【培优卷】2024年北师大版数学八（下）3.1图形的平移 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·镇海区期中）如图，，则AB的长为（ ）
A． B．10 C． D．
2．（2021七上·正定期中）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动；第一次将点A向左移动3个单位长度到达点 ，第二次将点A向右移动6个单位长度到达点 ，第三次将点 向左移动9个单位长度到达点 ，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点 ，如果点 与原点的距离不小于17，那么n的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2023七上·杭州期中）把如图1的两张大小相同的长方形卡片放置在图2与图3中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图2中阴影部分的周长为，图3中阴影部分的周长为，那么（ ）
图1 图2 图3
A． B． C． D．
4．（2023七下·嘉兴期末）已知矩形ABCD，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中末被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1与图2中阴影部分的周长差为，若要知道的值，只需测量（ ）
A． B． C．BC D．AB
5．（2020八下·临朐期末）如图，点 ，点 向上平移1个单位，再向右平移2个单位．得到 ；点 向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点 ；点 向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点 ……按照这个规律得到 ，则点 的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·孝义期中）如图，在三角形ABC中，，，，，将三角形沿射线的方向平移个单位长度得到三角形，连接，则下列结论：①且；②四边形的面积等于四边形DFCG的面积；③四边形的周长为；④其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2020七下·崇川期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1，0).点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(﹣1，1)，第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，….照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是（ ）
A．(﹣26，50) B．(﹣25，50) C．(26，50) D．(25，50)
8．（2023七下·西城期末）以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是和．如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图2，景点C和D分别在线段上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图3，景点E和G分别在线段上，景点F在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．下列，，的大小关系正确的是（ ）
A． B．且
C． D．且
二、填空题
9．（2023八下·九江期末）已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ．
10．（2020八下·福州期中）如图，把一块三角板放在直角坐标系第一象限内，其中30°角的顶点A落在y轴上，直角顶点C落在x轴的（ ，0）处，∠ACO=60°，点D为AB边上中点，将△ABC沿x轴向右平移，当点A落在直线y=x﹣3上时，线段CD扫过的面积为 ．
11．（2023七下·易县期末）如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到正方形及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为，．已知正方形内部的一点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合．
（1） ， ．
（2）点F的坐标是 ．
12．如图，在直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方式依次移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标：
A1（ ），A3（ ），A12（ ）
（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）：An（ ）．
（3）蚂蚁从点A2019到A2020的移动方向是
三、作图题
13．（2023八上·船营期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）和直线l．
（1）在直线l上找一点P，使点P到边AB，BC的距离相等；
（2）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；再将△A1B1C1向下平移4个单位长度，画出平移后得到的图形△A2B2C2；
（3）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，两个对应图形△ABC和△A2B2C2的对应点所具有的性质是
（A）对应点连线互相平行．
（B）对应点连线被直线l垂直平分．
（C）对应点连线被直线l平分或与直线l重合．
14．（2023八上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
（2）点经过平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的；
（3）在（2）的条件下，点在直线上，若，直接写出点的坐标；
（4）在（2）的条件下，已知，点，点，所围成的区域内包括边界恰有个整点，求的取值范围．
四、解答题
15．（2023七下·长沙期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点．
（1）若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为 ；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标；
（3）若点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点P2的坐标．
16．（2023七下·洛阳期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，5)，(3，0).将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD.
（1）直接写出坐标：点C( ， )，点D( ， )；
（2）M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴
（3）若点P是x轴正半轴上一动点(不与点B重合)，问∠DCP、∠CPA与∠PAB存在怎样的数量关系 请直接写出结论.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：将DE、FG分别平移到AC的延长线上，同理，将FE、DC分别平移到BG的延长线上，交予点H，如下图；
由题意可知，∠H=90°，AC+DE+FG=4，即AH=4；CD+EF+BG=6，即BH=6，
在直角三角形ABH中，AB==.
故答案为：D.
