《多边形》导学案
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《多 边 形》导 学
一、归纳知识要点，做到温故知新
1.三角形的概念：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，就是三角形，这三条线段就是三角形的边.三角形具有稳定性.
2.三角形的分类：
（1）按角分类：三角形
（2）按边分类：
3.三角形内的主要线段
（1）三角形的中线；（2）三角形的高；（3）三角形的角平分线.
4.三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
5.三角形角的关系：
（1）三角形的内角和等于180°；（2）三角形的外角和为360°.
（3）三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（4）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角；
6.多边形的定义与性质
（1）从边形的一个顶点引出（）条对角线，把边形分成（）个三角形，所以，边形的内角和等于（n－2）×180°.
（2）任意多边形的外角和都是360°；（3）正边形的一个外角的度数为.
（4）边形对角线的条数为.
7.多边形的密铺
（1）铺设地板的一般方式是围绕某一点及周围的区域无空隙无重叠地铺满；
（2）能铺满地面的有规则的图形有正方形、长方形、正六边形；也有不规则的，如高速公路的护坡上，就由任意的四边形铺满；
（3）能否铺满地面的关键在于相邻的几个多 ( http: / / www.21cnjy.com )边形中，有同一个顶点的几个角的和能否等于360°，如果能等于360°就能没有空隙且不重叠地铺满地面.
二、牢记注意事项，以免重蹈覆辙
1.三角形有三条边、三个角、三个顶点.
2.三角形有六个外角，其中每一个外角与它相邻的内角互为邻补角.
3.三角形的中线、高、角平分线都是线段.每 ( http: / / www.21cnjy.com )一个三角形都有三条中线、三条高、三条角平分线；并且三条中线交于一点，三条高所在的直线交于一点，三条角平分线交于一点.三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形的内部，而三条高随三角形形状的变化而变化，注意画三角形的高时一定要过顶点画对边的垂线段.
4.判断三条线段能否构成三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和都大于第三边.
5.在进行有关三角形的边或角的计算问题时，应注意使用方程思想.在进行多边形的有关计算时，应运用（）×180°来构造方程，以降低求解的难度.
6. 用相同的正多边形拼地板时必须满足（360°÷）为正整数，即为正整数.用这样的正边形就可以铺满地面；用正多边形拼地板必须满足同一顶点不同正多边形的各个内角之和等于360°.即无论选择哪一种，都必须满足围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角和加在一起恰好等于一个周角（360°）时，才可以拼成一个平面图形.
7.注意没有给出图形的题目，首先要根据题意正确地画出图形，再进行解答，解题时要注意考虑周密，不能漏解.
8.在求解多角和问题时，要注意转化思想的运用，即把多角和转化为三角形的内角和来处理.
三、熟悉常考题型，做到熟能生巧
考点1：三角形三边关系的应用
例1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
（A），， （B），，
（C），， （D），，
考点2：用三角形的内角和及外角的性质求角度
例2. 如图，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3= .
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考点3：多边形的有关计算多边形的内角和等于(n-2)·180°,多边形的外角和等于360°.
例3.（1）已知一个多边形的内角和为540°,则这个多边形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
（2）有一个多边形的内角和是它外角和的5倍，则这个多边形是_____边形.
（3）七边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
（4）若一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的内角和等于 .
（5）若一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形是_____边形.
（6）若凸ｎ边形恰好只有三个内角是钝角，这样的多边形边数ｎ的最大值是（ ）
A．４ B．５ C．６ D．７
（6）一个凸ｎ边形的内角中，恰有４个钝角，则ｎ的最大值是（ ）
A．４ B．５ C．６ D．７
（7）若正ｎ边形的内角度数是整数，这样的ｎ有 个．
（8）一个多边形的边数增加1倍，它的内角和为2160 ．原来多边形是_____边形.
（9）有一多边形的内角和与某一外角的度数和为2008 ，则这个多边形是_____边形.
考点4：用正多边形铺地面
例4. 在下面的地板砖：①正方形 ②正五边形 ③正六边形 ④正八边形中能够铺满地面的地板砖的种数有（ ）
（A）1种 （B）2种 （C）3种 （D）4种
《多边形》练习题答案
一、1.A 2.B 3.C 4.D 5.B 6.C 7.B 8.C 9.C 10.A
二、1.直角; 2. 6,7或6.5,6.5; 3.2从三角形的外角入手求角
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
例１ 如图，已知∠A＝65°, ∠1＝43°, ∠E＝32°，则∠C的度数为______.
