【培优卷】2024年北师大版数学八（下）3.2图形的旋转 同步练习
一、选择题
1．（2023七上·信都月考）网格图中所给图形绕点顺时针旋转，旋转次后可以与原图形重合，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023九上·楚雄期中）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣2，3），B（2，3），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（﹣2，7） B．（7，2）
C．（2，﹣7） D．（﹣7，﹣2）
3．（2023九上·深圳月考）如图所示，矩形ABOC的顶点O（0，0），A（－2，2），对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第74次旋转后点P的落点坐标为（ ）
A．(1，) B．（2，0） C．(1，-) D．(，-1)
4．（2023七下·丰台期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转90°的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第2023秒时点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·雄县期中）对于题目：如图1，平面上，正方形内有一个两直角边长分别为2，5的直角三角形，它可以在正方形的内部及边界通过“移转（即平移或旋转）”的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数值n．甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数值n．
甲：如图2，当x为直角三角形斜边长时就可移转过去，结果取．
乙：如图3，当x为直角三角形的两条直角边之和的倍时就可移转过去，结果取．
下列说法正确的是（ ）
A．甲的思路对，但他的n值错 B．甲的思路和他的n值都对
C．乙的思路对，但他的n值错 D．甲和乙的思路都错
6．（2023·仙桃模拟）如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，.下列结论中正确的是（ ）
①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
7．（2021九上·温岭期中）在平面直角坐标系中，点A（-3，3），B（-4，1），C（-2，1），点M（2，m）绕坐标原点O逆时针旋转90°后，恰好落在△ABC内部（不包括边界），则m的取值范围为（ ）
A． C． 8．（2023·贺州模拟）将边长为3的等边三角形和另一个边长为1的等边三角形如图放置（EF在边上，且点E与点B重合）．第一次将以点F为中心旋转至，第二次将以点为中心旋转至的位置，第三次将以点为中心旋转至的位置，…，按照上述办法旋转，直到再次回到初始位置时停止，在此过程中的内心O点运动轨迹的长度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024九上·鹿寨期末）如图，点A，C分别是y轴，x轴正半轴上的动点，，将线段绕点A顺时针旋转60°得到线段，则的最小值是 ．
10．（2023八上·青羊月考）如图，直线与x轴，y轴分别相交于两点，若将直线绕点A旋转与y轴交于点C，则点C的坐标为 ．
11．（2023九上·松江期中）如图，在中，，，点在边上，且，将绕点旋转，使点的对应点落在的边上，则的长为 ．
12．（2023八上·龙湾开学考）如图1，一款暗插销由外壳AB，开关CD，其工作原理如图2，开关CD绕固定点O转动，此时连接点D在线段AB上，如D1位置．开关CD绕点O顺时针旋转180°后得到C2D2，锁芯弹回至D2E2位置（点B与点E2重合），此时插销闭合如图4．已知CD＝74mm，AD2-AC1＝50mm，则BE1＝ mm．
三、作图题
13．（2021·蔡甸模拟）如图，在下列 的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点， 的顶点的坐标分别为 ， ， .
⑴直接写出 的形状；
⑵要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将 绕点 逆时针旋转角度 得到 ，其中 ， ， 的对应点分别为 ， ，请你完成作图；
⑶在网格中找一个格点 ，使得 ，并直接写出 点的坐标；
⑷作点 关于 的对称点 .
四、解答题
14．（2023七上·石家庄期中）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．
（1）如图1，将三角板的一边与射线重合时，则 ；
（2）如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数和的度数；
（3）将三角板绕点逆时针旋转过程中，当时，直接写出的度数．
15．（2023九上·仪陇期中）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
如下图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中．若固定，将绕点C旋转．
（1）当绕点C旋转到点D恰好落在边上时，如下图．
①当时，求此时旋转角的大小；
②当时，直接写出此时旋转角的大小(用含α的式子表示)．
（2）当绕点C旋转到如下图所示的位置时，小组长猜想：的面积与的面积相等，试判断小组长的猜想是否正确，若正确，请你证明小组长的猜想．若不正确，请说明理由．
16．（2023八下·深圳期末）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE.
（1）【猜想证明】
试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；
（2）【探究应用】
如图2，点D为等边内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分；
（3）【拓展提升】
如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE.点D在运动过程中，的周长最小值= （直接写答案）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵网格图中所给图形绕点顺时针旋转， 且一周360°，
∴网格图中所给图形绕点顺时针旋转360°÷90°=4次为一周，
∴至少旋转4次后可以与原图形重合 ，
即的最小值是4.
