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八年级数学下册 预习篇
19.1.1 变量与函数
1.常量与变量的概念：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．在某一变化过程中，有两个量，例如和，对于的每一个值，都有惟一的值与之对应，其中是自变量，是因变量，此时也称是的函数．在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．例如：圆的面积与圆的半径存在相应的关系：，这里表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，随着的变化而变化，是自变量，是因变量；
2.“有唯一值与对应”是指在自变量的取值范围内，每取一个确定值，都唯一的值与之相对应，否则不是的函数．
3.判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．取不同的值，的取值可以相同． 例如:函数中，时，；时，．
4.函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．
5.数学上表示函数关系的方法通常有三种：
⑴解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：，．
⑵列表法：通过列表表示函数的方法．
⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．
6.关于函数的关系式(即解析式)的理解：
（1）函数关系式是等式． 例如就是一个函数关系式．
（2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数． 通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数． 例如：是自变量，是的函数．
（3）函数关系式在书写时有顺序性． 例如：是表示是的函数，若写成就表示是的函数．
（4）求与的函数关系时，必须是只用变量的代数式表示，得到的等式右边只含的代数式．
自变量的取值范围：
7.自变量取值范围：在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：
⑴根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．
⑵分母中含有自变量：分母不为．
⑶实际问题：符合实际意义．
选择题
1.函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．全体实数
【答案】A
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和二次根式的性质．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可求解．
【详解】解：根据二次根式的意义可知：，
解得，
故选A．
2.已知某等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，那么y关于x的函数关系式及定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，列函数关系式，解不等式组，根据等腰三角形的定义得到，则，再由三角形三边的关系得到，解得，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵三角形中，两边之和大于第三边，
∴
∴．
故选：D
3.下列说法正确的是（ ）
A．常量是指永远不变的量
B．具体的数一定是常量
C．字母一定表示变量
D．球的体积公式，变量是π，r
【答案】B
【分析】本题考查常量与变量的定义及判断，根据保持不变的量叫常量，发生改变的量叫变量直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：常量是在一定条件下不变的量，故A选项错误，
具体的数一定是常量，故B选项正确，
字母不一定表示变量，故C选项错误，
球的体积公式，变量是r，V，故D选项错误，
故选：B．
4.要使函数有意义，自变量x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式有意义的条件，求函数自变量的取值范围．根据分式有意义的条件：分母不为零，直接列式求解即可得到答案．
【详解】解：∵有意义，
∴，解得，
故选：A．
5.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（ ）
A．5 B． C．7 D．3和4
【答案】A
【分析】本题考查了函数值，解题的关键是先求出时y的值，再将、代入计算即可．
【详解】解：当时，，
当时，，即，
解得：，
故选：A．
6.甲、乙两地相距，一货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列函数关系式；根据剩余路程等于总距离减去行驶距离列函数关系式即可．
【详解】解：由题意得：，
故选：C．
7.某商场为了增加销售额，推出了“元旦期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡元旦期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（），则应付款y与商品件数x的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查根据实际问题列出函数关系式．根据活动方案，应付款等于超出元的部分的费用之和，列出函数关系式即可．找准等量关系，正确的列出表达式，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：；
故选C．
8.若等腰三角形顶角x度，底角是y度，则y与x函数关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，函数关系式等知识，利用三角形内角和定理和外角的定义即可解决问题．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：∵等腰三角形顶角x度，底角是y度，
∴，
∴．
故选A．
填空题
1.函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】且/且
【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，且，
解得且，
故答案为：且．
2.函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式和二次根式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，二次根式被开方数为非负数进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解．
【详解】由题意得，，
解得：，
故答案为：．
3.已知函数，那么 ．
【答案】2
【分析】本题考查了求函数值，将代入进行计算即可，准确计算是解此题的关键．
【详解】解：，
，
故答案为：．
4.启航港里有一棵树苗，刚栽下去时高为1米，以后每月长0.3米，则树高y（米）与月数x（月）之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据题意列函数关系式，根据“树苗的高度=原来的高度+增长的高度”即可列出函数关系式．
