2023-2024学年数学八年级勾股定理单元测试试题（人教版（五四制））提升卷一含解析
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年数学八年级勾股定理单元测试试题（人教版（五四制））提升卷一含解析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-04 15:44:29 | ||
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文档简介
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2023-2024学年数学八年级勾股定理（人教版（五四制））
单元测试 提升卷一 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，正六边形的边长为1，顶点A与原点重合，将对角线绕点A顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．2
3．（本题3分）《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间．根据勾股定理可列得方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．（本题3分）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．，， B．5，12，13 C．3，4，5 D．7，24，25
6．（本题3分）下列三角形中，是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）如图，在中，，，交于，若，，则（ ）
A．7 B． C．8 D．
8．（本题3分）如图，在中，，平分，于，则下列结论中，①；②平分；③平分；④；⑤若，，，则．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（本题3分）学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则CD的长是（ ）
A． B．4 C． D．
10．（本题3分）如图，中，，，点P是内一点，，若，则的值为（ ）
A．5 B．4 C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，在中，，，平分，于点，则的周长为 ．
12．（本题3分）如图，在一个长为20米，宽为18米的矩形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米．
13．（本题3分）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为 ．
14．（本题3分）在平面直角坐标系中，点A，点的坐标分别为，．若是以为顶角的等腰三角形，点在轴上，则点的坐标为 ．
15．（本题3分）如图，在中，，分别以为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则的长为 ．
16．（本题3分）如图，有一个圆柱，高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从A爬到B的正下方的C点，需要爬行的最短距离是 ．
17．（本题3分）如图，平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接，则的最小值为 ．
18．（本题3分）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表而从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在其中．”记赤石为点，杉树为点，洞穴为点．
(1)根据这段记载，请使用数学知识对点与线段之间的关系进行描述．
(2)若在藏宝图上建立适当的坐标系，点的坐标分别为，点到线段的距离为5个单位长度，求出洞穴到赤石的距离．
20．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足．
(1)______，______；
(2)如果在第三象限内有一点，求的长；
(3)在y轴上找一点P，使得是以B为顶角顶点的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
21．（本题8分）在中，，进行如下操作：
(1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长；
(2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长．
22．（本题10分）在中，．
(1)求的长；
(2)求的面积．（结果保留根号）
23．（本题10分）已知：如图，在中，．
(1)用直尺和圆规在线段边上找一点D，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，连接，求的长．
24．（本题10分）在中，，
(1)如图①，为边上一点，连接，以为边作，，，连接．求证：，
(2)如图②，为外一点．若，，．则的长为______．
25．（本题12分）如图，已知为等边三角形，在上取一点（与点、不重合），以为边向外作等边，连接、，再分别以、为边向外作等边和等边，连接．
(1)求证：；
(2)记、、、的面积分别为、、、，则这四个面积之间存在怎样的数量关系式？说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查利用勾股定理计算三角形的相关知识，几何图形与网格的结合考查三角形的相关知识，理解和掌握三角形的知识是解题的关键．
首先根据勾股定理求出，然后根据面积相等的方法，即可求出答案 ．
【详解】解：∵是的高，，
∴的面积
∴，
解得，，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查实数与数轴、正六边形的性质、直角三角形的相关性质、勾股定理，熟知相关定理、正确做出辅助线是正确解决本题的关键．
作数轴于点D，利用“锐角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理求出，进而求出即可．
【详解】解∶作数轴于点D，
正六边形的外角和为，
，，
，，
，
，
．
即点C表示的数为．
故答案为：B．
3．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间，这时乙共行，
甲共行，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．
以点为直角顶点时，根据勾股定理的逆定理得出符合条件的有2个点；以点为直角顶点时有3个点，以点为直角顶点时有3个点，共8个．
【详解】解：如图所示：
其中，，AB=2，
∵，
∴为直角三角形，
同理：为直角三角形，
网格中其他点C如图所示，
