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八年级数学下册 预习篇
19.1.2 函数的图像
函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的。
描点法画函数图象的步骤：
⑴列表；
⑵描点；
⑶连线。
3.函数解析式与函数图象的关系：
⑴满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；
⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式．
选择题
1.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后求出时甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度，本题得以解决．
【详解】由图可得，
甲无人机的速度为
乙无人机的速度为，
∴时，甲无人机所在的位置距离地面的高度为米，
乙无人机所在的位置距离地面的高度，
∴时，两架无人机的高度差为，
故选：C．
2.如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点A，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图像，其中是曲线部分的最低点，则的面积是（ ）
A．72 B．78 C．84 D．90
【答案】C
【分析】本题考查了函数图像的应用、勾股定理等知识点，根据图形和图像信息确定相关线段长度是解题的关键．
根据图像可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出、、的长度以及边边上的高，最后运用三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：根据图像可知点P在上运动时，此时不断增大，
由图像可知：点P从B向C运动时，的最大值为，即，
由于M是曲线部分的最低点，此时最小，
如图，即，
∴由勾股定理可知：，
由于P最终到达点A，则，
∴，
∴，
∴的面积为：．
故选：C．
3.甲、乙两人分别骑自行车和摩托车，从同一地点沿相同的路线前往距离的某地．如图，分别表示甲、乙两人离开出发地的距离与行驶时间之间的函数关系．问乙出发（ ）后两人相距．
A．2小时 B．小时
C．2小时或小时 D．1小时或小时
【答案】D
【分析】本题考查从函数图象获取信息，一元一次方程的应用．根据函数图象中的数据，可以分别计算出甲、乙的速度，然后根据两人相距，可知存在两种情况，相遇前和相遇后，再列出相应的方程，求解即可．
【详解】解：由图象可得，
甲的速度为：，
乙的速度为：，
设乙出发小时后两人相距，
或，
解得或，
故选：D．
4.如图①，在边长为的正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边(或边)交于点，的长度与点的运动时间(秒)的函数图象如图②所示．当点运动秒时，的长是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据运动速度乘以时间，可得的长，根据线段的和差，可得的长，根据勾股定理，可得答案．
【详解】解：点运动秒时点运动了，
，
由勾股定理，得
，
故选：B．
5.打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了函数图象的识别，进水过程中，水量y不断增加，且刚开始时水量为0，清洗过程中，水量y保持不变，排水的过程中，水量y不断减少，据此可得答案．
【详解】解：进水过程中，水量y不断增加，且刚开始时水量为0，清洗过程中，水量y保持不变，排水的过程中，水量y不断减少，
∴四个选项中，只有D选项的函数图象符合题意，
故选D
6.杆秤是我国传统的计重工具．数学兴趣小组利用杠杆原理自制了一个如图1所示的无刻度简易杆秤．在量程范围内，之间的距离l与重物质量m的关系如图2所示，下列说法不正确的是（ ）
A．在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大；
B．未挂重物时，之间的距离l为；
C．当之间的距离l为时，重物质量m为；
D．在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加．
【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象．数形结合，从函数图象中获取正确的信息是解题的关键．
由图象可知，在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大，进而可判断A的正误；未挂重物时，之间的距离l为，进而可判断B的正误；当之间的距离l为时，重物质量m为，进而可判断C的正误；在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加，进而可判断D的正误．
【详解】解：由图象可知，在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大，A正确，故不符合要求；
未挂重物时，之间的距离l为，B正确，故不符合要求；
当之间的距离l为时，重物质量m为，C错误，故符合要求；
在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加，D正确，故不符合要求；
故选：C．
7.小文、小亮从学校出发到青羊区青少年宫参加书法比赛,小文步行一段时间后, 小亮骑自行车沿相同路线行进,两人均匀速前行,先后到达目的地．他们的路程差s(米)与小文出发时间t(分)之间的函数关系如图所示．下列说法：①小文后到达青少年宫； ②小文每分钟走80米，小亮每分钟行驶200米； ③； ④，其中正确的是的( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数图象的读图能力，根据小文步行720米，需要9分钟，进而得出小文的运动速度，利用图形得出小亮的运动时间以及运动距离进而分别判断得出答案．
【详解】解：结合题意，可得x轴表示的是小文出发的时间t，y轴表示的是小文和小亮的路程差s，如图，
：小文还未出发；
：小文步行（9分）后，小亮出发；
∴小文的速度为：；
：小文出发（15分）后，小亮追上小文；
∴小文和小亮的速度差为，
则小亮的速度为，故②正确；
