2023-2024学年数学八年级直角三角形单元测试试题（湘教版）提升卷一含解析
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年数学八年级直角三角形单元测试试题（湘教版）提升卷一含解析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-04 16:06:17 | ||
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文档简介
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2023-2024学年数学八年级直角三角形（湘教版）
单元测试 提升卷一 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，，，E是上一点，，，，则等于（ ）
A．7 B．10 C．12 D．24
2．（本题3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．3，4，5 C．4，5，6 D．7，14，15
3．（本题3分）已知直角三角形中角所对的直角边为，则斜边的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
6．（本题3分）如图，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．3 C． D．9
7．（本题3分）如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为（ ）
A． B．3 C． D．
8．（本题3分）如图，在中，，平分，于点，有下列结论，①；②；③平分；④；其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．4 C．3 D．2
9．（本题3分）如图，在中，，，交于点D，，则的长是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
10．（本题3分）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，在中，，，，为延长线上一点，．若，则的长为 ．
12．（本题3分）如图，是等边的中线，于点E．若的长度为，则点D 到的距离为 ．
13．（本题3分）如图，在四边形中，，，平分，则的面积是10，则 ．
14．（本题3分）如图，将一块角的直角三角板绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点为点，且点C、B、三点在一条直线上，连接，若，则的长为 ．
15．（本题3分）在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ．
16．（本题3分）如图，在中，，是的中点， 于点，于点．若，，则的面积是 ．
17．（本题3分）如图，在中，，，平分，交于点，于点，，则的周长为 ．
18．（本题3分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于以为底边的等腰及外一点C，若，直线中，其中一条经过点O，另一条与的腰垂直，则称点C是的“关联点”．如图，已知点，，，则点就是的“关联点”．若点是的“关联点”，则线段的长是 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）如图，在和中，与交于点E，且．证明：．
20．（本题8分）如图，、相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
21．（本题10分）如图，在中，，，点E在上，作于点D，若，求证：D为的中点．
22．（本题10分）在中，，D为内一点，连接，CD．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，在（1）的条件下，延长交于点E，P为上一动点，连接，若，，求的最小值．
23．（本题10分）如图，在中，是边上的高线，
(1)试说明是什么三角形，并说明理由；
(2)若，，求的长
24．（本题10分）如图，在中，，，，点C和点D关于直线对称．
(1)求作点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）
(2)连接，过点C作交的延长线于点E，求的长度．
25．（本题10分）已知，，，将绕点顺时针旋转至，连结．
(1)如图1，当点落在线段上时，
①填空：______；______．
②作交于点，求线段的长度；
(2)如图2，若，求四边形的面积．
参考答案：
1．B
【分析】此题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余、所对的直角边是斜边的一半和勾股定理是解决此题的关键．
根据直角三角形的两个锐角互余，求出和，即可证出为直角三角形，然后根据所对的直角边是斜边的一半即可求出和，最后利用勾股定理即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴在中，．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理；
验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：A.，故，，不能组成直角三角形；
B.，故3，4，5能组成直角三角形；
C.，故4，5，6不能组成直角三角形；
D.，故7，14，15不能组成直角三角形；
故选：B．
3．C
【分析】根据本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，根据此定理即可求解．
【详解】解：∵直角三角形中角所对的直角边为，
∴斜边长为．
故选：C
4．C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方即可，解题的关键是学会利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是否为直角三角形．
【详解】，
选项A给出图中的一个三角形是直角三角形，另一个不是直角三角形，不符合题意；
，，
选项B给出图中的一个三角形是直角三角形，另一个不是直角三角形，不符合题意；
，，
选项C给出图中的两个三角形是直角三角形，符合题意；
，，
选项D给出图中的两个三角形不是直角三角形，不符合题意；
故选：C
5．B
【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，过点作，易得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可．
【详解】解：过点作，
∵长方形，
∴，
∵平分，
∴，
由翻折可得，
由勾股定理，得：，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故选B．
6．D
