北师大版七年级下第一章整式的乘除导学案

1.1同底数幂的乘法
学习目标、重点、难点
【学习目标】
在了解同底数幂乘法意义的基础上，掌握幂的运算性质(或称法则)，进行基本运算
【重点难点】
同底数幂的乘法及其计算
知识概览图
同底数幂的乘法
新课导引
光的速度约为km/s，太阳光照射到地球上的时间约为 s，那么地球距离太阳约多远
【问题探究】由上面的问题可知，地球距离太阳约：()×()=3×5××=15×=15×=1.5×(km). 那么你知道×=这一运算是什么运算吗
【解析】这种运算是同底数幂的乘法运算，同底数幂的乘法法则是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
教材精华
知识点1 同底数幂的意义
同底数幂是指具有相同底数的幂．
【拓展】(1)幂的意义是
(2)同底数幂是指几个幂的底数相同，如，，等．
(3)这里的底数可以是有理数，也可以是代数式．如当时，有，，也是同底数幂．
知识点2 同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
即（m,n为正整数)．
根据乘方的意义有，所以有：
.
【知识拓展】(1)同底数幂乘法的奇妙之处在于把乘法转化成了加法．
(2)乘方的意义是得到同底数幂乘法法则的重要依据．
(3)掌握同底数幂乘法法则的推导过程是灵活运用该法则的前提，也是有关幂的其他运算的基础．
[规律方法小结]
1．同底数幂的乘法与整式加减的区别．
如，而．
2．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，而不是指数相乘．
如，而不是．
3．单独一个字母的指数是1，而不是0．
如y的指数是1，，而不是．
探究交流
在一些特殊的情况下，本来不是同底数的幂可以变为同底数的幂，这是什么情况呢
点拔 (1)当两个幂的底数互为相反数时，如与不是同底数幂，但是=，所以可以实现由不是同底数的幂变为是同底数的幂的转化．
(2)如与不是同底数幂，但也可以转化为同底数幂，而且还存在着不同的转化途径．具体的转化过程留给同学们学过本节之后自己写出吧!
课堂检测
基础知识应用题
1、(1)下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
(2)下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
(3)下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2、若，.求m，n的值。
综合应用题
3、计算．
（1）；
（2）（m，n为正整数）
探索与创新题
4、已知，用含m的代数式表示.
体验中考
1、计算等于（ ）
A． B． C． D．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、【分析】(1)，(2)两题应用同底数幂的运算法则来解决．(3)题应考虑正负号，如，当m是奇数时，=当m是偶数时， =. (4)题应用同底数幂相乘的逆运算判断．
答案：(1)C (2)B (3)D (4)A
2、【分析】同底数幂相乘底数不变，指数相加．
解：由，得.由，得.
从而有解得(二元一次方程组在八年级上册学习)
【解题策略】本题是同底数幂的乘法与方程知识的综合运用．
3、【分析】虽然(1)，(2)中幂的底数不同，但是底数与是互为相反数的形式，可以转化为同底数幂的形式，但是转化后的符号取决于指数的奇偶，因此必须对m，n的奇偶性进行讨论，注意2n是偶数，2n+l是奇数．
解：（1）===.
(2) =
=.
因为2(m+n)+1一定是奇数，
所以上式==
=
【解题策略】当幂的底数互为相反数时，可以 ( http: / / www.21cnjy.com )实现不是同底数的幂向是同底数的幂的转化．转化时，要注意幂的指数的奇偶性，互为相反数的两个数的偶次幂结果相等，奇次幂结果仍是互为相反数．
4、【分析】同底数幂乘法法则的逆用：.
解：由，得，即，所以.
【解题策略】此题的创新之处主要在于逆用了同底数幂的乘法法则，培养逆向思维能力．
体验中考
1、【分析】本题考查同底数幂相乘，底数不变，指数相加，.故选B
、
1.2幂的乘方与积的乘方
学习目标、重点、难点
【学习目标】
掌握幂的乘方和积的乘方的性质
能运用幂的乘方和积的乘方的性质来解决一些实际问题
【重点难点】
幂的乘方和积的乘方的性质
知识概览图
新课导引
我们可以近似地把地球叫做球，如果用V，r分别表示球的体积与半径，则有.已知地球的半径约为千米，你能算出地球的体积吗？试一试.
【问题探究】由上面的问题可知地球的体积为．那么我们如何计算呢 根据是什么呢
【解析】=== (千米)，其中使用了积的乘方的性质和幂的乘方的性质，这节课我们就来学习这两个性质.
教材精华
知识点1 幂的乘方的性质
幂的乘方的性质：（m，n都是正整数）。
用文字叙述这一性质：，就是“幂的乘方，底数不变，指数相乘”．
把叫做底数，n叫做指数，那么根据乘方的意义有：
.
【拓展】 (1)上述推导过程是在阴都是正整数的前提下所进行的推导，所
以在后面出现了“m，n都是正整数”．
(2)切勿将幂的乘方的性质与同底数幂相乘的性质弄混，出现，
这样的错误．
知识点2 积的乘方的性质
积的乘方的性质：（n是正整数)．
用文字叙述这一性质，就是“积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”．
根据乘方的意义得：
.
