北师大版七年级下第二章相交线与平行线导学案

2.1探索直线平行的条件
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、同位角、内错角和同旁内角的概念.
2、掌握两条直线平行的条件.
【重点难点】
两直线平行的条件的掌握及运用.
识别“三线八角”
知识概览图
“三线八角”两直线平行的条件
新课导引
两条直线的位置关系具有怎样的特征时，这两条直线才能是平行的呢
【问题探究】两条直线的位置关系必须具备以 ( http: / / www.21cnjy.com )下三个特征，这两条直线才能是平行的．①两直线必须在同一平面内，②必须是直线，③必须是不相交的直线．那么，判定两直线平行是否有其他方法
【解答】判定两直线平行除了用平行线定义、平 ( http: / / www.21cnjy.com )行公理的推论外，还有其他判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
教材精华
知识点1 同位角、内错角和同旁内角的概念
同位角、内错角和同旁内角的概念都产生于类似下面这样的图形．
图2—20和图2—21中的直线a，b可能互相平行，也可能不平行．由于这样的图形中有八个角(如图2—22所示)，所以称之为“三线八角”．
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【拓展】如图2—22所示，八个角中的哪两个角是同位角、内错角或同旁内角，完全由两个角在图形中的相对位置所决定．
知识点2 两条直线平行的条件
两条直线平行的条件如下：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
以上条件简单地说，就是：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
规律方法小结
1．识别同位角、内错角、同旁内角的关键是抓 ( http: / / www.21cnjy.com )住“三线八角”(两条直线被第三条直线所截，这三条线称“三线”，形成的八个角称“八角”)，只有“三线”出现且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角．
2．判断两条直线平行时要正确判断出已知角是什么角、什么关系，由此可推出哪两条直线平行．
探究交流
如何识别“三线八角”
【解答】如下表所示．
名称 位置特征 基本图形 图形结构特征
同位角 在两条被截直线同旁，在截线同侧 去掉多余的线呈现基本图形 形如字母F(或倒置或反置)
内错角 在两条被截直线之间(内)，在截线两侧(交错) 形如字母Z(或倒置或反置)
同旁内角 在两条被截直线之间(内)，在截线同侧 形如字母U(或倒置或反置)
规律方法小结 通过转化思想方法的运用，认识到事物之间是普遍联系、并可以相互转化的．
课堂检测
基本概念题
1、如图2—23(1)所示，图中有哪些同位角、内错角和同旁内角
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基础知识应用题
2、(1)∠1和∠2是同位角，则它们之间的关系是 ( )
A.∠l=∠2 B.∠1>∠2 C.∠1<∠2 D．无法确定
(2)如图2—24所示，下列推理正确的是 ( )
A．若∠1＝∠2，则AD∥BC B．若∠1＝∠2，则AB∥DC
C．若∠A＝∠3，则AD∥BC D．若∠3+∠C＝180°，则AB∥CD
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(3)如图2—25所示，FA⊥MN于A，HC⊥MN于C，下列判断中错误的是 ( )
A．由∠CAB＝∠NCD，得AB∥CD
B．由∠DCG＝∠BAC，得∠DCG=∠BAE,得AB∥CD
C．由∠MAB＝∠ACG，且∠DCG＝∠BAE，得AB∥CD
D. 由∠MAB＝∠ACD，得AB∥CD
(4)如图2—26所示，下列判断中错误的是 ( )
A．若∠2＝∠4，则c∥d(同位角相等，两直线平行)
B．若∠4＝∠6，则c∥d(内错角相等，两直线平行)
