【培优卷】2024年北师大版数学八（下）第三章图形的平移与旋转 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个是正确的）
1．（2020·烟台）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可．
2．下列图案中，不能由一个图形通过旋转而形成的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用轴对称设计图案；图形的旋转
【解析】【解答】解：选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到．选项C是轴对称图形，不能旋转得到．
故答案为：C.
【分析】利用旋转设计图案的关键是旋转三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）；根据旋转三要素进行分析即可得出选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到的；根据如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形可得选项C是轴对称图形；即可得出答案.
3．（2023·郴州）下列图形中，能由图形通过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由题意得能由图形通过平移得到，
故答案为：B
【分析】根据平移的性质结合题意即可求解。
4．（2021·集美模拟）下列各组图形中，△ A'B'C'与 △ABC 成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是平移变换，故本选项错误；
B、△ A'B'C'与△ABC成轴对称，故本选项错误；
C、是旋转变换，故本选项错误；
D、△A'B'C'与△ABC成中心对称，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据中心对称，轴对称，平移和旋转的性质对各选项分析判断即可得解.
5．（2021七上·新泰期中）如图，在 的正方形网格中，有5个小正方形已被涂黑（图中阴影部分），若在其余网格中再涂黑一个小正方形，使它与5个已被涂黑的小正方形组成的新图形是一个轴对称图形，则可涂黑的小正方形共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图所示，共有4种涂黑的方法，即可涂黑的小正方形共有4个．
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的特征作出图形即可得到答案。
6．如图，将网格中的三条线段沿网格线的方向(水平或竖直)平移后组成一个首尾依次相接的三角形，至少需要移动 （ ）
A．12格 B．11格 C．9 格 D．8格
【答案】C
【知识点】作图﹣平移
【解析】【解答】解：如图，
先将左边的线段向右平移3格；再将中间的线段向下平移2格；最后将右边的线段向左平移2格，再向上平移2格，即可得到一个三角形，这种平移方法平移的格数最少，
∴至少需要移动3+2+2+2=9格.
故答案为：C.
【分析】本题考查由图形平移产生的计算，要使平移的格数最少，可将它们朝同一目标共同移动，此时需要平移的格数最少.
7．下列图形中，周长最长的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：A、周长大于12cm，
B、周长为，
C、周长为
D、周长为
故答案为：A.
【分析】通过平移可得，B、C、D选项中图形的周长都等于长是4厘米，宽是2厘米的长方形的周长，A选项中的图形的周长等于长是4厘米，宽是2厘米的长方形的周长加上中间两条竖直线段的长度，所以A选项中的图形的周长最长.
8．（2024九上·衡阳期末）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，将△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A′OB′，旋转角为α．若点A′落在AB上，则旋转角α的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转性质知：OA=OA'，
又∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A=60°，
∴△OAA'是等边三角形，
∴∠AOA'=60°，即旋转角α =60°。
故答案为：C。
【分析】由旋转性质知OA=OA'，从而得出△OAA'是等边三角形，即可得出旋转角为60°。
9．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，把三角形ABC沿射线 BC 的方向平移2.5cm 后得到三角形DEF，连结AE，AD.有以下结论：①AC∥DF；②AD∥BE；③CF=2.5cm；④DE⊥AC.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行线的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC沿着直线BC方向向右平移2.5cm后得到△DEF，
∴AC∥DF，AD∥BE，故①②正确；
AD=BE=CF=2.5cm，故③正确；
∠EDF=∠BAC=90°，
∴DE⊥DF，
而AC∥DF，
∴DE⊥AC，故④正确；
故答案为：D.
【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等可得AC∥DF，AD∥BE，AD=BE=CF=2.5cm，∠EDF=∠BAC=90°，则可对①②③进行判断；结合∠EDF=90°，则DE⊥DF，然后根据两直线平行，同位角相等可得DE⊥AC，则可对④进行判断.