【拓展】(1)符号问题．常见错误有：,,，等等．
(2)注意“-”号问题．如计算时要分清与的区别，前者底数是a，指数对负号不起作用，后者底数是-2a，指数对负号起作用．
(3)由积的乘方性质的建立过程，可知，要注意每个因式都应写上，不能有道漏．
(4)对法则的逆用，不但加深了对性质的理解，也使不易解出的某些问题因逆用法则而变得简单易行．．
课堂检测
基础知识应用题
1、(1)下列式子中，计算正确的有（ ）
①； ②；
③； ④.
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
(2)下列式子中，计算正确的是（ ）
A． B.
C． D．
综合应用题
2、(1)若，求正整数m的值；
(2)若，求正整数n的值．
探索与创新题
用简便方法计算．
.
体验中考
1、下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D． （x≠0）
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、【分析】(1) ≠，所以①不正确；，所以②不正确；,所以③不正确；，所以④也不正确．故选D．(2)首先看左右两边系数是否相等，然后看每个字母的指数是否相等，若有一个内容不相等，则计算错误．，而右边系数为-6，故A不正确．选项B的左右两边系数也不相等，故B不正确．运用幂的乘方性质和积的乘方性质对备选答案C左右两边分别进行计算，可知其左右两边字母的指数不相等，故C不正确．而D项，=
=2.故选D.
答案：（1）D （2）D
【解题策略】 解此类题主要是对幂的乘方性质、积的乘方性质的运用及其逆用．
2、【分析】(1)把等式两边的底数变成相同 ( http: / / www.21cnjy.com )的数，则要使等式成立，指数必须相等．(2)等式左边根据幂的乘方的性质和同底数幂乘法的性质，换成底数是2的幂，然后利用左右两边指数相等，可求出n值．
解：（1），，，，
所以有4m+4＝16，解得m＝3．
（2），，，，
所以有1+3n+4n＝22，解得n＝3．
【解题策略】 解此题的关键是把等式两边的式子变成同底数幂的形式，再根拐据相应的性质将问题转化为解方程，使问题得到解决．
3、【分析】此题应用积的乘方性质的逆运用来求解．
解：
=.
【解题策略】 解此题的关键是运用整体思想．
体验中考
1、【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；有同类项的合并同类项；幂的乘方，底数不变，指数相乘．故选C．
1.3同底数幂的除法
学习目标、重点、难点
【学习目标】
同底数幂的除法性质；
零指数幂和负整数指数幂的意义.
【重点难点】
1、正确、熟练地运用同底数幂的除法法则进行计算.
2、利用除法的意义说明同底数幂的除法法则的道理；根据乘、除互逆的运算关系得出法则.
知识概览图
幂的运算
新课导引
一种液体，每升中含有1012个有害细菌， ( http: / / www.21cnjy.com )为了试验某种杀菌剂的效果，科学家经过实验发现，1滴该杀菌剂可杀死109个此种细菌，要将1升这种液体中的有害细菌全部杀死，需要此种杀菌剂多少滴
【问题探究】 由上 ( http: / / www.21cnjy.com )面的问题可知，要将1升这种液体中的有害细菌全部杀死，需要此种杀菌剂的滴数为1012÷109，那么对于这个算式我们要根据什么性质计算呢
结果是什么呢
【点拨】 这个算式可根据同底数幂的除法性质进行计算，即1012÷109＝10(12-9)＝103＝1000(滴)．
教材精华
知识点1 同底数幂的除法性质
同底数幂的除法性质：am÷an＝am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．
利用文字表述这条性质为“同底数幂相除，底数不变，指数相减”．
得出性质的公式形式的表达式的过程如下．
设a≠0，m，n都是正整数，且m>n，则有：
( http: / / www.21cnjy.com )
即有am÷an＝am-n（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．
【拓展】 (1)限定a≠0，是因为0不能作除数，否则除法就没有意义了．
(2)利用这条性质进行计算时，应先分清哪部分是底数，哪部分是指数，计算时还要注意所得结果的符号．
(3)当三个或三个以上同底数幂 ( http: / / www.21cnjy.com )相除时，也具有这一性质，例如：am÷an÷ap＝am-n-p（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p)．
知识点2 零指数幂和负整数指数幂的意义
零指数幂和负整数指数幂的意义：
a0＝1（a≠0）；
a-p＝（a≠0，p是正整数)．
在除法运算时难免遇到am÷ ( http: / / www.21cnjy.com )am这种情况，这当然可以直接得出其商为1．另一方面，不等于零的一个数，如32，除以它本身，我们也容易写出：
32÷32＝32-2＝30．
因此，规定30＝l，40＝1，a0＝1 (a≠0)便是很自然的事情了．
规定a-p＝（a≠0，p是正整数)同样是很自然的．
零指数幂、负整数指数幂的出现实际上扩大了式子am÷an＝am-n的使用范围．只要a≠0，m，n都是正整数就可以了．
【拓展】 (1)也可以从加与减、乘 ( http: / / www.21cnjy.com )与除互为逆运算的角度理解同底数幂的除法性质．由am·an＝am+n知，应该有am+n÷am＝an，而am+n与am的指数之差，即(m+n)-m恰好等于n，所以应该有am+n÷am＝a(m+n)-m，此式与am÷an＝am-n表示的意义完全相同．
(2)有了负整数指数幂，就可以把任何一个需要用科学记数法表示的数表示出来了．
(3)同底数幂的除法运算常见的错误有：①指数运算混乱；②底数确定不对，出现符号错误；③系数计算错误；④运算顺序不对
课堂检测
基础知识应用题
1、计算下列各题．
(1)x8÷x3； (2)(-a) 8÷(-a) 5；
(3) (-a) 8÷(-a 5)； (4)(x-y)7÷(y-x)6．
2、(1)若(x -2) 0＝l，则x的取值范围是 ；
(2)若(a -3) -2有意义，则a为 ．
综合应用题
3、若10a＝20，10 b＝5-1，求9a÷32b的值．
4、已知3 m＝6，9 n＝2，求3 2m-4n+1的值．
体验中考
1、下列计算正确的是 ( )
A．a5+a2＝a3 B．(-2)-1＝2 C．(-3 x 2)·2 x 3＝-6x6 D．(π-3)0＝1
2、下列计算正确的是 ( )
A．a+2a=3a2 B．3a-2a＝a C．a2·a3＝a6 D．6a2÷2a2＝3a2
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 (1)直接运用同底数幂的除法性质 ( http: / / www.21cnjy.com )计算．(2)的解答可根据乘方的性质先确定商的符号，即(-a) 8÷(-a) 5=-a 8÷a 5．(3)与(2)有区别，其中(-a) 5与-a 5的意义不同，隐含了(-m) 2= m2 ，(-m) 3=- m3的关系式等．(4)的底数是多项式，也符合同底数幂的除法法则．
解：(1)x8÷x3= x8-3=x5 .
