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6.3平面向量基本定理及坐标表示
题型汇总
题型1：平面向量基本定理的理解 例1.已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ） A．若实数m，n使，则 B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数 C．对于m，，不一定在该平面内 D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使
【变式1-1】设，是同一平面内的两个向量，则有 ( ) A．，一定平行 B．，的模相等 C．同一平面内的任一向量都有=λ+μ (μ，λ∈R) D．若，不共线，则同一平面内的任一向量都有=λ+μ (μ，λ∈R)
【变式1-2】若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与
【变式1-3】设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和
【变式1-4】如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ） 与 B．与 C．与 D．与
【变式1-5】如图，点O是正六边形的中心，则下面结论正确的是（ ） A． B． C． D．向量与能构成一组基底
题型2：用基底表示向量：线性运算法则+列方程 例2.在中，D在上，，设，，则（ ） A． B． C． D．
【变式2-1】如图，在中，为的中点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ） A． B． C． D．
【变式2-2】如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且．记，，则（ ） A． B． C． D．
【变式2-3】在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（ ） A． B． C． D．
【变式2-4】如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设，，试用基底表示向量.
【变式2-5】如图所示，在△OAB中，，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求.
【变式2-6】如图．在中，是的中点，点在上，且，与交于点．若，求的值．
【变式2-7】如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，，，点E，F分别是，的中点，G是的三等分点． （1）用表示，，； （2）能由（1）得出，的关系吗？
【变式2-8】如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.
题型3：利用平面向量基本定理求参数 例3.如图，在中，是的中点，若，则实数的值是 .
【变式3-1】如图，在中，M为BC的中点，则=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-2】如图，A，B，C，D为平面内的四个点，，为线段的中点，若，则 ．
【变式3-3】如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，则
【变式3-4】如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
【变式3-5】如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点. (1)若，求的值； (2)设，，，，求的值；
题型4：平面向量的正交分解 例4.已知向量=(1,0)，=(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得=(x,y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，则x1≠x2且y1≠y2； ③若x，y∈R，=(x,y)，且≠，则的始点是原点O； ④若x，y∈R，≠，且的终点坐标是(x,y)，则=(x,y)． 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-1】如图6.3-10，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标.
【变式4-2】如图，已知边长为1的正方形中，与x轴正半轴成30°角，求点B，D的坐标和，的坐标．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：．
【变式4-4】在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求，的坐标： （1）；（2）；（3）；（4）．
【变式4-5】如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：．
题型5：平面向量线性运算的坐标表示 例5在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求的坐标： （1），； （2），； （3），； （4），．
【变式5-1】已知两点，则与向量同向的单位向量是 ．
【变式5-2】已知，且点，则点B的坐标为（ ） A． B． C． D．
【变式5-3】已知点，向量，则（ ） A． B． C． D．
【变式5-4】已知，，且，则点M的坐标为 .
【变式5-5】已知，，且，则点的坐标为 ．
【变式5-6】已知与，点在直线上，且，则点坐标为 .
【变式5-7】已知，，点是线段的一个三等分点且靠近点，则点的坐标为 ．
【变式5-8】已知点，向量，，点P是线段的三等分点，求点P的坐标．
【变式5-9】设P是线段上的一点，点，的坐标分别是，. （1）当P是线段的中点时，求点P的坐标； （2）当P是线段的一个三等分点时，求点P的坐标.
题型6：平面向量共线的坐标表示 例6若点，，，，则与是否共线？
（多选）下列向量中与共线的是（ ） A． B． C． D．
【变式6-1】若，，与共线，则向量的坐标可能为（ ） A． B． C． D．
【变式6-2】已知点，那么下面四个结论正确的是（ ） A． B． C． D．
【变式6-3】顺次连接点，，，所构成的图形是（ ） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
【变式6-4】已知向量，，若，则实数的值等于 ．
【变式6-5】已知向量，且，则实数m的值（ ） A． B．1 C． D．
【变式6-6】已知三点在同一直线上，则实数的值是（ ） A． B． C． D．不确定
【变式6-7】已知向量，，，若A，B，D三点共线，则 ．
【变式6-8】已知向量．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（ ） A． B． C． D．
【变式6-9】已知平行四边形ABCD的三个顶点，，，且A，B，C，D按逆时针方向排列，求： （1）AB，BC； （2）C点的坐标．
【变式6-10】在中，已知点，，与交于点，求点的坐标．
题型7：平面向量的数量积坐标表示 例7已知．求．
已知向量，夹角为60°，且，则（ ） A．0 B．10 C． D．
【变式7-1】已知平行四边形中，，，，点是线段的中点. (1)求的值；(2)若，且，求的值.
