy.com )为正，所以若和为正，则在A地北方；若和为负，则在A地南方.(2)要求汽车耗油量，与方向无关，需先求出所行驶的总路程，即求各数的绝对值的和.
解：(1)(+18)+(－9)+(+7)+(－14)+(－6)+(+13)+(－6)+(－8)
=(18+7+13)+[(－9)+(－14)+(－6)+(－6)+(－8)]
＝38+(－43)=－5(千米)，
所以B地在A地的南方5千米处.
(2)|+18|+|－9|+|+7|+|－14|+|－6|+|+13|+|－6|+|－8|
=18+9+7+14+6+13+6+8＝81(千米)，
由于汽车行驶每千米耗油a升，所以该天汽车共耗油81a升.
点拨 本题的关键是将实际问题转化为数学问题，将求B地相对于A地的位置转化为求有理数的和，将求汽车的总路程转化为求各数的绝对值的和.
体验中考
1、解析：由a+b＝0得a＝－b，故a，b互为相反数. 答案：C
警示 本题很容易误选B；认为一正一负相加得0：
2、解析：从数轴上可知：－11，所以a+b>0.
答案：A
2.5有理数的减法
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.经历探索有理数减法法则的过程，理解有理数减法法则.
2.能熟练进行有理数减法的运算，并灵活应用有理数减法解决实际问题，培养运算能力，增强应用数学的意识.
3.通过把减法运算转化为加法运算，向学生渗透转化思想.
【重点难点】
1.有理数减法法则在运算中的应用.
2.理解有理数减法的意义.
知识概览图
新课导引
新疆属温带大陆性气候，气温日 ( http: / / www.21cnjy.com )差较大是它的一大特点，以前就有“早穿棉袄午穿纱，守着火炉吃西瓜”的谚语.某一天，气温从零上2℃，下降到了零下8℃，你能说出这一天的温度差是多少吗
对于有理数的减法，你有什么好的办法吗 让我们一起来学习有理数减法的有关知识吧!
教材精华
知识点 有理数减法法则
有理数的减法运算可以转化为加法运算.
有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a－b＝a+(－b).有理数减法运算的步骤：
(1)根据有理数的减法法则，把减号变为加号，把减数变为它的相反数；
(2)利用有理数的加法法则进行运算.
注意：(1)在进行有理数减法运算 ( http: / / www.21cnjy.com )时，关键是如何正确解决符号问题，使减法运算合理地转化为加法运算.应同时改变两个符号：一是运算符号，由“－”变为“+”；二是减数的性质符号，由“+”变为“－”或由“－”变为“+”.
(2)在进行有理数减法运算时，减数与被减数不能互换，即减法没有交换律.
课堂检测
基础知识应用题
1、计算下列各题.
(1)7－21；(2)16－(－83)；(3)－3；
(4)(－32)－(－12)－5－(－15).
2、一个数是18，另一个数比这个数的相反数小3，求另一个数.
综合应用题
3、图2—5—1为某一矿井的示意图：以地面 ( http: / / www.21cnjy.com )为基准，A点的高度是+4.2m，B、C两点的高度分别是－15.6m与－30.5m.A点比B点高多少 A点比C点高多少？
4、下表列出了国外几个大城市与北京的时差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数)：
城市 纽约 巴黎 东京
与北京的时差 －13 －7 +1
(1)如果现在是北京时间上午8：00，那么东京时间是多少
(2)如果小强在北京时间下午15：00打电话给远在纽约的姑姑，你认为合适吗
探索创新题
5、计算：.
体验中考
1、计算－2－6的结果是( )
A.－8 B.8 C.－4 D.4
2、某年哈尔滨市一月份的平均气温为－18℃，三月份的平均气温为2℃，则三月份的平均气温比一月份的平均气温高( )
A.16℃ B.20℃ C.－16℃ D.－20℃
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析：本题可直接结合有理数减法法则进行计算，先把减法转化为加法，然后按有理数加法法则进行运算.
解：(1)7－21＝7+(－21)＝－14.
(2)16－(－83)＝16+83=99.
(3)－3=
(4)(－32)－(－12)－5－(－15)＝(－32)+(+12)+(－5)+(+15)
＝[(－32)+(－5)]+[(+12)+(+15)]＝－37+27＝－10.