【详解】解：由题意得．
故答案为：
5.在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查函数的自变量取值，根据分式分母不为0直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
解得：，
故答案为：．
解答题
1.如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，为等腰三角形，且．点，，，其中a，b满足．
(1)直接写出点B，C坐标；
(2)过点A作x轴平行线m，过点C作直线m，垂足为D．动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿直线m向右运动，连接．设运动时间为t秒，的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
(3)如图2，在（2）的条件下，延长交直线m与点E，当P在线段上运动时，使，，求此时P点坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）解二元一次方程组，得出a、b的值，即可求出B，C坐标；
（2）根据题意可得，且，分两种情况当时，点P在点D的右当时，求出S与t的关系式即可；
（3）设交于点H，设，则，证得，再由，可得，然后作于N，则，可得，再由可得，即可求解．
【详解】（1）解：，
解得：，
∵，，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∵，且轴，
∴，，
∵，
∴，
∵，且，
当时，，
，
当时，，
，
∴；
（3）解：设交于点H，
设，则，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
作于N，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
答：此时点P坐标为．
2.某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟元）两种，设A套餐每月话费为（元），B套餐每月话费（元），月通话时间为x分钟．
(1)直接写出与x，与x的函数关系式；
(2)如果某用户使用A套餐本月缴费50元，求他本月的通话时间？
(3)如果某用户这个月的通话时间为280分钟时，选择哪种套餐更划算？
【答案】(1)，
(2)他本月的通话时间为分钟
(3)通话时间为280分钟时，选择套餐更划算
【分析】本题主要考查了列函数关系和求函数值和自变量的值，根据题意正确列出关系式是解题关键．
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据题意可知，，求出的值即可；
（3）分别求出时，和的值，比较大小即可．
【详解】（1）解：A套餐：月租费15元，通话费每分钟元，
，
B套餐：月租费0元，通话费每分钟元，
；
（2）解：该手机用户使用A套餐且本月缴费50元，
，
解得：，
他本月的通话时间为分钟；
（3）解：当时，，，
，
∴通话时间为280分钟时，选择套餐更划算．
3.心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x (单位：分钟)之间满足函数关系式的值越大，表示接受能力越强．
(1)若用10分钟提出概念，学生的接受能力y的值是多少？
(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答．
【答案】(1)
(2)用8分钟提出概念与用10分钟提出概念相比，学生的接受能力减弱了；用15分钟提出概念与用10分钟提出概念相比，学生的接受能力增强了．
【分析】本题考查了求函数值；
（1）令，代入解析式求出，
（2）求出和时，的值，然后和时，的值比较．
【详解】（1）解：当时，．
（2）当时，，
所以用分钟提出概念与用分钟提出概念相比，学生的接受能力减弱了．
当时，．
所以用15分钟提出概念与用10分钟提出概念相比，学生的接受能力增强了．
4.如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，动点P、Q分别从点A，B同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿折线向终点D匀速运动，连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点N，连接，，，，得到四边形．设点P的运动时间为，四边形的面积为．
(1)的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示）
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先根据正方形的性质证明得到，同理可得，则四边形是平行四边形，再证明，可得；
（2）分，两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点是正方形对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
故答案为：；．
（2）解：当时，点在上，
由（1）可得，
同理可得，
∵，，
∴
；
当时，如图所示，
同理可证明，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
综上所述，．
5.将一个温度计从一杯热水中取出之后，立即放入一杯凉水中，下面是用表格表示的温度计的读数与时间之间的关系．
时间/s 5 10 15 20 25 30
读数 49.0 31.4 22.0 16.5 14.2 12.0
(1)上述哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？
(2)根据表格中的数据，大致估计时温度计的读数．
【答案】(1)温度计的读数和时间在发生变化．自变量和因变量分别是时间、温度计的读数
(2)可取
【详解】1．解：（1）温度计的读数和时间在发生变化．自变量和因变量分别是时间、温度计的读数．
（2）由表格可看出：随着时间的增加，温度计的读数越来越小，因此时温度计的读数应小于；每隔，温度差分别为，即温度差越来越小，因此时的温度应大于，所以时温度计的读数应大于且小于，时的温度可取这个范围内的任意值，比如可取等．
6.已知某款汽车油箱中有汽油，每小时耗油（汽车在行驶过程中视为匀速行驶）．
(1)写出油箱中剩余油量与行驶时间之间的函数关系式并写出自变量取值范围；
(2)当油箱中剩余油量低于时，汽车将发出警报，求该款汽车在听到警报前，最多可行驶多少小时？
【答案】(1)
(2)最多可行驶7小时
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值，求自变量的取值范围，正确理解题意列出对应的关系式是解题的关键．
（1）用总油量减去每小时油耗乘以行驶时间即可得到答案；
（2）根据（1）所求代入，求出t的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：在中，当时，则，
解得，
∴当行驶7小时时，油箱中剩余油量刚好为，继续行驶时，油箱中的油量将低于，即汽车会发出警报，
∴该款汽车在听到警报前，最多可行驶7小时．