故答案为：C.
【分析】网格图中所给图形绕点顺时针旋转， 且一周360°，则旋转360°÷90°=4次为一周，据此即得n的最小值.
2．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索图形规律
【解析】【解答】解： 将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴旋转4次一个循环，
∵2023÷4=505···3，
∴ 第2023次旋转结束时，点D落在第三象限，
故答案为：D.
【分析】 将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知旋转4次一个循环，据此解答即可.
3．【答案】D
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABOC为矩形， 对角线交点为P，
∴AP = OP，即点P为OA的中点.
∵O（0，0），A（－2，2），
∴点P的坐标为（－，1）.
∵若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，360°÷90°=4，
∴点P的坐标每4次为一个循环.
∵74÷4=18......2，
∴第74次旋转后的点P74与点2次旋转后的点P2重合.
∵当P旋转2次，即旋转180°时，P与P2关于原点对称，
∴点P2的坐标为（，-1）.
∴第74次旋转后点P的落点坐标为（，-1）.
故答案为：D.
【分析】首先根据矩形的性质和中点坐标的性质，得点P的坐标，然后根据旋转的性质，判断循环数，进而得到第74次旋转后点P的落点坐标与点P2重合，最后根据P与P2关于原点对称，即可得到结
4．【答案】D
【知识点】点的坐标；图形的旋转
【解析】【解答】解：第1秒时，OP=1，此时OA在y轴的负半轴上，P（0，-1），
第2秒时，OP=2，此时OA在x轴的负半轴上，P（-1，0），
第3秒时，OP=3，此时OA在y轴的正半轴上，P（0，3），
第4秒时，OP=4，此时OA在x轴的正半轴上，P（0，4），
第5秒时，OP=3，此时OA在y轴的负半轴上，P（0，-3），
第6秒时，OP=2，此时OA在x轴的负半轴上，P（0，-2），
第7秒时，OP=1，此时OA在y轴的正半轴上，P（0，1），
第8秒时，OP=0，此时OA在x轴的正半轴上，P（0，0），
第9秒时，OP=1，此时OA在y轴的负半轴上，P（0，-1），
∴点P的坐标每8秒一个循环，
2023÷8=252······7，
∴第2023秒时点的坐标与第7秒时点P的坐标相同，即为P2023（0，1），
故答案为：D.
【分析】分别求出第1~第8秒时点P的坐标，据此可得点P的坐标每8秒一个循环，从而求解即可.
5．【答案】B
【知识点】无理数的估值；勾股定理；平移的性质；旋转的性质
【解析】【解答】
解：∵直角三角形边长分别为2，5，
∴直角三角形的斜边长为：
∵直角三角形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式， 自由地从横放变换到竖放，
∴该正方形的边长不小于，
∵
∴该正方形边长的最小整数n为6，故甲的思路正确；斜边最长，只要斜边能通过就可以，n＝6；
乙的思路与计算都错误， 图示情况不是最长；
故正确答案是： B
【分析】 两直角边长分别为2，5的直角三角形，可得斜长为 ；由直角三角形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于， 进而可得正方形边 长的最小整数n的值.
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由题意知，，，
为等边三角形，，②正确，
又 ，，
，
①正确，，
又，
在中三边长为3、4、5，这是一组勾股数，所以 为直角三角形
= ，③错误.
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，如图所示：
同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，
∴，故④正确；
故答案为：B.
【分析】易得AP=AP'，∠PAP'=60°，故△APP'是等边三角形，得PP'=PA=3，据此可判断②；易得∠BAP=∠CAP'=60°，用SAS证△ABP≌△AP'C，根据旋转的性质可判断①；由全等三角形性质得P'C=PB=4，利用勾股定理的逆定理判断出△PP'C是直角三角形，根据结合三角形面积计算公式计算可判断③；将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，进而根据结合三角形面积计算公式进行计算可判断④.
7．【答案】A
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，
则A'（3，3），B'（1，4），C'（1，2），
∴直线A'B'的解析式为y=-x+，直线A'C'的解析式为y=x+，
设直线x=2与△A'B'C'的边交于点D、E，
令x=2，y=-x+=，y=x+=，
∴当点M（2，m）在线段DE上（不含端点）时， 故答案为：A.