；
：小文出发（19分）后，小亮先到达青少年宫，故①正确；
，故④正确；
：小文出发a分后，到达青少年宫；
，故③错误．
综上，正确的是：①②④．
故选：B．
8.甲、乙两地相距km，一列快车从甲地匀速开往乙地，一列慢车从乙地匀速开往甲地，两车同时出发，快车到达乙地后停止，两车之间的距离S（km）与快车的行驶时间t（h）之间的函数关系图象如图所示，则慢车的速度是（ ）
A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h
【答案】B
【分析】本题考查了行程问题的函数图像，旨在考查学生的理解能力．由图可知快车行驶后到达乙地，据此可求出快车的速度；根据两车后相遇可求慢车的速度．
【详解】解：设快车、慢车的速度分别为，
由图可知，快车行驶后到达乙地，
∴ km/h，
∵两车后相遇，
∴，
解得：
∴ km/h，
故选：B
填空题
1.如图①，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度与点的运动时间（秒）的函数图象如图②所示，当点运动秒时，的长是 ．
【答案】
【分析】由题意知，当运动到时，最长，，由图象可知，当时，，即正方形边长为4，当时，，由，可知是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：∵正方形，
∴是等腰直角三角形，
由题意知，当运动到时，最长，，
由图象可知，当时，，
∴，
当时，，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
由勾股定理得，，
故答案为：．
2.快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次折返，且快递员始终匀速行驶），那么快递员完成投递业务后一共走了 km．
【答案】
【分析】本题考查从函数图象获取信息．根据图象求出快递员往返的时间为，然后再根据速度=路程÷时间求得快递员的行驶速度，进一步计算即可求解．
【详解】解：∵快递员始终匀速行驶，
∴快递员的行驶速度是．
∴快递员完成投递业务后一共走了
故答案为：．
3.如图，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图所示，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及了勾股定理，旨在考查学生从图象获取信息的能力．由图象可知当时，，可得；当时，的值最小，可得的值；由图象可知的最大值为，据此即可求解．
【详解】解：由图象可知：当时，；
∴
∵当时，的值最小，
由图象可知：时，，
∴
由图象可知：的最大值为，
∴
∴
∴
故答案为：
4.如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动到点C，图2是点P运动时，线段AP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的面积为 ．
【答案】48
【分析】本题主要考查时间与路程的图像识别，涉及等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，当点P运动到点B和点D时距离均为10，则有，再结合等腰三角形性质可得点M为的中点，利用勾股定理求得高即可求得面积．
【详解】解：根据图2中的曲线可知：当点P从的顶点A处，运动到点B处和运动到点C时的y值，则，
∵点P运动到中点时，
∴，
根据图2点M为曲线部分的最低点，此时，
则，
那么．
则．
故答案为：48．
5.如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．水槽内正方体铁块的棱长为 ，如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满．
【答案】 8 3
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图像可得正方体的棱长为，同时可得水面上升从到所用的时间为8秒，结合前5秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了3秒可得答案．
【详解】解：由函数图象可知，当注水时间为后，函数图象的变化趋势刚好发生了改变，即此时水面刚好淹没正方体铁块，
∴正方体铁块的棱长为，
由函数图象可知，再淹没过正方体铁块后在内水面上涨了，
∵在有铁块的条件下，内水面上升的高度为，
∴在没有铁块的前提下还需要恰好将水槽注满．
故答案为：8；3．
解答题
1.甘肃地震牵动全国，甲、乙两人沿同一条路用货车从地匀速开往相距的灾区地运送救灾物资.如图，和分别表示甲、乙与地的距离与行驶的时间之间的关系．
(1)甲出发______后，两人相遇，这时他们与地的距离为______；
(2)甲的速度是______，乙的速度是______；
(3)乙从地出发______时到达地．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查了由函数图象获取信息，读懂函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）由函数图象即可得出答案；
（2）根据速度路程时间，结合函数图象计算即可得出答案；
（3）由函数图象即可得出答案．
【详解】（1）解：由图象可得：甲出发后，两人相遇，这时他们与地的距离为，
故答案为：，；
（2）解：由图象可得：甲的速度为：，
乙的速度为：，
故答案为：，；
（3）解：由图象可得：，
乙从地出发时到达地，
故答案为：．
2.通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质．下面是他的探究过程，请你补充完整：
0 1
3 2 1 0 1 2
(1)列表：直接填空：___________．
(2)描点并画出该函数的图象．
(3)观察的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质：①___________________②________________________
(4)在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为___________．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①函数有最小值为，②当时，随着的增大而增大；时，随着的增大而减小