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八年级数学下册 预习篇
19.1.1 变量与函数
1.常量与变量的概念：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．在某一变化过程中，有两个量，例如和，对于的每一个值，都有惟一的值与之对应，其中是自变量，是因变量，此时也称是的函数．在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．例如：圆的面积与圆的半径存在相应的关系：，这里表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，随着的变化而变化，是自变量，是因变量；
2.“有唯一值与对应”是指在自变量的取值范围内，每取一个确定值，都唯一的值与之相对应，否则不是的函数．
3.判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．取不同的值，的取值可以相同． 例如:函数中，时，；时，．
4.函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．
5.数学上表示函数关系的方法通常有三种：
⑴解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：，．
⑵列表法：通过列表表示函数的方法．
⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．
6.关于函数的关系式(即解析式)的理解：
（1）函数关系式是等式． 例如就是一个函数关系式．
（2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数． 通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数． 例如：是自变量，是的函数．
（3）函数关系式在书写时有顺序性． 例如：是表示是的函数，若写成就表示是的函数．
（4）求与的函数关系时，必须是只用变量的代数式表示，得到的等式右边只含的代数式．
自变量的取值范围：
7.自变量取值范围：在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：
⑴根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．
⑵分母中含有自变量：分母不为．
⑶实际问题：符合实际意义．
选择题
1.函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．全体实数
2.已知某等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，那么y关于x的函数关系式及定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3.下列说法正确的是（ ）
A．常量是指永远不变的量
B．具体的数一定是常量
C．字母一定表示变量
D．球的体积公式，变量是π，r
4.要使函数有意义，自变量x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
5.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（ ）
A．5 B． C．7 D．3和4
6.甲、乙两地相距，一货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
7.某商场为了增加销售额，推出了“元旦期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡元旦期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（），则应付款y与商品件数x的关系式为（ ）
A． B． C． D．
8.若等腰三角形顶角x度，底角是y度，则y与x函数关系是（ ）
A． B． C． D．
填空题
1.函数的自变量的取值范围是 ．
2.函数的定义域是 ．
3.已知函数，那么 ．
4.启航港里有一棵树苗，刚栽下去时高为1米，以后每月长0.3米，则树高y（米）与月数x（月）之间的关系式为 ．
5.在函数中，自变量的取值范围是 ．
解答题
1.如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，为等腰三角形，且．点，，，其中a，b满足．
(1)直接写出点B，C坐标；
(2)过点A作x轴平行线m，过点C作直线m，垂足为D．动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿直线m向右运动，连接．设运动时间为t秒，的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
(3)如图2，在（2）的条件下，延长交直线m与点E，当P在线段上运动时，使，，求此时P点坐标．
2.某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟元）两种，设A套餐每月话费为（元），B套餐每月话费（元），月通话时间为x分钟．
(1)直接写出与x，与x的函数关系式；
(2)如果某用户使用A套餐本月缴费50元，求他本月的通话时间？
(3)如果某用户这个月的通话时间为280分钟时，选择哪种套餐更划算？
3.心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x (单位：分钟)之间满足函数关系式的值越大，表示接受能力越强．
(1)若用10分钟提出概念，学生的接受能力y的值是多少？
(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答．
4.如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，动点P、Q分别从点A，B同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿折线向终点D匀速运动，连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点N，连接，，，，得到四边形．设点P的运动时间为，四边形的面积为．
(1)的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示）
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
5.将一个温度计从一杯热水中取出之后，立即放入一杯凉水中，下面是用表格表示的温度计的读数与时间之间的关系．
时间/s 5 10 15 20 25 30
读数 49.0 31.4 22.0 16.5 14.2 12.0
(1)上述哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？
(2)根据表格中的数据，大致估计时温度计的读数．
6.已知某款汽车油箱中有汽油，每小时耗油（汽车在行驶过程中视为匀速行驶）．
(1)写出油箱中剩余油量与行驶时间之间的函数关系式并写出自变量取值范围；
(2)当油箱中剩余油量低于时，汽车将发出警报，求该款汽车在听到警报前，最多可行驶多少小时？
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