【变式7-2】在直角梯形中，已知，点是边上的中点，点是边上一个动点. (1)若，求的值； (2)当点在边上运动时，求的取值范围.
【变式7-3】向量，已知与同向，则与垂直的单位向量的坐标为 ．
【变式7-4】已知向量，，，． (1)求；(2)若，求实数的值．
【变式7-5】已知 (1)求; (2)设的夹角为，求的值; (3)若向量与互相垂直，求的值.
【变式7-6】平面内给定两个向量. (1)求； (2)若，求实数的值.
【变式7-7】已知向量，，若，则实数（ ） A． B． C． D．
【变式7-8】已知向量满足，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D．
【变式7-9】已知，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D．
【变式7-10】已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D．
【变式7-11】已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ．
【变式7-12】已知向量，则“”是“与夹角为锐角”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式7-13】若向量，，则在上的投影为（ ） A． B． C． D．
【变式7-14】若向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D．
【变式7-15】设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D．
【变式7-16】已知，为单位向量，，则在方向上的投影与在方向上的投影分别为（ ） A． B． C． D．
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6.3平面向量基本定理及坐标表示
题型汇总
题型1：平面向量基本定理的理解 例1.已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ） A．若实数m，n使，则 B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数 C．对于m，，不一定在该平面内 D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使 【答案】AB 【分析】根据基底的定义逐项判断即可. 【详解】解：根据基底的定义知AB正确； 对于C，对于m，，在该平面内，故C错误； 对于D，m，n是唯一的，故D错误. 故选:AB.
【变式1-1】设，是同一平面内的两个向量，则有 ( ) A．，一定平行 B．，的模相等 C．同一平面内的任一向量都有=λ+μ (μ，λ∈R) D．若，不共线，则同一平面内的任一向量都有=λ+μ (μ，λ∈R) 【答案】D 【详解】由已知，，是是平面内的两个向量不一定平行，向量长度不一定相等，即模不一定相等；所以A，B错误； 同理，如果，是平面内的两个共线向量，C 错误； 由平面向量基本定理可得，D正确； 故选：D．
【变式1-2】若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据向量共线定理逐一判断. 【详解】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选； 对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选； 对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C； 对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选； 故选：C
【变式1-3】设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】利用基底的定义对四个选项一一验证. 【详解】，是平面内所有向量的一组基底. 对于A：和不共线，可以作为平面的一组基底. 对于B：和不共线，可以作为平面的一组基底. 对于C：和不共线，可以作为平面的一组基底. 对于D：因为，所以和共线，所以不能作为平面的一组基底. 故选：D
【变式1-4】如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ） 与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】A项中与共线，D项中与共线，B，C项中两向量不共线， 故选：BC
【变式1-5】如图，点O是正六边形的中心，则下面结论正确的是（ ） A． B． C． D．向量与能构成一组基底 【答案】A 【分析】由正六边形性质及向量加法的线性运算可判断每一个选项. 【详解】对于A，由正六边形的性质可知，所以，故A正确； 对于B，由正六边形的性质可知，从而可知与不可能共线，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，由正六边形的性质可知与平行，故向量与不能构成一组基底，故D不正确. 故选：A
题型2：用基底表示向量：线性运算法则+列方程 例2.在中，D在上，，设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算法则，计算即可得出答案. 【详解】解：因为，所以， 则. 故选：D.
