河北省2023-2024学年高三下学期3月省级联测考试数学试题（PDF版含解析）

17.(本小题满分15分)
如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为3，∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°
(1)证明：BD⊥AA1;
(2)延长CC,到E,使C,E=C,C,求直线A1C与平面BDE所成角的正弦值
E
D
C
B
D
B
18.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=一ae一sinx一1在区间o,罗)内有唯一极值点x1,其中a∈R,e为自然对
数的底数
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：f(x)在区间(0,3）内有唯一零点。
19.(本小题满分17分)
信息熵是信息论之父香农(Shannon)定义的一个重要概念，香农在l948年发表的论文《通信
的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息
熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量X所有可能的取值为1,2，·，n(n∈N·),
且P(X=i)=p:>0(i=1,2…,nm),2p:=1,定义X的信息熵H(X)=一2p,logp
(1)当n=1时，计算H(X)；
(2)若p:=(i=1,2,,n),判断并证明当n增大时，H(X)的变化趋势：
(3)若n=2m(m∈N),随机变量Y所有可能的取值为1,2，…，m,且P(Y=j)=p;+
p2m+1-5=1,2,…,m),证明：H(X)>H(Y).
省级联测考试|数学（五）·冲刺卷Ⅱ第4页（共4页）
赶
2023一2024高三省级联测考试
数学参考答案
题号
1
2
3
6
8
9
10
11
答案
A
A
B
C
B
C
D
C
ACD
CD
BCD
1.A
解析：因为A={x∈N(x+2)(x一1)≤0}={0,1}，又B=2,3},所以AUB={0,1,2,3}.故选A.
[命题意图]本题考查知识点为集合的运算、解不等式，考查了学生的数学运算素养】
2.A解析：因为1+i=2.所以：=治1十么
22(1+i)2(1十)_2,2
2
2所以2
2i故选A
[命题意图]本题考查知识点为复数的运算、共轭复数的概念，考查了学生的数学运算素养
3.B解析：因为1OA1=√1+1平=√2，且1OB1=√2，所以OA·AB=OA·O-OA)=OA.OB
O=2×2×2-2=-1.故选B
[命题意图]本题考查知识点为平面向量的线性运算，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养，
4C解析：因为sim(g+2a）=sin2(g+a)+=cos2(g+a)=2cos(倍+a)-1.所以sim(g+a)
2X1
一1=器故选C
23
[命题意图]本题考查知识点为三角函数公式，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养
5.B解析：过点F作PQ的垂线，垂足为H,则∠QFH=60°，设|FH=x,因为QH=2,所以tan60°=
是所以-2所以P(号2）PF=号+1-青放选B
[命题意图]本题考查知识点为抛物线的定义、直线的倾斜角，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养
6.C解析：设A=“甲同学报的活动其他同学不报”，B=“4位同学所报活动各不相同”，由题得n(A)=4×
3X3Xa(AB)=4X3X2X1.所uPBA-得-3×3g号放选C
[命题意图]本题考查知识点为条件概率，考查了学生的数学抽象、逻辑推理与数学运算素养，
7.D解析：因为1PF21=|F,F21=2c,所以1PF1=2a+2c,又PF2=号P,所以1QF21=4c,所以
3
QFi1=2a+4c,在△F,PF,中，cos∠F,F,P=2c)2+2e)2-2a+2c)2-4c2-8ac-4a2
,在
2·2c·2c
8c2
△F,QF,中，os∠F,F,Q=4c)+2e)2a+4c)=4c-16a-4a,因为cos∠F,F,P+
2·4c·2c
16c2
cos∠F,F,Q=0,所以tc-8ac-a+4c3-16ag-4a=0.整理得(3c十a)(c-3a)=0,故c=3a,故离
8c2
16c3
心率e=C=3.故选D.
a
数学（五）·冲刺卷Ⅱ答案第1页（共7页）