初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册1.5平方差公式）
一、选择题
1．（2023七下·绥德期末）已知，，则的值为（ ）
A．39 B．23 C．18 D．9
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：39.
【分析】利用平方差公式进行计算即可.
2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．(x-2y)(2y+x) B．(x-2y)(-x-2y)
C．(x+2y)(-x-2y) D．(2y-x)(-x-2y)
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 (x-2y)(2y+x)=(x-2y)(x+2y)，符合平方差公式的结合特点，故可以使用平方差公式计算，此选项不符合题意；
B、(x-2y)(-x-2y) = (-2y+x)(-2y-x)，符合平方差公式的结合特点，故可以使用平方差公式计算，此选项不符合题意；
C、(x+2y)(-x-2y) =- (x+2y)(x+2y)=-(x+2y)2，符合完全平方公式的结合特点，故不可以使用平方差公式计算，此选项符合题意；
D、(2y-x)(-x-2y) = (-x+2y)(-x-2y)，符合平方差公式的结合特点，故可以使用平方差公式计算，此选此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】两个二项式相乘，能用平方差公式计算的话 ，需满足：两个二项式中，有一项完全相同，另一项只有符号不同，据此逐个判断得出答案.
3．若(-mx-3y)(mx-3y)=-49x2+9y2，则m的值为（ ）
A．-7 B．7 C．±7 D．不能确定
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： (-mx-3y)(mx-3y)=9y2-m2x2=-49x2+9y2，
∴-m2=-49，
解得：m= ±7 .
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式将等号左侧计算，再利用对应系数相等求解即可.
4．边长为m的正方形边长增加n以后，所得较大正方形的面积比原正方形面积增加了（ ）
A．n2 B．2mn C．2mn-n2 D．2mn+n2
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：新正方形的边长为m+n，
∴ 较大正方形的面积比原正方形面积增加了（m+n）2-m2=（m+n+m）（m+n-m）=2mn+n2 .
故答案为：D.
【分析】利用新正方形的面积减去原正方形的面积即可求解.
5．（2023七下·江州期末）如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝15，那么a＋b的值为（ ）.
A．±8 B．-4 C．2 D．±2
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=15，
∴(2a+2b)2-1=15，
∴(2a+2b)2=16，
∴2a+2b=±4，
∴a+b=±2.
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式可得原式=(2a+2b)2-1=15，求出(2a+2b)2的值，然后开平方即可.
6．（2023七下·南山期末）a、b、c是三个连续的正整数，以b为边长作正方形，分别以a、c为长和宽作长方形，我们可以得到的结论是（ ）
A．正方形比长方形的面积大1
B．长方形比正方形的面积大1
C．正方形和长方形的面积一样大
D．正方形和长方形的面积关系无法确定
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵a、b、c是三个连续的正整数，
∴a=b-1，c=b+1，
∴以a、c为长和宽作长方形的面积为ac=（b+1）（b-1）=b2-1，
∴b2-1＜b2，
∴以b为边长的正方形面积大.
故答案为：A.
【分析】根据a、b、c是三个连续的正整数，用含b的式子表示出a、c，然后根据长方形与正方形的面积计算公式分别表示出正方形与长方形的面积，再比较大小即可.
7．（2022七下·迁安期末）某同学粗心大意，分解因式时，把式子中的一部分弄污了，那么你认为式子中的所对应的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴=．
故答案为B．
【分析】根据平方差公式即可判断.
8．（2021七下·北仑期中）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设A的边长为a，B的边长为b.
由图1可得，
S阴影=a2-b2=2；
由图2可得，
S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10；
由图3，得
S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2
=4a2+4ab+b2-3a2-2b2
=a2-b2+4ab
=2+4×10
=42.
故答案为：C.
【分析】利用图1和图2，得到a2-b2=2和ab=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代换，可求值.关键还在于掌握a+b，a-b，a2+b2，ab这四个式子之间得关系.
二、填空题
9．已知(2a+2b-1)(2 a+2b+1)=63，则a+b的值为 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ (2a+2b-1)(2 a+2b+1)=63 ，
∴（2a+2b）2-1=63，
∴（2a+2b）2=64，
∴2a+2b=，
∴ a+b=.
故答案为：.
【分析】把2a+2b看作一个整体，利用平方差公式计算，再开方即可.
10．已知a+b=3，ab=﹣2，则a2+b2的值是 ．
【答案】13
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a+b=3，ab=﹣2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×（﹣2）=9+4=13．
故答案为：13
【分析】首先根据完全平方公式将a2+b2用（a+b）与ab的代数式表示，然后把a+b，ab的值整体代入求值．
11．（2023七下·雨花期末）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，如图2，则图2中（1）部分的面积是 ．
【答案】150
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
∴图2中（1）部分的面积为a(a-b)=15×10=150，
故答案为：150.