C．若∠l+∠4＝180°，则c∥d( (同旁内角互补，两直线平行)
D．若∠3＝∠5，则a∥b( (同位角相等，两直线平行)
综合应用题
3、如图2—27所示，已知CD⊥ DA，DA⊥AB，∠1＝∠2，那么直线DF与AE平行吗 为什么
探索创新题
4、如图2—29所示，BD ( http: / / www.21cnjy.com )，AC和EF是一个正方体上的三条棱，其中BD与AC平行吗 EF与AC平行吗 为什么 请你由得到的结论猜想还有哪些结论成立(写出一个即可)．
体验中考
1、如图2—32所示，在所标识的角中，同位角是( )
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3
C.∠l和∠4 D．∠2和∠3
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、【分析】图2—23(1)较复杂，可将此图形转化成两个由三条线组成的图形，使问题简化，如图2—23(2)，(3)所示．
解：同位角有：∠B与∠GAE，∠B与∠GAF．
内错角有：∠B与∠DAB
同旁内角有：∠B与∠BAE，∠B与∠BAF．
【解题策略】 把复杂的图形简化 ( http: / / www.21cnjy.com )，从复杂的图形中暂时舍弃部分内容，这是处理较有难度的几何问题常用的手段．要注意“分”与“合”相结合，对于许多问题，在“分”之后还需把分出来的图形放回原图形中再进行思考．
规律方法 同位角不一定都相等，在不知道两直线是否平行时，所形成的同位角是否相等不能确定．
2、【分析】 (1)两条直线被第三 ( http: / / www.21cnjy.com )条直线所截形成同位角，本题没有说明这两条直线是否平行，所以形成的同位角大小关系不能确定．故选D．(2)因为∠1和∠2是线段AB，DC被线段DB所截形成的内错角，所以根据“内错角相等，两直线平行”来判断可知B正确。(3)因为∠DCG和∠BAC不是直线AB，CD被直线MN所截形成的同位角、内错角、同旁内角之一，所以由∠DCG＝∠BAC得不出AB∥CD．故选B．(4)因为∠1和∠4不是同旁内角，所以∠1十∠4＝l80°不能说明c∥d 故选C.
答案：(1)D (2)B (3)B (4)C
【解题策略】准确识别同位角、内错角、同旁内角，正确运用两直线平行的判定方法判定两直线平行．
3、【分析】判断AE，DF是否平行，只要看AE，DF被AD所截得的内错角是否相等，相等则平行，否则不平行．
解：由CD⊥DA，DA⊥AB，可知∠CDA与∠DAB都是直
角，又因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠4，这是根据等角的余角相等得到的．
由∠3＝∠4，可得DF∥AE，
理由是内错角相等，两直线平行．
【解题策略】解此题的关键是根据等角的余角相等得出∠3＝∠4，进而使问题得到解决．
4、【分析】 这是一个立体图形 ( http: / / www.21cnjy.com )中的问题，以下两点有利于解题：(1)BD与AC在正方体的同一个面上，EF与AC也是如此；(2)正方体是特殊的立体图形，其每个面都是正方形．
解：因为正方体的每个面都是正方形，正方形的四个角都是直角，
所以∠CAB+∠DBA＝90°十90°＝180°．
又∠CAB与∠DBA是同旁内角，所以BD∥AC．
同理可以说明EF∥AC．
猜想：BD∥EF．
【解题策略】 有许多立体图形的问题 ( http: / / www.21cnjy.com )都可以转化为平面图形的问题，从而可以利用平面几何的知识分析、说明立体图形中的一些问题．解这道题的关键在于实现由立体图形到平面图形的转化．产生BD∥EF的猜想比较自然，同学们也许猜想到正方体中四条竖直的棱都是互相平行的．随着知识的逐渐增多，同学们以后将可以说明这样的猜想都是正确的．
体验中考
1、【分析】 本题主要考查同位角的识别．故选C
2.3平行线的特征
学习目标、重点、难点
【学习目标】
了解平行线的特征，能运用这些特征进行简单的推理或运算
会利用角的相等关系推出两直线平行
【重点难点】
平行线的特征；
平行线的特征与两直线平行的条件的综合运用.
