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八年级数学下册 预习篇
19.2.3 一次函数与方程、不等式
1.一次函数与一元一次方程的关系：
直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。
一次函数与一元一次不等式的关系：
任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
3.一次函数与二元一次方程（组）的关系：
一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。
选择题
1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m、n为常数，且）与正比例函数的交点P在第三象限，过点P作轴于点A，作轴于点B，若，，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是利用函数的交点坐标确定方程组的解，矩形的判定与性质，勾股定理，根据由两个函数的交点坐标同时满足两个函数解析式，从而可得方程组的解．
【详解】∵轴，，，
∴，
∵轴，，轴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
依题意函数和的图象相交于点P，点，
∴关于x，y的二元一次方程组的解是，
故选：A．
2.如图，关于一次函数与的图象，下列说法正确的有（ ）个．
①，；
②图象，随自变量的增大而减小；
③不论为何值，一次函数的图象都经过定点，则点的坐标为；
④方程组的解是．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与二元一次方程，数形结合思想，根据图象逐个分析即可．
【详解】由图可知，随x的增大而增大，
∴，
∵过二四象限，
∴，
∴图象，随自变量的增大而减小；
故①②正确；
∵一次函数
∴不论为何值，当时，，
即不论为何值，一次函数的图象都经过定点，则点的坐标为，
故③正确；
∵一次函数与的图象交点为，
∴方程组的解是，
故④正确，
综上所述，说法正确的是①②③④．
故选：D．
3.一次函数与的图像如图所示，由图像可知不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键．
直接利用函数图象，结合，得出的取值范围．
【详解】解：如图所示：不等式的解集为：．
故选：C．
4.已知一次函数，下列描述该函数的四个结论，其中正确的是（ ）
A．图象经过第一、二、三象限 B．y的值随着x值的增大而减小
C．函数图象必经过点 D．当时，
【答案】B
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵函数，
∴图象经过第一、二、四象限，故选项A不符合题意；
随的增大而减小，故选项B符合题意；
当，
∴函数必经过点，故选项C不符合题意；
当时，，
若，则，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
5.两个一次函数和的交点坐标为，那么下列方程组中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．由于函数图像交点坐标为两个函数解析式组成的方程的解，因此联立两函数解析式即可得到答案．
【详解】解：由于一次函数和的交点坐标为，
是方程组的解，
即是方程组的解，
故选D．
6.如图，已知直线，则方程的解（ ）
A．2 B． C．4 D．0
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的知识，理解两者的关系是解题的关键．
观察图象可得出点在函数的图象上满足函数关系式，结合一次函数与一元一次方程之间的关系可得到方程的解．
【详解】根据图象知，当时，
即时，
方程的解时
故选：C
7.在平面直角坐标系中，一次函数，当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握一次函数的性质，属于基础题．先把代入正比例函数及一次函数的解析式，求出y的值，再根据当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：当时，正比例函数的函数值为，一次函数的函数值为，
∵时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值，
，
，
①当时，正比例函数和一次函数的图象平行，且符合题意；
②时，正比例函数和一次函数的图象交点横坐标为，
由题意可得，
∴
综上所述，．
故选：C．
8.如图，直线与交点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解即可得到答案，解题的关键是理解和掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
【详解】解：把代入得，，
∴两直线的交点坐标为，
∴二元一次方程组的解为，
故选：．
填空题
1.如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图象的交点的横坐标就是方程的解即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：由图象得：
方程的解是，
故答案为：．
2.如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系．满足关于的不等式就是直线位于直线的下方的图象，据此求得自变量的取值范围，进而求解即可．
【详解】解：∵直线与的交点的横坐标为，
∴关于的不等式的解集为，
故答案为：．
3.在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，若直线与线段总有交点，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据性质即可求解，熟练掌握一次函数的性质时解题的关键．
