北师大版七年级上第五章一元一次方程导学案

5.1认识一元一次方程
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、了解方程、一元一次方程的定义.
2、会列简单方程解决实际问题.
3、掌握等式的基本性质，会利用等式的基本性质解简单的一元一次方程.
【重点难点】
根据题意寻找和、差、倍、分问题的相等关系.
根据题意列出一元一次方程.
知识概览图
新课导引
巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，看看周尽不差争，三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹.
根据诗中叙述的内容你能运用小学学过的有关知识，直接列出算式，求出寺内有多少僧人吗 学完本节课你就会用一种全新的方法解决这个问题.
教材精华
知识点1 方程的概念
方程：含有未知数的等式叫做方程.
说明：方程必须满足的两个条件：一是等式，二是含有未知数.二者缺一不可.例如：2x－5＝21，x－1＝x2，2x－3y=5都是方程.其中x，y是未知数.
使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解.
一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.
说明：一元一次方程必须满足两个条件：一是只有一个未知数，二是未知数的次数是1，二者缺一不可.
知识点2 根据题意列方程
根据题意列方程的一般步骤：
(1)设未知数，看题目中求的是什么，一般求什么就设什么为x(设其他量也可以)；
(2)分析已知量和未知量的关系，找出相等关系；
(3)把相等关系的左、右两边的量用含x(未知数)的代数式表示出来(列方程).
知识点3 等式的基本性质
等式基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式.
等式基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式.
注意：(1)运用性质1时，一定要注意等式 ( http: / / www.21cnjy.com )两边同时加上(或减去)同一个数或同一个代数式，才能保证所得结果仍是等式，这里要特别注意“同时”和“同一个”.
(2)运用性质2时，除了要注意等式两边同时 ( http: / / www.21cnjy.com )乘(或除以)同一个数，才能保证所得结果仍是等式以外，还必须注意等式两边都不能除以0，因为0不能做除数.
知识点4 利用等式的基本性质解一元一次方程
利用等式的基本性质解一元一次方程，就是利用等式的性质把方程ax+b＝0(a≠0)进行变形，最后化为x＝－的形式，它一般先运用性质1，将ax+b=0变形为ax=－b，然后运用性质2，将ax＝－b变形为x＝－即可.
课堂检测
基本概念题
1、下列各式是方程的是 ，其中是一元一次方程的是 .
(1)3x－2=7；(2)4+8=12；(3)3－x；(4)2m－3n＝0；(5)3x2－2x－1＝0；(6)x+2≠3.
2、小明买4个笔记本和3支圆珠笔一共用了4.7元，已知笔记本每本0.8元，圆珠笔每支多少元(只列方程)
3、利用等式性质解方程：
(1)x＝3；(2)5x－7=8；(3)3x－4=x.
基础知识应用题
4、若a2x-1和ax+2是同类项，则x= .
综合应用题
5、已知关于x的方程3a－x＝+3的解是x=4，求a2－2a的值.
探索创新题
6、对于有理数a，b，c，d，规定—种运算=ad－bc，如1×(－2)－0×2=－2.若，求x的值.
体验中考
方程4x－1＝3的解是( )
A.x＝－1 B.x=1 C.x＝－2 D.x＝2
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、解析：方程是含有未知数的等式，(2)虽 ( http: / / www.21cnjy.com )然是等式，但其中不含未知数，(3)含未知数，但不是等式，(6)表示不等关系，故(2)(3)(6)不符合方程的概念.(4)含有两个未知数，不是一元一次方程，(5)未知数x的指数是2，不是一元一次方程.
答案：(1)(4)(5)；(1)
方法 (1)判断一个式子 ( http: / / www.21cnjy.com )是不是方程必须看两点：一是等式，二是含有未知数，二者缺一不可；(2)判定一个方程是不是一元一次方程，要看方程是否只含一个未知数并且未知数的指数是1(次).
2、分析：本题的等量关系是：买笔记本的钱+买圆珠笔的钱=总钱数.
解：设圆珠笔每支x元，由题意得0.8×4+3x＝4.7.
点拨 列方程的关键是根据题意找出题中所给的(或隐含的)等量关系，依据等量关系列出方程.
3、分析：(1)可直接用等式的性质2，两边同乘2.
(2)、(3)要先用等式的性质1，再用性质2.