提示 进行有理数减法运算时，常将减法转化为加法，现根据有理数加法的法则进行运算.
2、分析：另一个数是与第一个数的相反数相比，所以应先求出18的相反数－18，然后，在－18的基础上减3即可.
解：因为18的相反数是－18，所以－18－3＝－21，即另一个数是－21.
点拨 直接利用有理数减法法则进行计算.
3、分析：要求A点比B点高多少，就用A点高度减去B点高度即可.而用A点高度减去C点高度，就可以求出A点比C点高多少.
解：A点比B点高：(+4.2)－(－1 ( http: / / www.21cnjy.com )5.6)＝(+4.2)+(+15.6)＝19.8(m).A点比C点高：(+4.2)－(－30.5)＝(+4.2)+(+30.5)=34.7(m).
答：点比B点高19.8m，A点比C点高34.7m.
点拨 求高度差，就是用较高点的高度减去较低点的高度.
4、分析：这是一道与现实生活联系较 ( http: / / www.21cnjy.com )紧密的应用题，要解决它，首先要弄懂时差的含义，其次能在具体问题中进行应用.通过审题发现：同一时刻，东京时间相当于在北京时间的基础上加上1个小时；同理，同一时刻，纽约时间相当于在北京时间的基础上减去13个小时.
解：(1)因为8+l＝9，所以北京时间上午8：00，东京时间是上午9：00.
(2)不合适.因为15－13＝2，所以在北京时间下午15：00时，纽约时间是凌晨2：00，此时是睡眠时间，不适合通电话.
点拨 正确理解时差的含义，并用有理数加减法的有关知识解决问题.
5、分析：先判断绝对值号里面两数相减的正、负，再根据绝对值的意义化去绝对值符号.
解：原式＝
点拨 化去绝对值符号后，运用互为相反数的两数之和为零去解决。
体验中考
1、解析：－2－6＝(－2)+(－6)＝－8. 答案：A
2、解析：2－(－18)=2+18=20(℃). 答案：B
2.6有理数的加减混合运算
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.理解有理数加减混合运算统一成加法运算的意义，掌握有理数加减混合运算的方法，并能熟练运算.
2.能根据具体问题，适当运用运算律简化运算.
3.通过本节的学习培养学生发现问题、解决问题的能力和运算能力，体验数学活动的探索性和创造性，提高学习数学的兴趣.
【重点难点】
1.熟练进行有理数的混合运算,在运算中灵活地使用运算律.
2.减法统一成加法再写成代数和的形式.
知识概览图
新课导引
穆朗玛峰海拔大约是8844m，吐鲁番盆地海拔大约是－155m，问珠穆朗玛峰比吐鲁番盆地约高多少
小明：8844－(－155)＝8999(m)；小红：8844+155＝8999(m).
算法不一样，但结果一样，由此可见 ( http: / / www.21cnjy.com )，减法可以转化为加法来计算.那么8844－(－155)+(－22)－388+(－5505)这个混合运算能否统一成几个数的加法呢
教材精华
知识点1 有理数的加减混合运算
在进行有理数的加减混合运算时，可以通过 ( http: / / www.21cnjy.com )有理数的减法法则，把减法转化为加法，也就是将有理数的加减混合运算统一为单一的加法运算.如：(－8)－7+(－6)－(－5)＝(－8)+(－7)+(－6)+(+5).
在和式里，通常把各个加数的括号和它 ( http: / / www.21cnjy.com )前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式.如：(－8)+(－7)+(－6)+(+5)＝－8－7－6+5.
和式的读法：如上面的例子，一是按这个式子表示的意义读作“负8，负7，负6，正5的和”；二是按运算意义读作“负8减7减6加5”.
省略括号的和的形式，可看作是有理数的 ( http: / / www.21cnjy.com )加法运算.因此，可运用加法运算律来使计算简化，但要注意运算的合理性.①在交换加数位置时，要连同前面的符号一起交换.②在运用加法结合律时，有时把减号看做负号。
知识点2 有理数加减混合运算的方法和步骤
第一步：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法.
第二步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算.
