5.2.2导数的四则运算法则 同步练习（含解析）

5.2.2 导数的四则运算法则
题组一 导数的四则运算法则
1.已知f(x)=excos x,则f'(0)= ( )
A.-1 B.0 C.1 D.e
2.已知f(x)=tan x,则f '(x)= ( )
A. B. C.- D.-
3.已知函数f(x)=,若f '(0)=-1,则a= ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.已知函数f(x)=ex-x2, f '(x)为f(x)的导函数,若f '(a)=f(a),则a=( )
A.0 B.-1 C.2 D.0或2
5.已知函数f(x),g(x)满足f(5)=5, f '(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=,则h'(5)= .
6.求下列函数的导数.
(1)y=x-2+x2;(2)y=3xex-2x+e;
(3)y=;(4)y=x2-4sin cos .
题组二 求导法则的综合应用
7.一物体做直线运动,其位移s与时间t的关系是s=t2+2t,则物体在t=2时的瞬时速度为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
8.已知函数f(x)=f '(1)+xln x,则f(e)= ( )
A.1+e B.e C.2+e D.3
9.若曲线y=2-在x=1处的切线的倾斜角为α,则= ( )
A.-1 B.- C. D.2
10.已知曲线y=ln x+1在点(1,1)处的切线也为曲线y=ex+a的切线,则a= ( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
11.曲线y=x3+3x2+6x-10的所有切线中,斜率最小的切线的方程为 .
12.已知函数f(x)=exln x+3x.
(1)求f(x)的导数f '(x);
(2)求函数f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程.
能力提升练
题组 导数的四则运算法则及其应用
1.已知函数f(x)=x2+cos x, f '(x)是函数f(x)的导函数,则f '(x)的图象大致是 ( )
2.过点且与曲线y=x2ex相切的切线的斜率可能为 ( )
A.0 B.8e2 C.- D.1
3.已知f '(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f '(x)=ex·(2x-2)+f(x)(e是自然对数的底数), f(0)=1,则 ( )
A.f(x)=ex(x+1) B.f(x)=ex(x-1)
C.f(x)=ex(x+1)2 D.f(x)=ex(x-1)2
4.丹麦数学家琴生(Jensen)对数学分析做出了卓越贡献,特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数f(x)在区间(a,b)内的导函数为f '(x), f '(x)在区间(a,b)内的导函数为f ″(x),若在区间(a,b)内f ″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在区间(a,b)内为“凸函数”.下列函数在其定义域内是“凸函数”的是 ( )
A. f(x)=x+2sin x B. f(x)=x-ex
C. f(x)=x-ln x D. f(x)=
5.设函数f(x)的导数为f '(x),若f(x)=f 'sin x-cos x,则f '= .
6.已知函数f(x)(x∈(0,+∞))的导函数为f '(x),且满足xf '(x)-2f(x)=x3ex, f(1)=e-1,则曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 .
7.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),现给出定义:设f '(x)是函数f(x)的导数,f ″(x)是函数f '(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0, f(x0))为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的“拐点”.经探究发现:任何一个三次函数图象都有“拐点”,任何一个三次函数图象都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=2x3-3x2+1,则g+g+…+g= .
8.已知f(x)是二次函数, f '(x)是它的导函数,且对任意的x∈R, f '(x)=f(x+1)+x2恒成立.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设t>0,曲线y=f(x)在点P(t, f(t))处的切线为l,l与两坐标轴围成的三角形面积为S(t),求S(t)的解析式.
答案全解全析
基础过关练
1.C f'(x)=excos x-exsin x,所以f'(0)=1.故选C.
2.B f '(x)=(tan x)'='==.
故选B.
3.D 由题意得f '(x)==,所以f '(0)==-1,所以a=2.故选D.
4.D 由题意得f '(x)=ex-ex,根据已知条件得ea-a2=ea-ea,解得a=0或a=2.
5.答案
解析 由题意得h'(x)=,
由f(5)=5, f '(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,
得h'(5)=
==.
6.解析 (1)y'=2x-2x-3.
(2)y'=(ln 3+1)·(3e)x-2xln 2.
(3)y'=.
(4)∵y=x2-4sin cos =x2-2sin x,
∴y'=2x-2cos x.
7.B 因为s=t2+2t,所以s'=2t+2,则有s't=2=2×2+2=6,即物体在t=2时的瞬时速度为6,故选B.
8.A ∵f(x)=f '(1)+xln x,∴f '(x)=ln x+1,
∴f '(1)=ln 1+1=1,则f(x)=1+xln x,
∴f(e)=1+eln e=1+e.
