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向量的数量积
平面向量的数乘积及其运算是重要考点，需要掌握的知识点有：
（1）平面向量的数量积的含义
（2）平面向量的数量积的性质及其运算
（3）向量的投影及投影向量
（4）利用向量的数量积求两个向量的夹角问题
（5）利用向量的数量积判断两个向量的垂直问题
一．选择题
1． ABC 中， AD为 BC边上的高，且 AD 3，则 AB在 AD方向上的投影向量的模为 ( )
A．9 B．6 C．3 D．1
2．已知 a,b是两个单位向量，则“ a b ”是“ | 2a b | | a b | ”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3
3．已知 |OA | 2 ， |OB | 1，且OA，OB的夹角为 ，则 | AB | ( )
4
A．1 B． 3 C．2 D． 5
4．已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 ，则 e1 2e2 与 2e1 3e3 2
的夹角为 ( )
2
A． B． C． D．
3 3 2 4
5．已知非零向量 a与b 满足 | a | 2 | b | ，若 | a 2b | | a b |，则 cos a,b ( )
1 3 3 3
A． B． C． D．
2 4 2 2
6．已知非零向量 a，b ，满足 | a | 2 | b | ，且 (a b ) b，则向量 a与b 夹角的大小为 ( )
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
7．已知两个单位向量 e1与 e2 的夹角为 ，若 a e1 e2 ，b e1 me2 ，且 a b，则实数m ( ) 3
1 1
A． B． C． 1 D．1
2 2
二．多选题
8．若向量 a,b满足 | a b | | a b | 3 ， | a | 2 ，则 ( )
A． a b B． | b | 1 C． (a b) (a b) D．b (a b) 1
9．已知非零向量 a,b，若 | a | | b | 1，且 a b，又知 (4a kb) (a kb)，则实数 k的值为 ( )
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A． 2 B． 3 C．3 D．2
10．下列说法正确的是 ( )
A．若 a / /b ，b / /c，则 a / /c B． | (a b) c | | a || b || c |
C．若 a (b c) ，则 a b a c D． (a b) b a (b)2
三．填空题
11．已知向量 a，b 方向相反，且 | a | 4， | b | 5，则 a在b 方向上的数量投影为 ．
12．若向量 a、b 为单位向量，且 | a 2b | 7 ，则向量 a与b 的夹角为 ．
2
13．设 e1 ， e2 为两个单位向量，且 e1,e2 ，若 e1 e2 与3e1 4e2 垂直，则 ． 3
14．在 ABC 中，点D在边 AC 上，且 AD 2DC,| BA | | BC | ，若 BD (2BC BA) ，则 ．
1
15．如图，在直角梯形 ABCD 中，已知 DE EC ， BF FC ， AB 5 ， AD 3 ， CD 2 ，则
2
(AE AF ) AC ．
四．解答题
16．已知 | a | 3， | b | 4，且 a与b 的夹角 120 ，
（1）求 a b， | a b | ；
（2）若 a b 与 a垂直，求 的值．
2
17．如图，在 ABC 中，AB 3, AC 4, BAC , AE 1, AF 2 ，D为 BC的中点，AD与 EF 交于G 点．设
3
AB a， AC b ．
（1）试用 a,b表示 BG ；
（2）求 cos AG,BG ．
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向量的数量积
平面向量的数乘积及其运算是重要考点，需要掌握的知识点有：
（1）平面向量的数量积的含义
（2）平面向量的数量积的性质及其运算
（3）向量的投影及投影向量
（4）利用向量的数量积求两个向量的夹角问题
（5）利用向量的数量积判断两个向量的垂直问题
一．选择题
1． ABC 中， AD为 BC边上的高，且 AD 3，则 AB在 AD方向上的投影向量的模为 ( )
A．9 B．6 C．3 D．1
【分析】根据数量积的几何意义即可求解．
【解答】解： AB在 AD方向上的投影向量的模为 | AB || cos BAD | | AD | 3．
故选：C ．
2．已知 a,b是两个单位向量，则“ a b ”是“ | 2a b | | a b | ”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，依次判断充分性、必要性，即可求解．
【解答】解： a,b是两个单位向量，
则 | a | | b | 1，
a b，
则 a b 0，
| 2a b | 4a2
4a b b 2
5 ， | a b | a2 2a b b 2 2 ，充分性不成立，
| 2a b | | a b |，
则 4a2
1
4a b b 2 a2 2a b b 2 ，即 a b 0 ，必要性不成立，
2
故“ a b ”是“ | 2a b | | a b | ”的既不充分又不必要条件．
故选：D．
3
3．已知 |OA | 2 ， |OB | 1，且OA，OB的夹角为 ，则 | AB | ( )
4
A．1 B． 3 C．2 D． 5
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【分析】根据已知条件，结合向量模公式，即可求解．
2 2 2
【解答】解： | AB | |OB OA | OB OA 2OB OA 2 1 2 2 1 ( ) 5 ．
2
故选：D．