【分析】根据平移的性质，将线段进行平移；再根据勾股定理，即可求出AB的值.
2．【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；线段上的两点间的距离；平移的性质
【解析】【解答】解：根据题目已知条件，A1表示的数，1-3=-2；A2表示的数为-2+6=4；A3表示的数为4-9=-5；A4表示的数为-5+12=7；A5表示的数为7-15=-8；A6表示的数为-8+18=10，A7表示的数为10-21=-11，A8表示的数为-11+24=13，A9表示的数为13-27=-14，A10表示的数为-14+30=16，A11表示的数为16-33=-17．
所以点An与原点的距离不小于17，那么n的最小值是11．
故答案为：C．
【分析】根据题目已知条件，A1表示的数，1-3=-2；A2表示的数为-2+6=4；A3表示的数为4-9=-5；A4表示的数为-5+12=7；A5表示的数为7-15=-8；A6表示的数为-8+18=10，……根据此规律即可得出点An与原点的距离不小于17，即可得出 n的最小值 。
3．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；平移的性质
【解析】【解答】解：设大长方形的宽为acm，则长为（a+20）cm，图1中的长方形的长为xcm，宽为ycm，则C1=2（a+20）+2a=(4a+40) cm，
C2=2（a+20）+2（a-y）+2（a-x）=6a+40-2（x+y），
由图3知，x+y=a+20，
∴ C2=6a+40-2（x+y）=6a+40-2（a+20）=4a cm ，
∴ C1- C2=40 cm.
故答案为：D.
【分析】设大长方形的宽为acm，则长为（a+20）cm，图1中的长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图3得x+y=a+20，然后表示出 图2中阴影部分的周长为 和 图3中阴影部分的周长为 ，最后作差即可.
4．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；生活中的平移现象
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的周长为：4AB+2（BC-b）=4AB-2BC-2b，
图2中阴影部分的周长为：2BC+2（AB-b）=2BC+2AB-2b，
∴l=4AB-2BC-2b-（2BC+2AB-2b）=4AB-2BC-2b-2BC-2AB+2b=2AB，
∴若要知道l的值，只需要测量AB的长.
故答案为：D.
【分析】利用平移的思想、矩形、正方形的性质及图形周长的计算方法分别表示出图1与图2的周长，进而再根据整式加减法算出l的值即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】平移的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：点A1的横坐标为1=21-1，
点A2的横坐为标3=22-1，
点A3的横坐标为7=23-1，
点A4的横坐标为15=24-1，
…
按这个规律平移得到点An的横坐标为为2n-1，
∴点 的横坐标为 ，
故答案为：B．
【分析】先求出点A1，A2，A3，A4的横坐标，再从特殊到一般探究出规律，然后利用规律即可解决问题．
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：由平移可知且，AD=CF=6，AC=DF=8，AB∥ED，S△ABC=S△DEF，①正确；
∴，
即四边形的面积等于四边形DFCG的面积，②正确；
∴四边形的周长为6+6+10+10+6+8=36，③错误；
在△ABC中，，
∴∠BAC=90°，
∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠EGC=90°，④正确，
∴正确的个数为3个，
故答案为：C
【分析】先根据平移的性质再结合题意即可判断①②③，进而根据勾股定理的逆定理即可得到∠BAC=90°，再根据平行线的性质即可判断④，进而即可求解。
7．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：经过观察可得： 和 的纵坐标均为 ， 和 的纵坐标均为 ， 和 的纵坐标均为 ，因此可以推知 和 的纵坐标均为 ；其中4的倍数的跳动都在 轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在 轴的右侧. 横坐标为 ， 横坐标为 ， 横坐标为 ，以此类推可得到： 的横坐标为 （ 是4的倍数）.
故点 的横坐标为： ，纵坐标为： ，点 第100次跳动至点 的坐标为 .
故答案为： .