知识概览图
两直线平行的特征
新课导引
如右图所示，两束平行光线AB，CD射向一个水平镜面后被反射，此时有∠l＝∠2，∠3＝∠4，我们发现反射光线BF，DE也是平行光线．
【问题探究】由上面的情境，你能根据∠l，∠2，
∠3，∠4之间的关系判定DE∥BF吗
【解答】 由题意知AB∥CD，根据平行线的特征，得∠1＝∠3．又因为∠l＝∠2，∠3＝∠4，所以∠2＝∠4，所以DE∥BF．
教材精华
知识点1 平行线的特征
平行线有如下特征：
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两盲线平行，同旁内角互补．
知识点2 平行线的特征与两直线平行的条件的综合运用
课本中本节的“做一做”就是 ( http: / / www.21cnjy.com )让同学们体会怎样综合运用本节与上节所学知识的，即综合运用平行线的特征与两直线平行的条件．最重要的是不要混淆二者，死记硬背是很容易把它们弄混的．防止把二者弄混的办法是看自己要得出什么结论．要说明同位角或内错角相等，就应该使用平行线的特征；要说明两条直线平行，就利用两直线平行的条件．即由平行得角相等用特征，由角相等得平行用条件．
规律方法小结
平行线的特征也就是平行线 ( http: / / www.21cnjy.com )的-三个性质：(1)两直线平行，同位角相等；(2)两直线平行，内错角相等；(3)两直线平行，同旁内角互补．在运用这些性质时，要注意把性质和判定(两直线平行的条件)区别开来，它们的根本区别是因果关系的颠倒，也就是说，“判定”的题设是“性质”的结论．而“性质”的题设是“判定”的结论．同时，还要明确判定和性质的用途不同，从角的关系得到的结论是两直线平行，就用平行线的判定；如果已知直线平行，由平行线得到角相等或互补关系，就用平行线的性质．
探究交流
“同位角相等”这句话对吗 你怎么看
解析 在两直线平行的前提下，有同位角相等的结论存在；若不知道两直线是否平行，则无法判断其同位角是否相等．
【拓展】利用平行线的特征时，一定是以两直线平行为前提的，不具备两直线平行的前提，切不可滥用平行线的特征．
课堂检测
基础知识应用题
1、如图2—38所示，已知AB∥CD，∠B＝60°，求∠C的度数；能否求得∠A的度数
2、如图2—39所示，ED∥BF，AB∥DC，图中哪几个角与∠B相等
综合应用题
3、如图2—46所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，
∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF．
探索创新题
4、如图2—49所示，已知AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，P为HD上任一点，过点P作直线PM交EF于点M．
说明∠HMF＝∠AGF-∠HPM．
体验中考
1、如图2—50所示，直线l1∥l2，则∠α为( )
A．150° B．140° C．130° D．120°
2、如图2—51所示，在ΔABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠l＝50°，则∠B的度数为 ( )
A．50° B．60° C．30° D．40°
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、【分析】∠C与∠B互补，度数可求． ( http: / / www.21cnjy.com )∠A与∠B虽然是同旁内角的关系，但题中并未给出直线AD与BC的关系，所以不能确定∠A与∠B是否互补，也就不能求出∠A的度数．
解：因为AB∥CD，
所以∠B+∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又因为∠B＝60°，所以∠C＝120°．
根据已知条件无法求出∠A的度数．
【解题策略】不要盲目地认为有平行线，所 ( http: / / www.21cnjy.com )有的同位角(内错角)就相等，要看是否对应．两条平行线被第三条直线所截，截得的同位角相等，与这两条平行线无关的同位角无法判断其是否相等．
2、【分析】图中与∠B相等的有一个同位角，一个内错角，而∠D与∠B也相等是容易被忽略的．
解：因为ED∥BF，所以∠B＝∠EAB(两直线平行，内错角相等)。
因为AB∥CD，所以∠EAB=∠D，∠B＝∠FCD(两直线平行，同位角相等)．
故与∠B相等的角有三个，分别是∠EAB，∠FCD和∠D．
【解题策略】解此题的关键是利用等量代换可知∠D与∠B相等，不要漏掉．
3、解：过C点作CG∥AB，过D点作QD∥CG．
因为AB∥CG，所以∠BCG＝∠B＝25°，
所以∠GCD＝∠BCD一∠BCG=45°-25°=20°．
因为CG∥QD，所以∠CDQ＝∠GCD＝20°，
所以∠QDE＝∠CDE一∠CDQ＝30°-20°=10°
所以∠QDE＝∠E，所以QD∥EF.