【分析】作出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的图形△A'B'C'，然后利用待定系数法求出直线A'B'和直线A'C'的解析式，设直线x=2与△A'B'C'的边交于点D、E，然后求出当x=2时两个一次函数值，端点除外，即可得到求出m的范围.
8．【答案】D
【知识点】图形的旋转；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意可得，每次旋转的r=，总运动轨迹的长度为3（++）
第一次将△DEF以点F为中心旋转至△D1E1F时 ，，
第二次将△D1E1F以点D1为中心旋转至△D1E2F1时，，
第三次将△D1E2F1以点E2为中心旋转至△D2E2F2时，，
所以运动轨迹的长度为，
故答案为：D.
【分析】找规律，分析总路径为3（++），然后找到每一次旋转的旋转半径，旋转中心和旋转角，从而解出此题.
9．【答案】
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，取AC的中点，连接OD，BD，BC，则OD=CD=AD=AC=，
由旋转知：∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴BD⊥AC，BC=AC=1，
∴BD==，
∵OB≥BD-OD=-，
∴当B、O、D三点共线时，OB值最小，最小值为OB=BD-OD=-=.
故答案为：.
【分析】取AC的中点，连接OD，BD，BC，由旋转的性质可得△ABC为等边三角形，由OB≥BD-OD，可知当B、O、D三点共线时，OB值最小，最小值为OB=BD-OD，据此求解即可.
10．【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当顺时针旋转时，过点B作于点B，交直线于点P，过P做轴。
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线与x轴，y轴分别相交于两点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线的解析式为，
故点；
当逆时针旋转时，
延长，交直线于点E，
过点E作轴于点F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线与x轴，y轴分别相交于两点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线的解析式为，
故点；
故答案为：或
【分析】根据旋转的性质，三角形全等的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点结合题意分类讨论，进而即可求解。
11．【答案】6或10﹣2
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】
解：如图1，点E落在AB边上，作AF⊥BC于点F，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，
∴BF＝CF＝BC＝8，
∵BD＝AB＝10，
∴DF＝BD﹣BF＝10﹣8＝2，∠BAD＝∠BDA，
作DG⊥AB于点G，则∠AGD＝∠DFA＝90°，
在△AGD和△DFA中，
，
∴△AGD≌△DFA（AAS），
∴AG＝DF＝2，
由旋转得ED＝AD，
∴EG＝AG＝2，
∴BE＝AB﹣AG﹣EG＝10﹣2﹣2＝6；
如图2，点E落在BC边上，作AF⊥BC于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，
∴AF＝＝6，
∴AD＝＝2，
由旋转得ED＝AD＝2，
∴BE＝BD﹣ED＝10﹣2；
∵CD＝BC﹣BD＝16﹣10＝6，且2＞6，
∴ED＞CD，
∴点E不能落在AC边上，
综上所述，BE的长为6或10﹣2，
故答案为：6或10﹣2．
【分析】分三种情况讨论，（1）当点E落在AB边上，作AF⊥BC于点F，由等腰三角形的性质得BF＝CF＝8，DF＝2，作DG⊥AB于点G，再证明△AGD≌△DFA，得AG＝DF＝2，由旋转得ED＝AD，则EG＝AG＝2，此时BE＝6；
（2）当点E落在BC边上，作AF⊥BC于点F，由勾股定理求得AF＝6，AD＝2，由旋转得ED＝AD＝2，此时BE＝10﹣2；
（3）由CD＝6，且2＞6，得ED＞CD，因此点E不能落在AC边上，综合三种情况即可得到答案．
12．【答案】24
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由图3得，当点D在点O的右侧时，即D1位置时，点B与点E的距离为BE1，
由图4得，当点D在点O的左侧时，即D2位置时，点B与点E重合，即E2位置，
∴BE1=OD1+OD2=2OD2，
∵AD2-AC1=50mm，
∴（AO-OD2）-（AO-OC1）=50mm，
∴OC1-OD2=50mm，
∴OC1=（OD2+50）mm，
∵CD=OC+OD=OC1+OD1，
∴CD=OC1+OD2=（OD2+50）+OD2=74mm，
∴2OD2=24mm，
∴BE1=24mm，
故答案为：24.
【分析】结合图形得出：当点D在点O的右侧时，即D1位置时，点B与点E的距离为BE1，当点D在点O的左侧时，即D2位置时，点B与点E重合，即E2位置，得出BE1=OD1+OD2=2OD2，再由图形中线段间的关系得出CD=OC1+OD2=（OD2+50）+OD2=74mm，从而得出2OD2=24mm，即可得出BE1=24mm.
