人教版数学八年级上册第十三章轴对称四步探究案
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册第十三章轴对称四步探究案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 419.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-23 19:46:57 | ||
图片预览
文档简介
第十三章 轴对称
13.1.1 轴对称（1）
学习目标
1、通过实例认识轴对称，掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念。
2、培养自己的观察能力、思维能力、操作能力、归纳能力。
学习重点:
1. 准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念的实质。
学习难点:
1. 能够知道轴对称图形和关于直线成轴对称的区别和联系。
教学流程
【导课】看教材P58图13.1－1（将生活中的对称美牵引到数学中来）
【阅读质疑 自主探究】
（一）轴对称图形
1、做一做
把一张对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），想一想,展开后会是一个什么样的图形？
2、看一看，想一想
细心观察一些日常生活中常见的动物图片如：
蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共同特征？
3、归纳：轴对称图形定义：
如果一个图形沿一条 折叠，直线两旁的部分能够 这个图形就叫做轴对称图形。 就是它的对称轴。
（二）轴对称
1、思考：教材P59
2、归纳：轴对称定义。
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它 ( http: / / www.21cnjy.com )能够与 重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线就是 ，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做 。
3、练习：标出下列图形中的对称点
(三) 关于某条直线成轴对称的图形的性质特征
1、思考：教材P59（图13.1-4）
2、归纳：成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．
3、轴对称图形和关于直线成轴对称有什么区别和联系？
区别: 轴对称是说 个图形的位置关系,轴对称图形是说 个具有特殊形状的图形。
联系：都能沿着某条直线 。这条直线是对称轴。
如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这 ( http: / / www.21cnjy.com )两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
【多元互动 合作探究】
1、下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点．
2、有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。你能找出它们的对称轴吗？
3、判断下面每组图形（如图14－7所示）是否关于某条直线成轴对称.
4、如图14－8所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.
【训练检测 目标探究】
轴对称图形 两个图形成轴对称
区别 个图形 个图形
联系 1.沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 2.都有 3.如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.1.2 轴对称（2）
学习目标
1、探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观念。
2、探索线段垂直平分线的性质，培养自己认真探究、积极思考的能力。
学习重点:
1. 探索轴对称的性质，并总结出线段垂直平分线的性质。
学习难点:
1. 探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。
教学流程
【导课】
提问轴对称图形与两图形成轴对称的定义，今天继续来研究轴对称的性质．
【阅读质疑 自主探究】
（一）轴对称的性质
1、如图，△ABC和△A′B′C′关于直线 ( http: / / www.21cnjy.com )MN对称，点A′B′C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？
（1）设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A′重合吗？
于是有PA＝ ，∠MPA＝ ＝ 度
（2）对于其他的对应点，如点B、B′，C、C′也有类似的情况吗？
（3）那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关系呢？
2、垂直平分线的定义：
经过线段 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
3、轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么 是任何一对对应点所连线段的
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
4、练习：教材P61图13.1－7
（二）线段垂直平分线的性质
1、探究：教材P61
2、归纳，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的 与这条线段 的距离
3、思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？
探究：教材P63
4、归纳：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上．
【多元互动 合作探究】
1、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
2、如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
3、△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。
【训练检测 目标探究】
1、如图，若沿虚线对折，左边部分与右边部分重合，请找出图中A、B、C的对称点，并说出图中有哪些角相等 哪些线段相等
2、如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称。
（1）A、B、C、D的对称 ( http: / / www.21cnjy.com )点分别是 ，线段AC、AB的对应线段分别是 ，CD= ， ∠CBA= ，
∠ADC= ．
（2）AE与BF平行吗？为什么？
（3）延长线段AB、EF，两条延长线相交吗？交点与对称轴有什么关系？
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.1.3 轴对称（3）
学习目标
1、依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴。
2、作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图。
学习重点:
1. 作出轴对称图形的对称轴
学习难点:
1. 在自己的动手画图中体验轴对称的性质及线段垂直平分线的性质。
教学流程
【导课】
知识回顾：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 所连
的 线。
【阅读质疑 自主探究】
（一）思考：教材P34思考
归纳：作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对 ，作出连接它们的
的 线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（二）应用
1、如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，
你能作出这条直线吗
2、已知线段AB，作出它的垂直平分线CD，并拼出线段的中点O.