所以格点C的个数是8，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．
根据判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方，逐一判断即可．
【详解】A、，但不是整数，因此不是勾股数，符合题意，故正确；
B、，是勾股数，故选项不符合题意；
C、，是勾股数，故选项不符合题意；
D、，是勾股数，故选项不符合题意；
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长，，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键．
【详解】解：A、，，，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、，，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理；由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解；掌握判定方法及性质，能证出是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
在中，
，
，
；
故选：A．
8．D
【分析】根据角平分线的性质，得到，进而证明，得到，，判断①②；假设③成立得到与题干互相矛盾的结论可判断③，利用三角形的三边关系再转化相等线段可判断④，直接利用勾股定理可判断⑤．
【详解】解：∵，平分，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∴平分，；故①，②符合题意；
当平分，而，
∴，
与题干条件矛盾，故③不符合题意；
∵，，
∴，故④符合题意；
∵，，，
∴，故⑤符合题意；
综上：正确的有4个；
故选：D．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形三边关系的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键．
9．A
【分析】本题考查勾股定理，以及根据等面积法求三角形的高，根据勾股定理算出，利用割补法求出的面积，再利用的面积还等于，即可解题．
【详解】解：由题知，，
，
，
，
，解得，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，过点作，交延长线于，连接，由题意可知，证明，可知为等腰直角三角形，易得，再证，则，，可证，易知为等腰直角三角形，得，，即可求解．添加辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键．
【详解】解：过点作，交延长线于，连接，
∵，，
∴，
设，
则，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
则，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
故选：D．
11．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据角角边证明，继而得出，再根据勾股定理求出的长度，根据的周长为求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴,
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查平面展开﹣最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，
∴长为米；宽为18米．
于是最短路径为：米．
故答案为．
13．
【分析】本题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．
根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可．
【详解】解：如图所示：作A点关于直线的对称点，再连接，交直线于点P，
则此时最小，过点B作交延长线于点E，
∵，，．
∴，，
∴，，
在中，
，
则的最小值为．
故答案为：．
14．或/或
【分析】本题主要考查了坐标和图形，等腰三角形的定义，解题的关键是数形结合，注意分类讨论，根据点A，点的坐标分别为，，求出，根据是以为顶角的等腰三角形，求出，然后分两种情况写点C的坐标即可．
【详解】解：∵点A，点的坐标分别为，，
∴，
∵是以为顶角的等腰三角形，
∴，
∵点C在x轴上，
当点在点A的左侧时，点C的坐标为：，当点在点A的右侧时，点C的坐标为：，
故答案为：或．
15．4
【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的面积公式；先得出，再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：∵以为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，
∴
∵，
∴
故答案为：4．
16．/10厘米
【分析】此题主要考查了平面展开—最短路径问题．将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理，即可解答．
【详解】解：如图，
根据题意得：底面周长为，，
根据勾股定理得：．
故需要爬行的最短距离是．
故答案为：
17．
【分析】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将的最小值转化为是解本题的关键．将线段向左平移到的位置，作点A关于原点的对称点，连接，．再作点A关于x轴的对称点，则，进而得出的最小值为，即可求解答案．
【详解】解：如图，将线段向左平移到的位置，作点A关于原点的对称点，连接，
则，，
．
故答案为：．
18．
【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．
【详解】解：由题意得：
①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示：
，
∴在中，；
②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：
，
∴在中，；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，
需要爬行的最短距离是25，
由长方体的特征可得其他途径必定比①②两种更远，故不作考虑；
故答案为：25．
19．(1)点与线段的垂直平分线上．
(2)洞穴到赤石的距离为个单位长度．
【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置于，该点即为洞穴的位置；
（2）如图，建立坐标系如下：再利用勾股定理可得答案．
本题考查线段的垂直平分线．熟练掌握中垂线的作图方法，是解题的关键．
【详解】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置于，该点即为洞穴的位置，如图所示：