【详解】解：把代入得，，解得：，
把代入得，，解得，
∵直线与线段总有交点，
∴的取值范围是或，
故答案为：或．
4.如图，直线与直线交于点，则方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组．将点代入，求出的值，即可得点的坐标，根据两函数图象交点的横纵坐标的值为两函数解析式组成的方程组的解可得答案．
【详解】解：将点代入，
得，
点坐标为，
方程组的解为．
故答案为：．
5.如图，已知一次函数的图象为直线l，直线l过和，则关于x的方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，关于x的方程的解就是函数的图象与x轴交点的横坐标．根据函数与x轴的交点坐标找出方程的解是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图象为直线l，直线l过，
∴关于x的方程的解为．
故答案为：．
解答题
1.城有肥料吨，城有肥料吨，现要把这些肥料全部运往、两乡，从城往、两乡运肥料的费用分别为元吨和元吨；从城往、两乡运肥料的费用分别为元吨和元吨．现乡需要肥料吨，乡需要肥料吨，设城运往乡的肥料为吨，运往乡肥料的总运费为，运往乡肥料的总运费为．
(1)写出关于的函数关系式以及关于的函数关系式；
(2)怎样调度总运费最少？求出最少的运输费用．
【答案】(1)，；
(2)从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元．
【分析】（）根据题意即可得出之间的函数关系式；
（）设总运费为元，根据题意得，与之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性即可求解；
此题考查了一次函数的应用，根据已知得出城和城运往各地的肥料吨数是解题的关键．
【详解】（1）根据题意得，
；
（2）设总运费为元，根据题意得，与之间的函数关系式为，
∵，随的增大而增大，
∴当时，，
∴从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，最少的运输费用是10040元．
2.如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．
(1)求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解；
(2)求的面积；
(3)若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，两条直线相交或平行问题以及三角形面积，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）将点代入，求出点的坐标，再将点代入直线，求出的值，即可得到答案；
（2）根据解析式求出的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出答案；
（3）根据题意求出的坐标，结合的长为2，得到关于的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：把点代入，得，
．
把点P坐标代入，得，
，
直线的表达式为，
则方程组的解为；
（2）解：：，：，
，，
，
；
（3）解：直线与直线的交点C为，
与直线的交点D为．
，
，
即，
∴或，
或．
3.根据一次函数的图象，写出下列问题的答案：
(1)关于x的方程的解是 ；
(2)关于x的方程的解是 ；
(3)当时，y的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，
（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；
（2）利用函数图象写出时对应的自变量的值即可
（3）利用函数图象写出时对应的函数值范围即可．
【详解】（1）利用函数图象可知函数值为0时，，
故答案为：；
（2）利用函数图象可知时对应的自变量的值为，
故答案为：；
（3）根据图象可知：当时，，
故答案为：．
4.画出函数的图象，利用图象：
(1)求方程的解；
(2)求不等式的解集；
(3)若，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了函数图象的作图以及根据图形获取相关信息等知识点，解答关键是根据数形结合解答问题．
（1）求出直线与坐标轴的交点坐标，经过两点画直线．观察图象求得方程的解；
（2）观察图象求得不等式的解集；
（3）观察图象，当时，可求x的取值范围；
【详解】（1）当时，；当时，，
∴，，作直线AB：
由图象，方程的解为：
；
（2）由图象得：不等式的解集为：；
（3）由图象得：，x的取值范围为：
．
5.某中学要添置某种教学仪器．
方案一：到商店购买，每件需要8元：
方案二：学校自己制作，每件需要4元．但另外需要制作工具的租用费120元．
设需要仪器件．方案一的费用为元，方案二的费用为元．
(1)问（元），（元）关于（件）的关系式分别是什么？（直接写结论，不用写出自变量的取值范围）
(2)当添置仪器多少件时，两种方案所需的费用相同？
(3)若学校计划添置仪器60件，则采用哪种方案便宜？
【答案】(1)，；
(2)当添置仪器30件时，两种方案所需的费用相同；
(3)若学校计划添置仪器60件，则采用方案二便宜．
【分析】本题考查了列函数关系式，求函数函数值，一元一次方程的应用．
（1）方案一：总费用=仪器的单价×仪器的数量；方案二：总费用=每件制作的成本×仪器的数量+工具的租用费，据此可得出方案一和方案二的函数关系式；
（2）本题只需令（1）中得出的两个函数关系式相等，求出x的值，即可求得两种方案所需的费用相同时，仪器的件数；
（3）可将分别代入（2）中的两个函数式中，得出函数的值，然后比较哪种方案更便宜即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
，；
（2）解：根据题意，令，
得，
解得，
故当购买30件仪器时，两种方案所需的费用相同；
（3）解：把分别代入，中，