【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为 ，其中4的倍数的跳动都在 轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在 轴的右侧. 横坐标为 ， 横坐标为2， 横坐标为3，以此类推可得到 的横坐标.
8．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由题意可得：l1=OB+AB，l2=OC+CD+AD∴l1＞l2，
∵将线段EF平移可得到线段BG，将线段FG平移可得到线段BE，
∴BE=FG，EF=BG，
∴l3=OE+EF+FG+AG=OE+BE+BG+AG=OB+BA=l1，
综上所述： ，，的大小关系为： 且 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出l1＞l2，再根据平移求出BE=FG，EF=BG，最后判断求解即可。
9．【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°， AC=3，BC=4，
∴，
∵△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，
∴AD =BE= CF=m，DE =AB =5，DF=AC=3，EF=BC=4，
∴点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况如下：
①当AD=DE时，如下图所示：
，
∴m=5；
②当AE=AD=m时，如下图所示：
∴CE=BC-BE=4-m，
∴m2=9+(4-m)2，
解得：m=；
③当AE=DE时，如下图所示：
∴AE = AB，
∵∠ACB = 90°，
∴CE=BC=4，
∴m =BE=BC+CE=4+4=8，
综上所述：m的值是 或或 ，
故答案为： 或或 .
【分析】利用勾股定理求出AB=5，再根据平移的性质求出AD =BE= CF=m，DE =AB =5，DF=AC=3，EF=BC=4，最后根据等腰三角形的性质分类讨论计算求解即可。
10．【答案】12
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点C的坐标为（ ，0），∠ACO＝60°，
∴AC＝ ，OA＝3，
∴点A的坐标为（0，3），
在y=x﹣3中，当y＝3时，即3＝x 3，解得x＝6，
∴当点A落在直线y＝x 3上时，点A平移的距离为6，此时点D平移的距离也是6，
∵∠ACO＝60°，点D为AB边上中点，∠ACB＝90°，∠CAD＝30°，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠DCO＝90°，
∵AC＝ ，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴BC2+AC2＝AB2，即 ，
∴AB＝4，
∴CD＝2，
∴线段CD扫过的面积为：2×6＝12，
故答案为：12．
【分析】根据函数解析式和直角三角形的性质求出点D平移的距离和CD的长度，然后证明∠DCO＝90°，再根据矩形的面积公式计算即可．
11．【答案】（1）；2
（2）
【知识点】二元一次方程组的其他应用；坐标与图形变化﹣平移；探索图形规律
【解析】【解答】解：由平移得，，
解得，
设点F的坐标为（a，b），
∵点与点F重合，
∴，
解得，
∴点F的坐标是，
故答案为：
【分析】先根据平移坐标的变化结合题意即可求出，设点F的坐标为（a，b），再根据题意即可列出二元一次方程组，进而即可求解。
12．【答案】（1）0，1；1，0；6，0
（2）2n，0
（3）向右
【知识点】点的坐标；探索图形规律；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：（1）A1（0，1），A3（1，0），A12（6，0）；
故答案为：0，1；1，0；6，0；
（2）当n=1时，点A4（2，0），
当n=2时，点A8（4，0），
当n=3时，点A12（6，0），
……，
∴A4n（2n，0），
故答案为：2n，0；
（3）由于点A2020中的n正好是4的倍数，
∴点A2020的坐标为（1010，0），点A2019的坐标为（1009，0），
∴ 蚂蚁从点A2019到A2020的移动方向是向右.
故答案为：向右.
【分析】（1）根据各点在平面直角坐标系的位置直接找出答案；
（2）先求出点A4，A8、A12几个点的坐标，通过观察就会发现A4n的坐标轴为2n，纵坐标都为0；
（3）由于点A2020中的n正好是4的倍数，根据（2）可得出点A2020与点A2019的坐标，从而就能得出蚂蚁移动的方向.