解：(1)等式两边都乘2，得x＝6.
(2)等式两边都加上7，得5x=15，等式两边都除以5，得x＝3.
(3)等式两边都减去x，得2x－4=0，等式两边都加上4，得2x＝4，
等式两边都除以2，得x＝2.
4、分析：因为两个代数式是同类项，根据同类项的定义可知，相同字母的指数相同，
可得2x－1＝x+2.再运用等式性质可求x的值.
解：因为a2x-1与ax+2是同类项，所以2x－1=x+2.
两边同时减去x，得x－1=2.两边同时加上1，得x＝3.
答案：3
5、分析：由方程的解的意义可知，x＝4必使方程左右两边相等，可把x＝4代入方程3a－x=+3，得到关于a的方程，再解方程求出a.
解：把x＝4代入方程3a－x＝+3，得3a－4＝+3，即3a－4＝5，解得a＝3.当a＝3时，a2－2a＝32－2×3＝3.
6、分析：根据题中所给的运算列出方程.
解：根据新运算，得=0×5－(－4)×(3－x)=12－4x，
所以12－4x＝8.方程两边都减去12，得12－4x－12=8－12，即－4x=－4.
方程两边都除以－4，得x＝1.
点拨 理解新运算的法则是解本题的关键.
体验中考
解析：由等式性质得4x=3+1，所以4x＝4，所以x＝1，故选B. 答案：B
5.2解方程
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.能运用等式性质解一元一次方程.
2.理解移项的概念.
3.能根据解方程的基本步骤，灵活、准确地解一元一次方程.
4.初步体会运用换元法进行转化的数学思想.
【重点难点】
1.正确掌握移项的方法求方程的解.
2.灵活掌握和运用解一元一次方程的基本程序.
3.解方程时如何去括号.（①不漏乘括号外的因数②注意括号外为负因数时，去括号后各项的符号都要改变。）
知识概览图
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新课导引
如图5—2—1所示，天平的两个盘内分别盛有51g和45g的盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内，才能使天平平衡
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快来学习本节吧!学了本节你一定会解答的!
教材精华
知识点1 移项
方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项.
说明：(1)移项的依据是等式的基本性质 ( http: / / www.21cnjy.com )1，(2)移项是将方程中的某项从方程的一边移到另一边，而不是方程左边或右边的某些项交换位置，(3)移项时要变号，不变号不能移项.
知识点2 解一元一次方程的一般步骤
解一元一次方程的一般步骤：
变形名称 具体做法 变形依据
去分母 在方程两边同乘各分母的最小公倍数 等式基本性质2
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则，分配律
移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) 等式基本性质1
合并同类项 把方程化成ax=b(a≠0)的形式 合并同类项法则
未知数的系 数化为1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= 等式基本性质2
课堂检测
基本概念题
1、下列解方程的过程中，移项错误的是( )
A.方程2x+6=－3变形为2x=－3+6
B.方程2x－6＝－3变形为2x=－3+6
C.方程3x＝4－z变形为3x+x=4
D.方程4－x=3x变形为x+3x＝4
2、解方程：－(x－5)=.
基础知识应用题
3、解方程：
综合应用题
4、已知的倒数与互为相反数，求－a2－1的值.
探索创新题
5、若方程与关于x的方程的解相同，求a的值.
体验中考
关于x的方程4x－3m＝2的解是x=m，则m的值是 .
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、解析：通过移项验证变形是否正确. 答案：A
点拨 移项是把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，而A中的6从左边移到右边未变号.
2、分析：方程两边同乘6，约去分母，再去括号.
解：去分母得2(2x+1)－6(x－5)=9.去括号，得4x+2－6x+30＝9.
移项得4x－6x＝9－2－30.合并同类项，得－2x＝－23.
系数化为1，得x＝.
技巧 解一元一次方程的一般步骤为：去分母，去括号，移项，全并同类项，未知数的系数化为1，但在解题时要根据方程的特点灵活运用求解步骤.
3、分析：原方程的分母是小数，可以先用分数基本性质把它们都化成整数，原方程就是(0.17－0.2x)=1，所以可把的分子、分母都乘10，把的分子、分母都乘100.
解：原方程可以化成.去分母，得30x+140x=21+119.
合并同类项，得170x=140.系数化为1，得x=.