13．【答案】解：（1） 是以 为斜边的直角三角形.
（2） 如图所示.
先将 绕点 逆时针旋转 到达 ，点 ；再将 绕点 逆时针旋转 到达 ，点 ， 连接 ，即可得到 ；
（3）点 .
（4）如图，取格点 （1，0），作直线 ，取格点 （4，-2），连接 交 于点 ，点 即为所求作.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；作图﹣轴对称；作图﹣旋转；尺规作图-垂线
【解析】【解答】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是以 为斜边的直角三角形.
（3）解：如图，过点 作直线 交 轴于点 ，由图可知：点 .
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标结合两点间距离公式求出AB、AC、BC的值，然后利用勾股定理逆定理进行判断；
（2）将AB绕点B逆时针旋转2α到达BA1，将CB绕点B逆时针旋转2α到达BC1，据此可得点A1、C1的坐标，连接A1C1即可得到△A1BC1；
（3）过点C1作直线C1G⊥AB交y轴于点G，由图形可得点G的坐标；
（4）取格点T（1，0），作直线TC1，取格点P（4，-2），连接OP交TC1于点D，点D即为所求作.
14．【答案】（1）25
（2）解：∵是的角平分线，
即；
（3）或
【知识点】角的运算；角平分线的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）∵∠BOC=65°，
∴∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°，
故答案为：25；
（3）当在左边时，
当在右边时，
，
，
∴的度数为或．
【分析】（1）观察图形，根据∠MOC=∠MON-∠BOC计算求解即可；
（2）根据角平分线求出∠MOB=130°，再求出∠BON和∠CON的度数，最后计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，根据旋转计算求解即可。
15．【答案】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时旋转角为．
②
（2）解：小组长猜想是正确的，理由如下：
过点B作于N，过点E作于M，如图3，
∵，
∴，
∴，
∵于N，于M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】
（1） ② 解：∵∠B=α，∠ACB=90°
∴ ∠CAD=90°-α
由旋转得CA=CD，
∴∠ADC=CAD=90°-α
∴∠ACD=180°-2∠CAD
∴ 旋转角=2α
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质（两锐角互余）等知识，熟悉其性质是关键。
（1）① 根据直角三角形性质得∠CAD，根据旋转性质得CA=CD得∠ADC=∠CAD，可得旋转角；②利用 ①的方法求解；
（2）过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M ，用AAS证明得BN=EM， 根据及CD=AC，可证
16．【答案】（1）解：结论：BD=CE
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=60°，
∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴AD=AE，∠DAC+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=60°，
∵ 将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE ，
∴AD=AE，∠DAE=60°=∠DAC+∠EAC，
∴∠BAD=∠EAC，△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AEB=60°，
∴∠ADB=180°-∠ADE=180°-60°=120°，
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC=∠ADB=120°
∴∠BEC=120°-∠AED=120°-60°=60°，
∴∠AED=∠BEC，
∴EB平分∠AEC
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：当AD⊥BC时，AD最短，此时△DEC的周长最小，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD=BC=1，∠DAC=∠BAC=×60°=30°，
∴，
∵ 将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=60°-30°=30°，
∴∠DAC=∠CAE，
在△DAC和△EAC中
∴△DAC≌△EAC（SAS）
∴DC=CE=1，
∴△DEC的周长最小值为
故答案为：
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=60°，利用旋转的性质可得到AD=AE，∠DAC+∠CAE=60°，由此可推出∠BAD=∠CAE；利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到BD与CE的数量关系.
（2）利用等边三角形的性质可证得∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=60°，利用旋转的性质可得到AD=AE，∠DAC+∠CAE=60°，由此可推出∠BAD=∠CAE，同时可证得△ADE是等边三角形，据此可求出∠ADE=∠AEB=60°，∠ADB=120°；利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到∠AEC=∠ADB=120°，可求出∠BEC的度数，可推出∠AED=∠BEC，利用角平分线的定义可证得结论.
（3）当AD⊥BC时，AD最短，此时△DEC的周长最小，连接AE，利用等边三角形的性质可求出BD的长，∠DAC的度数，利用勾股定理求出AD的长；利用旋转的性质可得到AD=DE，∠ADE=60°，利用等边三角形的判定和性质可求出∠EAC的度数，可推出∠DAC=∠CAE，利用SAS证明△DAC≌△EAC，利用全等三角形的性质可求出CE的长，即可求出△DEC的周长最小值.
