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17.5《一元二次方程的应用》导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.理解列一元二次方程应用题的步骤；
2.会审题找等量关系，会列一元二次方程解应用题；
3.提高分析问题、解决问题的能力.
学习重难点
重点：会审题找出等量关系，会判定方程有解是否符合题意；
难点：熟练地列出一元二次方程解应用题.
学法指导
通过问题的分析，找到解决问题的途径，感悟解应用题的一般方法.
学习过程
一、课前预习
1.列方程（组）解应用题的一般步骤.
【答案】1.列方程（组）解应用题的一般步骤.
（1）审：读题弄清题意，找出题中已知条件和所要求的问题，找出等量关系；
（2）设：根据问题设未知数（直接或间接设法）；
（3）列：根据等量关系列出方程；
（4）解：解所列方程，求出未知量的值；
（5）验：检验所求的方程的根是否正确，是否符合题意；
（6）答：根据问题和所求写出答案.
2.试试列一元二次方程解答下列问题.
在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛.如图，要使花坛的总面积为570m2（图中长度的单位：m），问小路的宽应是多少？
【答案】 解：设小路的宽是xm，根据题意，得：
32×20－(32x+2×20x)+2x2＝570
整理，得：x2－36x+35＝0，
(x－1)(x－35)＝0，
∴ x1＝1，x2＝35.
由题意，知：x＝35是不可能的，因此x只能取x＝1，
答：所求小路的宽应为1m.
二、课内探究，交流学习
1.问题1：
原来每盒27元的一种药品（图17-3），经两次降价后每盒售价为9元，求该药品两次降价的平均降价率是多少（精确到1%）.
【答案】 解：设该种药品两次平均降价率是x，
根据题意，得：27(1－x)2＝9，
整理，得:(1－x)2＝ ，
解这个方程，得：x1≈1.58，x2≈0.42，
经检验：x1≈1.58不合题意舍去，所以x≈0.42，
答：该药品两次降价的平均降价率约是42%.
2.名师点拨：
（1）找出相等关系的关键是审题，审题是列方程（组）的基础，找出相等关系是列方程（组）解应用题的关键.
（2）关于增长率问题：对于正的增长率问题，在弄清增长的次数n和问题中每一个数据的意义后，即可利用公式a(1+x)n＝b求解(其中a＜b).对于负的增长率问题，若经过n次相等下降后，则由公式a(1+x)n＝b(其中a＞b)即可求解.
问题2：
如图17-4，一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000kg，出油率为50%（即每100kg花生可加工花生油50kg），现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生生产量的增长率.
【分析】设新品种花生产量的增长率为x,则新品种花生出油率的增长率为x,根据“新品种花生每公顷产量x新品种花生出油率=1980”可列出方程。
【答案】 解：设新品种花生产量的增长率为x，
根据题意，得：3000(1+x)[50%(1+x)]＝1980，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－3.2（不合题意舍去），
答：新品种花生生产量的增长率为20%.
三、典例精析
例1.正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20cm,容积为2880cm3的开口方盒，问原金属片的边长是多少？
解：设原金属片的边长为xcm,则方盒的底边长是（x-40)cm
根据题意，得
20（x-40)2=2880
整理，得
(x-40)2=144
解方程，得
x1=52,x2=58
x2=58不合题意，所以x=52
答：原金属片的边长是52cm
例2.一组学生组织春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元，问原来这组学生的人数是多少？
分析：设原来这组学生的人数是x人，则把题中信息整理成下表：
本题的等量关系是：
原来这组学生每人分摊的费用-加人后该组学生每人分摊的费用=3元
由此可得方程
解：设原来这组学生的人数是x人，那么每人分摊的费用是元，增加2人后这组学生每人分摊的费用是元，根据增加2人后每人可少分摊3元，得
-=3
方程两边同乘以x(x+2),整理，得
x2-2x-80=0
解这个方程，得
x1=-10,x2=8
经检验，x1=-10，x2=8都是原方程的根，但x1=-10不合题意，所以取x=8
答：原来这组学生是8人
四、随堂练习
1.受经济不景气大环境的影响，某商品店月销售额逐月下降，据统计，2023年10月该店销售额为42万元，2023年12月该店销售额为27万元，设每月平均销售额降低的百分率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为．
【详解】解：设每月平均销售额降低的百分率为，
则可列方程为，
故选：C．
2．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边符等宽均为，左、右边衬等宽为，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据中央矩形的长=封面的长上下边衬的宽，中央矩形的宽封面的宽左右边衬的宽，再根据矩形的面积长宽列式即可，解题的关键是读懂题意，找出等量关系．
【详解】解：由题意得：上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，
设上、下边符等宽均为，左、右边衬等宽为
∴，
故选：．
3.随着人民生活水平的不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加． 据统计，某小区2017年底拥有家庭轿车81辆，2019年底家庭轿车的拥有量达到144辆．
(1)若该小区2017年底到2021年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，估计该小区到2021年底家庭轿车的拥有量将达到多少辆？
(2)为缓解停车压力，该小区决定投资25万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位6000元/个，露天车位2000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位数量的4.5倍，求该小区最少可建车位多少个？
【答案】(1)256辆
(2)93个
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据题意列方程列出方程求解即可；