13．【答案】（1）
（2）
（3）（3）
【知识点】角平分线的性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：点P到AB，BC的距离相等，则点P在∠ABC的平分线上，过点B作BP⊥l于P，则P为所求；
（2）如图所示： △A1B1C1 与 △ABC 关于直线l对称，运用平移规律，得出 △A2B2C2 ；
（3）点C与点C2在直线l上，点A和点A2在4×4网格对角格点上，点B和点B2在4×8网格对角格点上，则A与A2的连线被直线l平分，点B与点B2的连线被直线l平分。
【分析】本题考查网格作图、角平分线的性质、图形的平移、轴对称变换等知识。（1）根据要求，点P到AB、BC的距离相等，则点P在∠ABC的角平分线上，AB与BC均在4×2的网格对角线上，则∠ABC的角平分线是过点B垂直于l的网格线，与l交于点P；（2） 画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1 ，运用轴对称的性质，找出各点的对应点即可；运用平移的性质，找出平移后的各点对应点；（3） 结合轴对称变换和平移变换的有关性质，得出结论。
14．【答案】（1）解：如图，
（2）如图：即为所求；
（3）点在直线上，若，
设点的坐标为，
当点在之间时，，，
，
解得：，
点的坐标为，
当点在点下方时，，，
，
解得：，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
（4）如图，
点，点，且，
点与点关于直线对称，
若所围成的区域内包括边界恰有个整点，则需要两点之间恰好有个整点，
当，时，两点之间恰好有个整点，此时；
当，时，两点之间恰好有个整点，此时；
故当点，点分别在，之间时不包含，满足要求；
的取值范围是．
【知识点】点的坐标；线段上的两点间的距离；作图﹣平移；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）分类讨论：设点的坐标为，①当点在之间时，②当点在点下方时，再分别列出方程求出a的值即可；
（4）分类求解：①当，时，②当，时，再分别求出，，可得的取值范围是．
15．【答案】（1）
（2）解：由题意，得：，
解得：，
∴点P的坐标为；
（3）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点
∴点
∴的“阶派生点”为：
即
当点在x轴上
，
解得：；
此时；
当点在y轴上
，
解得：；
此时；
∴点的坐标或．
【知识点】二元一次方程组的解；点的坐标；用坐标表示平移；列二元一次方程组
【解析】【解答】（1）根据“a阶派生点”的定义可知，“3阶派生点”时，a=3
则点P（-1，5）的“3阶派生点”的横坐标=3×（-1）+5=2，
则点P（-1，5）的“3阶派生点”的纵坐标=-1+3×5=14，
∴点P（-1，5）的“3阶派生点”的坐标是（2，14）
【分析】本题考查二元一次方程组、坐标轴上的点的特征、点的平移规律。（1）根据“a阶派生点”的定义通过计算，可得点的坐标；（2）根据“a阶派生点”的定义列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可；（3）掌握点的平移规律和坐标轴上的点特征，即可求解。
16．【答案】（1）-1；3；-1；-2
（2）解：设t秒后MN∥x轴，则有5-t=0.5t-2，
解得
时，MN∥x轴；
（3）解：①如图中，当点P在y轴右侧且在直线AB的左侧时，∠CPA=∠DCP+∠PAB
②如图中，当点P在直线AB的右侧时，∠CPA=∠DCP-∠PAB.
综上所述，∠DCP、∠CPA与∠PAB的关系为：
∠CPA=∠DCP+∠PAB或∠CPA=∠DCP-∠PAB.
【知识点】平行线的判定与性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1） ∵点A(3，5)，B(3，0) 向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到C、D，
∴A（3-4，5-2），B（3-4，0-2），即C（-1，3），D（-1，-2）；
故答案为：-1，3，-1，-2；
【分析】（1）根据点的坐标平移规律进行求解即可；
（2）设t秒后MN∥x轴，此时点N到x轴的距离与BM的长，据此列出方程并解之即可；
（3）分两种情况：①当点P在y轴右侧且在直线AB的左侧时，②当点P在直线AB的右侧时，据此分别画出图形并解答即可.