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点.以点为旋转中心，把点按逆时针方向旋转，得到点.在，四个点中，直线PB经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A（4，2），点P（0，2），
∴PA⊥y轴，PA＝4，
由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，
如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∴∠BPC＝30°，
∴BC＝2，PC＝2，
∴B（2，2+2），
设直线PB的解析式为：y＝kx+b，
，
∴，
∴直线PB的解析式为：yx+2，
当y＝0时x+2＝0，x，
∴点M1（，0）不在直线PB上，
当x时，y＝﹣3+2＝﹣1，
∴M2（，﹣1）在直线PB上，
当x＝1时，y2，
∴M3（1，4）不在直线PB上，
当x＝2时，y＝22，
∴M4（2，）不在直线PB上，
故答案为：B．
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2），然后利用待定系数法可得直线PB的解析式，再依次分别将M1，M2，M3，M4四个点的横坐标代入yx+2中求出纵坐标的值，然后比较即可解答．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2023九上·吉林期中）如图，△AOB与△OOD关于点O成中心对称，已知∠BAO=90°，AB=4，AO=3，则AD的长为
【答案】
【知识点】勾股定理；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵△AOB与△COD关于点O成中心对称，
∴△AOB≌△COD
∴ AO=CO=3， AB=CD=4，∠BAO=∠DCO=90°
∴ AC=6
∴ AD=
∴ AD=
故答案为：.
【分析】本题考查中心对称图形的性质，熟悉性质，结合全等的性质是关键。根据 △AOB与△COD关于点O成中心对称得 △AOB≌△COD得 AO=CO=3，AB=CD=4，∠BAO= ∠DCO=90°，得 AC=6，结合勾股定理得 AD==.
12．（2018-2019学年数学人教版九年级上册23.1 图形的旋转（3） 同步练习 ）如图，正方形ABCD可以看作由什么“基本图形”经过怎样的变化形成的？ ．
【答案】把△ABO绕O点连续旋转90°，180°，270°可以得到正方形ABCD
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】观察图形可知把△ABO绕O点连续旋转90°，180°，270°可以得到正方形ABCD．
故答案为：把△ABO绕O点连续旋转90°，180°，270°可以得到正方形ABCD
【分析】旋转的性质：①旋转后的每一点都绕着旋转中心，旋转了同样大小的角度；②旋转后的图形与原来图形的形状与大小都没有发生变化，③旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；④对应点到旋转中心的连线所成的角相等．观察图形，回想正方形的特性； 根据旋转变换图形的性质即可得出答案．
13．（2023七下·潮南期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： ∵点A平移后的对应点D的坐标为，
∴沿轴向右平移3个单位得到，
∵B（4，0），
∴E（4+3，0），即（7，0）；
故答案为：（7，0）.
【分析】由点A平移后的对应点D的坐标为，确定 平移的方向和距离，利用B的坐标，从而确定点E的坐标.
14．（2023八上·佳木斯开学考）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，-1），P5（2，-1），P6（2，0）…，则点P2023的坐标是 ．
【答案】（674，1）
【知识点】点的坐标；探索图形规律；用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 经观察发现，动点从原点出发，依次得到 P1 ， P2 ， P3 ，…到 P6 又回到x轴，每6个为一个循环，2023÷6=337余1，
∵P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+1（2n，1），
∴P6×337（2×337，0），
∴P2023（674，1）.
故答案为：（674，1）.
【分析】先经观察，找出规律，再按规律求解.
15．（2023七下·霍邱期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
【答案】30°或45°或75°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】①当A'C//AB时，如图所示：
∵∠BAC=45°，
∴∠A'CA=∠BAC=45°；
②当A'D'//AC时，
∵∠A'=30°，
∴∠A'CA=∠A'=30°；
③当A'D'//AB时，如图所示：
过点C作CD//AB，则CD//AB//A'D'，
∴∠A=∠ACD，∠A'=∠A'CD，
∴∠A'CA=∠ACD+∠A'CD=∠A+∠A'=75°；
综上所示，当∠A'CA的度数为30°或45°或75°时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
故答案为：30°或45°或75°.
【分析】分类讨论：①当A'C//AB时，②当A'D'//AC时，③当A'D'//AB时，再分别求解即可.