3、如图，在五角星上作出一条对称轴
4、练习：教材P36第6题
三、巩固提高：
1、画出下列图形的一条对称轴，和小组同学比较一下，你们画的对称轴一样吗
2、如图，角是轴对称图形吗 如果是，画出它的对称轴
3、如图，与图形A成轴对称的是哪个图形 画出它们的对称轴
4、如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半。
【多元互动 合作探究】
1．如图，∠MON内有一点P ，PP1 ( http: / / www.21cnjy.com )、PP2分别被OM、ON垂直平分，P1P2与OM、ON分别交于点A、B. 若P1P2=10厘米，则△PAB的周长为（ ）
A 6厘米 B 8厘米 C 10厘米 D 12厘米
2．已知如图，四边形ABCD关于直线MN对称，其中A，C是对称点，则直线MN与线段AC的关系是__________.
【训练检测 目标探究】
1.下列说法中，正确的个数是（ ）
（1）轴对称图形只有一条对称轴，（ ( http: / / www.21cnjy.com )2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言。
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. 两条相交直线 B. 线段C.有公共端点的两条相等线段 D.有公共端点的两条不相等线段
3.到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点
4.在△ABC中，AB=AC，BC ( http: / / www.21cnjy.com )=5cm，作AB的中垂线交另一腰AC于D，连结BD，如果△BCD的周长是17cm，则腰长为（ ）
A．12cm B 6 cm C 7 cm D 5 cm
5.如果⊿ABC与⊿A/B/C/关于直线l对称，且∠A＝50°，∠B/＝70°，那么∠C/ ＝____。
6.成轴对称的两个图形的对应线段______，对应角______。
7.如果两个图形关于某直线对称，那么连结__________的线段被_________垂直平分
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.2.1 画轴对称图形（1）
学习目标
1、能够作轴对称图形。
2、能够用轴对称的知识解决相应的数学问题。
学习重点:
1. 作轴对称图形。
学习难点:
1. 用轴对称知识解决相应的数学问题。
教学流程
【导课】
在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称 ( http: / / www.21cnjy.com )图形的一些相关的性质问题．在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎么样．
将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形．
【阅读质疑 自主探究】
（一）探究轴对称前后两个图形的性质
1、阅读教材P67的图13.2-1
2、操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？
3、归纳：（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的 、 完全相同。
（2）新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的 点。
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴
（二）、作轴对称图形
1、如图，已知△ABC和直线l，你能
作出△ABC关于直线l对称的图形。
【多元互动 合作探究】
1、把下列图形补成关于L对称的图形。
2.探究：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
3、如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
【训练检测 目标探究】
1.要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
2.用四块如图①所示的正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形瓷砖拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形。请你在图②、图③、图④中各画一种拼法(要求三种拼法各不相同)。
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.2.2 画轴对称图形（2）
学习目标
1、能够经过探索利用坐标来表示轴对称。
2、掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。
学习重点:
1. 关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。
学习难点:
1. 用坐标表示轴对称的应用。
教学流程
【导课】
知识回顾
已知△ABC，求作△A’B’C’，使它与△ABC关于直线l成轴对称
【阅读质疑 自主探究】
（一）关于x轴、y轴对称的点的坐标特点
1、思考：教材P69图，13.2-3
2、探索：在平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标间有什么规律？
已知点 A(2，－3) B（－1，2） C（－6，－5） D（0.5，1） E（4，0）
关于x轴对称的点 A’( ) B’( ) C’( ) D’( ) E’( )
关于y轴对称的点 A’’( ) B’’( ) C’’( ) D’’( ) E’’( )
（平面直角坐标系在教材P69图13.2－4）
3、归纳：点（x，y）关于x轴对称的点的作标是 ；
点（x，y）关于y轴对称的点的作标是
4、练习：教材P70练习第1题、第2题（完成于书上）
（二）应用：1、如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），