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）3.1图形的平移 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·镇海区期中）如图，，则AB的长为（ ）
A． B．10 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：将DE、FG分别平移到AC的延长线上，同理，将FE、DC分别平移到BG的延长线上，交予点H，如下图；
由题意可知，∠H=90°，AC+DE+FG=4，即AH=4；CD+EF+BG=6，即BH=6，
在直角三角形ABH中，AB==.
故答案为：D.
【分析】根据平移的性质，将线段进行平移；再根据勾股定理，即可求出AB的值.
2．（2021七上·正定期中）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动；第一次将点A向左移动3个单位长度到达点 ，第二次将点A向右移动6个单位长度到达点 ，第三次将点 向左移动9个单位长度到达点 ，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点 ，如果点 与原点的距离不小于17，那么n的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；线段上的两点间的距离；平移的性质
【解析】【解答】解：根据题目已知条件，A1表示的数，1-3=-2；A2表示的数为-2+6=4；A3表示的数为4-9=-5；A4表示的数为-5+12=7；A5表示的数为7-15=-8；A6表示的数为-8+18=10，A7表示的数为10-21=-11，A8表示的数为-11+24=13，A9表示的数为13-27=-14，A10表示的数为-14+30=16，A11表示的数为16-33=-17．
所以点An与原点的距离不小于17，那么n的最小值是11．
故答案为：C．
【分析】根据题目已知条件，A1表示的数，1-3=-2；A2表示的数为-2+6=4；A3表示的数为4-9=-5；A4表示的数为-5+12=7；A5表示的数为7-15=-8；A6表示的数为-8+18=10，……根据此规律即可得出点An与原点的距离不小于17，即可得出 n的最小值 。
3．（2023七上·杭州期中）把如图1的两张大小相同的长方形卡片放置在图2与图3中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图2中阴影部分的周长为，图3中阴影部分的周长为，那么（ ）
图1 图2 图3
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；平移的性质
【解析】【解答】解：设大长方形的宽为acm，则长为（a+20）cm，图1中的长方形的长为xcm，宽为ycm，则C1=2（a+20）+2a=(4a+40) cm，
C2=2（a+20）+2（a-y）+2（a-x）=6a+40-2（x+y），
由图3知，x+y=a+20，
∴ C2=6a+40-2（x+y）=6a+40-2（a+20）=4a cm ，
∴ C1- C2=40 cm.
故答案为：D.
【分析】设大长方形的宽为acm，则长为（a+20）cm，图1中的长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图3得x+y=a+20，然后表示出 图2中阴影部分的周长为 和 图3中阴影部分的周长为 ，最后作差即可.
4．（2023七下·嘉兴期末）已知矩形ABCD，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中末被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1与图2中阴影部分的周长差为，若要知道的值，只需测量（ ）
A． B． C．BC D．AB
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；生活中的平移现象
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的周长为：4AB+2（BC-b）=4AB-2BC-2b，
图2中阴影部分的周长为：2BC+2（AB-b）=2BC+2AB-2b，
∴l=4AB-2BC-2b-（2BC+2AB-2b）=4AB-2BC-2b-2BC-2AB+2b=2AB，
∴若要知道l的值，只需要测量AB的长.
故答案为：D.
【分析】利用平移的思想、矩形、正方形的性质及图形周长的计算方法分别表示出图1与图2的周长，进而再根据整式加减法算出l的值即可得出答案.