课堂检测
基本概念题
1、把(－6)－(－3)+(－2)－( ( http: / / www.21cnjy.com )+6)－(－7)写成省略括号的和的形式是 ，读作 或 .
2、计算：(－0.5)－(－3)+3.75－(+8).
基础知识应用题
3、计算：|－0.25|－[+(－5.75)]+(－0.1)－|－(+0.5)|.
综合应用题
4、若|a|＝3，|b|=1，|c|＝5，且|a+b|=a+b，|a+c|＝－(a+c)，求a－b+c的值.
探索创新题
5、从－56起，逐次加1，得到一连串整数，－55，－54，－53，－52，….
(1)第100个整数是什么 (2)求这100个整数的和.
体验中考
如图2—6—1所示，数轴上A、B两点所表示的有理数的和是 .
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析：首先应把这个式子中的减法转化为加法，再写成省略括号的和的形式.
解：(－6)－(－3)+(－2)－(+6)－(－7)=(－6)+(+3)+(－2)+(－6)+(+7)＝－6+3－2－6+7.
读作：负6，正3，负2，负6，正7的和，或者读作：负6加3减2减6加7.
答案：－6+3－2－6+7 负6，正3，负2，负6，正7的和负6加3减2减6加7
点拨 在省略括号的代数和中，性质符号和运算符号是统一的.
2、分析：按有理数减法法则，把减法统一成加法，运用运算律进行简便运算.
解：原式=
=－9+7=－2.
点拨 进行有理数加减混合运算时一定要注意符号.
3、分析：题中含有绝对值号和括号，在计算时应先去掉绝对值号和括号.
解：|－0.25|－[+ ( http: / / www.21cnjy.com )(－5.75)]+(－0.1)－|－(+0.5)|＝0.25－(－5.75)+(－0.1)－0.5=0.25+5.75－0.1－0.5＝6－0.6＝5.4.
4、分析：首先确定a，b，c的值，再代入求值.
解：因为|a|=3，|b|＝1，| ( http: / / www.21cnjy.com )c|＝5，所以a=±3，b＝±1，c＝±5.又因为|a+b|＝a+b，|a+c|＝－(a+c)，所以a+b≥0，a+c≤0.
所以a=3，b＝±1，c＝－5.
当a＝3，b=1，c＝－ ( http: / / www.21cnjy.com )5时，a－b+c=3－1+(－5)＝－3；当a＝3，b＝－1，c＝－5时，a－b+c＝3－(－1)+(－5)=－1.故a－b+c的值为－3或－1.
注意 解答这类题时分类讨论要全面，同时注意求解要做到不重不漏.
5、分析：从－56起，逐次加1加1 ( http: / / www.21cnjy.com )00次，得到－55，－54，－53，－52，…，－1，0，1，2，…，44，第100个整数为－56+100＝44.这100个整数的和：－55+(－54)+(－53)+…+(－45)+(－44)+(－43)+…+(－2)+(－1)+0+1+2+3+…+43+44＝－55+(－54)+(－53)+…+(－45)＝－55－54－53－…－45.
解：(1)－56+100＝44；
(2)－55－54－53－52－51－50－49－48－47－46－45
＝(－55－45)+(－54－46)+(－53－47)+(－52－48)+(－51－49)－50
＝－550.
技巧 在求和时，可以找出互为相反数的数，再计算出其余的数的和，能用简便算法的尽量用简便算法.
体验中考
解析：点A，B表示的有理数分别是－3，2，两数之和是－3+2＝－1.
答案：－1
.8有理数的乘法
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.理解有理数乘法法则，会进行有理数的乘法运算.
2.能运用乘法运算律简化乘法运算.
3.经历探索有理数乘法法则及运算律的过程，培养学生的观察、分析、抽象、概括等能力，提高学习兴趣，养成独立思考、勇于创新的习惯.
【重点难点】
1.运用有理数乘法法则正确进行计算.
2.有理数乘法法则的探索过程，符号法则及对法则的理解.