三、作图题（共3题，共20分）
16．（2023七下·江岸期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．三角形中任意一点经过平移变换后对应点，将三角形作同样的平移变换得到三角形．（点、、的对应点分别是点、、）
（1）画出平移后的三角形；
（2）连接，，则 ；
（3）为轴上一动点，当最小时，画出点并直接写点的坐标 ▲ ．
【答案】（1）解：平移后的对应点，
点P的平移方式为：横坐标向右平移5个单位长度，纵坐标向上平移3个单位长度，
由直角坐标系可知，、、，
三角形作同样的平移变换得到三角形，
、、，
即为所求；
（2）360°
（3）解：连接、，
由两点间线段最短可知，与轴交点即为点Q；．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）如图
由平移的性质可得：AA1∥CC1，
∴∠CAA1+∠ACC1=180°，
∴∠A1AB+∠ABC+∠BCC1
=（∠CAA1+∠ACC1）+（∠CAB+∠ABC+∠BCA）
=360°，
故答案为：360°；
（3） 设直线BC1函数表达式为y=kx+b，
∵B（-4，-1），C1（7，3），
∴，解得
∴直线BC1函数表达式为，
取y=0，得，解得，
∴．
【分析】（1）根据平移后的对应点，确定平移的方向和距离，再将A、B、C三点分别平移
到 A1， B1， C1，再顺次连接即可；
（2）利用三角形的内角和定理和平行线的性质求解；
（3）依据两点之间线段最短，可知当点Q在BC1与x轴交点BQ+C1Q时最小，先求出BC1的函数表达式，再求得它与x轴的交点即可.
17．（2021·武汉模拟）如图是由边长为 的小正方形构成的网格.每个小正方形的顶点叫做格点. 的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）将边 绕点 逆时针旋转 得到线段 ；
（2）画 的高 ；
（3）将点 竖直向下平移 个单位长度得到点 ，画出点 ；
（4）画线段 关于直线 的对称线段 .
【答案】（1）解：如图，取BT=2， ，则线段 即为所求作.
（2）解：如图，取AR=3，RW=2，连接AW交BC于点D，则线段AD即为所求作.
（3）解：如图，取BM=3，CN=3，AP=3，NQ=3，连接MN，PQ，二线交于 ，则点 即为所求作.
（4）解：如图，
取B =2，格点K，H，作直线 ，HK，二线交于 ，则点 即为所求作.
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质，将线段AB绕着点B逆时针旋转90°，可得到点A的对称点A'，即可画出线段BA'；
（2）取AR=3，RW=2，连接AW交BC于点D，可得到△ABC的高；
（3）取BM=3，CN=3，AP=3，NQ=3，连接MN，PQ，二线交于D'；
（4）取B =2，格点K，H，作直线 ，HK，二线交于 ，由此可求解.
18．（2023八下·福田期末）已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）作关于点成中心对称的（点的对应点为，点的对应点为）；
（2）把向右平移3个单位，作出平移后的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为）；
（3）轴上存在点，使得的值最小，则点的坐标是
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图﹣平移
【解析】【解答】解：(3)如图，
由题意可得，，
作点关于轴的对称点，连接，
，
，
要使的值最小，则点三点在同一直线上，
与轴的交点即为点，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
故答案为：.
【分析】(1)先利用中心对称的性质找到点A、C关于点B的对称点A1、C1，再连接点B、A1、C1得到.
(2)利用平移的性质得到点A2、B2、C2，再连接点A2、B2、C2得到.
(3)本题考查的是利用将军饮马模型求线段和的最小值.先作点关于轴的对称点，由轴对称的性质可得，所以要使的值最小，则点三点在同一直线上，再利用待定系数法求得直线的解析式，进而得到点的坐标.
四、解答题（共9分）
19．（2023八上·朔州月考）在中，，，直线经过点，且于，于，
（1）当直线绕点旋转到图的位置时，求证：；
（2）当直线绕点旋转到图的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【答案】（1）证明：中，，，
又直线经过点，且于，于，
，
，
在和中，
≌，
，，
；
（2）证明：中，，直线经过点，且于，于，
，，
在和中，
而
≌，
，，
；
（3）解：、、之间的关系为．
【知识点】旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】（3）
同（2）易证得
AD=CE，DC=EB，
DE=CD-CE=EB-AD.