警示 利用分数基本性质把分子、分母同时扩大相同的倍数，把分母化成整数，与方程两边同乘分母的最小公倍数去分母容易混淆.
4、分析：由互为相反数的两个数的和为0，可得方程，求得a，再代入－a2－1求值.
解：由题意，得，去分母，得a+2a－9＝0，
移项得a+2a=9.合并同类项，得3a＝9.系数化为1，得a=3.
所以－a2－1＝－32－1＝－10.
点拨 做题时要认真审题，正确理解倒数、相反数的概念与性质，然后列出方程.
5、分析：因为两个方程的解相同，即第一个方程的解也是第二个方程的解.只要先求出第一个方程的解，代入第二个方程，便可求得a的值.
解：由第一个方程得2(1－2x)+4(x+1)=12－3(2x+1)，
化简得2－4x+4x+4=12－6x－3，6x=3，所以x=.
把x＝代入第二个方程，得到以a为未知数的方程：
；即.解这个方程得a=6.
提示 解出第一个方程后，第二个方程中的x便为已知数，再解以a为未知数方程.
体验中考
解析：由方程的解的定义可知，4m－3m=2，所以m＝2. 答案：2
5.3我变胖了
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.通过分析图形问题中的数量关系，运用方程解决问题.进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，并认识方程的重要性.
2.通过对“变化中的不变量”的分析，提高分析问题、解决问题的能力.
【重点难点】
寻找面体积问题中的等量关系。
知识概览图
相关分式 — 形积变化问题
新课导引
图5—4—1是一筒状的地膜 ( http: / / www.21cnjy.com )示意图，其内圆半径和外圆半径分别为r＝10厘米和R=20厘米，高h＝50厘米.如果地膜的厚度是0.005厘米，你能计算出这些地膜的总长度是多少吗
教材精华
知识点1 相关公式
长方体体积＝长×宽×高.
圆柱体积=πr2h(h为圆柱的高，r为底面半径).
长方形周长=2×(长+宽)，长方形面积=长×宽.
知识点2 形积变化问题
对于这类问题，虽然形状、面积和体积 ( http: / / www.21cnjy.com )都可能发生变化，但应用题中仍然含有一个相等关系，要通过分析题意和题目中的数量关系，把这个能够表示应用题全部含义的等量关系找出来，然后根据这个等量关系列出方程.此类问题常见的有以下几种情况：
(1)形状发生了变化，而体积没变.此时，等量关系为变化前后体积相等.
(2)形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，等量关系为变化前后周长相等.
(3)形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系.
课堂检测
基本概念题
1、用5.2米长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6米，围成的长方形的长为多少米 设长方形的宽为x米，可列方程为( )
A.x+(x+0.6)＝5.2 B.x+(x－0.6)=5.2
C.2[x+(x+0.6)]=5.2 D.2[x+(x－0.6)]＝5.2
综合应用题
2、用两根等长的铁丝分别围成一个正方形和一个 ( http: / / www.21cnjy.com )圆，已知正方形边长比圆的半径长2(π－2)m，求两根等长铁丝的长度，并通过计算比较说明谁的面积大.
探索创新题
3、如图5－4－2所示，地 ( http: / / www.21cnjy.com )面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形，如果将直角三角形锐角顶点的一个钉子去掉，并将这根彩绳钉成一个长方形，则所钉成的长方形的长、宽各是多少 面积是多少
体验中考
古尔邦节，6位朋友均匀 ( http: / / www.21cnjy.com )地围坐在圆桌旁共度佳节.如图5—4—3，圆桌半径为60cm，每人离圆桌的距离均为10cm，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等.设每人向后挪动的距离为x，根据题意，可列方程( )
A.
B.
C.2π(60+10)×6＝2π(60+x)×8
D.2π(60－x)×8＝2π(60+x)×6
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、解析：依据长方形周长公式就可得答案. 答案：C
2、分析：此题的等量关系为：正方形周长＝圆周长.
解：设圆的半径为r m，则正方形边长为[r+2(π－2)]m.由题意得2πr＝4(r+2π－4)，
即r＝4.故圆周长是8π m，圆面积是16π m2，正方形面积是4π2m2.
因为16π>4π·π，所以圆的面积更大.
答：铁丝长为8π m，圆的面积大.
规律 周长相等的圆和正方形，圆的面积大.