5．（2020八下·临朐期末）如图，点 ，点 向上平移1个单位，再向右平移2个单位．得到 ；点 向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点 ；点 向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点 ……按照这个规律得到 ，则点 的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平移的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：点A1的横坐标为1=21-1，
点A2的横坐为标3=22-1，
点A3的横坐标为7=23-1，
点A4的横坐标为15=24-1，
…
按这个规律平移得到点An的横坐标为为2n-1，
∴点 的横坐标为 ，
故答案为：B．
【分析】先求出点A1，A2，A3，A4的横坐标，再从特殊到一般探究出规律，然后利用规律即可解决问题．
6．（2023七下·孝义期中）如图，在三角形ABC中，，，，，将三角形沿射线的方向平移个单位长度得到三角形，连接，则下列结论：①且；②四边形的面积等于四边形DFCG的面积；③四边形的周长为；④其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：由平移可知且，AD=CF=6，AC=DF=8，AB∥ED，S△ABC=S△DEF，①正确；
∴，
即四边形的面积等于四边形DFCG的面积，②正确；
∴四边形的周长为6+6+10+10+6+8=36，③错误；
在△ABC中，，
∴∠BAC=90°，
∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠EGC=90°，④正确，
∴正确的个数为3个，
故答案为：C
【分析】先根据平移的性质再结合题意即可判断①②③，进而根据勾股定理的逆定理即可得到∠BAC=90°，再根据平行线的性质即可判断④，进而即可求解。
7．（2020七下·崇川期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1，0).点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(﹣1，1)，第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，….照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是（ ）
A．(﹣26，50) B．(﹣25，50) C．(26，50) D．(25，50)
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：经过观察可得： 和 的纵坐标均为 ， 和 的纵坐标均为 ， 和 的纵坐标均为 ，因此可以推知 和 的纵坐标均为 ；其中4的倍数的跳动都在 轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在 轴的右侧. 横坐标为 ， 横坐标为 ， 横坐标为 ，以此类推可得到： 的横坐标为 （ 是4的倍数）.
故点 的横坐标为： ，纵坐标为： ，点 第100次跳动至点 的坐标为 .
故答案为： .
【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为 ，其中4的倍数的跳动都在 轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在 轴的右侧. 横坐标为 ， 横坐标为2， 横坐标为3，以此类推可得到 的横坐标.
8．（2023七下·西城期末）以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是和．如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图2，景点C和D分别在线段上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图3，景点E和G分别在线段上，景点F在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．下列，，的大小关系正确的是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由题意可得：l1=OB+AB，l2=OC+CD+AD∴l1＞l2，
∵将线段EF平移可得到线段BG，将线段FG平移可得到线段BE，
∴BE=FG，EF=BG，
∴l3=OE+EF+FG+AG=OE+BE+BG+AG=OB+BA=l1，
综上所述： ，，的大小关系为： 且 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出l1＞l2，再根据平移求出BE=FG，EF=BG，最后判断求解即可。
二、填空题
9．（2023八下·九江期末）已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ．
【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°， AC=3，BC=4，
∴，
∵△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，
∴AD =BE= CF=m，DE =AB =5，DF=AC=3，EF=BC=4，
∴点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况如下：
①当AD=DE时，如下图所示：
，
∴m=5；
②当AE=AD=m时，如下图所示：
∴CE=BC-BE=4-m，
∴m2=9+(4-m)2，
解得：m=；
③当AE=DE时，如下图所示：
∴AE = AB，
∵∠ACB = 90°，
∴CE=BC=4，
∴m =BE=BC+CE=4+4=8，
综上所述：m的值是 或或 ，
故答案为： 或或 .