【变式2-1】如图，在中，为的中点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可． 【详解】解：因为为的中点，则． 因为为的中点，则． 所以，即. 故选：A．
【变式2-2】如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且．记，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题，，，结合向量加法法则即可求得 【详解】 ， 故选：D
【变式2-3】在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量的分解和加减运算即可得出结果. 【详解】解析： ． 故选：C．
【变式2-4】如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设，，试用基底表示向量. 【答案】 【详解】试题分析： 根据N，E，B三点共线和C，E，M三点共线分别得到向量关于基底的分解式，根据分解式的唯一性可得系数相等，由此可得向量关于基底的表达式． 试题解析： 由题意得，， 由N，E，B三点共线知存在实数m，满足. 由C，E，M三点共线知存在实数n，满足. 所以. 由于为基底， 所以，解得 所以.
【变式2-5】如图所示，在△OAB中，，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求. 【答案】 【解析】由，转化为以为起点，求出用基底表示，由三点共线，和三点共线，将用表示，结合向量基本定理建立等量关系，即可求解. 【详解】点M是AB上靠近B的一个三等分点，, ， ， 因为与共线， 故可设， 又共线，可设， 所以解得 所以. 【点睛】本题考查向量线性关系、向量基本定理，要注意三点共线充要条件的应用，属于中档题.
【变式2-6】如图．在中，是的中点，点在上，且，与交于点．若，求的值． 【答案】 【分析】设，，由向量线性运算得， 由此可构造方程组求得，由可求得，由此可得结果. 【详解】设，又，则； 设， ， 又，，， ，解得：，，， ， ，，即.
【变式2-7】如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，，，点E，F分别是，的中点，G是的三等分点． （1）用表示，，； （2）能由（1）得出，的关系吗？ 【答案】（1），，；（2） 【解析】（1）利用三角形法则以及平行四边形法则即可。 （2）利用（1）的结果找出的关系即可得出，的关系 【详解】解：（1） ， ， ． （2）由（1）知，，，∴，即．
【变式2-8】如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量. 【答案】＝a＋b. 【详解】设＝ma＋nb， 则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb， ＝－＝－＝－a＋b. 又∵A，M，D三点共线，∴与共线． ∴存在实数t，使得＝t， 即(m－1)a＋nb＝t. ∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb. ∴消去t得m－1＝－2n， 即m＋2n＝1.① 又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb， ＝－＝b－a＝－a＋b. 又∵C，M，B三点共线，∴与共线． ∴存在实数t1，使得＝t1， ∴a＋nb＝t1， ∴消去t1得4m＋n＝1.② 由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.
题型3：利用平面向量基本定理求参数 例3.如图，在中，是的中点，若，则实数的值是 . 【答案】## 【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示即可求出的值 【详解】因为，所以为的中点， 因为是的中点， 所以， 所以, 因为， 所以， 故答案为：
【变式3-1】如图，在中，M为BC的中点，则=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】以为基底，表示，又，则可得出的关系式，求解计算可得结果. 【详解】，，故. 故选：C
【变式3-2】如图，A，B，C，D为平面内的四个点，，为线段的中点，若，则 ． 【答案】##1.25 【分析】根据向量的线性运算即可结合平面向量基本定理求解. 【详解】因为，即，所以． 又为线段的中点，所以，所以，，则． 故答案为:
【变式3-3】如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，则 【答案】##0.4 【分析】利用表示向量，再借助平面向量基本定理计算作答. 【详解】在长方形ABCD中，向量不共线，M，N分别为线段BC，CD的中点， 则有，， ，因， 则有， 于是得，解得，所以. 故答案为：
【变式3-4】如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1. 【答案】证明见解析 【分析】由三点共线计算可得，由三点共线，计算可得，即可求得，由三点共线，计算可得，消去,即可证得结果. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，使得 ， 又三点共线，所以存在实数，使得, 由于不共线，所以,解得. 故. 因为三点共线，所以存在实数，使得, 消去,得＋＝1.
【变式3-5】如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点. (1)若，求的值； (2)设，，，，求的值； 【答案】(1)；(2)3. 【分析】（1）利用向量的线性运算的几何表示，将用表示，进而即得； （2）由，将用表示，利用三点共线即得. 【详解】（1）因， 所以， 又因为的中点， 所以， 所以，又， 所以； （2）因，，，， 所以，，又因， 所以， 又因，，三点共线， 所以，即.