又因为QD∥CG，CG∥AB，
所以QD∥AB，所以EF∥AB．
【解题策略】 要判定两直线 ( http: / / www.21cnjy.com )平行，一般用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补去判定，但从该题现有条件看没有这些关系，无法解答，故想到用添加辅助线的方法来创造条件解决问题，这是解此题的关键．
4、 解：因为AB∥CD，所以∠AGF＝∠CHF．
又因为∠CHF+∠FHP＝180°，
所以∠FHP＝180°一∠CHF＝180°一∠AGF．
在ΔHMP中，∠FHP＝180°一∠HMP一∠HPM＝
180°一(∠HMP十∠HPM)，
所以∠AGF＝∠HMP+∠HPM，
所以∠HMP＝∠AGF一∠HPM．
体验中考
1、【分析】因为l1∥l2，所以130°角的补角即∠1＝50°，所以∠α＝50°+70°＝120°．故选D．
2、【分析】因为∠1＝50°，所以∠CE ( http: / / www.21cnjy.com )F＝50°．因为∠ECF＝90°，所以∠CFE=40°．又因为EF∥AB，所以∠B=∠CFE＝40°．故选D．
2.4用尺规作线段和角
学习目标、重点、难点
【学习目标】
会利用尺规作一条线段等于已知线段，能利用尺规作线段的和、差
能按照作图语言来完成作图过程，能用尺规作一个角等于已知角，能利用尺规作角的和、差、倍.
【重点难点】
1、用尺规作线段等于已知线段，一个角等于已知角.
2、线段的和、差、倍的作法.
知识概览图
基本的尺规作图
新课导引
小明想用木条做一个长方形的框，该长方 ( http: / / www.21cnjy.com )形的长为a，宽为b，但现有木条的长都比a，b长，如果现在只有圆规和不带刻度的直尺，你能帮他想办法取料吗
【解析】 以木条的一端为圆心，以a(或b)长为半径画弧，交木条上一点，即木条
的这一端点到这一交点的距离为a(或b)，这样分别取两段a和两段b，则取料完成．
教材精华
知识点1 通过作一条线段等于已知线段来作比较简单的图形
尺规作图，即用圆规和没有刻度的直尺作图 ( http: / / www.21cnjy.com )．课本中给出了用圆规和直尺作一条线段等于已知线段的作法与示范，这只是将以前所介绍的知识更加条理化，作图的方法与以前的介绍是一致的．只要能熟练运用这一方法，就很容易完成课本中的“做一做”与“随堂练习”．比如，按照课本规定的步骤画出“做一做”的图形，如图2—6l所示，所得到的图形是一个四边形，确切地说早一个正方形．
【拓展】无论是课本中，还是本书 ( http: / / www.21cnjy.com )中，都说“作图”而不说“画图”．今后，如果要求我们画什么样的图形，就可以利用有刻度的直尺、三角尺等工具完成，如果要求我们作什么样的图形，就是尺规作图了．
知识点2 利用尺规作一个角等于已知角
利用尺规作一个角等于已知角来完成作图． ( http: / / www.21cnjy.com )为了做到这一点，就必须掌握利用尺规作一个角等于已知角的方法．课本中对这一作图的方法做了详细的介绍，这里没有必要重复．应该指出的是，对课本的介绍，只有反复地动手操作，才能掌握它．课本中的∠AOB是锐角，在作图时，不论已知角是直角还是钝角，都可以按照同样的步骤作出与之相等的角．作出的∠A′O′B′的边O′A′与OA在同一直线上，O′B′与OB平行，这只是为了整齐与美观，在实际作图时完全可以根据需要作图．作图时一定要力求美观、整洁、大方．
通过作角相等得到与已知直线平行的直线，依据是两直线平行的条件：“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行”．
【拓展】作图题是几何题的三个类型之一，它在生产实践中有着重要的地位与作用，是美化生活的基础，作图的每一步都必须有理有据，不能随便乱画．
课堂检测
基础知识应用题
1、已知线段a，b，如图 (1)所示．作线段AB，使它等于线段a与2b之和．