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，线段垂直平分线定理，通过添加辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．连结，，过点C作于点H，根据线段垂直平分线定理可得，根据角平分线的性质定理可得，根据“斜边直角边”可证明，可得，进一步推得，再证明，可得，由此即得答案．
【详解】连结，，过点C作于点H，
垂直平分，
，
平分，，
，
，，
，
，
，
在和中，，，
，
，
．
故选D．
7．A
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，折叠的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用角平分线的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据折叠可得，根据直角三角形的性质可得，进而根据角平分线的性质求得，据此求解即可．
【详解】解：∵将折叠，使点B与点A重合，
∴，，
在中，，
，，
,
∴平分，
∵，，
，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质可证，可知①符合题意，利用 HL 证明 ，得，，可知②③符合题意，由，，，可知④符合题意，证明 是解题的关键．
【详解】解：在中，，
平分，，
∴，故①符合题意；
在与中，
，
∴，
∴，，
∴平分，故③符合题意；
∵，
∴，故②符合题意；
∵，，
∴，故④符合题意，
∴结论正确的个数为4，
故选：．
9．D
【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质．利用等腰三角形性质，直角三角形的性质求线段长．
【详解】解：，，
，
交于点，，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故选：D．
10．D
【分析】由三角形为等边三角形，得到三边相等，且内角为，根据题意得到，利用得到，则可得，可判定①正确；由全等三角形的性质得，从而可证明，，即可得出，可判定②正确；分与为直角两种情况求出的值，即可判定③；当时，求得，，从而可证明是等边三角形，，继而证得 ，即可判定④正确．
【详解】解：设点、Q运动时间为t秒，
根据题意得：，
为等边三角形，
，，
在和中，
，
，
∴，故①正确；
∵
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，故②正确；
若，由，得到，
∴，即，
解得：；
若，由，得到，
∴，即，
解得：，
综上，当第秒或第秒时，为直角三角形，故③正确；
当时，则，，
∵
∴P、Q是、边的中点，即、是的中线，
∴，
为等边三角形，
∴，，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确，
∴正确的有①②③④共4个，
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形重心的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
11．9.6
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后利用面积法进行计算，即可解答．
【详解】解：，，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
的面积，
，
，
解得：，
故答案为：9.6．
12．3
【分析】本题考查角平分线的性质，等边三角形的性质，先根据三线合一得到角平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等直接求解即可得到答案；
【详解】解：过D作，
∵是等边的中线，
∴，
∵，，
∴，，
∴点D 到的距离为，
故答案为：．
13．2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点作于，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”得到，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：过点作于，如图，
∵平分，，，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
故答案为：2．
14．
【分析】本题主要考查了含的直角三角形的旋转．熟练掌握含的直角三角形判定和性质，旋转性质，等腰三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
设与交点为F，根据含的直角三角形性质得到，由旋转性质得到，，得到，根据，得到，，得到，即得．
【详解】设与交点为F，
∵直角三角板中，，，
∴，
由旋转知，，
∵点C、B、三点在一条直线上，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．6
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：和是由摆动得到，
，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
16．14
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．先根据等腰三角形的“三线合一”得到平分，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形的面积公式，利用进行计算．
【详解】解：，是的中点，
平分，
于点，于点，
，
．
故答案为：14
17．
【分析】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，利用角平分线的性质的性质得出，证明，然后根据全等三角形的性质得到，最后通过即可求出的周长，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
18．/
【分析】此题考查了勾股定理，过点Q作轴于点A，利用勾股定理求出，利用面积法求出的长，勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出线段的长．
【详解】如图，过点Q作轴于点A，
∵是的“关联点”， ，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
19．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．先证明，再由全等三角形的性质得结果．
【详解】证明：∵，
∴在和中，
，
∴，
∴．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出是解题关键．
（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质求出，由直角三角形的性质求出，即可得出所求．
【详解】（1）证明：．
和是直角三角形，
在和中，
，
；
（2），
，
，
．
21．见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质；