【分析】（1）根据 直线经过点，且于，于， 结合已知可得出 ，进一步证明≌，利用三角形全等的性质得到，，进而得出结论；
（2）根据直线经过点，且于，于，结合已知条件进一步得证≌，利用三角形全等的性质得到，，进而得出结论；
（3）同（2）易证得进而得出结论.
五、实践探究题（共3题共26分）
20．（2023七下·怀柔期末）在平面直角坐标系中，点，过点P作轴，垂足为点H，给出如下定义：将点H向右平移个单位，得到点Q，则称点Q是点P关于x轴的折对点；当时，则称d为点P关于点Q的折对距离．
（1）点关于x轴的折对点的坐标是 ，折对距离为 ；
（2）点Q是点P关于x轴的折对点，若折对点，写出一个符合条件的P点坐标；
（3）已知点，，以线段AB为边，在x轴上方作正方形，在正方形上存在点P，且点P关于点Q的折对距离，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）；
（2）解：点Q是点P关于x轴的折对点，折对点，设点Q是向右平移个单位得到的，则点P的坐标为或（答案不唯一）．
（3）
【知识点】点的坐标；平移的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵点P（2，3）， 过点P作轴，垂足为点H，
∴H（2，0），PH=3，
∵向右平移3个单位后得到的折对点坐标为（5，0），
∴折对距离为OH+PH=2+3=5，
故答案为：（5，0），5；
（3）∵点，，以线段AB为边，在x轴上方作正方形，
∴正方形ABCD的边长为1，
当点P在CD上时，点P关于点Q的折对距离d=3，t的最小值为t+1+1=3，
解得：t=1，
当点P在AB上时，点P关于点Q的折对距离为d=3，t的最大值为t+0=3，
解得：t=3，
∴t的取值范围是1≤t≤3.
【分析】（1）根据题意先求出H（2，0），PH=3，再求出OH+PH=2+3=5，即可作答；
（2）结合题意，根据折对点的定义计算求解即可；
（3）根据题意先求出正方形ABCD的边长为1，再分类讨论，列方程求解即可。
21． 知识背景：
过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分.
（1）如图1，直线m 经过 ABCD对角线的交点 O，则 (填“〉”“〈”或“=”).
（2）将两个正方形按如图2 所示的方式摆放，O为小正方形对角线的交点，作过点 O 且将整个图形分成面积相等的两部分的直线.
（3）将8个大小相同的正方形按如图3 所示的方式摆放，作将整个图形分成面积相等的两部分的直线（用三种不同的方法）.
【答案】（1）=
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（1）∵ 点O为 ABCD的对称中心，且直线m经过点O，
∴ 则；
故答案为：=；
【分析】（1） 过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分，即可求得；
（2）先找到正方形的中心，然后过中心作直线即可；
（3）先分成两个矩形，分别找到中心，过两个中心作直线即可；找到图形的对称轴.
22．（2023八下·深圳期末）问题情境：在学习图形的平移和旋转时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，点为等边的边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明；
（2）【探究应用】如图，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若、、三点共线，求证：平分；
（3）【拓展提升】如图，若是边长为的等边三角形，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接点在运动过程中，的周长最小值 直接写答案．
【答案】（1）解：，理由如下：
将线段绕点逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
；
（2）证明：将线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
，
平分；
（3）
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：(3)如图，
由旋转的性质可得，，
，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
点是线段上的动点，
当时，的周长有最小值，
是边长为的等边三角形，，
，，
，
.
故答案为：.
【分析】(1)由旋转的性质可得，，再利用等边三角形的性质得到，，进而证得，然后通过SAS判定≌得到.
(2)由旋转的性质得是等边三角形，再利用等边三角形的性质得到，，进而证得，然后通过SAS判定≌得到，从而证得平分.
(3)由旋转的性质得是等边三角形，再利用等边三角形的性质得到，，进而证得，然后通过SAS判定≌得到，进而判定当时，的周长有最小值，接着通过等边三角形的性质得到AD的长度求得周长的最小值.