B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形。
【多元互动 合作探究】
1、分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标
（3，6） （-7，9） （-3，-5） （6，-1） （0，10）
关于x轴对称的点
关于y轴对称的点
2、如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形
【训练检测 目标探究】
1．（1）请画出关于轴对称的
（其中分别是的对应点，不写画法）；
（2）直接写出三点的坐标：
．
（3）△ABC的面积为 。
2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1，4），B（－3，2），C（－2，1），
⑴ 作出△ABC关于直线x=1对称的图形；
⑵ 写出三点的坐标：
．
⑶ 如果点P（2，y）和Q（x，3）关于直线x=1
对称，则x= ，y= 。
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.3.1 等腰三角形（1）
学习目标
1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质。
2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
学习重点:
1. 等腰三角形的概念及性质。
学习难点:
1. 等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用。
教学流程
【导课】知识回顾
1、下列图形不一定是轴对称图形的是（ ）A圆 B长方形 C线段D三角形
2、怎样的三角形是轴对称图形？答：
3、有两边相等的三角形叫 ( http: / / www.21cnjy.com ) ，相等的两边叫 ，另一边叫 两腰的夹角叫 ，腰和底边的夹角叫
4、如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称。
【阅读质疑 自主探究】
（一）等腰三角形的性质
1、探究：阅读教材P75
把活动中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表
2、归纳等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个 相等（简写成“ ”）
性质2 等腰三角形 、 、 互相重合。
3、证明以上性质：
（二）应用
1、在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
2、P77练习：教材练习。
整理在课本上。
【多元互动 合作探究】
1、（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是
（2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是
2、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．
3、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证BD＝CE
【训练检测 目标探究】
1．已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，
求∠B的度数．
2．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．
试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.3.1 等腰三角形（2）
学习目标
1、理解等腰三角形的判定方法及应用。
2、通过对等腰三角形的判定方法的探索，体会探索学习的乐趣。
学习重点:
1. 等腰三角形的判定方法及其应用
学习难点:
1. 探索等腰三角形的方法定理
教学流程
【导课】 知识回顾
1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为
2、等腰三角形的周长为14，其中一边长为6，则另两边分别为
3、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是
4、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是
5、如图，在△ABC中，AB=AC，
（1）若AD平分∠BAC，那么 、 （2）若BD＝CD，那么 、
（3）若AD⊥BC,那么 、
【阅读质疑 自主探究】
（一）等腰三角形的判定方法
1、思考：（1）如图，位于在海上A、B ( http: / / www.21cnjy.com )两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
（2）我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
已知：在△ABO中，∠A=∠B
求证：AO=AO
2、等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 也相等（简写成 ）
（二）应用
1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
2、练习：教材练习第1题，（完成于书上）
3、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD
【多元互动 合作探究】
1、如图，AD∥BC，BD平分∠ABC． 求证：AB=AD．
2、如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证△CEB是等腰三角形
【训练检测 目标探究】
10．已知：如图，ΔABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：△ABC是等腰三角形．
11．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，ED⊥BC．
求证：AE＝AF.