(2)(-a) 8÷(-a) 5=(-a) 8-5 =(-a) 3=-a3.
(3) (-a) 8÷(-a 5)=-a 8÷a 5=-a 3.
(4)(x-y)7÷(y-x)6= (x-y)7÷(x-y)6= x-y.
【解题策略】 注意底数带“一”号和底数互为相反数的情况．
2、分析 本题考查对零指数幂、负整数指数幂中a≠0的限制条件的认识，这一点是每时每刻都要记在脑海里的．
答案：(1) x≠2 (2)不等于3的所有有理数
【解题策略】 不为0的任何数的0次方均为1
3、分析 此题应用am÷an＝am-n和(am)n＝amn的变换来求解．
解：因为10a＝20，10 b＝5a-1=，
所以10 a÷10 b =10 a-b=20÷=100=102，所以a-b=2．
又因为9a÷32b =9a÷(32)b =9a÷9b=9a-b＝92，
所以9a÷32b ＝81．
【解题策略】 在解题过程中，计算题的结果一般不写成负整数指数幂的形式．
4、分析 本题可逆用幂 ( http: / / www.21cnjy.com )的有关性质，将结论中的代数式转化为含有已知条件的代数式进行求解，即要求3 2m-4n+1的值，要把已知条件转化为以3为底的幂的形式，
如9 n＝(32)＝3 2n．
解：3 2m-4n+1＝3 2m÷3 4n×3=(3 m) 2÷(3 2) 2n ×3
＝(3 m) 2÷(9) 2n ×3，
因为3 m＝6，9 n＝2，所以3 2m-4n+1＝62÷22×3＝36÷4×3＝27．
【解题策略】 转化思想及逆向思维方法的运用是解此题的关键．
体验中考
1、分析 A中，不能合并同类项；B中，(-2)-1＝-；C中，(-3 x 2)·2 x 2＝-6x5；D正确．故选D．
2、分析 本题主要考查整式的运算，A选项中a+2a=3a；B选项正确；C选项中a2·a3＝a5；D选项中，6a2÷2a2＝3．故选B．
1.4整式的乘法
学习目标、重点、难点
【学习目标】
单项式与单项式相乘
单项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘
【重点难点】
1、单项式与单项式相乘
2、单项式与多项式相乘
知识概览图
整式乘法
新课导引
如右图所示的是一户住房的平面示意图，你能求出它的面积吗
【问题探究】由右图可知，它的面积为4a×4b-a×b，
那么如何运算呢
【解析】因为4a×4b=4×4×ab＝16ab，所以4a×4b-a×b
＝16ab-ab＝15ab．
教材精华
知识点1 单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
例如：4a2x5·(-3a3bx)＝[4×(-3)]·（a2·a3）·b·（x5·x）=-12 a5 bx6．
【拓展】(1)单项式的乘法法则对于三个(或三个以上)的单项式相乘同样适用．如3xy2··2xyz=·（x·x2·x）·(y2·y·y)·z=-2 x4y4 z.
(2)运算顺序是 ( http: / / www.21cnjy.com )：先乘方，后乘法．如(-3ab)·(-a2 c)2·6ab(c2) 2=(-3ab)·(a4 c2)·6abc4＝-18 a6 b2 c6．
(3)单项式乘单项式的结果仍然是一个单项式．
知识点2 单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
公式的几何解释：
如图1-2所示，大长方形的面积等于三个小长方形的面积之和，即m(a+b+c)＝ma+mb+mc．
【拓展】 单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号．
如：计算-4x2 (2 x2 +3 x-1)
＝(-4x)·(2 x2)+(-4x)·(3x)+(-4x)·(-1)
＝-8 x3-12 x2 +4 x
即积的符号的确定与去括号法则是一致的．
知识点3 多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
公式：(m+n)(a+b)＝ma+mb+na+nb．
公式的推导：先把(m+n)看成单项式，用单项式乘多项式法则得(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)．
然后再运用单项式与多项式相乘的法则，就得到(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn．
公式的几何解释：如图l-3所示，大长方形的面积等于四个小长方形面积的和，即(a+b)(m+n) =ma+mb+na+nb．
【拓展】在做多项式相乘的题时，一定要防止漏项，避免错误的方法是乘完后马上检查项数够不够，然后再往下进行．
课堂检测
基础知识应用题
1、计算．
（1）（2xy2）·； （2）（-2 a2 b3）·(-3 a)
（3）（4×105）×(5×104)； （4）5 a2 bx·(-3 a b3 x y2).
