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八年级数学下册 预习篇
19.2.1 正比例函数
一、正比例函数的定义
正比例函数是指当自变量x增大或减小时，因变量y以比例相同的速率增大或减小的函数，常用符号y = kx表示，其中k为比例系数，通常是一个常数。
二、正比例函数的性质
1、比例系数k的值表示y增加1个单位时x的增加量。例如k= 3时，表示y增加1个单位时，x会增加3个单位。
2、正比例函数的图像是一条经过原点的直线，如果k >0，则是一条斜率为正数的直线，反之，则是一条斜率为负数的直线。
3、正比例函数的定义域为所有实数，值域为所有y > 0的实数。
4、在同一个正比例函数中，当x1=x2时，有y1:y2=x1:x2。
三、正比例函数的图像特点
1、斜率表示比例关系
正比例函数的图像是一条直线，其斜率k表示y增加1个单位时，x的增加量。斜率越大，表示y变化越敏感，x增加的幅度越大。
2、经过原点
正比例函数必经过原点，因为当自变量x等于0时，因变量y也等于0。
3、左侧无限延伸
4、右侧有界限
选择题
1.下列是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】考查了正比例函数的定义．形如，则该函数就是正比例函数，据此求解即可．
【详解】是正比例函数，故选项B正确；
不是正比例函数，故选项A错误；
不是正比例函数，故选项C错误；
不是正比例函数，故选项D错误；
故选：B．
2.在正比例函数图象上的点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查正比例函数图象上点的坐标特征，根据，只要代入点的横坐标与纵坐标就可判断．
【详解】解：A、，故选项A符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D不符合题意；
故选：A．
3.已知正比例函数，那么它的图象经过（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，根据的符号，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴它的图象经过第二、四象限．
故选C．
4.下面各组变量的关系中，成正比例关系的是（ ）
A．圆的周长与它的半径 B．人的身高与年龄
C．正方形的面积与它的边长 D．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的定义，判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定;如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，由此逐项判断即可，熟练掌握正比例函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意；
B、人的身高与年龄不成正比例关系，故此选项不符合题意；
C、正方形的面积与它的边长的平方成正比例关系，故此选项不符合题意；
D、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意；
故选：A．
5.已知函数是正比例函数，则、n的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】此题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为．根据函数是正比例函数，可知且，综合条件即可得到、n的值．
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴且，
解得：，，
故选：．
6.已知一个正比例函数的图象经过和两点，则n的值是（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】本题考查正比例函数图象上的点的坐标特征．利用待定系数法求出正比例函数的解析式，再将点代入求值即可．关键是求出函数解析式．
【详解】解：设正比例函数的解析式为，将，代入，得：，
∴，
当时，，
∴；
故选B．
7.已知是正比例函数，则该函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可得关于的方程， 解出后可得函数解析式，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且自变量次数为．
【详解】解： 由题知：
解得：
∴该函数的表达式是
故选：．
8.已知正比例函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数值y随x的增大而增大 B．函数值y随x的增大而减小
C．函数图象经过一，三，四象限 D．函数图象经过二，三，四象限
【答案】B
【分析】本题主要考查正比例函数的性质，根据函数解析式得系数小于零，即可判断选项．
【详解】解：∵正比例函数中，
∴图象经过二、四象限，y随着x的增大而减小，
∴A、C、D错误，B正确，故B选项符合题意；
故选：B．
填空题
1.正比例函数的图像经过，且，则k的范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，根据题意可知y随x增大而减小，则，可得．对于正比例函数，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小．
【详解】解：∵正比例函数的图像经过，且，
∴，
∴，
故答案为：．
2.当 时，是正比例函数．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如的函数是正比例函数．根据题意得到，并且，即可求出．
【详解】解：∵是正比例函数，
∴，并且，
∴．
故答案为：
3.已知函数是正比例函数，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴，
∴，
故答案为：．
4.在正比例函数中，当时，那么 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，二次根式的除法计算，根据当时，得到，由此可得．
【详解】解：∵在正比例函数中，当时，，
∴，
∴，
故答案为：2．
5.若函数是正比例函数，则常数的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数，解题的关键是掌握正比例函数的概念．根据正比例函数的定义可得，，即可求解．
【详解】解：函数是正比例函数，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
解答题
1.一个正比例函数的图象经过点，求的值．
【答案】，．
【分析】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，以及正比例函数图象上的点的特征．将点代入解析式，求出的值，再将点分别代入解析式，求出的值即可．
【详解】解：设正比例函数的解析式为，
∵正比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
∵正比例函数的图象经过点，
∴，，
∴．
2.已知与成正比例，当时，．
(1)求与的函数表达式；
(2)试判断点是否在（1）中的函数图像上，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点不在（1）中的函数图像上，理由见详解
【分析】本题考查了正比例函数，以及函数上的点能使方程左右两边相等：
（1）先设，代入，，解出的 ，即可作答．
（2）如果点代入，使方程左右两边相等，则点就在，否则不在，即可作答．
【详解】（1）解：∵与成正比例，
∴
把，代入
得
解得
则
故
（2）解：点不在（1）中的函数图像上，理由如下：
依题意，把点代入，
则方程右边为，方程左边为
∵
∴点不在（1）中的函数图像上
3.已知.