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）3.2图形的旋转 同步练习
一、选择题
1．（2023七上·信都月考）网格图中所给图形绕点顺时针旋转，旋转次后可以与原图形重合，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵网格图中所给图形绕点顺时针旋转， 且一周360°，
∴网格图中所给图形绕点顺时针旋转360°÷90°=4次为一周，
∴至少旋转4次后可以与原图形重合 ，
即的最小值是4.
故答案为：C.
【分析】网格图中所给图形绕点顺时针旋转， 且一周360°，则旋转360°÷90°=4次为一周，据此即得n的最小值.
2．（2023九上·楚雄期中）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣2，3），B（2，3），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（﹣2，7） B．（7，2）
C．（2，﹣7） D．（﹣7，﹣2）
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索图形规律
【解析】【解答】解： 将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴旋转4次一个循环，
∵2023÷4=505···3，
∴ 第2023次旋转结束时，点D落在第三象限，
故答案为：D.
【分析】 将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知旋转4次一个循环，据此解答即可.
3．（2023九上·深圳月考）如图所示，矩形ABOC的顶点O（0，0），A（－2，2），对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第74次旋转后点P的落点坐标为（ ）
A．(1，) B．（2，0） C．(1，-) D．(，-1)
【答案】D
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABOC为矩形， 对角线交点为P，
∴AP = OP，即点P为OA的中点.
∵O（0，0），A（－2，2），
∴点P的坐标为（－，1）.
∵若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，360°÷90°=4，
∴点P的坐标每4次为一个循环.
∵74÷4=18......2，
∴第74次旋转后的点P74与点2次旋转后的点P2重合.
∵当P旋转2次，即旋转180°时，P与P2关于原点对称，
∴点P2的坐标为（，-1）.
∴第74次旋转后点P的落点坐标为（，-1）.
故答案为：D.
【分析】首先根据矩形的性质和中点坐标的性质，得点P的坐标，然后根据旋转的性质，判断循环数，进而得到第74次旋转后点P的落点坐标与点P2重合，最后根据P与P2关于原点对称，即可得到结
4．（2023七下·丰台期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转90°的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第2023秒时点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；图形的旋转
【解析】【解答】解：第1秒时，OP=1，此时OA在y轴的负半轴上，P（0，-1），
第2秒时，OP=2，此时OA在x轴的负半轴上，P（-1，0），
第3秒时，OP=3，此时OA在y轴的正半轴上，P（0，3），
第4秒时，OP=4，此时OA在x轴的正半轴上，P（0，4），
第5秒时，OP=3，此时OA在y轴的负半轴上，P（0，-3），
第6秒时，OP=2，此时OA在x轴的负半轴上，P（0，-2），
第7秒时，OP=1，此时OA在y轴的正半轴上，P（0，1），
第8秒时，OP=0，此时OA在x轴的正半轴上，P（0，0），
第9秒时，OP=1，此时OA在y轴的负半轴上，P（0，-1），
∴点P的坐标每8秒一个循环，
2023÷8=252······7，
∴第2023秒时点的坐标与第7秒时点P的坐标相同，即为P2023（0，1），
故答案为：D.
【分析】分别求出第1~第8秒时点P的坐标，据此可得点P的坐标每8秒一个循环，从而求解即可.
5．（2023八下·雄县期中）对于题目：如图1，平面上，正方形内有一个两直角边长分别为2，5的直角三角形，它可以在正方形的内部及边界通过“移转（即平移或旋转）”的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数值n．甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数值n．
甲：如图2，当x为直角三角形斜边长时就可移转过去，结果取．
乙：如图3，当x为直角三角形的两条直角边之和的倍时就可移转过去，结果取．
下列说法正确的是（ ）
A．甲的思路对，但他的n值错 B．甲的思路和他的n值都对
C．乙的思路对，但他的n值错 D．甲和乙的思路都错
【答案】B
【知识点】无理数的估值；勾股定理；平移的性质；旋转的性质
【解析】【解答】
解：∵直角三角形边长分别为2，5，
∴直角三角形的斜边长为：
∵直角三角形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式， 自由地从横放变换到竖放，
∴该正方形的边长不小于，
∵
∴该正方形边长的最小整数n为6，故甲的思路正确；斜边最长，只要斜边能通过就可以，n＝6；
乙的思路与计算都错误， 图示情况不是最长；
故正确答案是： B
【分析】 两直角边长分别为2，5的直角三角形，可得斜长为 ；由直角三角形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于， 进而可得正方形边 长的最小整数n的值.