(4)4
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键．
（1）把代入函数关系式进行计算即可；
（2）描点、连线画出函数图象即可；
（3）观察图象可从该图象的最值，增减性解答即可；
（4）观察图象即可解答．
【详解】（1）当 时, ，
，
故答案为: ；
（2）描点、连线画出该函数图象如图：
（3）写出该图象的两条性质：
①函数有最小值为，
②当时，随着的增大而增大；时，随着的增大而减小，
故答案为：函数有最小值为； 当时,随着的增大而增大；时，随着的增大而减小；
（4）如图，
该函数图象与直线 围成的区域内 (不包括边界) 整点的个数为，
故答案为: ．
3.小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程S（千米）与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空：
(1)小杰去公园时下坡路长________千米；
(2)小杰下坡的速度为________千米/分钟；
(3)如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是________分钟．
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】本题考查函数图象的实际应用．
（1）结合图象得到下坡长为千米，作答即可；
（2）利用路程除以时间进行求解即可；
（3）先求出上坡和下坡的速度，利用路程除以速度进行求解即可．
从图象中有效的获取信息，是解题的关键．
【详解】（1）解：由图象可知，分钟所走的路程为下坡路长，
∴下坡路长千米，
故答案为：3；
（2）千米/分钟；
故答案为：；
（3）由图象可知，上坡速度为：千米/分钟；
∴从公园骑车到家用的时间是分钟；
故答案为：．
4.一种苹果的销售数量千克与销售额元的关系如下：
数量千克
销售额元
(1)求出两个变量之间的函数关系；
(2)请估计销售量为千克时销售额是多少？
【答案】(1)
(2)销售量为千克时销售额是元
【分析】此题考查的是函数的表示方法：列表法，解析法，以及已知自变量求函数值；
（1）观察表格中的数据发现：销售额是销售数量的倍，据此列出函数关系式；
（2）由题意可知将自变量代入（1）中函数关系式求出函数的值．
【详解】（1）解：由表格得两个变量的函数关系为：，
（2）当时，，
答：销售量为千克时销售额是元．
5.如图1，B地在A地的正东方向，某一时刻，乙车从B地开往A地，1小时后，甲车从A地开往B地，当甲车到达B地的同时乙车也到达A地．
如图2，横轴（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴（千米）表示两车与A地的距离．
问题：
(1)、两地相距多少千米？
(2)和两段线分别表示两车距A地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的关系，请问哪一段表示甲车，哪一段表示乙车？
(3)请问两车相遇时距A地多少千米？
【答案】(1)400千米
(2)线段表示甲车距A地的距离与行驶时间的关系，线段表示乙车距A地的距离与行驶时间的关系
(3)千米
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
（1）由函数图象可知，、两地相距400千米；
（2）由于乙车比甲车先出发1小时，则当时甲车距离A地的距离为0，据此结合函数图象可得答案；
（3）设两车相遇时距A地千米， 由函数图象可知，甲车的速度为，乙车的速度为，再根据时间路程速度列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，、两地相距400千米；
（2）解：∵乙车从B地开往A地，1小时后，甲车从A地开往B地，
∴乙车比甲车先出发1小时，则当时甲车距离A地的距离为0，
∴线段表示甲车距A地的距离与行驶时间的关系，线段表示乙车距A地的距离与行驶时间的关系．
（3）解：设两车相遇时距A地千米，
由函数图象可知，甲车的速度为，乙车的速度为，
∴，
解得，
答：两车相遇时距A地千米．
6.如图，在中，，，，M为中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发，沿折线方向运动，设运动时间为t秒，的面积为s．
(1)求出s关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)当时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，从函数图象获取信息等等，正确列出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）根据线段中点的定义得到，再分当点P在上时，则，当点P在上时，则 ，两种情况利用三角形面积公式进行求解即可；
（2）先描点，再连线画出函数图象，再结合函数图象写出对应的函数的性质即可；
（3）分别求出当时，，当时，，结合函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：∵M为中点，，
∴，
当点P在上时，则，
由题意得，，
∴，
∵，
∴；
当点P在上时，则，
∴，
∵，
∴；
综上所述，
（2）解；如图所示函数图象即为所求；
∴该函数在时 ，s有最大值6；
（3）解：当时，，当时，，
∴由函数图象可知当，．
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八年级数学下册 预习篇
19.1.2 函数的图像
函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的。
描点法画函数图象的步骤：
⑴列表；
⑵描点；
⑶连线。
3.函数解析式与函数图象的关系：
⑴满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；
⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式．
选择题
1.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