2、计算
(1)(2x-5y)(3x-5y+6)；
(2)( a2-2 b2)( a+2 b)-2ab(a-b)；
(3)[(-3x3) 2-(2x3) 2+(-3x2)(-x2) 2](5x-1)；
(4)2(3x-2y)(x+5y)-6(x-y)(3x+2y)．
综合应用题
3、求x (x2+ x-3) - x2 (x-1)-2(x-1)(2 x+1)+2 x2的值，其中x＝100．
4、一个三位数，其十位数字比个位数字大 ( http: / / www.21cnjy.com )1，百位数字又比十位数字大2．另外有一个两位数，其十位数字与三位数的个位数字相同，都可用a表示，其个位数字比十位数字小3，请把这两个数之积用含a的代数式表示出来，并把此代数式化简．若a＝4，把这两个数表示出来．
探索与创新题
5、当m，n为何值时，x [x (x+m)+nx(x+1)+m]的展开式中不含x2项和x3项
体验中考
1、化简(-3 x2)·2 x3的结果是 ( )
A．-6 x5 B．-3 x5 C．2 x5 D．6 x5
2、(-2a)·= .
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 计算积的系数时，先确定其符 ( http: / / www.21cnjy.com )号再求其绝对值；单项式乘早项式的结果仍是单项式，只在一个早项式里出现的因式，必须连同它的指数作为积的一个因式．
解：（1）（2xy2）·=·（x·x）·（y2·y）=x2 y3.
（2）（-2 a2 b3）·(-3 a)=[(-2) ×(-3)]·（a2·a）·b3=6 a3 b3.
（3）（4×105）×(5×104)=(4×5) ×(105×104)=20×109=2×1010.
（4）5 a2 bx·(-3 a b3 x y2)=[5×(-3)]( a2·a)（b·b3）(x·x) y2=-15 a3 b4 x2 y2.
【解题策略】 注意单项式与单项式相乘性质的准确运用．
2、解：(1)原式＝6x2-15xy-10xy+25y2+12x-30y＝6x2-25xy+25y2+12x-30y．
(2)原式＝a3-2ab2+2 a2b-4 b3-2 a2b+2 ab2＝a3-4 b3．
(3)原式＝(9 x2-4x6-3x6)(5 x-1)＝2 x6 (5 x-1)＝10 x7-2 x6．
(4)原式＝2(3 x2+13 x y-10 y2)-6(3 x2- x y-2 y2)＝-12 x2+32xy-8 y2．
【解题策略】带“-”号的单项式乘多项式时，一定要注意符号的变化．
3、分析 本题是单项式和多项式的混合乘法，应用整式的乘法法则计算后合并同类项，最后求值．
解：原式＝x3+ x2-3x- x3 +x2-2(2 x2- x-1)+2 x2＝- x+2．
当x＝100时，原式＝-100+2＝-98．
【解题策略】 括号前面带“-”号的因式与括号内各项相乘时，要注意括号内的各项都要变号．
4、 解：三位数的个位数字为a， ( http: / / www.21cnjy.com )则十位数字为a+1，百位数字为(a+1)+2＝a+3，此三位数用代数式表示为100(a+3)+10(a+1)+ a．两位数的十位数字为a，其个位数字为a-3，则此两位数用代数式表示为10a+(a-3)．
两个数的乘积为[100(a+ ( http: / / www.21cnjy.com )3)+10(a+1)+ a][10a+(a-3)]＝(100a+300+10a+10+a)·(10a+a-3)＝(111a+310)(11a-3)＝1221a2+3410a-333a-930＝1221a2+3077a-930．
当a＝4时，三位数为754，两位数为41．
【解题策略】 准确用字母表示出三位数、两位数是解此题的关键
5、分析 遇到这类问题，只需用单项式与多项式相乘，展开后，合并同类项，然后使不存在的项的系数为零．
解：x [x (x+m)+nx(x+1)+m]＝x (x2+mx+n x2+nx+m)＝x3+m x2+n x3 +n x2 +m x=x3+x2+mx.= （1+n）x2 +（m+n）x2 +mx
因为多项式中不含x2项和x3项．
所以解得
【解题策略】 此种类型题若是多项式乘多项式，解法相同
体验中考
1、分析 (-3 x2)·2 x3＝(-3)×2 x2+3＝-6 x5．故选A．
2、分析 本题考查整式的计算．(一2a)·=-a4+2a.故填-a4+2a.