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.3.2 等边三角形（1）
学习目标
1理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法
2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题
学习重点:
1. 等边三角形判定定理的发现与证明
学习难点:
1. 等边三角形性质和判定的应用
教学流程
【导课】知识回顾
1、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的 相等
（2）等腰三角形 、 、 互相重合
2、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是 三角形，即 叫等边三角形。
【阅读质疑 自主探究】
（一）等边三角形的性质和判定方法
1、思考：（1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？
（2）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
（3）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？
2、归纳：
（1）等边三角形的性质：等边三角形的
（2）等边三角形的判定：
（二）应用1、如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E。求证△ADE是等边三角形。
2、探究：等边三角形三条中线相交于一点。画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。
3、练习：教材P80练习第1、2题（完成于书上）
【多元互动 合作探究】
1、如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证BE＝DC
2、如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数。
【训练检测 目标探究】
1．判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”。
a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( )
b．有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°( )
2．如图(2)，在△ABC中，已知AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，且∠2＝25°，求∠ADB和∠B的度数。
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.3.2 等边三角形（2）
学习目标
1．掌握等边三角形的性质和判定方法．
2.培养分析问题、解决问题的能力．
学习重点:
1. 等边三角形的性质和判定方法．
学习难点:
1. 等边三角形性质的应用
教学流程
【导课】 知识回顾
1、等边三角形的性质：
2、等边三角形的判定：
【阅读质疑 自主探究】
（一）探究：有一个角为30°的直角三角形的性质
1、问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
2、由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC=AB．
3、归纳：在直角三角形中，
（二）应用：1、右图是屋架设计图的一部 ( http: / / www.21cnjy.com )分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？
2、等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．
3、P81练习：教材练习（完成于书上）
【多元互动 合作探究】
1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．
求证：BD=AB．
2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段． 求证：其中一条是另一条的2倍．
已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．
求证：CD=2AD．
【训练检测 目标探究】
1．△ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗，为什么
①在边AB、AC上分别截取AD=AE．
②作∠ADE＝60°，D、E分别在边AB、AC上．
③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点．
2． 已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
学习重点:
1. 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
学习难点:
1. 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
教学流程
【导课】
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚 ( http: / / www.21cnjy.com )城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然
后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的
知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马
问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
【阅读质疑 自主探究】
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地
到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB 的和最小（如图）．
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问1 对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′
处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
追问2 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条
件的点B′吗？
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
追问1 证明AC +BC 最短时，为什 ( http: / / www.21cnjy.com )么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
【多元互动 合作探究】
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径．
【训练检测 目标探究】
教科书复习题13第15题
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
授课时间： 累计课时：
图①
图②
图③
图④
C
B
A
x=1
1
2
O
1
-1
A
B
C
重合的线段 重合的角
13.1.1 轴对称（1）
学习目标
1、通过实例认识轴对称，掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念。
2、培养自己的观察能力、思维能力、操作能力、归纳能力。
学习重点:
1. 准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念的实质。
学习难点:
1. 能够知道轴对称图形和关于直线成轴对称的区别和联系。
教学流程
【导课】看教材P58图13.1－1（将生活中的对称美牵引到数学中来）
【阅读质疑 自主探究】
（一）轴对称图形
1、做一做
把一张对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），想一想,展开后会是一个什么样的图形？
2、看一看，想一想
细心观察一些日常生活中常见的动物图片如：
蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共同特征？
3、归纳：轴对称图形定义：
如果一个图形沿一条 折叠，直线两旁的部分能够 这个图形就叫做轴对称图形。 就是它的对称轴。
（二）轴对称
1、思考：教材P59
2、归纳：轴对称定义。
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它 ( http: / / www.21cnjy.com )能够与 重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线就是 ，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做 。
3、练习：标出下列图形中的对称点
(三) 关于某条直线成轴对称的图形的性质特征
1、思考：教材P59（图13.1-4）
2、归纳：成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．
3、轴对称图形和关于直线成轴对称有什么区别和联系？
区别: 轴对称是说 个图形的位置关系,轴对称图形是说 个具有特殊形状的图形。
联系：都能沿着某条直线 。这条直线是对称轴。
如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这 ( http: / / www.21cnjy.com )两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
【多元互动 合作探究】
1、下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点．
2、有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。你能找出它们的对称轴吗？
3、判断下面每组图形（如图14－7所示）是否关于某条直线成轴对称.
4、如图14－8所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.