【分析】利用勾股定理求出AB=5，再根据平移的性质求出AD =BE= CF=m，DE =AB =5，DF=AC=3，EF=BC=4，最后根据等腰三角形的性质分类讨论计算求解即可。
10．（2020八下·福州期中）如图，把一块三角板放在直角坐标系第一象限内，其中30°角的顶点A落在y轴上，直角顶点C落在x轴的（ ，0）处，∠ACO=60°，点D为AB边上中点，将△ABC沿x轴向右平移，当点A落在直线y=x﹣3上时，线段CD扫过的面积为 ．
【答案】12
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点C的坐标为（ ，0），∠ACO＝60°，
∴AC＝ ，OA＝3，
∴点A的坐标为（0，3），
在y=x﹣3中，当y＝3时，即3＝x 3，解得x＝6，
∴当点A落在直线y＝x 3上时，点A平移的距离为6，此时点D平移的距离也是6，
∵∠ACO＝60°，点D为AB边上中点，∠ACB＝90°，∠CAD＝30°，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠DCO＝90°，
∵AC＝ ，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴BC2+AC2＝AB2，即 ，
∴AB＝4，
∴CD＝2，
∴线段CD扫过的面积为：2×6＝12，
故答案为：12．
【分析】根据函数解析式和直角三角形的性质求出点D平移的距离和CD的长度，然后证明∠DCO＝90°，再根据矩形的面积公式计算即可．
11．（2023七下·易县期末）如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到正方形及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为，．已知正方形内部的一点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合．
（1） ， ．
（2）点F的坐标是 ．
【答案】（1）；2
（2）
【知识点】二元一次方程组的其他应用；坐标与图形变化﹣平移；探索图形规律
【解析】【解答】解：由平移得，，
解得，
设点F的坐标为（a，b），
∵点与点F重合，
∴，
解得，
∴点F的坐标是，
故答案为：
【分析】先根据平移坐标的变化结合题意即可求出，设点F的坐标为（a，b），再根据题意即可列出二元一次方程组，进而即可求解。
12．如图，在直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方式依次移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标：
A1（ ），A3（ ），A12（ ）
（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）：An（ ）．
（3）蚂蚁从点A2019到A2020的移动方向是
【答案】（1）0，1；1，0；6，0
（2）2n，0
（3）向右
【知识点】点的坐标；探索图形规律；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：（1）A1（0，1），A3（1，0），A12（6，0）；
故答案为：0，1；1，0；6，0；
（2）当n=1时，点A4（2，0），
当n=2时，点A8（4，0），
当n=3时，点A12（6，0），
……，
∴A4n（2n，0），
故答案为：2n，0；
（3）由于点A2020中的n正好是4的倍数，
∴点A2020的坐标为（1010，0），点A2019的坐标为（1009，0），
∴ 蚂蚁从点A2019到A2020的移动方向是向右.
故答案为：向右.
【分析】（1）根据各点在平面直角坐标系的位置直接找出答案；
（2）先求出点A4，A8、A12几个点的坐标，通过观察就会发现A4n的坐标轴为2n，纵坐标都为0；
（3）由于点A2020中的n正好是4的倍数，根据（2）可得出点A2020与点A2019的坐标，从而就能得出蚂蚁移动的方向.
三、作图题
13．（2023八上·船营期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）和直线l．
（1）在直线l上找一点P，使点P到边AB，BC的距离相等；
（2）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；再将△A1B1C1向下平移4个单位长度，画出平移后得到的图形△A2B2C2；
（3）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，两个对应图形△ABC和△A2B2C2的对应点所具有的性质是
（A）对应点连线互相平行．
（B）对应点连线被直线l垂直平分．
（C）对应点连线被直线l平分或与直线l重合．
【答案】（1）
（2）
（3）（3）
【知识点】角平分线的性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：点P到AB，BC的距离相等，则点P在∠ABC的平分线上，过点B作BP⊥l于P，则P为所求；
（2）如图所示： △A1B1C1 与 △ABC 关于直线l对称，运用平移规律，得出 △A2B2C2 ；
（3）点C与点C2在直线l上，点A和点A2在4×4网格对角格点上，点B和点B2在4×8网格对角格点上，则A与A2的连线被直线l平分，点B与点B2的连线被直线l平分。