6．（2023·仙桃模拟）如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，.下列结论中正确的是（ ）
①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由题意知，，，
为等边三角形，，②正确，
又 ，，
，
①正确，，
又，
在中三边长为3、4、5，这是一组勾股数，所以 为直角三角形
= ，③错误.
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，如图所示：
同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，
∴，故④正确；
故答案为：B.
【分析】易得AP=AP'，∠PAP'=60°，故△APP'是等边三角形，得PP'=PA=3，据此可判断②；易得∠BAP=∠CAP'=60°，用SAS证△ABP≌△AP'C，根据旋转的性质可判断①；由全等三角形性质得P'C=PB=4，利用勾股定理的逆定理判断出△PP'C是直角三角形，根据结合三角形面积计算公式计算可判断③；将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，进而根据结合三角形面积计算公式进行计算可判断④.
7．（2021九上·温岭期中）在平面直角坐标系中，点A（-3，3），B（-4，1），C（-2，1），点M（2，m）绕坐标原点O逆时针旋转90°后，恰好落在△ABC内部（不包括边界），则m的取值范围为（ ）
A． C． 【答案】A
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，
则A'（3，3），B'（1，4），C'（1，2），
∴直线A'B'的解析式为y=-x+，直线A'C'的解析式为y=x+，
设直线x=2与△A'B'C'的边交于点D、E，
令x=2，y=-x+=，y=x+=，
∴当点M（2，m）在线段DE上（不含端点）时， 故答案为：A.
【分析】作出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的图形△A'B'C'，然后利用待定系数法求出直线A'B'和直线A'C'的解析式，设直线x=2与△A'B'C'的边交于点D、E，然后求出当x=2时两个一次函数值，端点除外，即可得到求出m的范围.
8．（2023·贺州模拟）将边长为3的等边三角形和另一个边长为1的等边三角形如图放置（EF在边上，且点E与点B重合）．第一次将以点F为中心旋转至，第二次将以点为中心旋转至的位置，第三次将以点为中心旋转至的位置，…，按照上述办法旋转，直到再次回到初始位置时停止，在此过程中的内心O点运动轨迹的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形的旋转；探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意可得，每次旋转的r=，总运动轨迹的长度为3（++）
第一次将△DEF以点F为中心旋转至△D1E1F时 ，，
第二次将△D1E1F以点D1为中心旋转至△D1E2F1时，，
第三次将△D1E2F1以点E2为中心旋转至△D2E2F2时，，
所以运动轨迹的长度为，
故答案为：D.
【分析】找规律，分析总路径为3（++），然后找到每一次旋转的旋转半径，旋转中心和旋转角，从而解出此题.
二、填空题
9．（2024九上·鹿寨期末）如图，点A，C分别是y轴，x轴正半轴上的动点，，将线段绕点A顺时针旋转60°得到线段，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，取AC的中点，连接OD，BD，BC，则OD=CD=AD=AC=，
由旋转知：∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴BD⊥AC，BC=AC=1，
∴BD==，
∵OB≥BD-OD=-，
∴当B、O、D三点共线时，OB值最小，最小值为OB=BD-OD=-=.
故答案为：.
【分析】取AC的中点，连接OD，BD，BC，由旋转的性质可得△ABC为等边三角形，由OB≥BD-OD，可知当B、O、D三点共线时，OB值最小，最小值为OB=BD-OD，据此求解即可.