3、分析：由于直角三角形有两个锐角，所 ( http: / / www.21cnjy.com )以此题应分两种情况讨论：去掉顶点A的钉子围成一个长方形，此时BC是长方形的一条边，或去掉顶点B的钉子围成一个长方形，此时AC是长方形的一条边.我们可以把AC或BC分别看做长方形的长，把宽设为x，在图形变化过程中，彩绳的长度保持不变，即等量关系为：三角形的周长＝长方形的周长.
解：设长方形的宽为x当去掉顶点A的钉子时，6+8+10＝6×2+2x，解得x＝6，
所以长方形的长为6，宽为6，S1＝6×6=36.
当去掉顶点B的钉子时，6+8+10=8×2+2x，解得x=4，
所以长方形的长为8，宽为4，S2＝8×4＝32.
答：所钉成的长方形的长为6，宽为6，面积为36；或长为8，宽为4，面积为32.
体验中考
解析：根据挪动前6人之间的距离与挪动后8人之间的距离相等，可列方程为：.答案：A
5.5打折销售
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.能列出一元一次方程解决打折销售问题.
2.了解用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.
3.进一步经历运用方程解决实际问题的过程，培养逻辑思维能力.
【重点难点】
1．用列方程的方法解决打折销售问题.
2．准确理解打折销售问题中的利润（利润率）、成本、销售价之间的关系.
知识概览图
打折销售问题中的基本概念 — 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
新课导引
育英中学暑假期间组织该校的三好学生到北 ( http: / / www.21cnjy.com )京旅游.甲旅行社说：“带队老师买一张全票，学生可享受半价的优惠.”乙旅行社说：“包括带队教师在内，全部六折优惠.”若全程票价是240元，你能根据学校的学生数选择一家比较便宜的旅行社吗 当学生数为多少时，两家旅行社的收费相同
教材精华
知识点1 与打折销售有关的概念及公式
与打折销售有关的概念:
成本价：即进价，商店进货时的价格.标价：在商店出售时所标明的价格.售价：商品出售时的实际价格.利润率：商品的利润与成本价的比值.
与打折销售有关的公式：①利润=售价－成本价(进价)；②利润率=×100％；③售价；成本价+利润＝成本价×(1+利润率)；④售价＝标价×打折数.
注意：(1)在解决实际问题时，要认 ( http: / / www.21cnjy.com )真审题，如不打折时，售价=标价；打折时，售价=标价×打折数；(2)在以上公式中，只要知道其中的两个量，便能求出另一个量.
知识点2 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
(1)审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；
(2)找：找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系；
(3)设：设未知数(一般求什么，就设什么为x)；
(4)列：根据这个等量关系列出需要的代数式，从而列出方程，
(5)解：解所列出的方程，求出未知数的值；
(6)检：检验所求解是否符合题意；
(7)答：写出答案(包括单位).
课堂检测
基础知识应用题
1、某商品标价1375元，打8折售出，仍可获利10％，则该商品的进价是 元；
(2)某种晶牌电脑的进价为5000元，按物价局定价的9折销售，获利760元，则此电脑的定价为 元.
综合应用题
2、超市某种商品的标价是2200元，在“五一”促销活动中，该商品打八折销售，结果仍获利10％，求此商品的进价.
探索创新题
3、某书店一天内销售两种书，甲种书共卖得 ( http: / / www.21cnjy.com )1560元，为了发展农业，乙种书举行送书下乡活动，共卖得1350元，若按甲﹑乙两种书的成本分别计算，甲种书盈利25％，乙种书亏本10％，试问该书店这一天共盈利(或亏本)多少元
体验中考
由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机的价格降低，现价为2400元的某款计算机，3年前的价格为 .
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析：凡获利，均是在进价的基础上获利，有如下关系：打折后售价=进价+利润＝进价×(1+利润率).
解：(1)设进价为x元，由题意得1375×0.8＝(1+10％)x，解得x=1000.
(2)设定价为x元，由题意得0.9x＝5000+760，解得x=6400.
答案：(1)1000 (2)6400
点拨 利润=售价－进价.
2、分析：商品的实际售价－进价=利润，利润＝进价×利润率，因而商品的实际售价－进价＝进价×利润率.
解：设此商品的进价是x元.
由题意得2200×80％－x=10％·x，解得x=1600.
答：该商品的进价是1600元.