知识概览图
( http: / / www.21cnjy.com )
新课导引
若温度由0℃开始，每天上升3℃，则3天后的温度是多少
若温度由0℃开始，每天下降3℃，则3天后的温度是多少
上述问题能否用乘法式子表示 结果分别是多少 通过上述问题，你能得到什么启示
教材精华
知识点1 有理数乘法法则
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘.
任何数与0相乘，积仍为0.
提示：(1)有理数乘法与有理数加法运算步骤类似.第一步：确定符号；第二步：确定绝对值的积.
(2)由于绝对值总是正数或零，因此绝对值相乘就是算术中的乘法.由此可见，有理数乘法，实质上是通过符号法则，归纳为算术乘法来完成的.
知识点2 倒数
乘积为1的两个有理数互为倒数，如：－2与－，－与－.
注意：(1)若a≠0，则a的倒数为，0没有倒数；(2)若a，b互为倒数，则ab=1；
(3)倒数为本身的数是±1.
知识点3 有理数乘法法则的推广
(1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.
(2)几个数相乘，有一个因数为0，积为0.
知识点4 有理数乘法的运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即ab＝ba.
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变，且(ab)c＝a(bc).
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同两个数相乘，再把积相加，即a(b+c)＝ab+ac.
根据乘法的运算律，在进行乘法运算 ( http: / / www.21cnjy.com )时，可以任意交换两因数的位置，也可以将几个因数结合在一起先相乘，所得积不变.一个数同两个数的和相乘，可以把这个数分别同两个加数相乘，再把所得的积相加.
课堂检测
基本概念题
1、计算：(1)3×(－4)；(2)(－6)×(－2)；(3)×；(4)(－0.5)×(－8).
2、填空：(1)的倒数是 ，0.5的倒数是 ；
(2)倒数为3的数是 ，a+b(a+b≠0)的倒数是 .
基础知识应用题
3、计算：(1)(－2)×3×4×(－1)；(2)(－5)×(－6)×3×(－2)；
(3)(－2006)×(+2007)×(－0.5)×0.
4、计算：(1) ；(2)4×(－0.17)×(－25)；
(3) ；(4)
综合应用题
5、计算：99×(－18).
6、a与b互为相反数，x与y互为倒数，c的绝对值等于2，求的值。
探索创新题
7、靓丽服装店新进了一批在市场上畅 ( http: / / www.21cnjy.com )销的某品牌服装来销售，每件可获利80元.同时，又把原来的一批不好销售的服装降价处理，每件要亏损70元.某星期天该服装店共卖了新进服装15件，降价处理的服装18件，该店的老板想知道这天的盈亏情况，你能帮他解决吗
体验中考
若x=(－2)×3，则x的倒数是( )
A.－ B. C.－6 D.6
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析：(1)(3)两题 ( http: / / www.21cnjy.com )是异号两数相乘，先确定积的符号为“－”，再把绝对值相乘；(2)(4)两题是同号两数相乘，先确定积的符号为“+”，再把绝对值相乘.
解：(1)3×(－4)＝－(3×4)＝－12；(2)(－6)×(－2)＝6×2＝12；
(3) ×=；(4)(－0.5)×(－8)＝4.
2、答案：(1) 2 (2)
点拨 互为倒数的两个数是同号的两个数，且分子、分母互相颠倒位置，注意整数可以看做分母为1的数，一个数的倒数只有一个.
3、分析：(1)(2)两题是几个非零有理数相乘，应先确定符号，再计算各数绝对值的积.(3)题有一个因数为0，故积为0.
解：(1)(－2)×3×4×(－1)＝+(2×3×4×1)＝24；
(2)(－5)×(－6)×3×(－2)＝－(5×6×3×2)=－180；
(3)(－2006)×(+2007)×(－0.5)×0＝0.
4、解：
=.
(2)4×(－0.17)×(－25)＝[4×(－25)]×(－0.17)
＝(－100)×(－0.17)=17.
(3) =
=－8+4－2=－6.
(4)
=12=－18
注意 在应用分配律时要注意： ( http: / / www.21cnjy.com )(1)括号外的因数与括号内各项相乘，各项就包含前面的符号.(2)乘法分配律还可以逆用，如第(4)题，这也是计算中常用的一种技巧.
5、分析：把99变为100－，再运用乘法分配律进行计算.