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）第三章图形的平移与旋转 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个是正确的）
1．（2020·烟台）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图案中，不能由一个图形通过旋转而形成的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·郴州）下列图形中，能由图形通过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·集美模拟）下列各组图形中，△ A'B'C'与 △ABC 成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021七上·新泰期中）如图，在 的正方形网格中，有5个小正方形已被涂黑（图中阴影部分），若在其余网格中再涂黑一个小正方形，使它与5个已被涂黑的小正方形组成的新图形是一个轴对称图形，则可涂黑的小正方形共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，将网格中的三条线段沿网格线的方向(水平或竖直)平移后组成一个首尾依次相接的三角形，至少需要移动 （ ）
A．12格 B．11格 C．9 格 D．8格
7．下列图形中，周长最长的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·衡阳期末）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，将△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A′OB′，旋转角为α．若点A′落在AB上，则旋转角α的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，把三角形ABC沿射线 BC 的方向平移2.5cm 后得到三角形DEF，连结AE，AD.有以下结论：①AC∥DF；②AD∥BE；③CF=2.5cm；④DE⊥AC.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点.以点为旋转中心，把点按逆时针方向旋转，得到点.在，四个点中，直线PB经过的点是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2023九上·吉林期中）如图，△AOB与△OOD关于点O成中心对称，已知∠BAO=90°，AB=4，AO=3，则AD的长为
12．（2018-2019学年数学人教版九年级上册23.1 图形的旋转（3） 同步练习 ）如图，正方形ABCD可以看作由什么“基本图形”经过怎样的变化形成的？ ．
13．（2023七下·潮南期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为 ．
14．（2023八上·佳木斯开学考）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，-1），P5（2，-1），P6（2，0）…，则点P2023的坐标是 ．
15．（2023七下·霍邱期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
三、作图题（共3题，共20分）
16．（2023七下·江岸期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．三角形中任意一点经过平移变换后对应点，将三角形作同样的平移变换得到三角形．（点、、的对应点分别是点、、）
（1）画出平移后的三角形；
（2）连接，，则 ；
（3）为轴上一动点，当最小时，画出点并直接写点的坐标 ▲ ．
17．（2021·武汉模拟）如图是由边长为 的小正方形构成的网格.每个小正方形的顶点叫做格点. 的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）将边 绕点 逆时针旋转 得到线段 ；
（2）画 的高 ；
（3）将点 竖直向下平移 个单位长度得到点 ，画出点 ；
（4）画线段 关于直线 的对称线段 .
18．（2023八下·福田期末）已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）作关于点成中心对称的（点的对应点为，点的对应点为）；
（2）把向右平移3个单位，作出平移后的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为）；
（3）轴上存在点，使得的值最小，则点的坐标是
四、解答题（共9分）
19．（2023八上·朔州月考）在中，，，直线经过点，且于，于，
（1）当直线绕点旋转到图的位置时，求证：；
（2）当直线绕点旋转到图的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
五、实践探究题（共3题共26分）
20．（2023七下·怀柔期末）在平面直角坐标系中，点，过点P作轴，垂足为点H，给出如下定义：将点H向右平移个单位，得到点Q，则称点Q是点P关于x轴的折对点；当时，则称d为点P关于点Q的折对距离．
（1）点关于x轴的折对点的坐标是 ，折对距离为 ；
（2）点Q是点P关于x轴的折对点，若折对点，写出一个符合条件的P点坐标；
（3）已知点，，以线段AB为边，在x轴上方作正方形，在正方形上存在点P，且点P关于点Q的折对距离，直接写出t的取值范围．
21． 知识背景：
过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分.
（1）如图1，直线m 经过 ABCD对角线的交点 O，则 (填“〉”“〈”或“=”).
（2）将两个正方形按如图2 所示的方式摆放，O为小正方形对角线的交点，作过点 O 且将整个图形分成面积相等的两部分的直线.
（3）将8个大小相同的正方形按如图3 所示的方式摆放，作将整个图形分成面积相等的两部分的直线（用三种不同的方法）.