方法 明确“进价”“打折”“标价”等概念的实际意义是解题的关键.
3、分析：本题可利用公式：总销售额－总成本=盈利(或亏本)来做.关键是求出甲、乙两种书的成本.甲种书的成本为元；乙种书的成本为元.
解：设该书店这一天盈利x元.根据题意，得
1560+1350=x+.解得x=162.
因为结果为正数，所以这一天盈利.
答：该书店这一天共盈利162元.
体验中考
解析：设3年前的价格为x元，则x(1－)=2400，∴x=3600.
答案：3600元
5.6“希望工程”义演
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.通过分析有关和、差、倍、分问题中已知数与未知数之间的等量关系，列出一元一次方程解应用题.
2.巩固用一元一次方程解决实际问题的步骤，并能验证解的合理性.
3.借助表格分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用.
【重点难点】
1.学会用一元一次方程解决有多个未知量的实际问题.
2.分析等量关系，正确选择适当的未知量设元，列出方程.
知识概览图
列方程解应用题的步骤 — 如何找等量关系 — 解的合理性
新课导引
希望中学七年级一班40名同学 ( http: / / www.21cnjy.com )参加了学校组织的绿化荒山活动，其中男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，一共种了104棵树，你能求出该班男生、女生各多少人吗
教材精华
知识点1 如何找相等关系
学会寻找等量关系是列方程的关键.在本节所涉及的和、差、倍、分问题中，要善于利用“总量等于各个分量之和”来确定等量关系，列出方程.
知识点2 解的合理性
列方程解应用题所求出的解不同于一般的一元一次方程的解，它必须要符合题目的实际情况，否则就不是应用题的解.
课堂检测
基础知识应用题
1、某书店将定价为10元和8元的两种畅 ( http: / / www.21cnjy.com )销书共60本按定价售出后，将所得的书款546元全部捐献给了“希望工程”.问：定价为10元和8元的书各卖了多少本
2、某工厂安排600名工人生产 ( http: / / www.21cnjy.com )A，B型机器共69台，已知7名工人能生产一台A型机器，10名工人能生产一台B型机器.(1)生产A型机器和B型机器的工人各有多少名 (2)如果人数不变，能生产这两种机器共70台吗
综合应用题
3、沿着一条公路栽树，第一棵栽在路的始 ( http: / / www.21cnjy.com )端，以后每隔50米栽一棵，要求路的末端栽一棵，这样只缺少21棵树；如果每隔55米栽一棵，要求在路的末端栽一棵，这样只缺少1棵树.求树的棵数和这条公路的长度.
4、甲、乙、丙三个粮仓共存粮食80吨，已知甲、乙两仓存粮数之比是1：2，乙、丙两仓存粮数之比是1∶2.5，求甲、乙、丙三仓各存粮多少吨
体验中考
小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张.设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A.x+5(12－x)=48 B.x+5(x－12)＝48
C.x+12(x－5)＝48 D.5x+(12－x)＝48
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析：本题存在的等量关系是：10元的畅销书的本数+8元的畅销书的本数＝60本，10元畅销书所得书款+8元恬销书所得书款=546元.
解：设定价为10元的书卖了x本，则定价为8元的书卖了(60－x)本.由题意，得10x+8(60－x)＝546，解得x＝33.
60－x=60－33＝27.
答：定价为10元和8元的书分别卖了33本和27本.
规律 列方程解应用题的关键是要从问题中找 ( http: / / www.21cnjy.com )出等量关系，每一个等量关系表示成等式后，要搞清楚它的左边是什么，右边是什么，然后恰当设未知数，把等式左边和右边的各个量用舍有已知数和未知数的代数式表示.
2、分析：本题的数量关系是：生产A，B型机器共69台.
解：(1)设生产A型机器的工人有x名，则生产B型机器的工人有(600－x)名.
根据题意得=69.解得x=210.
600－210=390.
所以生产A型机器的工人有210名，生产B型机器的工人有390名.
(2)设生产A型机器的工人有y名，则生产B型机器的工人有(600－y)名.
根据题意，得
=70.解得y=233.
因为人数不可能是分数，所以y＝233不符合题意.
故本题无解，也就是说，如果人数不变，不能生产这两种机器共70台.
点拨 解这类问题，应充分挖掘和利用题中的等量关系，并要注意解的合理性.