题型4：平面向量的正交分解 例4.已知向量=(1,0)，=(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得=(x,y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，则x1≠x2且y1≠y2； ③若x，y∈R，=(x,y)，且≠，则的始点是原点O； ④若x，y∈R，≠，且的终点坐标是(x,y)，则=(x,y)． 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平面向量的基本定理、向量的坐标表示，及向量始点、终点与向量坐标的关系，即可判断各项的正误. 【详解】由平面向量基本定理，存在唯一的一对实数x，y使，①正确； 举反例，=(1,0)≠(1,3)，但1=1，②错误； 由向量可以平移，所以=(x,y)与a的始点是不是原点无关，③错误； 当的终点坐标是(x,y)时，=(x,y)是以的始点是原点为前提的，④错误． 故选：A
【变式4-1】如图6.3-10，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标. 解：由图6.3-10可知，， 所以. 同理， ， ， .
【变式4-2】如图，已知边长为1的正方形中，与x轴正半轴成30°角，求点B，D的坐标和，的坐标． 【答案】；；； 【解析】依题意，分别是，角的终边与单位圆的交点，设，．由三角函数的定义，求出、的坐标，再根据向量的坐标表示计算可得. 【详解】解：由题知，分别是，角的终边与单位圆的交点． 设，．由三角函数的定义， 得，，∴． ，，∴． ∴，．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可； （2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可 【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为 （2）由题意，，又，故，且不共线，故
【变式4-4】在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求，的坐标： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；．（2），．（3）；．（4）；． 【解析】根据向量的坐标求法，向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标. 【详解】解：（1）, ；． （2）， ；． （3）， ；． （4）， ；． 【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
【变式4-5】如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可； （2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可 【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为 （2）由题意，，又，故，且不共线，故
题型5：平面向量线性运算的坐标表示 例5在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求的坐标： （1），； （2），； （3），； （4），． 【答案】（1）；．（2）；．（3）；．（4）；． 【解析】根据向量的坐标运算法则计算可得. 【详解】解： （1）； ． （2）；． （3）；． （4）；． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
【变式5-1】已知两点，则与向量同向的单位向量是 ． 【答案】 【分析】可求出向量的坐标，然后代入即可求出与向量同向的单位向量的坐标． 【详解】解：因为 所以，所以 与向量同向的单位向量是． 故答案为：．
【变式5-2】已知，且点，则点B的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点B的坐标为，化简即得解. 【详解】解：设点B的坐标为，则， 所以，即点B的坐标为． 故选：B
【变式5-3】已知点，向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可. 【详解】，所以. 故选：D.
【变式5-4】已知，，且，则点M的坐标为 . 【答案】 【分析】根据A，B，C的坐标，结合，求得的坐标求解. 【详解】解：由题意得， 所以. 设， 则， ∴解得 故点M的坐标为. 故答案为：
【变式5-5】已知，，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，表示出，由建立方程求解即可. 【详解】设，则， 又，则，解得，即. 故答案为：.
【变式5-6】已知与，点在直线上，且，则点坐标为 . 【答案】或 【分析】根据题意，可得或，设P点坐标，利用向量的坐标运算，可得到满足条件的点P坐标． 【详解】由点P在直线AB上，且，可得或， 当时，设，有，解得，， 点坐标为. 当时，设，有，解得，， 点坐标为. 故答案为：或.
【变式5-7】已知，，点是线段的一个三等分点且靠近点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，根据即可求出P的坐标. 【详解】由题可知， 设，则，， ， ∴，即 故答案为：.