解：99×(－18)－(100－)×(－18)= －1800+=－1799.
6、解：因为a与b互为相反数，x与y互为倒数，c的绝对值等于2，
所以a+b＝0，xy=1，c＝±2，所以＝0+1－c＝1－c.
当c＝2时，原式＝1×2＝；当c＝－2时，原式＝1－×(－2)＝.
点拨 由于c的值有两个，故要进行分类讨论.
7、分析：把盈利的钱数记为正数，获利80元记作+80元；把亏损的钱数记为负数，亏损70元记作－70元.
解：把每件盈利的钱数记为正数，亏损的钱数记为 ( http: / / www.21cnjy.com )负数，则80×15+(－70)×18＝1200+(－1260)＝－60(元).所以该店这天亏损了，亏损了60元.
提示 要求该店的盈亏情况，只要利用正、负数的意义，求出盈利与亏损钱数的和即可.若结果是正数，则说明盈利；若结果是负数，则说明亏损.
体验中考
解析：因为(－2)×3=－6，－6的倒数是－，所以x的倒数是－.
答案：A
2.9有理数的除法
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.理解有理数除法的意义，熟练掌握有理数除法法则.
2.能熟练进行有理数的除法运算.
3.逐渐学会类比、转化的数学思想方法.
【重点难点】
1.有理数除法法则．
2.商的符号的确定，0不能作除数的理解．
知识概览图
新课导引
我们知道5×(－6)=－30，(－3 ( http: / / www.21cnjy.com ))×(－4)=12，(－7)×2=－14，由小学学过的乘除法可知，积÷其中一个因数＝另一个因数.你能根据上面的关系和计算结果求出(－30)÷5，12÷(－4)和(－14)÷2的结果吗 你能发现其中的规律吗
教材精华
知识点1 有理数的除法法则一
两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何非0的数都得0.
知识点2 负数的倒数
求一个负整数的倒数，直接写成这个数分之一即可.求一个负分数的倒数，把这个数的分子、分母颠倒位置即可.
知识点3 有理数的除法法则二
除以一个不等于0的数等于乘上这个数的倒数，即a÷b＝a× (b≠0).
课堂检测
基本概念题
1、计算：(1)(－16)÷(－2)；(2)(－24)÷6.
2、求下列各数的倒数.(1)－3；(2)－；(3)－1；(4)－0.2.
基础知识应用题
3、计算：(1)1÷(－1)；(2)(－0.75)÷(－).
4、计算：(1) ；
(2) .
综合应用题
5、某快餐店对自己某星期 ( http: / / www.21cnjy.com )七天的收益情况做了如下记录(盈利的记为正数，亏损的记为负数，单位：元)：850，－700，140，－360，－160，120，－240.
求这个星期平均每天的收益情况.
体验中考
下列计算结果等于1的是( )
A.(－2)+(－2) B.(－2)－(－2) C.(－2)×(－2) D.(－2)÷(－2)
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析：用除法法则计算，先确定商的符号再把绝对值相除.
解：(1)(－16)÷(－2)＝16÷2＝8；(2)(－24)÷6＝－(24÷6)＝－4.
2、分析：(1)(2)相对简单，(3)要化成假分数，(4)要把小数化成分数.
解：(1)－3的倒数是－；(2)－的倒数是－；
(3)－1的倒数是－；(4)－0.2的倒数是－5.
方法 求分数的倒数只要将分子与分母交换位置即可，带分数、小数求倒数，要先化成假分数、分数.
3、分析：先把带分数化为假分数，再把除法化为乘法.
解：(1) 1÷(－1)＝÷(－)＝×(－)＝.
(2)(－0.75)÷(－)＝(－)×(－)＝.
规律 对于这类无法整除的除法运算，一般都利用除法法则二来运算.
4、解：(1)
=
=.
(2)
=
=
=－15－35+21=－29
技巧 (1)有理数乘除法的混合运算，要按从左向右的顺序依次计算.
(2)有理数的除法转化成乘法以后，可以利用乘法的运算律简化运算.
(3)乘除混合运算往往先将除法化成乘法，再确定积的符号，最后求出结果.
5、分析：先求出七天的收益和，再除以7，即可求出这个星期平均每天的收益情况.