22．（2023八下·深圳期末）问题情境：在学习图形的平移和旋转时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，点为等边的边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明；
（2）【探究应用】如图，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若、、三点共线，求证：平分；
（3）【拓展提升】如图，若是边长为的等边三角形，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接点在运动过程中，的周长最小值 直接写答案．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可．
2．【答案】C
【知识点】利用轴对称设计图案；图形的旋转
【解析】【解答】解：选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到．选项C是轴对称图形，不能旋转得到．
故答案为：C.
【分析】利用旋转设计图案的关键是旋转三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）；根据旋转三要素进行分析即可得出选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到的；根据如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形可得选项C是轴对称图形；即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由题意得能由图形通过平移得到，
故答案为：B
【分析】根据平移的性质结合题意即可求解。
4．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是平移变换，故本选项错误；
B、△ A'B'C'与△ABC成轴对称，故本选项错误；
C、是旋转变换，故本选项错误；
D、△A'B'C'与△ABC成中心对称，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据中心对称，轴对称，平移和旋转的性质对各选项分析判断即可得解.
5．【答案】C
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图所示，共有4种涂黑的方法，即可涂黑的小正方形共有4个．
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的特征作出图形即可得到答案。
6．【答案】C
【知识点】作图﹣平移
【解析】【解答】解：如图，
先将左边的线段向右平移3格；再将中间的线段向下平移2格；最后将右边的线段向左平移2格，再向上平移2格，即可得到一个三角形，这种平移方法平移的格数最少，
∴至少需要移动3+2+2+2=9格.
故答案为：C.
【分析】本题考查由图形平移产生的计算，要使平移的格数最少，可将它们朝同一目标共同移动，此时需要平移的格数最少.
7．【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：A、周长大于12cm，
B、周长为，
C、周长为
D、周长为
故答案为：A.
【分析】通过平移可得，B、C、D选项中图形的周长都等于长是4厘米，宽是2厘米的长方形的周长，A选项中的图形的周长等于长是4厘米，宽是2厘米的长方形的周长加上中间两条竖直线段的长度，所以A选项中的图形的周长最长.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转性质知：OA=OA'，
又∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A=60°，
∴△OAA'是等边三角形，
∴∠AOA'=60°，即旋转角α =60°。
故答案为：C。
【分析】由旋转性质知OA=OA'，从而得出△OAA'是等边三角形，即可得出旋转角为60°。
9．【答案】D
【知识点】平行线的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC沿着直线BC方向向右平移2.5cm后得到△DEF，
∴AC∥DF，AD∥BE，故①②正确；
AD=BE=CF=2.5cm，故③正确；
∠EDF=∠BAC=90°，
∴DE⊥DF，
而AC∥DF，
∴DE⊥AC，故④正确；
故答案为：D.
【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等可得AC∥DF，AD∥BE，AD=BE=CF=2.5cm，∠EDF=∠BAC=90°，则可对①②③进行判断；结合∠EDF=90°，则DE⊥DF，然后根据两直线平行，同位角相等可得DE⊥AC，则可对④进行判断.
10．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A（4，2），点P（0，2），
∴PA⊥y轴，PA＝4，
由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，
如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∴∠BPC＝30°，
∴BC＝2，PC＝2，
∴B（2，2+2），
设直线PB的解析式为：y＝kx+b，
，
∴，
∴直线PB的解析式为：yx+2，
当y＝0时x+2＝0，x，
∴点M1（，0）不在直线PB上，
当x时，y＝﹣3+2＝﹣1，
∴M2（，﹣1）在直线PB上，
当x＝1时，y2，
∴M3（1，4）不在直线PB上，
当x＝2时，y＝22，
∴M4（2，）不在直线PB上，
故答案为：B．
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2），然后利用待定系数法可得直线PB的解析式，再依次分别将M1，M2，M3，M4四个点的横坐标代入yx+2中求出纵坐标的值，然后比较即可解答．
11．【答案】
【知识点】勾股定理；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵△AOB与△COD关于点O成中心对称，
∴△AOB≌△COD
∴ AO=CO=3， AB=CD=4，∠BAO=∠DCO=90°
∴ AC=6
∴ AD=
∴ AD=
故答案为：.