根据角平分线的判定可得，求出，可得，再根据等腰三角形三线合一可得结论．
【详解】证明：如图，
∵，，，
∴，
又∵在中，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即D为的中点．
22．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
（1）根据等边等对角以及三角形内角和求出即可．
（2）过点B作，交延长线于点E，则，根据角度关系证明，求得，根据证明，得到，最后求得即可．
（3）过点D作，垂足为F，G，通过证明得到，过点P作，垂足为H，则，当点E，P，H在一条直线上时，此时，最小，即最小，最小值为的长，最后根据求出结果即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∵
∴
（2）解：过点B作，交延长线于点E，则
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点D作，垂足为F，G
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
过点P作，垂足为H，则，
∴当点E，P，H在一条直线上时，此时，最小，
即最小，最小值为的长，
∵，，
∴，
∴的最小值为，
23．(1)直角三角形，见解析
(2)6
【分析】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握直角三角形两锐角互余和含30度的直角三角形所对直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键．
（1）证明，再根据三角形内角和定理求得，即可得出结论；
（2）利用含30度的直角三角形所对直角边等于斜边的一半的性质求解即可．
【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下：
∵是边上的高线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了作图，平行线的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握基本作图以及平行线的性质是解题的关键
（1）在的上方作，在射线上截取，使，点D即为所求；
（2）过 A 作 于 H，设交直线于 G，分别求出，可得结论
【详解】（1）如图所示
（2）过 A 作 于 H，设交直线于 G，
，，
，，
由，
，
解得 ， ，
点C和点D关于直线对称，
，
，
，
，
，
是线段的垂直平分线，
在中，，，
，
，
25．(1)①4，30②
(2)
【分析】（1）①根据旋转，易得为等边三角形，，利用等边三角形的性质，即可得出结果；②过点作，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，求出的长，等积法求的长即可；
（2）过点作，过点作，根据旋转的性质，易得均为等边三角形，进而得到，勾股定理求出的长，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求出的长，利用四边形的面积等于进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵旋转，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：4，30；
②过点作，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点作，过点作，
∵旋转，
∴，
∴均为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．掌握旋转的性质，得到特殊三角形，是解题的关键．
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2023-2024学年数学八年级直角三角形（湘教版）
单元测试 提升卷一 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，，，E是上一点，，，，则等于（ ）
A．7 B．10 C．12 D．24
2．（本题3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．3，4，5 C．4，5，6 D．7，14，15
3．（本题3分）已知直角三角形中角所对的直角边为，则斜边的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
6．（本题3分）如图，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．3 C． D．9
7．（本题3分）如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为（ ）
A． B．3 C． D．
8．（本题3分）如图，在中，，平分，于点，有下列结论，①；②；③平分；④；其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．4 C．3 D．2
9．（本题3分）如图，在中，，，交于点D，，则的长是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
10．（本题3分）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，在中，，，，为延长线上一点，．若，则的长为 ．
12．（本题3分）如图，是等边的中线，于点E．若的长度为，则点D 到的距离为 ．
13．（本题3分）如图，在四边形中，，，平分，则的面积是10，则 ．
14．（本题3分）如图，将一块角的直角三角板绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点为点，且点C、B、三点在一条直线上，连接，若，则的长为 ．
15．（本题3分）在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ．
16．（本题3分）如图，在中，，是的中点， 于点，于点．若，，则的面积是 ．
17．（本题3分）如图，在中，，，平分，交于点，于点，，则的周长为 ．
18．（本题3分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于以为底边的等腰及外一点C，若，直线中，其中一条经过点O，另一条与的腰垂直，则称点C是的“关联点”．如图，已知点，，，则点就是的“关联点”．若点是的“关联点”，则线段的长是 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）如图，在和中，与交于点E，且．证明：．
20．（本题8分）如图，、相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
21．（本题10分）如图，在中，，，点E在上，作于点D，若，求证：D为的中点．