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例２ 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝（ ）
（A）180° （B）360° （C）540° (D）720°.
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例３ 如图，已知∠ABC＝31°，又∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点，则∠AEC为（ ）
（A）14.5° （B）15.5° （C）16.5° (D）20°.
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《多边形》练习题
选择题
1．四根长度分别为3cm、7cm、10cm ( http: / / www.21cnjy.com )、14cm的钢条，以其中三根的长为边长，焊接成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是( ).
A.31cm B.27cm C.24cm D.20cm
2．任何一个三角形的三个内角中至少有（ ）
A.一个角大于60° B.两个锐角 C. 一个钝角 D.一个直角
3．一个多边形的内角和与外角和的比为5：2，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形
4.三角形的三个外角中,至少有（ ）
A.两个锐角 B.两个直角 C.一个钝角 D.两个钝角
5. 一个正多边形,它的一个外角等于与它相邻内角的,则这个多边形是（ ）
A. 正十二边形 B.正十边形 C.正八边形 D.正六边形
6. 某科技馆铺设地面，已 ( http: / / www.21cnjy.com )有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面平铺，则不应该购买的地砖形状是（ ）.
A.正方形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形
7.一幅美丽的图案,在某个顶点由四个边 ( http: / / www.21cnjy.com )长相等的正多边形密铺而成,其中的三个分别是正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（ ）
A．正三边形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形.
8.已知三条线段长为3,8,a,能组成边长都是整数的三角形一共有（ ）
A．3个 B．4 个 C．5个 D．无数个
9.如图1,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（ ）
A．180° B．540° C．360° D．720°
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图1
10．用三块正多边形的木块铺底,拼 ( http: / / www.21cnjy.com )在一起并相交于一点的各边完全吻合,其中两块木板的边数都是8,则第三块木板的边数应是（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题
1．在△ABC中，三个外角度数之比为3：4：5，则这个三角形是 三角形.
2.等腰三角形的周长是20,一边长是7,则其它两边的长分别是 .
3.如果一个三角形的两边的长分别是4cm和6cm,则第三边x的取值范围是 .
4.一个多边形的内角和等于外角和的一半,那么这个多边形是 .
5.若一个多边形的内角和是1800°,则从它的一个顶点可引________条对角线.
6. 用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是 .
一、归纳知识要点，做到温故知新
1.三角形的概念：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，就是三角形，这三条线段就是三角形的边.三角形具有稳定性.
2.三角形的分类：
（1）按角分类：三角形
（2）按边分类：
3.三角形内的主要线段
（1）三角形的中线；（2）三角形的高；（3）三角形的角平分线.
4.三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
5.三角形角的关系：
（1）三角形的内角和等于180°；（2）三角形的外角和为360°.
（3）三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（4）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角；
6.多边形的定义与性质
（1）从边形的一个顶点引出（）条对角线，把边形分成（）个三角形，所以，边形的内角和等于（n－2）×180°.
（2）任意多边形的外角和都是360°；（3）正边形的一个外角的度数为.
（4）边形对角线的条数为.
7.多边形的密铺
（1）铺设地板的一般方式是围绕某一点及周围的区域无空隙无重叠地铺满；
（2）能铺满地面的有规则的图形有正方形、长方形、正六边形；也有不规则的，如高速公路的护坡上，就由任意的四边形铺满；
（3）能否铺满地面的关键在于相邻的几个多 ( http: / / www.21cnjy.com )边形中，有同一个顶点的几个角的和能否等于360°，如果能等于360°就能没有空隙且不重叠地铺满地面.
二、牢记注意事项，以免重蹈覆辙
1.三角形有三条边、三个角、三个顶点.
2.三角形有六个外角，其中每一个外角与它相邻的内角互为邻补角.
3.三角形的中线、高、角平分线都是线段.每 ( http: / / www.21cnjy.com )一个三角形都有三条中线、三条高、三条角平分线；并且三条中线交于一点，三条高所在的直线交于一点，三条角平分线交于一点.三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形的内部，而三条高随三角形形状的变化而变化，注意画三角形的高时一定要过顶点画对边的垂线段.
4.判断三条线段能否构成三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和都大于第三边.
5.在进行有关三角形的边或角的计算问题时，应注意使用方程思想.在进行多边形的有关计算时，应运用（）×180°来构造方程，以降低求解的难度.