9.B 易得y'=+,当x=1时,y'=1+2=3,
所以tan α=3,所以cos 2α====-,所以=-×=-.故选B.
10.C 由y=ln x+1求导得y'=,x>0,则曲线y=ln x+1在点(1,1)处的切线的斜率为1,切线的方程为y=x,
设直线y=x与曲线y=ex+a相切的切点为(t,et+a),由y=ex+a求导得y'=ex,
所以解得故选C.
11.答案 3x-y-11=0
解析 易得y'=3x2+6x+6=3(x2+2x+2)=3(x+1)2+3≥3,
∴当x=-1时,y'的值最小,即切线的斜率最小,为3,此时切点为(-1,-14),
∴切线方程为y+14=3(x+1),即3x-y-11=0.
12.解析 (1)f '(x)=exln x+ex·+3=ex+3.
(2)由(1)知 f '(1)=e+3,又f(1)=3,所以切线方程为y-3=(e+3)(x-1),即y=(e+3)x-e,
所以函数f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程是y=(e+3)x-e.
能力提升练
1.A ∵f(x)=x2+cos x,∴f '(x)=x-sin x,易知f '(x)是奇函数,故排除B,D.
当x=时, f '=-<0,故排除C.
故选A.
2.ABC 因为y=x2ex,所以y'=(x2+2x)ex,所以曲线y=x2ex在点(x0,)处的切线方程为y-=(+2x0)·(x-x0).
将代入,得x0·(2-x0-6)=0,即x0(x0-2)(2x0+3)=0,解得x0=0或x0=2或x0=-,因为y'x=0=0,y'x=2=8e2,y'=-,所以过点且与曲线y=x2ex相切的切线的斜率可能为0,8e2,-.故选ABC.
3.D 由f '(x)=ex(2x-2)+f(x),
得=2x-2,即'=2x-2,
所以=x2-2x+c(c为常数),
所以f(x)=ex(x2-2x+c),
又因为f(0)=1,所以c=1,
所以f(x)=ex(x-1)2.故选D.
易错警示
已知原函数可求出唯一的导函数,已知导函数求原函数时,结论不唯一,如本题中由y'=2x-2可以得到y=x2-2x+c(c为常数),解题时容易将c遗漏导致解题错误.
4.B A中, f '(x)=1+2cos x, f ″(x)=-2sin x,显然在定义域内f ″(x)的值有正有负,故不是“凸函数”;
B中, f '(x)=1-ex, f ″(x)=-ex<0,故是“凸函数”;
C中, f '(x)=1-, f ″(x)=>0,故不是“凸函数”;
D中, f '(x)=, f ″(x)=,在定义域内f ″(x)的值有正有负,故不是“凸函数”.故选B.
5.答案
解析 因为f(x)=f 'sin x-cos x,所以f '(x)=f 'cos x+sin x,所以f '=f 'cos +sin ,即f '=1,所以f '(x)=cos x+sin x,所以f '=cos +sin =-+=,故答案为.
6.答案 y=(8e2-4)x-12e2+4
解析 ∵xf '(x)-2f(x)=x3ex,x∈(0,+∞),
∴=ex.
令g(x)=,则g'(x)==ex,
∴g(x)==ex+c(c为常数),
∴f(x)=x2(ex+c).
又f(1)=e+c=e-1,
∴c=-1,∴f(x)=x2(ex-1),
∴f '(x)=2x(ex-1)+x2ex,
∴f '(2)=8e2-4.
又f(2)=4(e2-1),∴所求切线方程为y-4(e2-1)=(8e2-4)(x-2),即y=(8e2-4)x-12e2+4.
7.答案
解析 依题意得,g'(x)=6x2-6x,g″(x)=12x-6,
令g″(x)=0,解得x=,
∵g=,∴函数g(x)的图象的对称中心为点,则g(1-x)+g(x)=1,
∵+=+=…=+=1,
∴g+g=g+g=…=g+g=1,
∴g+g+…+g
=++…++g
=49+=.
8.解析 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f '(x)=2ax+b, f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c.
由已知得2ax+b=(a+1)x2+(2a+b)x+a+b+c,
∴解得
∴f(x)=-x2+1.
(2)由(1)得P(t,1-t2),切线l的斜率k=f '(t)=-2t,
∴切线l的方程为y-(1-t2)=-2t(x-t),即y=-2tx+t2+1.
令y=0,得x=,
令x=0,得y=t2+1,
∴l与x轴的交点坐标为,l与y轴的交点坐标为(0,t2+1),
∴S(t)=××(t2+1)=(t>0).