1.5平方差公式
学习目标、重点、难点
【学习目标】
会推导平方差公式，了解公式的几何解释，并能运用公式计算
【重点难点】
掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算
知识概览图
平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2- b2
新课导引
如下图所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形(a>b)．
(1)请你表示出图(1)中阴影部分的面积；
(2)如图(2)所示，如果将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形的长和宽分别是
多少 你能表示出它的面积吗
【问题探究】 由上面的图形分 ( http: / / www.21cnjy.com )析可知：(1)S阴＝S大正- S小正＝a2- b2．(2)通过图形的变化可知，此长方形的长为(a+b)，宽为(a-b)，则S阴＝S长＝(a+b)(a-b)，那么这两个图形的阴影部分的面积有什么关系呢
【解析】 从图(1)通过割补转化到图(2)这一过程可知，这两个图形的阴影部分
的面积是相等的.即(a+b)(a-b)＝a2- b2．
教材精华
知识点1 平方差公式及其导出方法
平方差公式是(a+b)(a-b)＝a2- b2．
这就是说，两个数的和乘这两个数的差等于这两个数的平方差．
直接计算也可以得到这个公式：(a+b)(a-b)＝a2- ab+ab - b2＝a2- b2．
【拓展】 (1)a，b仅仅是 ( http: / / www.21cnjy.com )符号，它们可以表示数，也可以表示式子(单项式、多项式等)，无论表示什么，它们的和与差的积一定等于它们的平方差． (2)认识公式的特征至关重要．平方差公式的特征：公式的左边是两个数的和乘这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差．
知识点2 平方差公式的验证
如图l-7所示，阴影部分的面积为(a+ ( http: / / www.21cnjy.com )b)·(a-b)，而图中阴影部分的面积还等于两个边长分别为a与b的正方形的面积之差，即a2- b2，从而验证了公式(a+b)(a-b)＝a2- b2的正确性．
【知识拓展】这种验证是有局限性的．这是因为图形中的a，b只能是正数，且有a>b，而公式中的a，b并无此限制．
知识点3 平方差公式的应用
在应用平方差公式写出两个多项式的乘积之前，必须先判断是否具备使用这个公式的条件．
这就需要看相乘的两个多项式是否可以 ( http: / / www.21cnjy.com )写成(a+b)(a-b)的形式．因为公式(a+b)(a-b)＝a2- b2中的a和b分别在两个括号里，所以判断时要把两个括号里的项进行比较，如果有一项相同，而另一项互为相反数(请注意，这里并没说第一项相同，第二项互为相反数)，那么就可以利用平方差公式进行计算了．
【拓展】 利用平方差公式不仅可以计算(x+2)( x -2)，这类比较简单的题目，还可以计算(a+b-c)·(a-b+c)，98×102这样比较复杂的题目，这是因为它们表面上不符合公式，却可以转化为符合使用这个公式所要求的形式．
(a+b-c) (a-b+c)＝[(a+(b-c)] [(a-(b-c)]；
98×102＝(100-2)(100+2)．
要真正掌握一个公式，除了理解公式的本质、掌握公式的特征之外，还要进行一定的练习，才能达到灵活掌握、应用自如的水平．
探究交流
平方差公式的变化形式．
在运用平方差公式时，要注意是 ( http: / / www.21cnjy.com )否符合(a+b)(a-b)＝a2- b2的模型，要紧扣“相同项”和“互为相反数”这两点，时刻观察运用平方差公式的各种变形，那么平方差公式常有哪几种变形呢
解析 (1)位置变化：(b+a)(-b+a)＝a2- b2．
(2)符号变化：(-a-b)(a-b)＝b2- a2．
(3)系数变化：.
(4)指数变化：(a2+ b2)( a2- b2)＝(a2) 2-( b2) 2．
(5)增项变化：(a-b-c)(a-b+c)＝(a-b) 2- c2．
(6)增因式变化：(a+ b)( a- b)(- a- b)( -a+ b)＝(a2- b2) 2．
(7)连用公式变化：(a-b)(a+b)( a2+ b2)( a4+ b4)＝a8- b8．
(8)逆用公式变化：(a-b+c-d) 2-(a+b-c+d) 2＝2 a (-2b+2 c-2 d)．
只有注意到这些变形，才能使整式乘法运算符合平方差公式，给运算带来方便．
课堂检测
基础知识应用题
1、计算．
(1)；
(2)（-3x-2y）(3x-2y).
2、 用平方差公式计算下列各题．
(1)103×97； (2)118×122．
综合应用题
3、化简下列各式．
(1)(1+xy2) (1-xy2) (-1-x2y4)；
(2)(a+b+c)(a+b-c)．
探索与创新题
4、求值….
体验中考
1、当x＝3时，y=1时代数式(x+y)( x-y)+ y2的值是 .
2、先化简，再求值：(a- 2)( a +2)- a (a-2)，其中a＝-1．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 (1)中完全相同的项是，与-是只有符号不同的项，符合平方差公式的结构特征．(2)中-2y是完全相同的项，-3x与3x是只有符号不同的项．
解：(1)
=
=
=.