得(元)，(元)，
，
当学校添置60件仪器，选择方案二比较便宜．
6.如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．
(1)求m和b的值；
(2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速向x轴正方向运动．设点E的运动时间为t秒．当的面积为12时，求t的值．
【答案】(1)，
(2)或11
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的交点问题，三角形面积问题，分类讨论是解题的关键．
（1）将点代入，得，然后将点代入，即可求得b的值；
（2）根据题意得出点，点，继而得出，根据三角形面积得出，分E在A点的左侧与右侧建立方程即可求解．
【详解】（1）将点代入，得，
∴点，
将点代入，
∴
解得：，
∴，
（2）∵函数的图象与x轴交于点A，
令，得，
∴点，
∵函数的图象与x轴交于点D，
∴时，，
∴点D的坐标为，
∴，
∵的面积为12，，
∴，
∴，
根据题意或，
∴或，
解得：或11．
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八年级数学下册 预习篇
19.2.3 一次函数与方程、不等式
1.一次函数与一元一次方程的关系：
直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。
一次函数与一元一次不等式的关系：
任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
3.一次函数与二元一次方程（组）的关系：
一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。
选择题
1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m、n为常数，且）与正比例函数的交点P在第三象限，过点P作轴于点A，作轴于点B，若，，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，关于一次函数与的图象，下列说法正确的有（ ）个．
①，；
②图象，随自变量的增大而减小；
③不论为何值，一次函数的图象都经过定点，则点的坐标为；
④方程组的解是．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
3.一次函数与的图像如图所示，由图像可知不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4.已知一次函数，下列描述该函数的四个结论，其中正确的是（ ）
A．图象经过第一、二、三象限 B．y的值随着x值的增大而减小
C．函数图象必经过点 D．当时，
5.两个一次函数和的交点坐标为，那么下列方程组中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
6.如图，已知直线，则方程的解（ ）
A．2 B． C．4 D．0
7.在平面直角坐标系中，一次函数，当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8.如图，直线与交点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
填空题
1.如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的方程的解是 ．
2.如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的解集是 ．
3.在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，若直线与线段总有交点，则的取值范围是 ．
4.如图，直线与直线交于点，则方程组的解为 ．
5.如图，已知一次函数的图象为直线l，直线l过和，则关于x的方程的解为 ．
解答题
1.城有肥料吨，城有肥料吨，现要把这些肥料全部运往、两乡，从城往、两乡运肥料的费用分别为元吨和元吨；从城往、两乡运肥料的费用分别为元吨和元吨．现乡需要肥料吨，乡需要肥料吨，设城运往乡的肥料为吨，运往乡肥料的总运费为，运往乡肥料的总运费为．
(1)写出关于的函数关系式以及关于的函数关系式；
(2)怎样调度总运费最少？求出最少的运输费用．
2.如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．
(1)求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解；
(2)求的面积；
(3)若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值．
3.根据一次函数的图象，写出下列问题的答案：
(1)关于x的方程的解是 ；
(2)关于x的方程的解是 ；
(3)当时，y的取值范围是 ．
4.画出函数的图象，利用图象：
(1)求方程的解；
(2)求不等式的解集；
(3)若，求x的取值范围．
5.某中学要添置某种教学仪器．
方案一：到商店购买，每件需要8元：
方案二：学校自己制作，每件需要4元．但另外需要制作工具的租用费120元．
设需要仪器件．方案一的费用为元，方案二的费用为元．
(1)问（元），（元）关于（件）的关系式分别是什么？（直接写结论，不用写出自变量的取值范围）
(2)当添置仪器多少件时，两种方案所需的费用相同？
(3)若学校计划添置仪器60件，则采用哪种方案便宜？
6.如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．
(1)求m和b的值；
(2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速向x轴正方向运动．设点E的运动时间为t秒．当的面积为12时，求t的值．
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