【分析】本题考查中心对称图形的性质，熟悉性质，结合全等的性质是关键。根据 △AOB与△COD关于点O成中心对称得 △AOB≌△COD得 AO=CO=3，AB=CD=4，∠BAO= ∠DCO=90°，得 AC=6，结合勾股定理得 AD==.
12．【答案】把△ABO绕O点连续旋转90°，180°，270°可以得到正方形ABCD
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】观察图形可知把△ABO绕O点连续旋转90°，180°，270°可以得到正方形ABCD．
故答案为：把△ABO绕O点连续旋转90°，180°，270°可以得到正方形ABCD
【分析】旋转的性质：①旋转后的每一点都绕着旋转中心，旋转了同样大小的角度；②旋转后的图形与原来图形的形状与大小都没有发生变化，③旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；④对应点到旋转中心的连线所成的角相等．观察图形，回想正方形的特性； 根据旋转变换图形的性质即可得出答案．
13．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： ∵点A平移后的对应点D的坐标为，
∴沿轴向右平移3个单位得到，
∵B（4，0），
∴E（4+3，0），即（7，0）；
故答案为：（7，0）.
【分析】由点A平移后的对应点D的坐标为，确定 平移的方向和距离，利用B的坐标，从而确定点E的坐标.
14．【答案】（674，1）
【知识点】点的坐标；探索图形规律；用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 经观察发现，动点从原点出发，依次得到 P1 ， P2 ， P3 ，…到 P6 又回到x轴，每6个为一个循环，2023÷6=337余1，
∵P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+1（2n，1），
∴P6×337（2×337，0），
∴P2023（674，1）.
故答案为：（674，1）.
【分析】先经观察，找出规律，再按规律求解.
15．【答案】30°或45°或75°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】①当A'C//AB时，如图所示：
∵∠BAC=45°，
∴∠A'CA=∠BAC=45°；
②当A'D'//AC时，
∵∠A'=30°，
∴∠A'CA=∠A'=30°；
③当A'D'//AB时，如图所示：
过点C作CD//AB，则CD//AB//A'D'，
∴∠A=∠ACD，∠A'=∠A'CD，
∴∠A'CA=∠ACD+∠A'CD=∠A+∠A'=75°；
综上所示，当∠A'CA的度数为30°或45°或75°时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
故答案为：30°或45°或75°.
【分析】分类讨论：①当A'C//AB时，②当A'D'//AC时，③当A'D'//AB时，再分别求解即可.
16．【答案】（1）解：平移后的对应点，
点P的平移方式为：横坐标向右平移5个单位长度，纵坐标向上平移3个单位长度，
由直角坐标系可知，、、，
三角形作同样的平移变换得到三角形，
、、，
即为所求；
（2）360°
（3）解：连接、，
由两点间线段最短可知，与轴交点即为点Q；．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）如图
由平移的性质可得：AA1∥CC1，
∴∠CAA1+∠ACC1=180°，
∴∠A1AB+∠ABC+∠BCC1
=（∠CAA1+∠ACC1）+（∠CAB+∠ABC+∠BCA）
=360°，
故答案为：360°；
（3） 设直线BC1函数表达式为y=kx+b，
∵B（-4，-1），C1（7，3），
∴，解得
∴直线BC1函数表达式为，
取y=0，得，解得，
∴．
【分析】（1）根据平移后的对应点，确定平移的方向和距离，再将A、B、C三点分别平移
到 A1， B1， C1，再顺次连接即可；
（2）利用三角形的内角和定理和平行线的性质求解；
（3）依据两点之间线段最短，可知当点Q在BC1与x轴交点BQ+C1Q时最小，先求出BC1的函数表达式，再求得它与x轴的交点即可.
17．【答案】（1）解：如图，取BT=2， ，则线段 即为所求作.
（2）解：如图，取AR=3，RW=2，连接AW交BC于点D，则线段AD即为所求作.
（3）解：如图，取BM=3，CN=3，AP=3，NQ=3，连接MN，PQ，二线交于 ，则点 即为所求作.
（4）解：如图，
取B =2，格点K，H，作直线 ，HK，二线交于 ，则点 即为所求作.