3、分析：本题有三个量：路长、树的棵数和相邻两棵树之间的距离，于是就有了一个等量关系式：相邻两棵树之间的距离×(棵数－1)=路长.
解：设有树x棵，则当每隔50 ( http: / / www.21cnjy.com )米栽一棵树时，需(x+21)棵树，当每隔55米栽一棵树时，需(x+1)棵树，由题意得方程50(x+21－1)＝55(x+1－1).
解这个方程得x=200.
把x=200代入50(x+21－1)得50(200+21－1)=11000
答：有树200棵，这条公路长11000米.
4、分析：由题意知：甲仓存粮数∶乙仓存 ( http: / / www.21cnjy.com )粮数=1∶2，乙仓存粮数：丙仓存粮数=1∶2.5，为了研究问题方便通常把两个比例式统一起来，将1∶2.5两项同乘2，得2∶5，于是有甲仓存粮数∶乙仓存粮数：丙仓存粮数=1∶2∶5.本题的等量关系是：甲仓存粮数+乙仓存粮数+丙仓存粮数=总存粮数.本题适合用间接设未知数的方法求解.
解：由甲仓存粮数∶乙仓存粮数：1∶2，乙仓存粮数∶丙仓存粮数=1∶2.5=2∶5，得甲仓存粮数：乙仓存粮数：丙仓存粮数=1∶2∶5.
设甲仓存粮x吨，则乙仓存粮2x吨，丙仓存粮5x吨.
由题意，得x+2x+5x＝80.
解得x＝10，2x=20，5x=50.
答：甲、乙、丙三仓分别存粮10吨、20吨、50吨.
方法 遇到有已知几个未知量比值的问题时，常乘用间接设未知数的方法，用设出的未知数表示出题中另外的几个未知数，进而列出方程解决问题.
体验中考
解析：由于所用的1元纸币为x张，则所用 ( http: / / www.21cnjy.com )的5元纸币为(12－x)张，所以根据等量关系及“买书需用48元”列方程得x+5(12－x)＝48. 答案：A
5.7能追上小明吗
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.能分析行程问题中已知数与未知数之间的等量关系，利用路程、时间与速度三个量之间的关系式，列出一元一次方程解应用题.
2.会用“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用.
【重点难点】
1.找出追及问题中的条件和要求的结论，并找出等量关系，列出方程，解决实际问题.
2.找等量关系.
知识概览图
新课导引
狗在猫的后面，相距15步远，狗跑5步的时间，猫跑8步，猫跑10步的路程等于狗跑6步的路程，若狗猫同时开始跑，狗能追上猫吗
教材精华
知识点1 相遇问题
相遇问题是行程问题中重要的一种，它的特点 ( http: / / www.21cnjy.com )是相向而行.这类问题具有直观性，因此通常画出示意图(直线型)帮助分析题意，以便于列出方程.这类问题的等量关系一般是：双方所走路程之和＝全部路程.
知识点2 追及问题
追及问题是行程问题中另一类重要问题，它的特点 ( http: / / www.21cnjy.com )是同向而行.这类问题也比较直观，画出直线型示意图比较便于分析，其等量关系一般是：双方行程的差=原来的路程(开始时双方相距的路程).
课堂检测
基础知识应用题
1、A，B两地相距448千米，一列慢 ( http: / / www.21cnjy.com )车从A地出发，速度为60千米／时，一列快车从B地出发，速度为80千米／时，两车相向而行，慢车先行28分，快车开出后多长时间两车相遇
2、甲步行由上午6时从A地出发，于下午5时到达B地，乙骑自行车由上午10时从A地出发，于下午3时到达B地，问乙在什么时间追上甲
综合应用题
3、甲、乙两人分别同时从相距100千米 ( http: / / www.21cnjy.com )的A，B两地出发，相向而行，甲的速度为6千米／时，乙的速度为4千米／时，甲带一只狗和他同时出发，假如狗以10千米／时的速度向乙奔去，遇到乙后立即回头向甲奔去，遇到甲又回头向乙奔去，直到甲、乙两人相遇时狗才停住，问这只狗共跑了多少千米
4、甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙的速度为6米／秒，甲的速度是乙的1倍.
(1)如果甲、乙两人在跑道上相距8米，同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇
(2)如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇
探索创新题
5、一船航行于A，B两个码头之间，顺水航行需3h，逆水航行需5h，已知水流速度是4km／h，求这两个码头之间的距离.