【训练检测 目标探究】
轴对称图形 两个图形成轴对称
区别 个图形 个图形
联系 1.沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 2.都有 3.如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.1.2 轴对称（2）
学习目标
1、探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观念。
2、探索线段垂直平分线的性质，培养自己认真探究、积极思考的能力。
学习重点:
1. 探索轴对称的性质，并总结出线段垂直平分线的性质。
学习难点:
1. 探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。
教学流程
【导课】
提问轴对称图形与两图形成轴对称的定义，今天继续来研究轴对称的性质．
【阅读质疑 自主探究】
（一）轴对称的性质
1、如图，△ABC和△A′B′C′关于直线 ( http: / / www.21cnjy.com )MN对称，点A′B′C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？
（1）设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A′重合吗？
于是有PA＝ ，∠MPA＝ ＝ 度
（2）对于其他的对应点，如点B、B′，C、C′也有类似的情况吗？
（3）那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关系呢？
2、垂直平分线的定义：
经过线段 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
3、轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么 是任何一对对应点所连线段的
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
4、练习：教材P61图13.1－7
（二）线段垂直平分线的性质
1、探究：教材P61
2、归纳，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的 与这条线段 的距离
3、思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？
探究：教材P63
4、归纳：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上．
【多元互动 合作探究】
1、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
2、如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
3、△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。
【训练检测 目标探究】
1、如图，若沿虚线对折，左边部分与右边部分重合，请找出图中A、B、C的对称点，并说出图中有哪些角相等 哪些线段相等
2、如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称。
（1）A、B、C、D的对称 ( http: / / www.21cnjy.com )点分别是 ，线段AC、AB的对应线段分别是 ，CD= ， ∠CBA= ，
∠ADC= ．
（2）AE与BF平行吗？为什么？
（3）延长线段AB、EF，两条延长线相交吗？交点与对称轴有什么关系？
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.1.3 轴对称（3）
学习目标
1、依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴。
2、作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图。
学习重点:
1. 作出轴对称图形的对称轴
学习难点:
1. 在自己的动手画图中体验轴对称的性质及线段垂直平分线的性质。
教学流程
【导课】
知识回顾：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 所连
的 线。
【阅读质疑 自主探究】
（一）思考：教材P34思考
归纳：作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对 ，作出连接它们的
的 线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（二）应用
1、如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，
你能作出这条直线吗
2、已知线段AB，作出它的垂直平分线CD，并拼出线段的中点O.
3、如图，在五角星上作出一条对称轴
4、练习：教材P36第6题
三、巩固提高：
1、画出下列图形的一条对称轴，和小组同学比较一下，你们画的对称轴一样吗
2、如图，角是轴对称图形吗 如果是，画出它的对称轴
3、如图，与图形A成轴对称的是哪个图形 画出它们的对称轴
4、如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半。
【多元互动 合作探究】
1．如图，∠MON内有一点P ，PP1 ( http: / / www.21cnjy.com )、PP2分别被OM、ON垂直平分，P1P2与OM、ON分别交于点A、B. 若P1P2=10厘米，则△PAB的周长为（ ）
A 6厘米 B 8厘米 C 10厘米 D 12厘米
2．已知如图，四边形ABCD关于直线MN对称，其中A，C是对称点，则直线MN与线段AC的关系是__________.