（2）设构建室内车位x个，则露天车位为个，构建总车位数为w个，根据题意，，，求解即可．本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设年平均增长率为x，由题意得：256
，
解得：，（舍去）．
∴．
答：小区到2021年底家庭轿车的拥有量将达到256辆．
（2）设构建室内车位x个，则露天车位为个，构建总车位数为w个，根据题意，，，
∴，根据一次函数的性质，w随x的增大而减小，当时，w有最小值，
此时，
答：至少建立93个车位．
五、达标检测
1.随着新能源电动汽车的快速增加，绵阳市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，绵阳全市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，全市充电桩数量的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．根据题意列出方程即可得到答案．
【详解】解：设全市充电桩数量的年平均增长率为，
根据题意得，
解得（舍去），
故全市充电桩数量的年平均增长率为．
故选C．
2．如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，矩形面积公式．根据题意用含的代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案．
【详解】解：矩形在边上留一个2米宽的门，设的长为米，共用长为70米的棚栏围成矩形，
∴（米），
∵围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，
∴，
故选：D．
3．元旦快到了，已知九年五班同学们要互赠贺卡共张，设该班共有名同学，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键．
【详解】解：∵该班共有名同学，
∴每个同学要给个同学赠贺卡，
∴，
故选：C
4.对于平面内的图形和图形，记平面内一点P到图形上各点的最短距离为d，点P到图形上各点的最短距离为，若，就称点P是图形和图形的一个“等距点”．在平面直角坐标系中，若直线上存在到点和直线的等距点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查两点间的距离公式、一元二次方程根的判别式，根据题意利用点间的距离公式建立一元二次方程，利用根的判别式即可解决．
【详解】解：如图：设直线上的点Q为到点和到的等距点，
连接，过点Q作直线的垂线，垂足为C，则，
，
∵Q在直线上，
∴设，
，
整理得：，
，
，
故答案为：．
5．骑行戴头盔，安全有保障，“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2019年到2021年我国头盔销售额从23.4亿元增长到39.546亿元，则我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的应用．
设我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是x，根据“从2019年到2021年我国头盔销售额从23.4亿元增长到39.546亿元”即可列出方程，求解即可解答．
【详解】设我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是x，根据题意，得
，
解得：，（不合题意，舍去）
∴我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是．
故答案为：
6.某商店购进一批800个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周商店为了适当增加销量，决定降价销售，根据市场调查，旅游纪念品的单价每降低1元，可多售出50个．
(1)若为了使第二周的销售利润达到600元，商店的售价应定为每个多少元？
(2)在（1）的条件下，若在两周销售后，商店对剩余旅游纪念品进行清仓处理，以每个低于进价的价格全部售出．如果这批800个旅游纪念品全部售完后所获利润不少于1250元，问剩余旅游纪念品的清仓价格为每个至少多少元？
【答案】(1)商店的售价应定为每个元
(2)剩余旅游纪念品的清仓价格为每个至少为元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，易于一次不等式的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
（1）设商店的售价应定为每个元，利用总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可；
（2）设剩余旅游纪念品的清仓价格为每个元，根据这批800个旅游纪念品全部售完后所获利润不少于1250元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设商店的售价应定为每个元，由题意，得：
，
解得：或（舍去）；
答：商店的售价应定为每个元．
（2）由（1）可知：第二周卖出的数量为个，
∴还剩下：个，
设剩余旅游纪念品的清仓价格为每个元，
由题意，得：，
解得：，
∴剩余旅游纪念品的清仓价格为每个至少为元．
7．数学杨老师与学生学习一元二次方程应用有关面积问题时，他指导学生计划制作一个有盖的长方体盒子．他用一块长，宽的矩形纸板．为了合理使用材料，小凯同学设计了如图的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．
【答案】能折成的有盖盒子，裁去左侧的正方形边长是
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为，
列方程为：，
整理得：，
解得： (不合题意，舍去)
答：能折成的有盖盒子，裁去左侧的正方形边长是．
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流
（1）列一元二次方程根解应用题的步骤；
（2）关于增长率问题.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
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17.5《一元二次方程的应用》导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.理解列一元二次方程应用题的步骤；
2.会审题找等量关系，会列一元二次方程解应用题；
3.提高分析问题、解决问题的能力.