2.如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点A，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图像，其中是曲线部分的最低点，则的面积是（ ）
A．72 B．78 C．84 D．90
3.甲、乙两人分别骑自行车和摩托车，从同一地点沿相同的路线前往距离的某地．如图，分别表示甲、乙两人离开出发地的距离与行驶时间之间的函数关系．问乙出发（ ）后两人相距．
A．2小时 B．小时
C．2小时或小时 D．1小时或小时
4.如图①，在边长为的正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边(或边)交于点，的长度与点的运动时间(秒)的函数图象如图②所示．当点运动秒时，的长是( )
A． B． C． D．
5.打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6.杆秤是我国传统的计重工具．数学兴趣小组利用杠杆原理自制了一个如图1所示的无刻度简易杆秤．在量程范围内，之间的距离l与重物质量m的关系如图2所示，下列说法不正确的是（ ）
A．在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大；
B．未挂重物时，之间的距离l为；
C．当之间的距离l为时，重物质量m为；
D．在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加．
7.小文、小亮从学校出发到青羊区青少年宫参加书法比赛,小文步行一段时间后, 小亮骑自行车沿相同路线行进,两人均匀速前行,先后到达目的地．他们的路程差s(米)与小文出发时间t(分)之间的函数关系如图所示．下列说法：①小文后到达青少年宫； ②小文每分钟走80米，小亮每分钟行驶200米； ③； ④，其中正确的是的( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8.甲、乙两地相距km，一列快车从甲地匀速开往乙地，一列慢车从乙地匀速开往甲地，两车同时出发，快车到达乙地后停止，两车之间的距离S（km）与快车的行驶时间t（h）之间的函数关系图象如图所示，则慢车的速度是（ ）
A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h
填空题
1.如图①，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度与点的运动时间（秒）的函数图象如图②所示，当点运动秒时，的长是 ．
2.快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次折返，且快递员始终匀速行驶），那么快递员完成投递业务后一共走了 km．
3.如图，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图所示，则 ．
4.如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动到点C，图2是点P运动时，线段AP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的面积为 ．
5.如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．水槽内正方体铁块的棱长为 ，如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满．
解答题
1.甘肃地震牵动全国，甲、乙两人沿同一条路用货车从地匀速开往相距的灾区地运送救灾物资.如图，和分别表示甲、乙与地的距离与行驶的时间之间的关系．
(1)甲出发______后，两人相遇，这时他们与地的距离为______；
(2)甲的速度是______，乙的速度是______；
(3)乙从地出发______时到达地．
2.通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质．下面是他的探究过程，请你补充完整：
0 1
3 2 1 0 1 2
(1)列表：直接填空：___________．
(2)描点并画出该函数的图象．
(3)观察的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质：①___________________②________________________
(4)在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为___________．
3.小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程S（千米）与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空：
(1)小杰去公园时下坡路长________千米；
(2)小杰下坡的速度为________千米/分钟；
(3)如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是________分钟．
4.一种苹果的销售数量千克与销售额元的关系如下：
数量千克
销售额元
(1)求出两个变量之间的函数关系；
(2)请估计销售量为千克时销售额是多少？
5.如图1，B地在A地的正东方向，某一时刻，乙车从B地开往A地，1小时后，甲车从A地开往B地，当甲车到达B地的同时乙车也到达A地．
如图2，横轴（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴（千米）表示两车与A地的距离．
问题：
(1)、两地相距多少千米？
(2)和两段线分别表示两车距A地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的关系，请问哪一段表示甲车，哪一段表示乙车？
(3)请问两车相遇时距A地多少千米？
6.如图，在中，，，，M为中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发，沿折线方向运动，设运动时间为t秒，的面积为s．
(1)求出s关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)当时，直接写出t的取值范围．
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