体验中考
京津城际铁路于2008年8月1日开通运营 ( http: / / www.21cnjy.com )，高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时.某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同.如果这次试车时，由天津返回北京比北京去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是多少
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析：慢车行程+快车行程＝全程.
解：设快车开出x时后两车相遇，
由题意得60(+x)+80x=448.解得x＝3.
答：快车开出3时后两车相遇.
2、分析：A到B的总路程可以看做a ( http: / / www.21cnjy.com )，走完全程甲所用时间是17－6＝11(时)，乙所用时间是15－10＝5(时)，乙追上甲时，所走的路程相等，如图5－7—1所示，据此可列出方程.
( http: / / www.21cnjy.com )
解：设乙出发后x时追上甲，A，B间的距离是a，由题意得(x+4)·＝x·，
解之，得x=3.(10+3)－12=1 (时)=1时20分.
答：乙在下午1时20分时追上甲.
方法 列方程解行程问题要全用“线段图”来进行分析，它比较直观地反映出方程中；的等量关系，同时还要注意单位的统一.
3、分析：已知狗的速度，只要求出狗行走的时间，即等于两人相遇所用的时间.
解：设甲、乙两人走了x时相遇，由题意得
(4+6)x＝100，x＝10.所以10×10=100(千米).
答：狗共跑了100千米.
技巧 本题运用了转化的思想方法，狗行走的时间即为两人相遇的时间.
4、分析：(1)实际上是相遇问题，本 ( http: / / www.21cnjy.com )题的等量关系为：甲的行程+乙的行程＝环形跑道一圈长－8米，设经过x秒，甲、乙两人首次相遇，分析等量关系的两边.
左边 右边
经过x秒两人首次相遇，其中甲的行程为6×x米，乙的行程为6x米 环形跑道一圈长－8米
(2)实际上是追及问题，本题的等量关系为：甲的行程=乙的行程+两人距离，设经过x秒甲、乙两人首次相遇，分析等量关系的两边.
左边 右边
经过x秒两人首次相遇，甲的行程为6×x米 乙的行程为6x米+环形跑道一圈长－8米
解：(1)设经过x秒甲、乙两人首次相遇，由题意得6×x+6x＝400－8，
解得x＝28.
(2)设经过x秒甲乙两人首次相遇，由题意得6×x＝6x+400－8，解得x=196.
答：(1)如果甲、乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过28秒两人首次相遇.
(2)如果同时同向出发，那么经过196秒两人首次相遇.
技巧 解决环形跑道问题要注意两点:
(1)甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的.
(2)甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发：两人第一次相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度.
5、分析1：本题中涉及的公式有：(1)顺水航行速度＝静水中的速度+水速；(2)逆水航行速度=静水中的速度一水速.
解法1：两个码头之间的距离是不变量，以此作为等量关系列出方程，设间接未知数来解.
设船在静水中的速度为xkm／h，则船顺 ( http: / / www.21cnjy.com )水航行的速度为(x+4)km／h，逆水航行的速度为(x－4)km／h.由题意，得3(x+4)＝5(x－4).解得x=16，3(x+4)＝60(km).
答：这两个码头之间的距离是60km.
分析2：将公式(1)、(2)变形得：顺水航行速度－水速=静水中的速度，逆水航行速度+水速＝静水中的速度，由此可见：
顺水航行速度－水速=逆水航行速度+水速，
以此作为等量关系，直接设未知数求解.
解法2：设这两个码头之间的距离为xkm，则船顺水航行的速度为km／h，逆水航行的速度为km／h.由题意，得－4=+4.解得x＝60.答：这两个码头之间的距离为60km.
规律 顺水航行速度=静水中 ( http: / / www.21cnjy.com )的速度+水速，逆水航行速度=静水中的速度－水速.类似的还有，顺风速度=无风速度+风速，逆风速度=无风速度－风速.
体验中考
分析：从北京到天津和由天津返回北京的路程相同，所用时间不同，因而，其速度也不相同，可利用路程这一等量关系列出方程求解.
解：设这次试车肘，由北京到天津的平均速度是x千米／时，则由天津返回北京的平均速度是(x+40)千米／时.
依题意，得x=(x+40)，解得x=200.
答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是200千米／时.