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质，将线段AB绕着点B逆时针旋转90°，可得到点A的对称点A'，即可画出线段BA'；
（2）取AR=3，RW=2，连接AW交BC于点D，可得到△ABC的高；
（3）取BM=3，CN=3，AP=3，NQ=3，连接MN，PQ，二线交于D'；
（4）取B =2，格点K，H，作直线 ，HK，二线交于 ，由此可求解.
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图﹣平移
【解析】【解答】解：(3)如图，
由题意可得，，
作点关于轴的对称点，连接，
，
，
要使的值最小，则点三点在同一直线上，
与轴的交点即为点，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
故答案为：.
【分析】(1)先利用中心对称的性质找到点A、C关于点B的对称点A1、C1，再连接点B、A1、C1得到.
(2)利用平移的性质得到点A2、B2、C2，再连接点A2、B2、C2得到.
(3)本题考查的是利用将军饮马模型求线段和的最小值.先作点关于轴的对称点，由轴对称的性质可得，所以要使的值最小，则点三点在同一直线上，再利用待定系数法求得直线的解析式，进而得到点的坐标.
19．【答案】（1）证明：中，，，
又直线经过点，且于，于，
，
，
在和中，
≌，
，，
；
（2）证明：中，，直线经过点，且于，于，
，，
在和中，
而
≌，
，，
；
（3）解：、、之间的关系为．
【知识点】旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】（3）
同（2）易证得
AD=CE，DC=EB，
DE=CD-CE=EB-AD.
【分析】（1）根据 直线经过点，且于，于， 结合已知可得出 ，进一步证明≌，利用三角形全等的性质得到，，进而得出结论；
（2）根据直线经过点，且于，于，结合已知条件进一步得证≌，利用三角形全等的性质得到，，进而得出结论；
（3）同（2）易证得进而得出结论.
20．【答案】（1）；
（2）解：点Q是点P关于x轴的折对点，折对点，设点Q是向右平移个单位得到的，则点P的坐标为或（答案不唯一）．
（3）
【知识点】点的坐标；平移的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵点P（2，3）， 过点P作轴，垂足为点H，
∴H（2，0），PH=3，
∵向右平移3个单位后得到的折对点坐标为（5，0），
∴折对距离为OH+PH=2+3=5，
故答案为：（5，0），5；
（3）∵点，，以线段AB为边，在x轴上方作正方形，
∴正方形ABCD的边长为1，
当点P在CD上时，点P关于点Q的折对距离d=3，t的最小值为t+1+1=3，
解得：t=1，
当点P在AB上时，点P关于点Q的折对距离为d=3，t的最大值为t+0=3，
解得：t=3，
∴t的取值范围是1≤t≤3.
【分析】（1）根据题意先求出H（2，0），PH=3，再求出OH+PH=2+3=5，即可作答；
（2）结合题意，根据折对点的定义计算求解即可；
（3）根据题意先求出正方形ABCD的边长为1，再分类讨论，列方程求解即可。
21．【答案】（1）=
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（1）∵ 点O为 ABCD的对称中心，且直线m经过点O，
∴ 则；
故答案为：=；
【分析】（1） 过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分，即可求得；
（2）先找到正方形的中心，然后过中心作直线即可；
（3）先分成两个矩形，分别找到中心，过两个中心作直线即可；找到图形的对称轴.
22．【答案】（1）解：，理由如下：
将线段绕点逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
；
（2）证明：将线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
，
平分；
（3）
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：(3)如图，
由旋转的性质可得，，
，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
点是线段上的动点，
当时，的周长有最小值，
是边长为的等边三角形，，
，，
，
.
故答案为：.
【分析】(1)由旋转的性质可得，，再利用等边三角形的性质得到，，进而证得，然后通过SAS判定≌得到.
(2)由旋转的性质得是等边三角形，再利用等边三角形的性质得到，，进而证得，然后通过SAS判定≌得到，从而证得平分.
(3)由旋转的性质得是等边三角形，再利用等边三角形的性质得到，，进而证得，然后通过SAS判定≌得到，进而判定当时，的周长有最小值，接着通过等边三角形的性质得到AD的长度求得周长的最小值.
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