【训练检测 目标探究】
1.下列说法中，正确的个数是（ ）
（1）轴对称图形只有一条对称轴，（ ( http: / / www.21cnjy.com )2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言。
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. 两条相交直线 B. 线段C.有公共端点的两条相等线段 D.有公共端点的两条不相等线段
3.到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点
4.在△ABC中，AB=AC，BC ( http: / / www.21cnjy.com )=5cm，作AB的中垂线交另一腰AC于D，连结BD，如果△BCD的周长是17cm，则腰长为（ ）
A．12cm B 6 cm C 7 cm D 5 cm
5.如果⊿ABC与⊿A/B/C/关于直线l对称，且∠A＝50°，∠B/＝70°，那么∠C/ ＝____。
6.成轴对称的两个图形的对应线段______，对应角______。
7.如果两个图形关于某直线对称，那么连结__________的线段被_________垂直平分
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.2.1 画轴对称图形（1）
学习目标
1、能够作轴对称图形。
2、能够用轴对称的知识解决相应的数学问题。
学习重点:
1. 作轴对称图形。
学习难点:
1. 用轴对称知识解决相应的数学问题。
教学流程
【导课】
在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称 ( http: / / www.21cnjy.com )图形的一些相关的性质问题．在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎么样．
将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形．
【阅读质疑 自主探究】
（一）探究轴对称前后两个图形的性质
1、阅读教材P67的图13.2-1
2、操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？
3、归纳：（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的 、 完全相同。
（2）新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的 点。
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴
（二）、作轴对称图形
1、如图，已知△ABC和直线l，你能
作出△ABC关于直线l对称的图形。
【多元互动 合作探究】
1、把下列图形补成关于L对称的图形。
2.探究：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
3、如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
【训练检测 目标探究】
1.要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
2.用四块如图①所示的正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形瓷砖拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形。请你在图②、图③、图④中各画一种拼法(要求三种拼法各不相同)。
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.2.2 画轴对称图形（2）
学习目标
1、能够经过探索利用坐标来表示轴对称。
2、掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。
学习重点:
1. 关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。
学习难点:
1. 用坐标表示轴对称的应用。
教学流程
【导课】
知识回顾
已知△ABC，求作△A’B’C’，使它与△ABC关于直线l成轴对称
【阅读质疑 自主探究】
（一）关于x轴、y轴对称的点的坐标特点
1、思考：教材P69图，13.2-3
2、探索：在平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标间有什么规律？
已知点 A(2，－3) B（－1，2） C（－6，－5） D（0.5，1） E（4，0）
关于x轴对称的点 A’( ) B’( ) C’( ) D’( ) E’( )
关于y轴对称的点 A’’( ) B’’( ) C’’( ) D’’( ) E’’( )
（平面直角坐标系在教材P69图13.2－4）
3、归纳：点（x，y）关于x轴对称的点的作标是 ；
点（x，y）关于y轴对称的点的作标是
4、练习：教材P70练习第1题、第2题（完成于书上）
（二）应用：1、如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），
B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形。
【多元互动 合作探究】
1、分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标
（3，6） （-7，9） （-3，-5） （6，-1） （0，10）
关于x轴对称的点
关于y轴对称的点
2、如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形
【训练检测 目标探究】
1．（1）请画出关于轴对称的
（其中分别是的对应点，不写画法）；
（2）直接写出三点的坐标：
．
（3）△ABC的面积为 。
2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1，4），B（－3，2），C（－2，1），
⑴ 作出△ABC关于直线x=1对称的图形；
⑵ 写出三点的坐标：
．
⑶ 如果点P（2，y）和Q（x，3）关于直线x=1
对称，则x= ，y= 。
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.3.1 等腰三角形（1）
学习目标
1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质。
2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
学习重点:
1. 等腰三角形的概念及性质。
学习难点:
1. 等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用。
教学流程
【导课】知识回顾
1、下列图形不一定是轴对称图形的是（ ）A圆 B长方形 C线段D三角形
2、怎样的三角形是轴对称图形？答：
3、有两边相等的三角形叫 ( http: / / www.21cnjy.com ) ，相等的两边叫 ，另一边叫 两腰的夹角叫 ，腰和底边的夹角叫
4、如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称。
【阅读质疑 自主探究】
（一）等腰三角形的性质
1、探究：阅读教材P75
把活动中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表
2、归纳等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个 相等（简写成“ ”）
性质2 等腰三角形 、 、 互相重合。
3、证明以上性质：
（二）应用
1、在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
2、P77练习：教材练习。
整理在课本上。
【多元互动 合作探究】
1、（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是
（2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是
2、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．
3、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证BD＝CE
【训练检测 目标探究】
1．已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，
求∠B的度数．
2．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．
试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.3.1 等腰三角形（2）
学习目标
1、理解等腰三角形的判定方法及应用。
2、通过对等腰三角形的判定方法的探索，体会探索学习的乐趣。
学习重点:
1. 等腰三角形的判定方法及其应用
学习难点:
1. 探索等腰三角形的方法定理
教学流程
【导课】 知识回顾
1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为
2、等腰三角形的周长为14，其中一边长为6，则另两边分别为
3、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是
4、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是
5、如图，在△ABC中，AB=AC，
（1）若AD平分∠BAC，那么 、 （2）若BD＝CD，那么 、
（3）若AD⊥BC,那么 、
【阅读质疑 自主探究】
（一）等腰三角形的判定方法
1、思考：（1）如图，位于在海上A、B ( http: / / www.21cnjy.com )两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
（2）我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
已知：在△ABO中，∠A=∠B
求证：AO=AO
2、等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 也相等（简写成 ）
（二）应用
1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
2、练习：教材练习第1题，（完成于书上）
3、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD
【多元互动 合作探究】
1、如图，AD∥BC，BD平分∠ABC． 求证：AB=AD．
2、如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证△CEB是等腰三角形
【训练检测 目标探究】
10．已知：如图，ΔABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：△ABC是等腰三角形．
11．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，ED⊥BC．
求证：AE＝AF.