【变式5-8】已知点，向量，，点P是线段的三等分点，求点P的坐标． 【答案】或 【解析】．由于点是线段的三等分点，可得，或者．即可得出． 【详解】解：， ． 点是线段的三等分点， ，或者． ， 或． 或． ∴P点的坐标为或． 【点睛】本题考查了向量的线性运算、线段的三等分点，属于基础题．
【变式5-9】设P是线段上的一点，点，的坐标分别是，. （1）当P是线段的中点时，求点P的坐标； （2）当P是线段的一个三等分点时，求点P的坐标. 解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知 . 所以，点P的坐标是. （2）如图6.3-17，当点P是线段的一个三等分点时，有两种情况，即或. 如果（图6.3-17（1）），那么 ， 即点P的坐标是. 同理，如果（图6.3-17（2）），那么点P的坐标是.
题型6：平面向量共线的坐标表示 例6若点，，，，则与是否共线？ 【答案】共线 【解析】首先求出与的坐标，再根据平面向量共线定理判断即可. 【详解】解：，，， ，． ∵， ∴与共线． 【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.
（多选）下列向量中与共线的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据给定向量，利用向量共线的坐标表示判断作答. 【详解】向量，因，则与不共线，A不是； 因，则与不共线，B不是； 而，，则与都共线，即C，D是. 故选：CD
【变式6-1】若，，与共线，则向量的坐标可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，向量共线的坐标运算逐项判定可得答案. 【详解】若，则，，故A正确； 若，则，，故B错误； 若 ，则，，故C错误； 若，则，，故D错误. 故选：A.
【变式6-2】已知点，那么下面四个结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意根据两个向量平行、垂直的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：，，，， ，，，， 对于与，由，则与不平行，故选项A错误； 由，则与不垂直，故选项B错误； 对于与，由，则与不平行，故选项C错误； 由，可得，即，故选项D正确. 故选：D．
【变式6-3】顺次连接点，，，所构成的图形是（ ） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】由题可得，利用共线及数量积即得. 【详解】因为，，，, 所以，， ∴，且,与不垂直， 所以四边形是平行四边形. 故选：B.
【变式6-4】已知向量，，若，则实数的值等于 ． 【答案】 【分析】根据向量平行坐标运算即可. 【详解】由题知，，，， 所以，解得 故答案为：.
【变式6-5】已知向量，且，则实数m的值（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由向量的坐标运算公式可求得，再利用向量平行的坐标表示可求解. 【详解】 又，，解得 故选：D
【变式6-6】已知三点在同一直线上，则实数的值是（ ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】将点共线转化为向量共线，由坐标运算即可求解. 【详解】由题得, 由 三点共线，可得 ，故 ， 故选：C
【变式6-7】已知向量，，，若A，B，D三点共线，则 ． 【答案】0 【分析】利用向量坐标线性运算可得，再由向量共线定理有且，列方程求参数m. 【详解】由，又A，B，D三点共线， 所以且，则，可得. 故答案为：0
【变式6-8】已知向量．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到与不共线，从而列出不等式，求出答案. 【详解】若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线， ∵，，， ∴，， ∴，解得. 故选：B．
【变式6-9】已知平行四边形ABCD的三个顶点，，，且A，B，C，D按逆时针方向排列，求： （1）AB，BC； （2）C点的坐标． 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）由两点间距离公式，及平行四边形对边相等的性质，即得解； （2）利用，即，即得解 【详解】（1）由两点距离公式得． 又因为， 所以． （2）由题意知，，所以， 因此，， 从而． 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
【变式6-10】在中，已知点，，与交于点，求点的坐标． 【答案】 【详解】
题型7：平面向量的数量积坐标表示 例7已知．求． 【答案】， 【解析】根据向量的运算法则以及向量坐标的运算求解即可. 【详解】解：,, , 【点睛】本题主要考查了向量的运算法则以及向量坐标的运算,属于基础题型.
已知向量，夹角为60°，且，则（ ） A．0 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】根据模长公式求模长，然后根据数量积的公式即可求解. 【详解】由可得，故， 故选：C
【变式7-1】已知平行四边形中，，，，点是线段的中点. (1)求的值；(2)若，且，求的值. 【答案】(1)9(2) 【分析】（1）以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别求出，再根据数量积的坐标运算即可得解； （2）根据平面向量线性运算的坐标表示球的，由，得，从而可得出答案. 【详解】（1）解：以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 则， 所以； （2）解：，， 因为， 所以，解得．
【变式7-2】在直角梯形中，已知，点是边上的中点，点是边上一个动点. (1)若，求的值； (2)当点在边上运动时，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以为原点建立平面直角坐标系，求出的坐标，应用向量数量积的坐标表示求. （2）设，可得，由二次函数的性质求闭区间上的值域，即可得答案. 【详解】（1）由，以为原点，如图建立平面直角坐标系， 由和得：， 若，则为中点，， 因此，，则； （2）当在边上运动时，设， 因此，则， 由于在上递增，在上递减， 且， 故在上的值域为， 因此，的取值范围是.