10．（2023八上·青羊月考）如图，直线与x轴，y轴分别相交于两点，若将直线绕点A旋转与y轴交于点C，则点C的坐标为 ．
【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当顺时针旋转时，过点B作于点B，交直线于点P，过P做轴。
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线与x轴，y轴分别相交于两点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线的解析式为，
故点；
当逆时针旋转时，
延长，交直线于点E，
过点E作轴于点F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线与x轴，y轴分别相交于两点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线的解析式为，
故点；
故答案为：或
【分析】根据旋转的性质，三角形全等的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点结合题意分类讨论，进而即可求解。
11．（2023九上·松江期中）如图，在中，，，点在边上，且，将绕点旋转，使点的对应点落在的边上，则的长为 ．
【答案】6或10﹣2
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】
解：如图1，点E落在AB边上，作AF⊥BC于点F，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，
∴BF＝CF＝BC＝8，
∵BD＝AB＝10，
∴DF＝BD﹣BF＝10﹣8＝2，∠BAD＝∠BDA，
作DG⊥AB于点G，则∠AGD＝∠DFA＝90°，
在△AGD和△DFA中，
，
∴△AGD≌△DFA（AAS），
∴AG＝DF＝2，
由旋转得ED＝AD，
∴EG＝AG＝2，
∴BE＝AB﹣AG﹣EG＝10﹣2﹣2＝6；
如图2，点E落在BC边上，作AF⊥BC于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，
∴AF＝＝6，
∴AD＝＝2，
由旋转得ED＝AD＝2，
∴BE＝BD﹣ED＝10﹣2；
∵CD＝BC﹣BD＝16﹣10＝6，且2＞6，
∴ED＞CD，
∴点E不能落在AC边上，
综上所述，BE的长为6或10﹣2，
故答案为：6或10﹣2．
【分析】分三种情况讨论，（1）当点E落在AB边上，作AF⊥BC于点F，由等腰三角形的性质得BF＝CF＝8，DF＝2，作DG⊥AB于点G，再证明△AGD≌△DFA，得AG＝DF＝2，由旋转得ED＝AD，则EG＝AG＝2，此时BE＝6；
（2）当点E落在BC边上，作AF⊥BC于点F，由勾股定理求得AF＝6，AD＝2，由旋转得ED＝AD＝2，此时BE＝10﹣2；
（3）由CD＝6，且2＞6，得ED＞CD，因此点E不能落在AC边上，综合三种情况即可得到答案．
12．（2023八上·龙湾开学考）如图1，一款暗插销由外壳AB，开关CD，其工作原理如图2，开关CD绕固定点O转动，此时连接点D在线段AB上，如D1位置．开关CD绕点O顺时针旋转180°后得到C2D2，锁芯弹回至D2E2位置（点B与点E2重合），此时插销闭合如图4．已知CD＝74mm，AD2-AC1＝50mm，则BE1＝ mm．
【答案】24
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由图3得，当点D在点O的右侧时，即D1位置时，点B与点E的距离为BE1，
由图4得，当点D在点O的左侧时，即D2位置时，点B与点E重合，即E2位置，
∴BE1=OD1+OD2=2OD2，
∵AD2-AC1=50mm，
∴（AO-OD2）-（AO-OC1）=50mm，
∴OC1-OD2=50mm，
∴OC1=（OD2+50）mm，
∵CD=OC+OD=OC1+OD1，
∴CD=OC1+OD2=（OD2+50）+OD2=74mm，
∴2OD2=24mm，
∴BE1=24mm，
故答案为：24.
【分析】结合图形得出：当点D在点O的右侧时，即D1位置时，点B与点E的距离为BE1，当点D在点O的左侧时，即D2位置时，点B与点E重合，即E2位置，得出BE1=OD1+OD2=2OD2，再由图形中线段间的关系得出CD=OC1+OD2=（OD2+50）+OD2=74mm，从而得出2OD2=24mm，即可得出BE1=24mm.
三、作图题
13．（2021·蔡甸模拟）如图，在下列 的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点， 的顶点的坐标分别为 ， ， .
⑴直接写出 的形状；
⑵要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将 绕点 逆时针旋转角度 得到 ，其中 ， ， 的对应点分别为 ， ，请你完成作图；
⑶在网格中找一个格点 ，使得 ，并直接写出 点的坐标；
⑷作点 关于 的对称点 .
【答案】解：（1） 是以 为斜边的直角三角形.
（2） 如图所示.
先将 绕点 逆时针旋转 到达 ，点 ；再将 绕点 逆时针旋转 到达 ，点 ， 连接 ，即可得到 ；
（3）点 .
（4）如图，取格点 （1，0），作直线 ，取格点 （4，-2），连接 交 于点 ，点 即为所求作.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；作图﹣轴对称；作图﹣旋转；尺规作图-垂线
【解析】【解答】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是以 为斜边的直角三角形.
（3）解：如图，过点 作直线 交 轴于点 ，由图可知：点 .
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标结合两点间距离公式求出AB、AC、BC的值，然后利用勾股定理逆定理进行判断；
（2）将AB绕点B逆时针旋转2α到达BA1，将CB绕点B逆时针旋转2α到达BC1，据此可得点A1、C1的坐标，连接A1C1即可得到△A1BC1；
（3）过点C1作直线C1G⊥AB交y轴于点G，由图形可得点G的坐标；
（4）取格点T（1，0），作直线TC1，取格点P（4，-2），连接OP交TC1于点D，点D即为所求作.