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.3.2 等边三角形（1）
学习目标
1理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法
2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题
学习重点:
1. 等边三角形判定定理的发现与证明
学习难点:
1. 等边三角形性质和判定的应用
教学流程
【导课】知识回顾
1、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的 相等
（2）等腰三角形 、 、 互相重合
2、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是 三角形，即 叫等边三角形。
【阅读质疑 自主探究】
（一）等边三角形的性质和判定方法
1、思考：（1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？
（2）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
（3）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？
2、归纳：
（1）等边三角形的性质：等边三角形的
（2）等边三角形的判定：
（二）应用1、如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E。求证△ADE是等边三角形。
2、探究：等边三角形三条中线相交于一点。画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。
3、练习：教材P80练习第1、2题（完成于书上）
【多元互动 合作探究】
1、如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证BE＝DC
2、如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数。
【训练检测 目标探究】
1．判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”。
a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( )
b．有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°( )
2．如图(2)，在△ABC中，已知AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，且∠2＝25°，求∠ADB和∠B的度数。
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.3.2 等边三角形（2）
学习目标
1．掌握等边三角形的性质和判定方法．
2.培养分析问题、解决问题的能力．
学习重点:
1. 等边三角形的性质和判定方法．
学习难点:
1. 等边三角形性质的应用
教学流程
【导课】 知识回顾
1、等边三角形的性质：
2、等边三角形的判定：
【阅读质疑 自主探究】
（一）探究：有一个角为30°的直角三角形的性质
1、问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
2、由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC=AB．
3、归纳：在直角三角形中，
（二）应用：1、右图是屋架设计图的一部 ( http: / / www.21cnjy.com )分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？
2、等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．
3、P81练习：教材练习（完成于书上）
【多元互动 合作探究】
1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．
求证：BD=AB．
2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段． 求证：其中一条是另一条的2倍．
已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．
求证：CD=2AD．
【训练检测 目标探究】
1．△ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗，为什么
①在边AB、AC上分别截取AD=AE．
②作∠ADE＝60°，D、E分别在边AB、AC上．
③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点．
2． 已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
学习重点:
1. 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
学习难点:
1. 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
教学流程
【导课】
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚 ( http: / / www.21cnjy.com )城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然
后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的
知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马
问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
【阅读质疑 自主探究】
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地
到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB 的和最小（如图）．
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问1 对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′
处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
追问2 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条
件的点B′吗？
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
追问1 证明AC +BC 最短时，为什 ( http: / / www.21cnjy.com )么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
【多元互动 合作探究】
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径．
【训练检测 目标探究】
教科书复习题13第15题
【迁移应用 拓展探究】
基础训练有关训练
布置作业
板书设计
教后反思
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
授课时间： 累计课时：
图①
图②
图③
图④
C
B
A
x=1
1
2
O
1
-1
A
B
C
重合的线段 重合的角