学习重难点
重点：会审题找出等量关系，会判定方程有解是否符合题意；
难点：熟练地列出一元二次方程解应用题.
学法指导
通过问题的分析，找到解决问题的途径，感悟解应用题的一般方法.
学习过程
一、课前预习
1.列方程（组）解应用题的一般步骤.
2.试试列一元二次方程解答下列问题.
在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛.如图，要使花坛的总面积为570m2（图中长度的单位：m），问小路的宽应是多少？
二、课内探究，交流学习
1.问题1：
原来每盒27元的一种药品（图17-3），经两次降价后每盒售价为9元，求该药品两次降价的平均降价率是多少（精确到1%）.
2.名师点拨：
（1）找出相等关系的关键是审题，审题是列方程（组）的基础，找出相等关系是列方程（组）解应用题的关键.
（2）关于增长率问题：对于正的增长率问题，在弄清增长的次数n和问题中每一个数据的意义后，即可利用公式a(1+x)n＝b求解(其中a＜b).对于负的增长率问题，若经过n次相等下降后，则由公式a(1+x)n＝b(其中a＞b)即可求解.
问题2：
如图17-4，一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000kg，出油率为50%（即每100kg花生可加工花生油50kg），现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生生产量的增长率.
三、典例精析
例1.正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20cm,容积为2880cm3的开口方盒，问原金属片的边长是多少？
例2.一组学生组织春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元，问原来这组学生的人数是多少？
四、随堂练习
1.受经济不景气大环境的影响，某商品店月销售额逐月下降，据统计，2023年10月该店销售额为42万元，2023年12月该店销售额为27万元，设每月平均销售额降低的百分率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边符等宽均为，左、右边衬等宽为，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3.随着人民生活水平的不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加． 据统计，某小区2017年底拥有家庭轿车81辆，2019年底家庭轿车的拥有量达到144辆．
(1)若该小区2017年底到2021年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，估计该小区到2021年底家庭轿车的拥有量将达到多少辆？
(2)为缓解停车压力，该小区决定投资25万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位6000元/个，露天车位2000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位数量的4.5倍，求该小区最少可建车位多少个？
五、达标检测
1.随着新能源电动汽车的快速增加，绵阳市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，绵阳全市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，全市充电桩数量的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（ ）
B．
C． D．
3．元旦快到了，已知九年五班同学们要互赠贺卡共张，设该班共有名同学，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4.对于平面内的图形和图形，记平面内一点P到图形上各点的最短距离为d，点P到图形上各点的最短距离为，若，就称点P是图形和图形的一个“等距点”．在平面直角坐标系中，若直线上存在到点和直线的等距点，则实数a的取值范围为 ．
5．骑行戴头盔，安全有保障，“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2019年到2021年我国头盔销售额从23.4亿元增长到39.546亿元，则我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是 ．
6.某商店购进一批800个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周商店为了适当增加销量，决定降价销售，根据市场调查，旅游纪念品的单价每降低1元，可多售出50个．
(1)若为了使第二周的销售利润达到600元，商店的售价应定为每个多少元？
(2)在（1）的条件下，若在两周销售后，商店对剩余旅游纪念品进行清仓处理，以每个低于进价的价格全部售出．如果这批800个旅游纪念品全部售完后所获利润不少于1250元，问剩余旅游纪念品的清仓价格为每个至少多少元？
7．数学杨老师与学生学习一元二次方程应用有关面积问题时，他指导学生计划制作一个有盖的长方体盒子．他用一块长，宽的矩形纸板．为了合理使用材料，小凯同学设计了如图的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流
（1）列一元二次方程根解应用题的步骤；
（2）关于增长率问题.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
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