解：(850－700+140－360－160+120－240)÷7=(－350)÷7=－50(元).
答：这个星期平均每天亏损50元.
方法 求平均数的公式为(x1+x2+…+xn)÷n，x1,x2，…xn代表各个数据，n代表数据个数.
体验中考
解析：(－2)+(－2)＝－4，(－2)－(－2)=0，(－2)×(－2)＝4，(－2)+(－2)＝1.
答案：D
2.10有理数的乘方
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.理解有理数乘方的意义，培养学生观察、分析、概括的能力.
2.能进行有理数的乘方运算，渗透转化思想和分类讨论思想.
【重点难点】
1.有理数的乘方运算.
2.有理数乘方运算的符号法则.
知识概览图
新课导引
古时候，在某个王 ( http: / / www.21cnjy.com )国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋.为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第l格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒、……一直到第64格.”“你真傻!就要这么一点米粒 !”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米!”
你认为国王的国库里有这么多米吗
教材精华
知识点1 乘方的意义
一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，即，这种求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次幂(或a的n次方).
特别地，a2读作a的平方(或a的2次方)，a3读作a的立方(或a的3次方).
注意：(1)一个数可以看做它本身的1次方，指数1通常省略不写.例如：2=21.
(2)当底数是负数或分数时，必须用括号将底数括起采.例如：(－2)3，.
(3)负数的乘方与乘方的相反数不同.例如：(－2)4＝(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝16，－24=－2×2×2×2＝－16.
知识点2 乘方运算的符号法则
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的正数次幂都是0.
说明：(1)由于有理数的乘方运算是利用有理数的乘法进行的，故有理数乘方运算的符号可以利用有理数乘法的法则来确定.
(2)有理数的乘方运算同有理数的加、减、乘、除一样，首先确定符号，再计算绝对值.
课堂检测
基本概念题
1、把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么
(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)；
(2)；(3) .
基础知识应用题
2、计算：(1) ；(2)；(3)(－1)2011.
综合应用题
3、计算：
(1)
4、1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第6次后剩下的木棒有多长
体验中考
计算：(－1)2+(－1)3＝( )
A.－2 B.－1 C.0 D.2
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析：首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么.
解：(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)－(－3.14)＝(－3.14)5.
其中底数是－3.14，指数是5.
(2) 其中底数是，指数是6.
(3)=m2n，其中底数是m，指数是2n.
说明 乘方是一种特殊的乘法运算(因 ( http: / / www.21cnjy.com )数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果.到目前为止，我们已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算.
2、分析：(1) 表示3个相乘；(2) 表示23除以5的商；(3)(－1)2011表示2011个－1相乘.
解：(1) ；
(2) ==；
(3) (－1)2011=.
点拨 (1)1的任何次幂都是1，－1的奇次幂是－1，－1的偶次幂都是1；
(2)(－2)3与－23，与，它们的运算结果是相同的，但意义不相同.
3、
方法 带有乘方的有理数的乘除运算，要先算乘方，后算乘除.
4、分析：解本题的关键是找出每次截完后，剩下的木棒占整根木棒的比例与所截次数之间的关系.现将它们的关系列表如下：
所截次数 1 2 3 4 5 6
剩下木棒占整根木棒的比例
解：×1=(米).
答：第6次后剩下的木棒长米.
体验中考
解析：(－1)2+(－1)3＝1+(－1)＝1－1＝0. 答案：C
2.11有理数的混合运算
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.掌握有理数混合运算的顺序，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算.
2.在运算过程中能合理地应用运算律简化运算，训练思维的灵活性和敏捷性，提高学习的兴趣.
3.培养学生的运算能力及综合运用知识解决问题的能力.
【重点难点】
1.熟练进行有理数的混合运算.
2.在运算中灵活地使用运算律.