(2)(-3x-2y）(3x-2y)
＝(-2y +3x）(-2y -3x)
＝(-2y) 2-(3 x) 2
=4 y2-9 x2．
规律·方法
（1）学习平方差公式，必须把握其特征，但不要对其特征搞机械记忆，本题“分析”中的用词，就与前面讲解中的语言有所差异．
（2）这个公式的特征还可以这样概括：一项相同，另一项互为相反数的两个二项式的积，等于相同项的平方与互为相反数的项的平方的差．
2、分析 把103改写成(100+3 ( http: / / www.21cnjy.com ))，把97改写成(100-3)；把118改写成(120-2)，把122改写成(120+2).即必须写成(a+b)(a-b)的形式，才能应用平方差公式．
解：(1)103×97＝(100+3)(100-3)＝1002-32＝9991．
(2)118×122＝(120-2)(120+2)＝1202-22＝14396．
【解题策略】解此题的关键是把题中的两个 ( http: / / www.21cnjy.com )因数写成相同两数的和与差的积的形式，即(a+b)(a-b)的形式，再运用平方差公式计算．这样使计算简便．3、分析 本题是单项式和多项式的混合乘法，应用整式的乘法法则计算后合并同类项，最后求值．
解：原式＝x3+ x2-3x- x3 +x2-2(2 x2- x-1)+2 x2＝- x+2．
当x＝100时，原式＝-100+2＝-98．
【解题策略】 括号前面带“-”号的因式与括号内各项相乘时，要注意括号内的各项都要变号．
3、解：(1)原式＝[1-( xy2)2](-1- x2y4)＝(x2y4-1) (1+x2y4)＝(x2y4) 2-1＝x4y8-1．
(2)原式＝[(a+b)+c] [(a+b)-c]＝(a+b) 2-c2＝(a+b)(a+b)-c2
＝a2+ab+ab+b2-c2＝a2+2ab+b2- c2．
【解题策略】掌握平方差公式的特征．(1) ( http: / / www.21cnjy.com )两次运用平方差公式，注意公式中a，b的确定，两因式中相同的项作为公式中的a，互为相反数的项作为公式中的b，再套用公式计算．(2)的两因式中有三项，则可把相同的项合并在一起作为公式中的a，互为相反的项合并在一起作为公式中的b，再运用平方差公式计算．
4、分析 此题直接通分计算显然比较复杂，如 ( http: / / www.21cnjy.com )果注意到每个括号里都是两个数的平方差形式，就不难想到逆用平方差公式，将所求代数式变形，再约分，就可求值．
解：原式=…=××××××…×××
=×=.
体验中考
1、分析 本题考查平方差公式在整式运算中的运用，(x+y)( x-y)+ y2＝x2- y2+y2=x2=32=9.故填9．
2、分析 本题考查利用平方差公式及整式乘法法则将代数式化简、求值．
解：(a- 2)( a +2)- a (a-2)＝a2-4- a2+2 a＝2 a-4，
当a＝-l时，原式＝2×(-1)-4＝-6．
【解题策略】 注意括号前面的“-”号．
1.6完全平方公式
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算
2、了解（a+b） =a +2ab+b 的几何背景
3、完全平方公式的应用
【重点难点】
完全平方公式的推导及其应用
知识概览图
完全平方公式
新课导引
观察右图，一个边长为a的正方形，现在把它的边长增加了b，形成图中的四个图形，你能用不同的方法表示现在图形的面积吗 试一试!
【问题探究】 由上图可知，这 ( http: / / www.21cnjy.com )个图形的面积可表示为a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2，还可以表示为(a+b)2．观察图形，你会得出什么结论
【解析】 观察图形可得如下结论：(a+b)2＝a2+2ab+b2．
教材精华
知识点1 完全平方公式
两数和的完全平方．
公式：(a+b)2＝a2+2ab+b2．
语言叙述：两个数和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数积的2倍．
公式推导：(a+b)2＝(a+b) (a+b)=a2+ ab+ ab+b2＝a2+2ab+b2．
几何解释：先观察图1-9，再用等式表示阴影部分面积的运算：
(a+b)2＝ + + ．(如图1-10所示)
( http: / / www.21cnjy.com )
两数差的完全平方．
公式：(a-b)2＝a2-2ab+b2．
语言叙述：两个数差的平方，等于这两个数的平方和，减去这两个数积的2倍．
公式推导：把a-b看成a+( -b)，则有：
(a-b)2＝ [a+( -b)] 2＝a2+2·a·(-b)+(- b) 2＝a2-2ab+b2．
几何解释：可用图1-11中的面积关系来解释．
(a-b)2＝a2-2ab+b2．
两个公式的区别：