四、解答题
14．（2023七上·石家庄期中）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．
（1）如图1，将三角板的一边与射线重合时，则 ；
（2）如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数和的度数；
（3）将三角板绕点逆时针旋转过程中，当时，直接写出的度数．
【答案】（1）25
（2）解：∵是的角平分线，
即；
（3）或
【知识点】角的运算；角平分线的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）∵∠BOC=65°，
∴∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°，
故答案为：25；
（3）当在左边时，
当在右边时，
，
，
∴的度数为或．
【分析】（1）观察图形，根据∠MOC=∠MON-∠BOC计算求解即可；
（2）根据角平分线求出∠MOB=130°，再求出∠BON和∠CON的度数，最后计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，根据旋转计算求解即可。
15．（2023九上·仪陇期中）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
如下图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中．若固定，将绕点C旋转．
（1）当绕点C旋转到点D恰好落在边上时，如下图．
①当时，求此时旋转角的大小；
②当时，直接写出此时旋转角的大小(用含α的式子表示)．
（2）当绕点C旋转到如下图所示的位置时，小组长猜想：的面积与的面积相等，试判断小组长的猜想是否正确，若正确，请你证明小组长的猜想．若不正确，请说明理由．
【答案】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时旋转角为．
②
（2）解：小组长猜想是正确的，理由如下：
过点B作于N，过点E作于M，如图3，
∵，
∴，
∴，
∵于N，于M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】
（1） ② 解：∵∠B=α，∠ACB=90°
∴ ∠CAD=90°-α
由旋转得CA=CD，
∴∠ADC=CAD=90°-α
∴∠ACD=180°-2∠CAD
∴ 旋转角=2α
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质（两锐角互余）等知识，熟悉其性质是关键。
（1）① 根据直角三角形性质得∠CAD，根据旋转性质得CA=CD得∠ADC=∠CAD，可得旋转角；②利用 ①的方法求解；
（2）过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M ，用AAS证明得BN=EM， 根据及CD=AC，可证
16．（2023八下·深圳期末）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE.
（1）【猜想证明】
试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；
（2）【探究应用】
如图2，点D为等边内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分；
（3）【拓展提升】
如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE.点D在运动过程中，的周长最小值= （直接写答案）
【答案】（1）解：结论：BD=CE
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=60°，
∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴AD=AE，∠DAC+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=60°，
∵ 将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE ，
∴AD=AE，∠DAE=60°=∠DAC+∠EAC，
∴∠BAD=∠EAC，△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AEB=60°，
∴∠ADB=180°-∠ADE=180°-60°=120°，
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC=∠ADB=120°
∴∠BEC=120°-∠AED=120°-60°=60°，
∴∠AED=∠BEC，
∴EB平分∠AEC
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：当AD⊥BC时，AD最短，此时△DEC的周长最小，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD=BC=1，∠DAC=∠BAC=×60°=30°，
∴，
∵ 将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=60°-30°=30°，
∴∠DAC=∠CAE，
在△DAC和△EAC中
∴△DAC≌△EAC（SAS）
∴DC=CE=1，
∴△DEC的周长最小值为
故答案为：
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=60°，利用旋转的性质可得到AD=AE，∠DAC+∠CAE=60°，由此可推出∠BAD=∠CAE；利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到BD与CE的数量关系.
（2）利用等边三角形的性质可证得∴AB=AC，∠BAD+∠DAC=60°，利用旋转的性质可得到AD=AE，∠DAC+∠CAE=60°，由此可推出∠BAD=∠CAE，同时可证得△ADE是等边三角形，据此可求出∠ADE=∠AEB=60°，∠ADB=120°；利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到∠AEC=∠ADB=120°，可求出∠BEC的度数，可推出∠AED=∠BEC，利用角平分线的定义可证得结论.
（3）当AD⊥BC时，AD最短，此时△DEC的周长最小，连接AE，利用等边三角形的性质可求出BD的长，∠DAC的度数，利用勾股定理求出AD的长；利用旋转的性质可得到AD=DE，∠ADE=60°，利用等边三角形的判定和性质可求出∠EAC的度数，可推出∠DAC=∠CAE，利用SAS证明△DAC≌△EAC，利用全等三角形的性质可求出CE的长，即可求出△DEC的周长最小值.
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