【分析】本题考查网格作图、角平分线的性质、图形的平移、轴对称变换等知识。（1）根据要求，点P到AB、BC的距离相等，则点P在∠ABC的角平分线上，AB与BC均在4×2的网格对角线上，则∠ABC的角平分线是过点B垂直于l的网格线，与l交于点P；（2） 画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1 ，运用轴对称的性质，找出各点的对应点即可；运用平移的性质，找出平移后的各点对应点；（3） 结合轴对称变换和平移变换的有关性质，得出结论。
14．（2023八上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
（2）点经过平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的；
（3）在（2）的条件下，点在直线上，若，直接写出点的坐标；
（4）在（2）的条件下，已知，点，点，所围成的区域内包括边界恰有个整点，求的取值范围．
【答案】（1）解：如图，
（2）如图：即为所求；
（3）点在直线上，若，
设点的坐标为，
当点在之间时，，，
，
解得：，
点的坐标为，
当点在点下方时，，，
，
解得：，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
（4）如图，
点，点，且，
点与点关于直线对称，
若所围成的区域内包括边界恰有个整点，则需要两点之间恰好有个整点，
当，时，两点之间恰好有个整点，此时；
当，时，两点之间恰好有个整点，此时；
故当点，点分别在，之间时不包含，满足要求；
的取值范围是．
【知识点】点的坐标；线段上的两点间的距离；作图﹣平移；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）分类讨论：设点的坐标为，①当点在之间时，②当点在点下方时，再分别列出方程求出a的值即可；
（4）分类求解：①当，时，②当，时，再分别求出，，可得的取值范围是．
四、解答题
15．（2023七下·长沙期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点．
（1）若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为 ；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标；
（3）若点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点P2的坐标．
【答案】（1）
（2）解：由题意，得：，
解得：，
∴点P的坐标为；
（3）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点
∴点
∴的“阶派生点”为：
即
当点在x轴上
，
解得：；
此时；
当点在y轴上
，
解得：；
此时；
∴点的坐标或．
【知识点】二元一次方程组的解；点的坐标；用坐标表示平移；列二元一次方程组
【解析】【解答】（1）根据“a阶派生点”的定义可知，“3阶派生点”时，a=3
则点P（-1，5）的“3阶派生点”的横坐标=3×（-1）+5=2，
则点P（-1，5）的“3阶派生点”的纵坐标=-1+3×5=14，
∴点P（-1，5）的“3阶派生点”的坐标是（2，14）
【分析】本题考查二元一次方程组、坐标轴上的点的特征、点的平移规律。（1）根据“a阶派生点”的定义通过计算，可得点的坐标；（2）根据“a阶派生点”的定义列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可；（3）掌握点的平移规律和坐标轴上的点特征，即可求解。
16．（2023七下·洛阳期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，5)，(3，0).将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD.
（1）直接写出坐标：点C( ， )，点D( ， )；
（2）M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴
（3）若点P是x轴正半轴上一动点(不与点B重合)，问∠DCP、∠CPA与∠PAB存在怎样的数量关系 请直接写出结论.
【答案】（1）-1；3；-1；-2
（2）解：设t秒后MN∥x轴，则有5-t=0.5t-2，
解得
时，MN∥x轴；
（3）解：①如图中，当点P在y轴右侧且在直线AB的左侧时，∠CPA=∠DCP+∠PAB
②如图中，当点P在直线AB的右侧时，∠CPA=∠DCP-∠PAB.
综上所述，∠DCP、∠CPA与∠PAB的关系为：
∠CPA=∠DCP+∠PAB或∠CPA=∠DCP-∠PAB.
【知识点】平行线的判定与性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1） ∵点A(3，5)，B(3，0) 向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到C、D，
∴A（3-4，5-2），B（3-4，0-2），即C（-1，3），D（-1，-2）；
故答案为：-1，3，-1，-2；
【分析】（1）根据点的坐标平移规律进行求解即可；
（2）设t秒后MN∥x轴，此时点N到x轴的距离与BM的长，据此列出方程并解之即可；
（3）分两种情况：①当点P在y轴右侧且在直线AB的左侧时，②当点P在直线AB的右侧时，据此分别画出图形并解答即可.
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