两个公式一个是两数和的平方，一 ( http: / / www.21cnjy.com )个是两数差的平方；等号右边的2倍项一个是“+”，一个是“-”；左右两边都是一个符号的差别，简称为“一号之差”．
【拓展】完全平方公式中的a，b可以是数，也可以是单项式或者是多项式．
知识点2 完全平方公式的应用
抓住公式的特征是正确应用公式的前提，首先要判断一个代数式是否可以利用完全平方公式展开，如果能用公式展开，再选用公式．
应用完全平方公式的步骤是：
①确定两数，即确定谁相当于公式中的a，谁相当于公式中的b；
②再看好是两数和，还是两数差；
③选用公式写出结果．
如在计算(-b2 +4 a2) 2时．
如果将- b2看成公式中的a，4 ( http: / / www.21cnjy.com ) a2看成公式中的b，则有[(-b2)+(4a2)]2＝(-b2)2+2·(-b2 )·4 a2+(4 a2)2=- b2-8 a2 b2+16 a4．
如果将4 a2看成公式中的 ( http: / / www.21cnjy.com )a，b2看成公式中的b，则有(-b2+4 a2)2＝(4 a2- b2)2＝(4a2)2-2·4 a2·b2+( b2)2＝16 a4-8 a2 b2+ b4．
规律方法小结 本节主要学习了完全平 ( http: / / www.21cnjy.com )方公式，这是继平方差公式之后的两个公式，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同，运用完全平方公式计算时，要注意：(1)切勿把此公式与公式(ab)2＝a2b2混淆，或随意写成 (a+b)2 ＝a2+b2；(2)切勿把“乘积项2ab”中的“2”丢掉；（3)计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．
探究交流
(a+b)2与a2+b2有什么区别
(1)读法不同：(a+b)2读作“a与b两数的和的平方”； a2+b2读作“a与b两数的平方和”．
(2)运算顺序不同：(a+b)2是先求和然后再平方，而a2+b2是先平方再求和。
(3)几何意义不同：如图1-12所示，大正方形的面积是
(a+b)2，而图中阴影部分的面积是a2+b2．
( http: / / www.21cnjy.com )
(4)项数不同：(a+b)2是 ( http: / / www.21cnjy.com )二项式的千方，它的展开式是a2+2ab+b2，是一个二次三项式；a2+b2是二次二项式，有a2+b2＝(a+b)2-2ab．
(5)只有当a＝0或b＝0时，才有a2+b2＝(a+b)2．
课堂检测
基础知识应用题
1、有如下运算：
①(2a-3b)2＝4 a2-9b2；
②(a+2 b)2＝a2+2ab+4b2；
③=；
④(0.3a-0.2b)=．
其中正确的有 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2、运用乘法公式计算.
综合应用题
3、某农场为了鼓励小学生集体 ( http: / / www.21cnjy.com )到农场去劳动，许诺学生到农场劳动后，每人得到的苹果数将等于参加劳动的人数，第一天去农场劳动的有x人，第二天去了y人，第三天去了(x+y)人，第四天去了(x+2y)人，则在这四天中，农场送出去的苹果有多少个
4、已知x+＝a，求x2+-1的值．
探索与创新题
5、已知ΔABC的三边a，b，c满足a2+ b2+ c2-ab- bc-ac＝0，试判断ΔABC的形状．
体验中考
1、用配方法将代数式a2+4a-5变形，结果正确的是 ( )
A．(a+2) 2-1 B．(a+2) 2-5 C．(a+2) 2+4 D．(a+2) 2-9
2、先化简，再求值：(a+ b) (a-b) +(a+b) 2-2a2，其中a＝3，b＝-.
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 本题需利用完全 ( http: / / www.21cnjy.com )平方公式进行判断，要掌握完全平方公式的特征．完全平方公式的右端是三项而不是两项，由此可断定①式不正确．由公式的符号特征(右边“乘积项”与左边表示两数和还是两数差的符号一致)断定④式中含ab的项的系数应为“-”，而不能为“+”，从而断定④式不正确．计算(a+2b) 2的结果为a2+4ab+4 b2，可见②式也不对．③式是正确的．故选B．
【解题策略】 解这类题目要特别注意利用完 ( http: / / www.21cnjy.com )全平方公式的特征．对于上面第④式，利用公式的符号特征，其不正确可谓一目了然，这比按公式展开计算要快得多．
2、方法1：同时利用公式(a+b)2＝a2+2ab+b2与公式(a-b)2＝a2-2ab+b2把两个括号展开，然后合并同类项．方法2：从整体上观察题目，能发现符合a2-b2的形式，若由此联想到平方差公式，则可以逆用平方差公式解决此题．
解法l：
=+2··5+25-
=+5 x +25-+5 x -25=10x
解法2：
=
=
=(5+5)=10x.