．
∴点与线段的垂直平分线上．
（2）如图，建立坐标系如下：
由题意可得：，，而，
∴，
∴洞穴到赤石的距离为个单位长度．
20．(1)，6
(2)
(3)点的坐标：
【分析】本题考查了勾股定理以及绝对值和平方的非负性，使用勾股定理时注意计算的准确性．
（1）利用绝对值和平方的非负性即可求解；
（2）利用两点间的距离公式即可求解；
（3）求出，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴
∴
故答案为：，6
（2）解：∵，，
∴
（3）解：如图所示：
由题意得：
∵是以B为顶角顶点的等腰三角形，
∴
∵
∴
∴点的坐标：
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题以及一元一次方程的应用．
（1）由折叠的性质可得，然后设，，然后根据勾股定理即可求出．
（2）由勾股定理求出，由折叠的性质可得：，进而求出，设，则，，然后根据勾股定理即可求出．
【详解】（1）解：由折叠的性质可得：，
∴在中，
设，则，
即
解得：，
即．
（2）在，
∵，，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
设，则，，
则，
解
解得：，
即．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理：
（1）过点B作于点D，根据直角三角形的性质可得，再由是等腰直角三角形，即可求解；
（2）根据勾股定理求出的长，可得的长，再由三角形的面积公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点B作于点D，
在中，，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
∴的面积为．
23．(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质和勾股定理，
根据题意知在线段边上找一点D，使得即可，结合垂直平分线的性质可知作的垂直平分线与的交点即为点D；
由（1）知，结合，即可求得．
【详解】（1）解：如图，
（2）由（1）知，
∵，，，
∴，解得，
则．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质；
（1）先证明可得，进而可得，再证明，即可得出结论；
（2）根据（1）的方法，以为边作，，，证明，根据已知条件得出是等腰直角三角形，，中，勾股定理求得，进而根据，即可求解．
【详解】（1）证明：∵
即
在和
∴
即；
（2）解：如图所示，以为边作，，，
同（1）可得，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴
在中，
∴
∴，
故答案为：．
25．(1)证明见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】（）由等边三角形的性质得出，，，再利用证明，再通过性质证明，，最后利用即可求证；
（）过作于点，利用含角直角三角形的性质和求面积的法即可求解；
此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和含角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】（1）∵，，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
又∵，
∴；
（2），理由，
过作于点，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
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2023-2024学年数学八年级勾股定理（人教版（五四制））
单元测试 提升卷一 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，正六边形的边长为1，顶点A与原点重合，将对角线绕点A顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．2
3．（本题3分）《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间．根据勾股定理可列得方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．（本题3分）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．，， B．5，12，13 C．3，4，5 D．7，24，25
6．（本题3分）下列三角形中，是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）如图，在中，，，交于，若，，则（ ）
A．7 B． C．8 D．
8．（本题3分）如图，在中，，平分，于，则下列结论中，①；②平分；③平分；④；⑤若，，，则．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（本题3分）学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则CD的长是（ ）
A． B．4 C． D．
10．（本题3分）如图，中，，，点P是内一点，，若，则的值为（ ）
A．5 B．4 C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，在中，，，平分，于点，则的周长为 ．
12．（本题3分）如图，在一个长为20米，宽为18米的矩形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米．
13．（本题3分）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为 ．
14．（本题3分）在平面直角坐标系中，点A，点的坐标分别为，．若是以为顶角的等腰三角形，点在轴上，则点的坐标为 ．
15．（本题3分）如图，在中，，分别以为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则的长为 ．
16．（本题3分）如图，有一个圆柱，高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从A爬到B的正下方的C点，需要爬行的最短距离是 ．
17．（本题3分）如图，平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接，则的最小值为 ．
18．（本题3分）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表而从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在其中．”记赤石为点，杉树为点，洞穴为点．