22．（本题10分）在中，，D为内一点，连接，CD．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，在（1）的条件下，延长交于点E，P为上一动点，连接，若，，求的最小值．
23．（本题10分）如图，在中，是边上的高线，
(1)试说明是什么三角形，并说明理由；
(2)若，，求的长
24．（本题10分）如图，在中，，，，点C和点D关于直线对称．
(1)求作点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）
(2)连接，过点C作交的延长线于点E，求的长度．
25．（本题10分）已知，，，将绕点顺时针旋转至，连结．
(1)如图1，当点落在线段上时，
①填空：______；______．
②作交于点，求线段的长度；
(2)如图2，若，求四边形的面积．
参考答案：
1．B
【分析】此题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余、所对的直角边是斜边的一半和勾股定理是解决此题的关键．
根据直角三角形的两个锐角互余，求出和，即可证出为直角三角形，然后根据所对的直角边是斜边的一半即可求出和，最后利用勾股定理即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴在中，．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理；
验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：A.，故，，不能组成直角三角形；
B.，故3，4，5能组成直角三角形；
C.，故4，5，6不能组成直角三角形；
D.，故7，14，15不能组成直角三角形；
故选：B．
3．C
【分析】根据本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，根据此定理即可求解．
【详解】解：∵直角三角形中角所对的直角边为，
∴斜边长为．
故选：C
4．C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方即可，解题的关键是学会利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是否为直角三角形．
【详解】，
选项A给出图中的一个三角形是直角三角形，另一个不是直角三角形，不符合题意；
，，
选项B给出图中的一个三角形是直角三角形，另一个不是直角三角形，不符合题意；
，，
选项C给出图中的两个三角形是直角三角形，符合题意；
，，
选项D给出图中的两个三角形不是直角三角形，不符合题意；
故选：C
5．B
【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，过点作，易得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可．
【详解】解：过点作，
∵长方形，
∴，
∵平分，
∴，
由翻折可得，
由勾股定理，得：，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故选B．
6．D
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，线段垂直平分线定理，通过添加辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．连结，，过点C作于点H，根据线段垂直平分线定理可得，根据角平分线的性质定理可得，根据“斜边直角边”可证明，可得，进一步推得，再证明，可得，由此即得答案．
【详解】连结，，过点C作于点H，
垂直平分，
，
平分，，
，
，，
，
，
，
在和中，，，
，
，
．
故选D．
7．A
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，折叠的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用角平分线的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据折叠可得，根据直角三角形的性质可得，进而根据角平分线的性质求得，据此求解即可．
【详解】解：∵将折叠，使点B与点A重合，
∴，，
在中，，
，，
,
∴平分，
∵，，
，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质可证，可知①符合题意，利用 HL 证明 ，得，，可知②③符合题意，由，，，可知④符合题意，证明 是解题的关键．
【详解】解：在中，，
平分，，
∴，故①符合题意；
在与中，
，
∴，
∴，，
∴平分，故③符合题意；
∵，
∴，故②符合题意；
∵，，
∴，故④符合题意，
∴结论正确的个数为4，
故选：．
9．D
【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质．利用等腰三角形性质，直角三角形的性质求线段长．
【详解】解：，，
，
交于点，，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故选：D．
10．D
【分析】由三角形为等边三角形，得到三边相等，且内角为，根据题意得到，利用得到，则可得，可判定①正确；由全等三角形的性质得，从而可证明，，即可得出，可判定②正确；分与为直角两种情况求出的值，即可判定③；当时，求得，，从而可证明是等边三角形，，继而证得 ，即可判定④正确．
【详解】解：设点、Q运动时间为t秒，
根据题意得：，
为等边三角形，
，，
在和中，
，
，
∴，故①正确；
∵
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，故②正确；
若，由，得到，
∴，即，
解得：；
若，由，得到，
∴，即，
解得：，
综上，当第秒或第秒时，为直角三角形，故③正确；
当时，则，，
∵
∴P、Q是、边的中点，即、是的中线，
∴，
为等边三角形，
∴，，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确，
∴正确的有①②③④共4个，
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形重心的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
11．9.6
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后利用面积法进行计算，即可解答．
【详解】解：，，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
的面积，
，
，
解得：，
故答案为：9.6．
12．3
【分析】本题考查角平分线的性质，等边三角形的性质，先根据三线合一得到角平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等直接求解即可得到答案；
【详解】解：过D作，
∵是等边的中线，
∴，
∵，，
∴，，
∴点D 到的距离为，
故答案为：．