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2、已知：∠α，∠β(∠α>∠β)，如图2—63(1)所示．
求作：∠AOB，使∠AOB=∠α一∠β
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综合应用题
3、已知：∠AOB，如图2-64所示．
求作：∠AOB的平分线．
探索创新题
4、已知：线段a，b(a>b)和一个大小为90°的角，如图2—65所示．
求作：长方形ABCD，使其长与宽分别等于a和b．
体验中考
1、如图2—69所示，已知∠α，∠β，用直尺和圆规求作一个∠γ，使得∠γ＝∠α一∠β(只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法)
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学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、【分析】可以“一段一段”地完成，使第一段等于a，第二段等于2b，两段首尾相接，在同一条直线上即可．
作法：如图2—62(2)所示．
(1)作射线AC；
(2)在AC上截取AD，使AD＝a，也就是以点A为圆心，a为半径画弧，交射线AC于点D；
(3)在DC上截取DE，使DE＝b ( http: / / www.21cnjy.com )，也就是以点D为圆心，b为半径画弧，交射线DC于点E，再在EC上截取EB，使EB＝b，线段AB就是所求作的线段．
【解题策略】作两条线段和可在同一直线上依次连续作出两条线段．
2、【分析】先作与∠α相等的角，然后作与这个角有一条公共边，另一条边在这个
角的内部，并且等于∠β的角．
作法：如图2—63(2)所示．
(1)作∠AOC，使∠AOC＝∠α；
(2)作∠COB，使∠COB＝∠β,并且使射线OB落在∠AOC的内部．
则∠AOB就是所要求作的角．
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3、作法：如图2—64所示．
(1)以已知∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交角的
两边于C，D两点(平常作角平分线不标出这两点)；
(2)分别再以点C和D为圆心，以大于CD长的一半为
半径在角的内部画两段弧，交于一点M(用大于CD长
的一半作半径，主要是为使作的这两段小弧能交上)；
(3)连接OM，则OM为∠AOB的平分线．
4、【分析】长方形的每一个 ( http: / / www.21cnjy.com )角都等于90°，这是必须清楚的，因此可以先作90°的角，在其两边上分别截取长为a,b的线段后，还需再作直角，才会出现长方形的四条边．
作法：如图2—66所示．
(1)作∠MAN，使其大小与已知角相等；
(2)在AM上截取AB，使AB＝a，在AN上截取AD，使AD＝b；
(3)作∠ABP和∠ADQ，使它们的大小均与已知角相等，BP与DQ都位于∠MAN的内部，并且相交于 点C.
则四边形ABCD就是所求作的长方形． ( http: / / www.21cnjy.com )
【解题策略】以上是在目前的知识范 ( http: / / www.21cnjy.com )围内所能使用的作法．实际上，作图得到点A，B，D之后，只要以点月为圆心，以线段b为半径画弧，以点D为圆心，以线段a为半径画弧，两弧的交点就是点C的位置，同学们可以自己试一试．
规律方法 注重新问题的探索，加强新旧知识的贯通，注意几何语言表述的规范和书写格式的规范．
体验中考
1、【分析】 先平分∠β再在∠α的内部作出∠β，即可得出∠γ．
解：如图2—70所示，∠BCD即为所求作的∠γ．
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