知识概览图
( http: / / www.21cnjy.com )
新课导引
有两位农夫相约一起到集市上卖鸡蛋，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )两人的鸡蛋都是60个，但农夫甲的鸡蛋稍大一点，因此，他要2个鸡蛋卖1元钱.农夫乙的鸡蛋稍小一些，他要3个鸡蛋卖1元钱.到了市场后，农夫甲突然有事要先回去，他就请求农夫乙帮助他把鸡蛋一起卖了，农夫乙便答应了农夫甲.等农夫甲走后，聪明的农夫乙想：我如果把5个鸡蛋卖2元钱，就可以快一点卖完.于是，他把两人的鸡蛋混在一起卖，果然，鸡蛋很快就卖完了.回家后，农夫乙正想把农夫甲应得的30元送去的时候，才发现少了2元钱，他冥思苦想也不知哪里出了错.聪明的同学们，你们知道农夫乙为什么少了2元钱吗
教材精华
知识点1 有理数混合运算的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的.
有理数混合运算需注意的几个问题：
(1)有理数的运算，加减法叫做第一级运算 ( http: / / www.21cnjy.com )；乘除法叫做第二级运算；乘方和开方(以后学)叫做第三级运算.一个式子中如果含有多级运算时，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算.同一级运算按照从左到右的顺序进行运算；有括号时，按照小括号、中括号、大括号(或大括号，、中括号、小括号)的顺序进行运算.
(2)灵活地运用运算律，改变运算顺序，可以简化计算.
知识点2 “24点”游戏
“24点”游戏是这样进行的：从一副扑克 ( http: / / www.21cnjy.com )牌(去掉大、小王)中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌只能用一次)，使得运算结果为24或－24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13.任意取出的四张牌上的数字经过什么运算才能得到24或-24具有不确定性，因此大家要灵活利用有理数的加、减、乘、除、乘方运算，要多尝试多探索.
课堂检测
基础知识应用题
1、计算：(1)－72+2×(－3)2+(－6)÷(－)2；
(2)－14－(1－0.5)××[2－(－32)].
2、计算：.
综合应用题
3、某食品公司的冷藏库能使冷藏食品温度每小时 ( http: / / www.21cnjy.com )下降4℃，每开库一次，库内温度上升5℃.现将15℃的猪肉放进冷藏库，3小时后开一次库，又隔2小时再次开库，再关上冷藏库4小时，猪肉的温度是多少摄氏度
4、高歌同学与王雪同学在玩“24点”游戏
(1)高歌同学抽到的4张牌是红 ( http: / / www.21cnjy.com )心3、黑桃7、梅花3、方块A，你能写出两种不同的算式凑成24或－24吗 (2)王雪同学抽到的4张牌是红心9、梅花6、红心2、梅花3，你能写出三种不同的算式凑成24或－24吗
体验中考
1、计算|－1|+(－2)2＝ .
2、计算：22－5×+|－2|.
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析：按混合运算的顺序进行计算即可.
解：(1)原式＝－49+2×9+(－6)÷＝－49+18+(－6)×9
＝－49+18－54＝－85；
(2)原式＝－1－
=.
2、分析：此题中括号较多，注意逐层去括号.
解：原式＝
=.
技巧 去括号的一般顺序是由内向外 ( http: / / www.21cnjy.com )，即依次去掉小、中、大括号.也可以由外向内去括号，去大括号时，把中括号看成一项，去中括号时，把小括号看成一项，最后去小括号.
方法技巧 (1)混合运算， ( http: / / www.21cnjy.com )可以以加减号为界，把式子分成几部分，每一部分可同时单独运算.(2)通常把小数化为分数，带分数化为假分数以便于约分.
3、分析：用猪肉原来的温度加下降和上升的温度，下降的温度记为负，上升的温度记为正.
解：15+3×(－4)+5+2×(－4)+5+4×(－4)
＝15－12+5－8+5－16＝－11(℃).
答：猪肉的温度是－11℃.
4、解：(1)4张牌表示的数分别是－3，7， ( http: / / www.21cnjy.com )3，－1，所列算式为(－3)×7+3×(－1)或(－3)×(－1)+3×7；(2)4张牌表示的数分别是－9，6，－2，3，所列算式为6×(－2)+(－9)－3或(－9)×3－6÷(－2)或(－9+3－6)×(－2).
点拨 4张牌凑24或－24的方法可能不止一种，大家要在探索中多思考、多讨论、多交流.
体验中考
1、解析：原式＝1+4＝5. 答案：5
2、解：22－5×+|－2|＝4－1+2＝5.