【分析】结合图形，求出，再求出，最后代入计算求解即可。
12．（2021七下·丽水期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形。现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 。(请填上正确的序号)
【答案】①②
【知识点】平方差公式的几何背景；图形的剪拼
【解析】【解答】解： ① 阴影部分的面积=a2-b2，拼凑的矩形的面积=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）；
② 阴影部分的面积=a2-b2，如图，先取点，再作ME⊥AD，NF⊥AD，
∵ME=AE=NF=DF，AE+FD=ME+NF=a-b，
∴拼凑的平行四边形的面积=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）；
③阴影部分的面积=a2-b2，拼凑的矩形的面积=（a+b）2b≠（a+b）（a-b）；
故答案为： ①② .
【分析】看图先把阴影部分的面积表示出来，再根据矩形的面积公式或平行四边形的面积公式分别求出拼凑而成的面积，两者比较即可判断.
13．（2020七下·简阳期中）已知a1= ，a2= ，a3= ，…，an= ，Sn=a1 a2…an，则S2015= .
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
…
故答案为：
【分析】利用平方差公式将各式变形，可得规律an= ，据此将进行变形，然后约分即可.
三、综合题
14．（第8讲 整式的乘除——练习题） 用乘法公式计算下列各式的值
（1）
（2）(2+1)(22+1)(24+1) (22n+1)
【答案】（1）解：原式=20002-1999×（2000+1），
=20002-1999×2000-1999×1，
=2000×（2000-1999）-1999，
=2000-1999，
=1.
（2）解：原式=，
=（22-1）（22+1）（24+1）……（22n+1），
=（24-1）（24+1）……（22n+1），
=24n-1.
【知识点】有理数的乘法运算律；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先将2001拆分成2000+1，再利用乘法分配律计算即可.
（2）分子分母同时乘以2-1，利用平方差公式化简计算即可.
15．（2022七下·章丘期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：
（1）问题一：，
则 ， ；
（2）计算：；
（3）问题二：已知，
则 ， ；
（4）已知长和宽分别为，的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：
；
（3）；
（4）解：由题意得：
整理得：
则
将，代入得：原式
故的值为39．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】问题一：（1）
可变形为：
则，
故答案为：，；
（3）
则
则
故答案为：，；
【分析】（1）利用整体换元法可得答案；
（2）方法同（1），利用整体换元法可得答案；
（3）利用完全平方公式计算即可；
（4）先求出，再利用完全平方公式计算即可。
1 / 1初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册1.5平方差公式）
一、选择题
1．（2023七下·绥德期末）已知，，则的值为（ ）
A．39 B．23 C．18 D．9
2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．(x-2y)(2y+x) B．(x-2y)(-x-2y)
C．(x+2y)(-x-2y) D．(2y-x)(-x-2y)
3．若(-mx-3y)(mx-3y)=-49x2+9y2，则m的值为（ ）
A．-7 B．7 C．±7 D．不能确定
4．边长为m的正方形边长增加n以后，所得较大正方形的面积比原正方形面积增加了（ ）
A．n2 B．2mn C．2mn-n2 D．2mn+n2
5．（2023七下·江州期末）如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝15，那么a＋b的值为（ ）.
A．±8 B．-4 C．2 D．±2
6．（2023七下·南山期末）a、b、c是三个连续的正整数，以b为边长作正方形，分别以a、c为长和宽作长方形，我们可以得到的结论是（ ）
A．正方形比长方形的面积大1
B．长方形比正方形的面积大1
C．正方形和长方形的面积一样大
D．正方形和长方形的面积关系无法确定
7．（2022七下·迁安期末）某同学粗心大意，分解因式时，把式子中的一部分弄污了，那么你认为式子中的所对应的代数式是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021七下·北仑期中）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
二、填空题
9．已知(2a+2b-1)(2 a+2b+1)=63，则a+b的值为 ．
10．已知a+b=3，ab=﹣2，则a2+b2的值是 ．
11．（2023七下·雨花期末）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，如图2，则图2中（1）部分的面积是 ．
12．（2021七下·丽水期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形。现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 。(请填上正确的序号)
13．（2020七下·简阳期中）已知a1= ，a2= ，a3= ，…，an= ，Sn=a1 a2…an，则S2015= .
三、综合题
14．（第8讲 整式的乘除——练习题） 用乘法公式计算下列各式的值
（1）
（2）(2+1)(22+1)(24+1) (22n+1)
15．（2022七下·章丘期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：
（1）问题一：，
则 ， ；
（2）计算：；
（3）问题二：已知，
则 ， ；
（4）已知长和宽分别为，的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：39.
【分析】利用平方差公式进行计算即可.