【变式7-3】向量，已知与同向，则与垂直的单位向量的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据向量加法的坐标表示求出，再根据共线向量的坐标表示求出，注意排除反向这一情况，设与垂直的向量为，，求出的关系式，再根据单位向量的坐标公式计算即可得解. 【详解】解：由， 得， 因为与同向， 所以， 则，解得或， 当时，，同向， 当时，，反向， 所以， 故， 设与垂直的向量为，， 则，所以， 故与垂直的向量为， 则与垂直的单位向量的坐标为， 即与垂直的单位向量的坐标为或. 故答案为：或.
【变式7-4】已知向量，，，． (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据平面向量的线性运算的坐标表示即可求得结果；（2）由即可得到. 【详解】（1）； （2）由可得，， 又，则，解得.
【变式7-5】已知 (1)求; (2)设的夹角为，求的值; (3)若向量与互相垂直，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）根据向量的减法的坐标运算，即可求得答案； （2）求出向量的数量积和模，根据向量的夹角公式即可求得答案; （3）根据向量垂直时数量积为0，列方程即可求得答案. 【详解】（1）因为， 所以； （2）由题意得， ， 故； （3）因为向量与互相垂直，故， 即.
【变式7-6】平面内给定两个向量. (1)求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用平面向量线性运算法则与模的计算公式即可求解； （2）根据平面向量共线的坐标运算即可. 【详解】（1）解：因为， 所以. （2）解：因为， 所以， 若，则，解得：.
【变式7-7】已知向量，，若，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知与同向，利用平面向量共线的坐标表示可求得的值. 【详解】因为，则，由已知可得， 等式两边平方可得，则， 故与同向，所以，. 故选：A.
【变式7-8】已知向量满足，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐标表示求，然后根据向量的平方等于模长的平方和数量积的运算律求解即可. 【详解】由可得， 因为，解得， 所以， 又因为， 所以与的夹角为， 故选：D
【变式7-9】已知，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求得，平方可得，继而求出，根据向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】由可得， 则，即得，故， 则， 故， 由于，故， 故选：B.
【变式7-10】已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两边平方后可得，再由夹角公式求解即可. 【详解】∵，平方得， ∵，，∴， 设，的夹角为，其中，可得， 所以. 故选：C.
【变式7-11】已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于0，且不反向共线，列出不等式，求出实数的取值范围. 【详解】， 因为与的夹角为钝角，所以 所以，解得：， 且与不反向共线， 即，解得：， 综上：， 故答案为：.
【变式7-12】已知向量，则“”是“与夹角为锐角”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积的定义及坐标表示，由题设条件间的推出关系，结合充分、必要条件即可得答案. 【详解】由题设： 当时， ， ，注意当时， ，故充分性不成立. 当与的夹角为锐角时，，解得. 故必要性成立. 故选：B.
【变式7-13】若向量，，则在上的投影为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量投影的定义计算在上的投影即可. 【详解】因为，， 所以向量在向量方向上的投影为：． 故选：A
【变式7-14】若向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量的模，根据投影向量的概念，即可求得答案. 【详解】由题意得， ， 则向量在向量上的投影向量为 ， 故选：B
【变式7-15】设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用投影向量的计算公式求解． 【详解】解：，， 在方向上的投影向量. 故选：A.
【变式7-16】已知，为单位向量，，则在方向上的投影与在方向上的投影分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先确定的模长，由投影的定义可直接求得结果. 【详解】由得：，又， 在方向上的投影为；在方向上的投影为. 故选：AC.
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