(1)当m，n为何值时，是的一次函数？
(2)当m，n为何值时，是的正比例函数？
【答案】(1)
(2)，
【详解】解：（1）是的一次函数，
且，为任意实数，解得.
（2）是的正比例函数，
且，，
解得，
4.已知正比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简：．
【答案】5
【分析】本题主要考查正比例函数及分式的运算，熟练掌握正比例函数的性质及分式的运算是解题的关键；根据正比例函数的图象分别位于第二、第四象限，可得，即有，再根据分式的混合运算法则化简即可．
【详解】∵正比例函数的图象分别位于第二、第四象限，
∴，
∴，
∴
．
．
5.已知：如图，正比例函数的图像经过点A，
(1)请你求出该正比例函数的解析式；
(2)若这个函数的图像还经过点，请你求出m的值．
【答案】(1)
(2) 1
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，熟知正比例函数图象上的点的坐标一定满足其函数解析式是解题的关键．
（1）把代入中求出k的值即可得到答案；
（2）把点B坐标代入（1）所求函数解析式中求出m的值即可．
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴正比例函数解析式为；
（2）解：把代入中得，解得．
6.已知y与成正比例，且时，．求y与x之间的函数关系式．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，设，可得，即可得y与x的函数关系式为．
【详解】解：由y与成正比例，设，
∵时，，
∴，
解得，
∴，
∴y与x的函数关系式为．
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八年级数学下册 预习篇
19.2.1 正比例函数
一、正比例函数的定义
正比例函数是指当自变量x增大或减小时，因变量y以比例相同的速率增大或减小的函数，常用符号y = kx表示，其中k为比例系数，通常是一个常数。
二、正比例函数的性质
1、比例系数k的值表示y增加1个单位时x的增加量。例如k= 3时，表示y增加1个单位时，x会增加3个单位。
2、正比例函数的图像是一条经过原点的直线，如果k >0，则是一条斜率为正数的直线，反之，则是一条斜率为负数的直线。
3、正比例函数的定义域为所有实数，值域为所有y > 0的实数。
4、在同一个正比例函数中，当x1=x2时，有y1:y2=x1:x2。
三、正比例函数的图像特点
1、斜率表示比例关系
正比例函数的图像是一条直线，其斜率k表示y增加1个单位时，x的增加量。斜率越大，表示y变化越敏感，x增加的幅度越大。
2、经过原点
正比例函数必经过原点，因为当自变量x等于0时，因变量y也等于0。
3、左侧无限延伸
4、右侧有界限
选择题
1.下列是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2.在正比例函数图象上的点为（ ）
A． B． C． D．
3.已知正比例函数，那么它的图象经过（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
4.下面各组变量的关系中，成正比例关系的是（ ）
A．圆的周长与它的半径 B．人的身高与年龄
C．正方形的面积与它的边长 D．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
5.已知函数是正比例函数，则、n的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
6.已知一个正比例函数的图象经过和两点，则n的值是（ ）
A．2 B． C．8 D．
7.已知是正比例函数，则该函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
8.已知正比例函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数值y随x的增大而增大 B．函数值y随x的增大而减小
C．函数图象经过一，三，四象限 D．函数图象经过二，三，四象限
填空题
1.正比例函数的图像经过，且，则k的范围是 ．
2.当 时，是正比例函数．
3.已知函数是正比例函数，则 ．
4.在正比例函数中，当时，那么 ．
若函数是正比例函数，则常数的值是 ．
解答题
1.一个正比例函数的图象经过点，求的值．
2.已知与成正比例，当时，．
(1)求与的函数表达式；
(2)试判断点是否在（1）中的函数图像上，请说明理由．
3.已知.
(1)当m，n为何值时，是的一次函数？
(2)当m，n为何值时，是的正比例函数？
4.已知正比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简：．
5.已知：如图，正比例函数的图像经过点A，
(1)请你求出该正比例函数的解析式；
(2)若这个函数的图像还经过点，请你求出m的值．
6.已知y与成正比例，且时，．求y与x之间的函数关系式．
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