(1)根据这段记载，请使用数学知识对点与线段之间的关系进行描述．
(2)若在藏宝图上建立适当的坐标系，点的坐标分别为，点到线段的距离为5个单位长度，求出洞穴到赤石的距离．
20．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足．
(1)______，______；
(2)如果在第三象限内有一点，求的长；
(3)在y轴上找一点P，使得是以B为顶角顶点的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
21．（本题8分）在中，，进行如下操作：
(1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长；
(2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长．
22．（本题10分）在中，．
(1)求的长；
(2)求的面积．（结果保留根号）
23．（本题10分）已知：如图，在中，．
(1)用直尺和圆规在线段边上找一点D，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，连接，求的长．
24．（本题10分）在中，，
(1)如图①，为边上一点，连接，以为边作，，，连接．求证：，
(2)如图②，为外一点．若，，．则的长为______．
25．（本题12分）如图，已知为等边三角形，在上取一点（与点、不重合），以为边向外作等边，连接、，再分别以、为边向外作等边和等边，连接．
(1)求证：；
(2)记、、、的面积分别为、、、，则这四个面积之间存在怎样的数量关系式？说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查利用勾股定理计算三角形的相关知识，几何图形与网格的结合考查三角形的相关知识，理解和掌握三角形的知识是解题的关键．
首先根据勾股定理求出，然后根据面积相等的方法，即可求出答案 ．
【详解】解：∵是的高，，
∴的面积
∴，
解得，，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查实数与数轴、正六边形的性质、直角三角形的相关性质、勾股定理，熟知相关定理、正确做出辅助线是正确解决本题的关键．
作数轴于点D，利用“锐角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理求出，进而求出即可．
【详解】解∶作数轴于点D，
正六边形的外角和为，
，，
，，
，
，
．
即点C表示的数为．
故答案为：B．
3．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间，这时乙共行，
甲共行，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．
以点为直角顶点时，根据勾股定理的逆定理得出符合条件的有2个点；以点为直角顶点时有3个点，以点为直角顶点时有3个点，共8个．
【详解】解：如图所示：
其中，，AB=2，
∵，
∴为直角三角形，
同理：为直角三角形，
网格中其他点C如图所示，
所以格点C的个数是8，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．
根据判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方，逐一判断即可．
【详解】A、，但不是整数，因此不是勾股数，符合题意，故正确；
B、，是勾股数，故选项不符合题意；
C、，是勾股数，故选项不符合题意；
D、，是勾股数，故选项不符合题意；
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长，，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键．
【详解】解：A、，，，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、，，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理；由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解；掌握判定方法及性质，能证出是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
在中，
，
，
；
故选：A．
8．D
【分析】根据角平分线的性质，得到，进而证明，得到，，判断①②；假设③成立得到与题干互相矛盾的结论可判断③，利用三角形的三边关系再转化相等线段可判断④，直接利用勾股定理可判断⑤．
【详解】解：∵，平分，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∴平分，；故①，②符合题意；
当平分，而，
∴，
与题干条件矛盾，故③不符合题意；
∵，，
∴，故④符合题意；
∵，，，
∴，故⑤符合题意；
综上：正确的有4个；
故选：D．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形三边关系的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键．
9．A
【分析】本题考查勾股定理，以及根据等面积法求三角形的高，根据勾股定理算出，利用割补法求出的面积，再利用的面积还等于，即可解题．
【详解】解：由题知，，
，
，
，
，解得，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，过点作，交延长线于，连接，由题意可知，证明，可知为等腰直角三角形，易得，再证，则，，可证，易知为等腰直角三角形，得，，即可求解．添加辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键．
【详解】解：过点作，交延长线于，连接，
∵，，
∴，
设，
则，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
则，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
故选：D．
11．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据角角边证明，继而得出，再根据勾股定理求出的长度，根据的周长为求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴,
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查平面展开﹣最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，
∴长为米；宽为18米．
于是最短路径为：米．
故答案为．
13．
【分析】本题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．