2.12计算器的使用
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.会使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算及其混合运算.
2.能运用计算器进行实际问题的复杂运算，提高学习数学的兴趣.
3.经历运用计算器探求规律的活动，发展合情推理能力.
【重点难点】
1.计算器的使用及技巧.
2.运用计算器进行较为繁琐的运算和探索规律，熟练准确的运用计算器进行计算。
知识概览图
新课导引
计算下列各题：
(1)(－49)5×2÷(－6)7－1 239 480；(2)68 576 749×(－15)+2353×56.
对于以上各题，你认为直接运算简便吗 你有什么办法来提高运算效率
按有理数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.以上题中数字较大，计算起来比较困难，运算律也不能用，但如果使用计算器则可提高运算效率.
你会使用计算器解决上面的问题吗？
教材精华
知识点1 计算器的面板构造
电子计算器(electroniccalcu ( http: / / www.21cnjy.com )lator，简称计算器)具有运算快、操作简便、体积小等特点.在信息高速发展的时代，它已成为人们广泛使用的计算工具.
按照功能，计算器可分为简单计算器、科学计算器、图形计算器等几种类型.计算器的面板由键盘和显示器两部分组成.
知识点2 计算器的使用方法
使用计算器时先要按一下开启计算器键，以接通计算器的电源，然后按照算式的书写顺序输入数据，按运算键，最后按键，此时显示器上会显示出计算结果；停止使用计算器时，先按一下键，再按键，以切断计算器的电源.
为－126194164，所以(－498 765)×239－6 989 329＝－126 194 164；
(2)按键顺序为，计算器显示结果为－410338673，所以(－17)7＝－410 338 673.
课堂检测
基本概念题
1、一般地，计算器的面板由 和 组成.在计算器键盘上是 ，键的功能是 ，键的功能是 .
基础知识应用题
2、用计算器求下列各式的值：
(1)(－498 765)×239－6 989 329；(2)－177.
综合应用题
3、如图2—12—1所示，已知圆环的外圆半径为46mm，内圆半径为27mm，求圆环的面积.(π取3.14)
探索创新题
4、利用计算器计算：
(1)0.012，0.12，12，102，1002，10002；(2)0.013，0.13，13，103，1003，10003；
(3)通过(1)(2)的计算探究乘方时小数点的移动规律.
体验中考
用计算器计算：(－3)×|－2|3.
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、答案：键盘 显示器 开启计算器 进行除法运算 清除当前显示的数与符号
2、解：(1)按键顺序为，计算器显示结果
3、分析：圆环面积＝外圆面积－内圆面积，圆面积公式为S＝πr2.
解：3.14×462－3.14×272，利用计算器计算：
按键顺序为，显示结果为4 355.18.
所以3.14×462－3.14×272=4 355.18(mm2).
答：圆环的面积约为4 355.18mm2.
点拨 熟练掌握计算器的使用方法，进行繁杂的运算，因此，要掌握计算器的使用方法.
4、分析：先利用计算器求出结果，再对比结果观察得出规律.
解：(1)0.012＝0.000 1，0.12＝0.01，12＝1，102＝100，1002＝10000，10002＝1 000 000.
(2)0.013＝0.000 001，0.1 ( http: / / www.21cnjy.com )3＝0.001，13＝1，103＝1 000，1003=1 000 000，10003＝ 1 000 000 000.
(3)由(1)(2)两题可以发 ( http: / / www.21cnjy.com )现小数点每向左(或向右)移动一位，它的平方的小数点就相应地向左(或向右)移动两位，而它的立方的小数点也相应地向左(或向右)移动三位.
点拨 探求乘方时小数点的移动规律，需观察分析乘方前各底数小数点的位置，再比较相对应的各数乘方后小数点位置的变化，可发现一般规律.
体验中考
解：按键顺序为，结果为－24.
点拨 新课标中，要求学生能运用计算器等现代手段进行繁杂的运算，因此，要掌握计算器的使用方法.
正整数：如1，2，3，…
正分数：如，，5，2…
负整数：如－1，－2，－3，…
负分数：如－，－3.5，－，…
an
幕
底数
指数