4．已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 ，则 e 2e 与 2e3 1 2 1
3e2 的夹角为 ( )
2
A． B． C． D．
3 3 2 4
【分析】根据平面向量数量积的定义，求模长与夹角即可．
【解答】解：单位向量 e1 与 e2 的夹角为 ， 3
1
| e1 | | e2 | 1， e1 e2 ， 2
2 2 1 7
(e1 2e2 ) (2e1 3e2 ) 2e1 e1 e2 6e2 2 6 ， 2 2
1
| e1 2e2 | 1 4 4 7 ， 2
1
| 2e1 3e2 | 4 12 9 7 ， 2
e1 2e2 与 2e1 3e2 的夹角 的余弦值为
7(e 2e
cos 1 2 ) (2e 1 3e 2 ) 2 1 ，
| e1 2e2 | | 2e1 3e2 | 7 7 2
又 [0 ， ] ，
2 ．
3
故选： A．
5．已知非零向量 a与b 满足 | a | 2 | b | ，若 | a 2b | | a b |，则 cos a,b ( )
1 3 3 3
A． B． C． D．
2 4 2 2
【分析】利用向量数量积的运算律可得3 | b |2 2a b 0 ，结合已知及数量积定义求夹角余弦值．
【解答】解：因为 | a 2b | | a b |，
所以 | a |2
4 | b |2 4a b | a |2 | b |2 2a b，
所以3 | b |2 2a b 0 ，而 | a | 2 | b | ，
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所以3 | b |2 4 | b |2 cos a,b 0，
3
所以 cos a,b ．
4
故选： B．
6．已知非零向量 a，b ，满足 | a | 2 | b | ，且 (a b ) b，则向量 a与b 夹角的大小为 ( )
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
1
【分析】根据 (a b ) b即可得出 a b b 2 ，然后根据 | a | 2 | b | 即可求出 cos a,b ，从而根据向量
2
夹角的范围即可求出夹角．
【解答】解： | a | 2 | b | ，且 (a b ) b；
(a b) b a b b 2 0；
a b b 2 ；
a b b 2 1
cos a,b ；
| a || b | 2b 2 2
又 0 a,b ；
2
向量 a与b 的夹角为 ．
3
故选：C ．
7．已知两个单位向量 e1与 e2 的夹角为 ，若 a e1 e3 2
，b e1 me2 ，且 a b，则实数m ( )
1 1
A． B． C． 1 D．1
2 2
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：两个单位向量 e1与 e2 的夹角为 ， 3
1
则 | e1 | | e2 |， e1 e2 1 1 cos ， 3 2
a e1 e2 ，b e1 me2 ，且 a b，
2 2 1
则 a b e1 me2 (1 m)e1 e2 1 m (1 m) 0，解得m 1． 2
故选：C ．
二．多选题
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8．若向量 a,b满足 | a b | | a b | 3 ， | a | 2 ，则 ( )
A． a b B． | b | 1 C． (a b) (a b) D．b (a b) 1
【分析】根据平面向量数量积的性质，把向量的模转化为向量平方进行计算，即可判定各选项．
【解答】解：由 | a b | | a b |可得： (a b)2 (a b)2 ，
整理得 a b 0，即 a b，故 A正确；
又 | a b | 3 ，则有 a2 b 2 2a b 3，即 | a |2 | b |2 3，
| a | 2 ， | b | 1，故 B正确；
2 2 由 a b 2 1 1 0，可得 (a b) (a b) 0，故C 错误；
b (a b) a b b 2 0 1 1，故D正确．
故选： ABD．
9．已知非零向量 a,b，若 | a | | b | 1，且 a b，又知 (4a kb) (a kb)，则实数 k的值为 ( )
A． 2 B． 3 C．3 D．2
【分析】由 (4a kb) (a kb)， a b，则 (4a kb) (a kb) 0， a b 0．后由数量积运算律可得答案．
【解答】解：因为 a b，
所以 a b 0，
又 (4a kb) (a kb)，
则 (4a kb) (a kb) 4 | a |2 k 2
| b |2 3ka b 4 k 2 0 k 2．
故选： AD．
10．下列说法正确的是 ( )
A．若 a / /b ，b / /c，则 a / /c B． | (a b) c | | a || b || c |
C．若 a (b c) ，则 a b a c D． (a b) b a (b)2
【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题真假性判断即可．
【解答】解：对于 A，当b 0时，满足 a / /b ，b / /c，不能得出 a / /c，选项 A错误；
对于 B，| (a b)c | | (| a || b | cos a，b | c |) | | a || b || c |，当且仅当 a与b 共线时取“ ”，所以选项 B正确；
对于C ， a (b c) 时， a (b c) 0，即 a b a c ，选项C 正确；
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对于D，(a b) b是数乘向量，与b 共线的向量，a (b)2 也是数乘向量，与 a共线的向量，所以等式不成立，
选项D错误．
故选： BC．
三．填空题