根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可．
【详解】解：如图所示：作A点关于直线的对称点，再连接，交直线于点P，
则此时最小，过点B作交延长线于点E，
∵，，．
∴，，
∴，，
在中，
，
则的最小值为．
故答案为：．
14．或/或
【分析】本题主要考查了坐标和图形，等腰三角形的定义，解题的关键是数形结合，注意分类讨论，根据点A，点的坐标分别为，，求出，根据是以为顶角的等腰三角形，求出，然后分两种情况写点C的坐标即可．
【详解】解：∵点A，点的坐标分别为，，
∴，
∵是以为顶角的等腰三角形，
∴，
∵点C在x轴上，
当点在点A的左侧时，点C的坐标为：，当点在点A的右侧时，点C的坐标为：，
故答案为：或．
15．4
【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的面积公式；先得出，再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：∵以为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，
∴
∵，
∴
故答案为：4．
16．/10厘米
【分析】此题主要考查了平面展开—最短路径问题．将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理，即可解答．
【详解】解：如图，
根据题意得：底面周长为，，
根据勾股定理得：．
故需要爬行的最短距离是．
故答案为：
17．
【分析】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将的最小值转化为是解本题的关键．将线段向左平移到的位置，作点A关于原点的对称点，连接，．再作点A关于x轴的对称点，则，进而得出的最小值为，即可求解答案．
【详解】解：如图，将线段向左平移到的位置，作点A关于原点的对称点，连接，
则，，
．
故答案为：．
18．
【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．
【详解】解：由题意得：
①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示：
，
∴在中，；
②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：
，
∴在中，；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，
需要爬行的最短距离是25，
由长方体的特征可得其他途径必定比①②两种更远，故不作考虑；
故答案为：25．
19．(1)点与线段的垂直平分线上．
(2)洞穴到赤石的距离为个单位长度．
【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置于，该点即为洞穴的位置；
（2）如图，建立坐标系如下：再利用勾股定理可得答案．
本题考查线段的垂直平分线．熟练掌握中垂线的作图方法，是解题的关键．
【详解】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置于，该点即为洞穴的位置，如图所示：
．
∴点与线段的垂直平分线上．
（2）如图，建立坐标系如下：
由题意可得：，，而，
∴，
∴洞穴到赤石的距离为个单位长度．
20．(1)，6
(2)
(3)点的坐标：
【分析】本题考查了勾股定理以及绝对值和平方的非负性，使用勾股定理时注意计算的准确性．
（1）利用绝对值和平方的非负性即可求解；
（2）利用两点间的距离公式即可求解；
（3）求出，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴
∴
故答案为：，6
（2）解：∵，，
∴
（3）解：如图所示：
由题意得：
∵是以B为顶角顶点的等腰三角形，
∴
∵
∴
∴点的坐标：
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题以及一元一次方程的应用．
（1）由折叠的性质可得，然后设，，然后根据勾股定理即可求出．
（2）由勾股定理求出，由折叠的性质可得：，进而求出，设，则，，然后根据勾股定理即可求出．
【详解】（1）解：由折叠的性质可得：，
∴在中，
设，则，
即
解得：，
即．
（2）在，
∵，，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
设，则，，
则，
解
解得：，
即．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理：
（1）过点B作于点D，根据直角三角形的性质可得，再由是等腰直角三角形，即可求解；
（2）根据勾股定理求出的长，可得的长，再由三角形的面积公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点B作于点D，
在中，，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
∴的面积为．
23．(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质和勾股定理，
根据题意知在线段边上找一点D，使得即可，结合垂直平分线的性质可知作的垂直平分线与的交点即为点D；
由（1）知，结合，即可求得．
【详解】（1）解：如图，
（2）由（1）知，
∵，，，
∴，解得，
则．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质；
（1）先证明可得，进而可得，再证明，即可得出结论；
（2）根据（1）的方法，以为边作，，，证明，根据已知条件得出是等腰直角三角形，，中，勾股定理求得，进而根据，即可求解．
【详解】（1）证明：∵
即
在和
∴
即；
（2）解：如图所示，以为边作，，，
同（1）可得，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴
在中，
∴
∴，
故答案为：．
25．(1)证明见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】（）由等边三角形的性质得出，，，再利用证明，再通过性质证明，，最后利用即可求证；
（）过作于点，利用含角直角三角形的性质和求面积的法即可求解；
此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和含角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】（1）∵，，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
又∵，
∴；
（2），理由，
过作于点，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
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