2．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 (x-2y)(2y+x)=(x-2y)(x+2y)，符合平方差公式的结合特点，故可以使用平方差公式计算，此选项不符合题意；
B、(x-2y)(-x-2y) = (-2y+x)(-2y-x)，符合平方差公式的结合特点，故可以使用平方差公式计算，此选项不符合题意；
C、(x+2y)(-x-2y) =- (x+2y)(x+2y)=-(x+2y)2，符合完全平方公式的结合特点，故不可以使用平方差公式计算，此选项符合题意；
D、(2y-x)(-x-2y) = (-x+2y)(-x-2y)，符合平方差公式的结合特点，故可以使用平方差公式计算，此选此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】两个二项式相乘，能用平方差公式计算的话 ，需满足：两个二项式中，有一项完全相同，另一项只有符号不同，据此逐个判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： (-mx-3y)(mx-3y)=9y2-m2x2=-49x2+9y2，
∴-m2=-49，
解得：m= ±7 .
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式将等号左侧计算，再利用对应系数相等求解即可.
4．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：新正方形的边长为m+n，
∴ 较大正方形的面积比原正方形面积增加了（m+n）2-m2=（m+n+m）（m+n-m）=2mn+n2 .
故答案为：D.
【分析】利用新正方形的面积减去原正方形的面积即可求解.
5．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=15，
∴(2a+2b)2-1=15，
∴(2a+2b)2=16，
∴2a+2b=±4，
∴a+b=±2.
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式可得原式=(2a+2b)2-1=15，求出(2a+2b)2的值，然后开平方即可.
6．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵a、b、c是三个连续的正整数，
∴a=b-1，c=b+1，
∴以a、c为长和宽作长方形的面积为ac=（b+1）（b-1）=b2-1，
∴b2-1＜b2，
∴以b为边长的正方形面积大.
故答案为：A.
【分析】根据a、b、c是三个连续的正整数，用含b的式子表示出a、c，然后根据长方形与正方形的面积计算公式分别表示出正方形与长方形的面积，再比较大小即可.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴=．
故答案为B．
【分析】根据平方差公式即可判断.
8．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设A的边长为a，B的边长为b.
由图1可得，
S阴影=a2-b2=2；
由图2可得，
S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10；
由图3，得
S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2
=4a2+4ab+b2-3a2-2b2
=a2-b2+4ab
=2+4×10
=42.
故答案为：C.
【分析】利用图1和图2，得到a2-b2=2和ab=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代换，可求值.关键还在于掌握a+b，a-b，a2+b2，ab这四个式子之间得关系.
9．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ (2a+2b-1)(2 a+2b+1)=63 ，
∴（2a+2b）2-1=63，
∴（2a+2b）2=64，
∴2a+2b=，
∴ a+b=.
故答案为：.
【分析】把2a+2b看作一个整体，利用平方差公式计算，再开方即可.
10．【答案】13
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a+b=3，ab=﹣2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×（﹣2）=9+4=13．
故答案为：13
【分析】首先根据完全平方公式将a2+b2用（a+b）与ab的代数式表示，然后把a+b，ab的值整体代入求值．
11．【答案】150
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
∴图2中（1）部分的面积为a(a-b)=15×10=150，
故答案为：150.
【分析】结合图形，求出，再求出，最后代入计算求解即可。
12．【答案】①②
【知识点】平方差公式的几何背景；图形的剪拼
【解析】【解答】解： ① 阴影部分的面积=a2-b2，拼凑的矩形的面积=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）；
② 阴影部分的面积=a2-b2，如图，先取点，再作ME⊥AD，NF⊥AD，
∵ME=AE=NF=DF，AE+FD=ME+NF=a-b，
∴拼凑的平行四边形的面积=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）；
③阴影部分的面积=a2-b2，拼凑的矩形的面积=（a+b）2b≠（a+b）（a-b）；
故答案为： ①② .
【分析】看图先把阴影部分的面积表示出来，再根据矩形的面积公式或平行四边形的面积公式分别求出拼凑而成的面积，两者比较即可判断.
13．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
…
故答案为：
【分析】利用平方差公式将各式变形，可得规律an= ，据此将进行变形，然后约分即可.
14．【答案】（1）解：原式=20002-1999×（2000+1），
=20002-1999×2000-1999×1，
=2000×（2000-1999）-1999，
=2000-1999，
=1.
（2）解：原式=，
=（22-1）（22+1）（24+1）……（22n+1），
=（24-1）（24+1）……（22n+1），
=24n-1.
【知识点】有理数的乘法运算律；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先将2001拆分成2000+1，再利用乘法分配律计算即可.
（2）分子分母同时乘以2-1，利用平方差公式化简计算即可.
15．【答案】（1）；
（2）解：
；
（3）；
（4）解：由题意得：
整理得：
则
将，代入得：原式
故的值为39．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】问题一：（1）
可变形为：
则，
故答案为：，；
（3）
则
则
故答案为：，；
【分析】（1）利用整体换元法可得答案；
（2）方法同（1），利用整体换元法可得答案；
（3）利用完全平方公式计算即可；
（4）先求出，再利用完全平方公式计算即可。
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