11．已知向量 a，b 方向相反，且 | a | 4， | b | 5，则 a在b 方向上的数量投影为 ．
【分析】根据投影的定义，应用公式 a在b 方向上的数量投影为 | a | cos ，求解即可．
【解答】解：向量 a，b 方向相反，且 | a | 4， | b | 5，根据投影的定义可得：
a在b 方向上的数量投影为 | a | cos 4．
故答案为： 4 ．
12．若向量 a、b 为单位向量，且 | a 2b | 7 ，则向量 a与b 的夹角为 ．
【分析】由平面向量数量积的运算性质可求得 cos a,b 的值，结合向量夹角的取值范围可求得结果．
【解答】解：因为向量 a、b 为单位向量，且 | a 2b | 7 ，
2 所以 | a 2b | a2 4a b 4b 2 5 4a b 7 ，
1
解得 a b ，
2
a b 1
所以 cos a,b ，
| a | | b | 2
因为 0 a,b ，
所以 a,b ，即向量 a与b 的夹角为 ．
3 3
故答案为： ．
3
2
13．设 e1 ， e2 为两个单位向量，且 e1,e2 ，若 e3 1
e2 与3e1 4e2 垂直，则 ．
【分析】根据已知条件，结合向量的数量积运算，以及向量垂直的性质，即可求解．
2
【解答】解： e1 ， e2 为两个单位向量，且 e1,e2 ， 3
2 1
则 e1 e2 1 1 cos ， 3 2
若 e1 e2 与3e1 4e2 垂直，
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2 2 1 2
则 (e1 e2 ) (3e1 4e2 ) 3e1 (4 3 )e1 e2 4 e2 3 (4 3 ) ( ) 4 0 ，解得 ． 2 5
2
故答案为： ．
5
14．在 ABC 中，点D在边 AC 上，且 AD 2DC,| BA | | BC | ，若 BD (2BC BA) ，则 ．
2 1
【分析】根据向量的线性运算，化简得到 BD BC BA，结合 BD (2BC BA) ，列出方程，求得
3 3
| BA | 2 | BC |，即可求解．
2 2 2 1
【解答】解：如图所示， BD BA AD BA AC BA (BC BA) BC BA，
3 3 3 3
因为 BD (2BC BA) ，
2 1 4 1
可得 BD (2BC BA) ( BC BA) (2BC BA) | BC |2 | BA |2 0 ，
3 3 3 3
即 4 | BC |2 | BA |2 ，所以 | BA | 2 | BC |，所以 2 ．
故答案为：2．
1
15．如图，在直角梯形 ABCD 中，已知 DE EC ， BF FC ， AB 5 ， AD 3 ， CD 2 ，则
2
(AE AF ) AC ．
【分析】说明 AB AD 0，利用平面向量的基本定理，化简求解 (AE AF ) AC 即可．
1
【解答】解：因为在直角梯形 ABCD中，已知DE EC ， BF FC，
2
2
AB 5， AD 3，CD 2，所以DC AB，
5
因为直角梯形 ABCD，所以 AB AD，故 AB AD 0，
所以 (AE AF ) AC (AD DE AB BF ) (AD DC)
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1 1
(AD DC AB BC) (AD DC)，
2 3
1 1 2
(AD AB AB BC) (AD AB)
5 3 5
6 1 2
(AD AB (BA AD DC)) (AD AB)
5 3 5
6 1 1 2 2
(AD AB BA AD AB) (AD AE)
5 3 3 15 5
4 2
( AD AB) (AD AB)
3 5
4 8 2
| AD |2 AD AB AB AD | AB |2
3 15 5
4 2
9 25 12 10 22．
3 5
故答案为：22．
四．解答题
16．已知 | a | 3， | b | 4，且 a与b 的夹角 120 ，
（1）求 a b， | a b | ；
（2）若 a b 与 a垂直，求 的值．
【分析】（1）利用平面向量的数量积公式及模的关系计算即可；
（2）根据平面向量垂直性质计算即可．
1
【解答】解：（1）由条件可得： a b | a | | b | cos 3 4 ( ) 6，
2
| a b | (a b )2 a2 b 2 2a b 9 16 12 13 ；
（2）因为 a b 与 a垂直，
3
所以 (a b ) a a2 a b 9 6 0 ．
2
2
17．如图，在 ABC 中，AB 3, AC 4, BAC , AE 1, AF 2 ，D为 BC的中点，AD与 EF 交于G 点．设
3
AB a， AC b ．
（1）试用 a,b表示 BG ；
（2）求 cos AG,BG ．
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【分析】（1）直接利用向量的线性运算和三点共线求出结果；
（2）利用向量的数量积和向量的模求出向量的夹角．
1 1 3
【解答】解：（1）由题意， AD AB AC， AG AD AB AC AE AF，
2 2 2 2 2
由于 E，G ， F 三点共线，
3 2 1 1
所以 1, ， AG a b ，
2 5 5 5
4 1
所以 BG AG AB a b．
5 5
1 1 4 1 2
（2） AG BG ( a b ) ( a b ) ，
5 5 5 5 25
1 1 1 1 2
| AG | ( a b )2 2 2
13
a b a b ，
5 5 25 25 25 5
4 1 16 1 8 4 13
| BG | ( a b )2 a2 b 2 a b ，
5 5 25 25 25 5
AG BG 1
所以 cos AG,BG ．
| AG | | BG | 26
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