13．2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点作于，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”得到，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：过点作于，如图，
∵平分，，，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
故答案为：2．
14．
【分析】本题主要考查了含的直角三角形的旋转．熟练掌握含的直角三角形判定和性质，旋转性质，等腰三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
设与交点为F，根据含的直角三角形性质得到，由旋转性质得到，，得到，根据，得到，，得到，即得．
【详解】设与交点为F，
∵直角三角板中，，，
∴，
由旋转知，，
∵点C、B、三点在一条直线上，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．6
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：和是由摆动得到，
，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
16．14
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．先根据等腰三角形的“三线合一”得到平分，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形的面积公式，利用进行计算．
【详解】解：，是的中点，
平分，
于点，于点，
，
．
故答案为：14
17．
【分析】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，利用角平分线的性质的性质得出，证明，然后根据全等三角形的性质得到，最后通过即可求出的周长，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
18．/
【分析】此题考查了勾股定理，过点Q作轴于点A，利用勾股定理求出，利用面积法求出的长，勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出线段的长．
【详解】如图，过点Q作轴于点A，
∵是的“关联点”， ，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
19．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．先证明，再由全等三角形的性质得结果．
【详解】证明：∵，
∴在和中，
，
∴，
∴．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出是解题关键．
（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质求出，由直角三角形的性质求出，即可得出所求．
【详解】（1）证明：．
和是直角三角形，
在和中，
，
；
（2），
，
，
．
21．见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质；
根据角平分线的判定可得，求出，可得，再根据等腰三角形三线合一可得结论．
【详解】证明：如图，
∵，，，
∴，
又∵在中，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即D为的中点．
22．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
（1）根据等边等对角以及三角形内角和求出即可．
（2）过点B作，交延长线于点E，则，根据角度关系证明，求得，根据证明，得到，最后求得即可．
（3）过点D作，垂足为F，G，通过证明得到，过点P作，垂足为H，则，当点E，P，H在一条直线上时，此时，最小，即最小，最小值为的长，最后根据求出结果即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∵
∴
（2）解：过点B作，交延长线于点E，则
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点D作，垂足为F，G
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
过点P作，垂足为H，则，
∴当点E，P，H在一条直线上时，此时，最小，
即最小，最小值为的长，
∵，，
∴，
∴的最小值为，
23．(1)直角三角形，见解析
(2)6
【分析】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握直角三角形两锐角互余和含30度的直角三角形所对直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键．
（1）证明，再根据三角形内角和定理求得，即可得出结论；
（2）利用含30度的直角三角形所对直角边等于斜边的一半的性质求解即可．
【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下：
∵是边上的高线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了作图，平行线的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握基本作图以及平行线的性质是解题的关键
（1）在的上方作，在射线上截取，使，点D即为所求；
（2）过 A 作 于 H，设交直线于 G，分别求出，可得结论
【详解】（1）如图所示
（2）过 A 作 于 H，设交直线于 G，
，，
，，
由，
，
解得 ， ，
点C和点D关于直线对称，
，
，
，
，
，
是线段的垂直平分线，
在中，，，
，
，
25．(1)①4，30②
(2)
【分析】（1）①根据旋转，易得为等边三角形，，利用等边三角形的性质，即可得出结果；②过点作，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，求出的长，等积法求的长即可；
（2）过点作，过点作，根据旋转的性质，易得均为等边三角形，进而得到，勾股定理求出的长，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求出的长，利用四边形的面积等于进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵旋转，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：4，30；
②过点作，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点作，过点作，
∵旋转，
∴，
∴均为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．掌握旋转的性质，得到特殊三角形，是解题的关键．
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