3、分析 每人得到的苹果数相当于人数，当第 ( http: / / www.21cnjy.com )一天去x人时，每人得苹果x个，共得苹果x2个；第二天去了y人，共得苹果y2个；第三天去了(x+ y)人，共得苹果(x+ y)2个；第四天去了(x+2y)人，共得苹果(x+2 y)2个．
解：四天中农场共送出去苹果：
x2+ y2+( x+ y)2+( x+2y)2
＝x2+ y2+ x2+2 xy+ y2+ x2+4 xy+4 y2
＝3 x2+6 xy+6y2 (个)．
4、分析 通过观察，可以把已知代数式两边平方，平方后和所求代数式接近．
解：因为x+＝a，所以＝a2，
x2++2x·= a2，x2+= a2-2，
所以x2+-1＝a2-2-1＝a2-3．
【解题策略】解此题的关键是在不求出x的情况下，如何利用完全平方公式将 x2+用a表示出来．
5、分析 式子a2+ b2+ c2-ab- ( http: / / www.21cnjy.com ) bc-ac＝0，体现了三角形三边关系，从形式上看与完全平方公式相仿，但无公式中间项“2ab”中的2倍，所以想到把等式两边同时扩大到原来的2倍，从而得到结论．
解：因为a2+ b2+ c2-ab- bc-ac＝0，所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac＝0．
所以(a2-2ab +b2)+ (b2-2bc +c2)+ (a2-2ac +c2)= 0，
即(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2＝0，所以a-b＝0，b-c＝0，a-c＝0，
所以a＝b＝c，所以ΔABC为等边三角形．
【解题策略】 完全平方公式的逆用．
体验中考
1、分析 变形后的式子整理的结果应与原式相等．故选D．
2、分析 根据平方差公式、完全平方公式将所求代数式进行化简．
解：原式＝a2- b2+( a2+2ab+b2)-2a2＝2ab，
当a＝3，b＝-时，原式＝2×3×＝-2．
1.7整式的除法
学习目标、重点、难点
【学习目标】
单项式除以单项式
多项式除以单项式
【重点难点】
1、单项式除以单项式
2、多项式除以单项式
知识概览图
整式的除法
新课导引
我们知道“先看见闪电，后听见 ( http: / / www.21cnjy.com )雷声”，也就是说在空气中光的传播速度比声音快．这是因为光的速度约为3×108米／秒，声音的速度约为300米／秒．你能计算出光的速度是声音的多少倍吗
问题探究 由上面的问题分析可知：光的速度是声音速度的(3×108)÷300(倍)，那么怎么进行计算呢
解析 (3×108)÷300＝(3×108)÷(3×102)＝(3÷3)×108-2＝106(倍)．
教材精华
知识点1 单项式除以单项式
单项式除法法则：单项式除以单项式 ( http: / / www.21cnjy.com )，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
例如：÷=÷3·=-．
【拓展】 单项式除以单项式的法则类比单项式乘单项式的法则来理解和记忆．
知识点2多项式除以单项式
多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
公式：(am+bm+cm)÷m＝am÷m+bm÷m+cm÷m．
【拓展】 (1)比较单项式除以单项式理解记忆．
(2)在计算多项式除以单项式时，注意不要漏项及符号问题．
探究交流
观察下列运算：=3+b，你认为对吗
解析 这个计算是错误的，错误在于只把分子的一部分而不是把整个分子除以了a．
课堂检测
基础知识应用题
1、计算．
（1）； （2）；（3）.
2、计算．
(1)(12-6+3ab)÷(3ab)；
(2)[- ]÷；
(3)(-0.25--)÷(-0.5)．
综合应用题
3、若(y2)m·(xn+1)2÷(xn ( http: / / www.21cnjy.com )y)＝x3y3，求代数式(3m+2n)(3m-2n)-(3m+2n) 2+(3m-2n) 2的值．
探索与创新题
4、小明与小亮在做游戏，两人各报一个整式，小明报一个被除式，
小亮报一个除式，要求商式必须为2xy，若小明报的是x3y-2xy2，小亮应报什么整式 若小明报3x2，小亮能报出一个整式吗 说说你的理由．
体验中考
1、下列运算正确的是 ( )
A．(x3) 3＝x6 B．a6·a4= a24
C．(-bc) 4÷(-bc)2＝b2c2 D．x6÷x3＝x2
2、计算(a2 b) 2÷a＝ ．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、解：（1）=·a2-1x3-1=.
（2）==4xy.
（3）=(-5÷15)a5-4b3-1c=.
【解题策略】本题直接利用单项式除以单项 ( http: / / www.21cnjy.com )式法则计算，计算时，要弄清两个单项式的系数各是多少，哪些是同底数幂，哪些是只在一个单项式中出现的字母，此外，还要特别注意系数的符号．
2、解：(1) (12-6+3ab)÷(3ab)；
＝12÷(3ab)- 6÷(3ab) +(3ab)÷(3ab)
＝4-2a+1．
(2) [- ]÷；
＝÷-÷
＝-l＝a2+2 ab+ b2-1．
（3）(-0.25--)÷(-0.5)
＝0.5+ab+．
3、解：因为(y2)m·(xn+1)2÷(xn y)＝x3y3，
y2m·x2n+2÷(xn y)＝x3y3，y2m-1xn+2＝x3y3，
所以有解得，m=2，n=1．
(3m+2n)(3m-2n)-(3m+2n) 2+(3m-2n) 2
＝(3m) 2-(2n) 2-(3m) 2-12mn-4n2+9m2-12mn+4n2
＝9m2-24mn-4n2．
当m=2，n＝1时，
原式＝9×22-24×2×1-4×12＝-16．
【解题策略】通过对等式的化简，把指数间的关系转化为方程，解出未知数，从而达到解题的目的．
4、分析 小亮报的整式应由小明报的整式除以商式而得到，要注意所报的式子一定为整式，否则不可以．
解：因为(x3y-2xy2)÷2xy＝x2-y，所以小明报x3y-2xy2时，小亮报x2-y．因为3x2÷2xy的结果不是整式．所以小明报3x2时，小亮不能报出一个整式．
【解题策略】 充分利用被除式、除 ( http: / / www.21cnjy.com )式和商式三者之间的关系解决问题，本题利用了除式＝被除式÷商式这个关系，当然被除式＝除式×商式，商式=被除式÷除式也要掌握．
体验中考
1、分析 本题考查的是整式的运算．(x3) 3＝x3×3＝x9，a6·a4= a10，x6÷x3＝x6-3＝x3．只有选项C正确．故选C
2、分析 (a2 b) 2÷a＝a4 b 2÷a＝a3b2．故填a3b2．
幂的乘方：底数不变，指数相乘
积的乘方：每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
幂的运算