6. 用相同的正多边形拼地板时必须满足（360°÷）为正整数，即为正整数.用这样的正边形就可以铺满地面；用正多边形拼地板必须满足同一顶点不同正多边形的各个内角之和等于360°.即无论选择哪一种，都必须满足围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角和加在一起恰好等于一个周角（360°）时，才可以拼成一个平面图形.
7.注意没有给出图形的题目，首先要根据题意正确地画出图形，再进行解答，解题时要注意考虑周密，不能漏解.
8.在求解多角和问题时，要注意转化思想的运用，即把多角和转化为三角形的内角和来处理.
三、熟悉常考题型，做到熟能生巧
考点1：三角形三边关系的应用
例1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
（A），， （B），，
（C），， （D），，
考点2：用三角形的内角和及外角的性质求角度
例2. 如图，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3= .
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考点3：多边形的有关计算多边形的内角和等于(n-2)·180°,多边形的外角和等于360°.
例3.（1）已知一个多边形的内角和为540°,则这个多边形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
（2）有一个多边形的内角和是它外角和的5倍，则这个多边形是_____边形.
（3）七边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
（4）若一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的内角和等于 .
（5）若一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形是_____边形.
（6）若凸ｎ边形恰好只有三个内角是钝角，这样的多边形边数ｎ的最大值是（ ）
A．４ B．５ C．６ D．７
（6）一个凸ｎ边形的内角中，恰有４个钝角，则ｎ的最大值是（ ）
A．４ B．５ C．６ D．７
（7）若正ｎ边形的内角度数是整数，这样的ｎ有 个．
（8）一个多边形的边数增加1倍，它的内角和为2160 ．原来多边形是_____边形.
（9）有一多边形的内角和与某一外角的度数和为2008 ，则这个多边形是_____边形.
考点4：用正多边形铺地面
例4. 在下面的地板砖：①正方形 ②正五边形 ③正六边形 ④正八边形中能够铺满地面的地板砖的种数有（ ）
（A）1种 （B）2种 （C）3种 （D）4种
《多边形》练习题答案
一、1.A 2.B 3.C 4.D 5.B 6.C 7.B 8.C 9.C 10.A
二、1.直角; 2. 6,7或6.5,6.5; 3.2
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
例１ 如图，已知∠A＝65°, ∠1＝43°, ∠E＝32°，则∠C的度数为______.
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例２ 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝（ ）
（A）180° （B）360° （C）540° (D）720°.
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例３ 如图，已知∠ABC＝31°，又∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点，则∠AEC为（ ）
（A）14.5° （B）15.5° （C）16.5° (D）20°.
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《多边形》练习题
选择题
1．四根长度分别为3cm、7cm、10cm ( http: / / www.21cnjy.com )、14cm的钢条，以其中三根的长为边长，焊接成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是( ).
A.31cm B.27cm C.24cm D.20cm
2．任何一个三角形的三个内角中至少有（ ）
A.一个角大于60° B.两个锐角 C. 一个钝角 D.一个直角
3．一个多边形的内角和与外角和的比为5：2，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形
4.三角形的三个外角中,至少有（ ）
A.两个锐角 B.两个直角 C.一个钝角 D.两个钝角
5. 一个正多边形,它的一个外角等于与它相邻内角的,则这个多边形是（ ）
A. 正十二边形 B.正十边形 C.正八边形 D.正六边形
6. 某科技馆铺设地面，已 ( http: / / www.21cnjy.com )有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面平铺，则不应该购买的地砖形状是（ ）.
A.正方形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形
7.一幅美丽的图案,在某个顶点由四个边 ( http: / / www.21cnjy.com )长相等的正多边形密铺而成,其中的三个分别是正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（ ）
A．正三边形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形.
8.已知三条线段长为3,8,a,能组成边长都是整数的三角形一共有（ ）
A．3个 B．4 个 C．5个 D．无数个
9.如图1,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（ ）
A．180° B．540° C．360° D．720°
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图1
10．用三块正多边形的木块铺底,拼 ( http: / / www.21cnjy.com )在一起并相交于一点的各边完全吻合,其中两块木板的边数都是8,则第三块木板的边数应是（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题
1．在△ABC中，三个外角度数之比为3：4：5，则这个三角形是 三角形.
2.等腰三角形的周长是20,一边长是7,则其它两边的长分别是 .
3.如果一个三角形的两边的长分别是4cm和6cm,则第三边x的取值范围是 .
4.一个多边形的内角和等于外角和的一半,那么这个多边形是 .
5.若一个多边形的内角和是1800°,则从它的一个顶点可引________条对角线.
6. 用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是 .