初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册1.6完全平方公式）
一、选择题
1．小萌在利用完全平方公式计算一个多项式的平方时，得到正确结果。但不小心把最后一项污染了，你认为这一项是（ ）
A．5y2 B．10y2 C．100y2 D．25y2
【答案】D
【知识点】完全平方式
2．下列运算正确的是（ ）
A．x2＋x2＝x4 B．(a－b)2＝a2－b2
C．(－a2)3＝－a6 D．3a2·2a3＝6a6
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A.∵x2＋x2＝2x2，故错误，A不符合题意；
B.∵(a－b)2＝a2－2ab＋b2，故错误，B不符合题意；
C.∵(－a2)3＝－a6，故正确，C符合题意；
D.∵3a2·2a3＝6a5，故错误，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A根据同类项定义以及合并同类项法则计算即可判断错误；
B根据完全平方差公式展开即可判断错误；
C根据积的乘方和幂的乘方计算即可判断正确；
D根据单项式乘以单项式法则计算即可判断错误；
3．（2023七下·南明月考）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（ ）2=a2+4ab+4b2，且一张类卡片面积为ab，
∴ 需要类卡片的张数为4张.
故答案为：D.
【分析】由题意知拼成的正方形的面积等于各类卡片的面积之和，据此解答即可.
4．（2023七下·渠县月考）运用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2计算（x+）2，则公式中的2ab是（ ）
A． B．x C．2x D．4x
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（x+）2=x2+x+
∴公式中的2ab是x.
故答案为：B
【分析】 利用完全平方公式，先去括号，可得到 公式中的2ab是x，据此可得答案.
5．（2023七下·浙江期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长(x>y) ．则①x-y=n；②xy= ；③x2-y2=mn；④x2+y2= ，中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由拼图可知，m=x+y，n=x-y，
因此①正确；
由于mn=（x+y）（x-y）=x2-y2，
因此③正确；
由于xy表示一个小长方形的面积，由拼图可知，4xy=S大正方形 S小正方形，
即4xy=m2 n2，
故，
因此②不正确；
由于x2+y2
=（x+y）2-2xy
，
因此④不正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：C．
【分析】根据两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍进行计算即可.
6．（2020七下·西湖期末）已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可.
7．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7=（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2=（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故答案为：A．
【分析】平方具有非负性，（x+1）2最小是0，（y﹣2）2 最小是0，（x+1）2+（y﹣2）2+2最小是2，即总不小于2
8．（2022七下·清城期中）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片（）如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3．已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：图3中的阴影部分的面积为：（a b）2，
图2中的阴影部分的面积为：（2b a）2，
由题意得，（a b）2 （2b a）2＝2ab 6，
整理得，b2＝2，
则小正方形卡片的面积是2，
故答案为：A．
【分析】分别表示出图2和图3中阴影部分的面积可得（a b）2 （2b a）2＝2ab 6，再求出b2＝2，即可得到小正方形卡片的面积是2。
二、填空题
9．（2022七下·沈北新期中）已知 ．
【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴原式＝，
故答案为：49．
【分析】将代数式变形为，再将代入计算即可。
10．填空：
（1）4x2- +9y2=(2x-3y)2．
（2）p2-3p+ =(p- )2．
【答案】（1）12xy
（2）；
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）∵（2x-3y）2
=（2x）2-2·2x·3y+（3y）2
=4x2-12xy+9y2
即4x2-12xy+9y2=（2x-3y）2；
故答案为：12xy.
（2）∵，
即；
故答案为：；.
【分析】（1）根据完全平方公式将（2x-3y）2展开即可得出答案；
（2）根据完全平方公式： a2±2ab+b2=（a±b）2 即可求解得出答案.
11．如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b的长方形，若长方形的周长为 16，面积为 15.75，则图中阴影部分的面积= .
【答案】12.5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题可得：
即
故答案为：12.5.
【分析】根据长方形的周长为16，面积为15.75，得到结合图形用含a，b的式子表示S1，S2，S3，利用完全平方公式计算出的值，从而求解.
12．（2021七下·淳安期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝8，ab＝10，则S1+S2= ；当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3= .
【答案】34；20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：如图1，S1=a2-b2；
图2：S2=2b2-ab；
∴ S1+S2= a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab=82-3×10=34；
图3：S3=a2+b2-a2-b（a+b）=(a2+b2-ab)=（S1+S2）=×40=20；
故答案为：34，20.
【分析】根据拼图可用a、b的代数式表示S1， S2；进而根据a+b=8， ab=10，求出S1+S2的值即可；
由第一问可知，当S1+S2=40时，就是a2+b2- ab=40，再利用a、b的代数式表示S3， 变形后再整体代入计算即可求出答案.
三、综合题
13．（2019七下·涡阳期末）计算：
（1）（-1）2+ -5-（2004-π）0
（2）[（2x+y）2-y（y+4x）-8x]÷2x．
【答案】（1）解：原式=1+2-5-1
=-3
（2）解：原式=（4x2+4xy+y2-y2-4xy-8x）÷2x
=（4x2-8x）÷2x
=2x-4．
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先算负指数幂、0指数幂与乘方，再算加减；（2）先利用完全平方公式和整式的乘法计算合并，再算除法．
14．（2023七下·南明月考） 如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若，，则 ；
（3）拓展应用：若，求的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）解：∵，
又
，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图形可知：大正方形的面积=4个矩形的面积+小正方形的面积，
∴ ；
故答案为： .
（2）由（1）知：（x-y）2=(x+y)2-4xy，
∵， ，
∴（x-y）2=(x+y)2-4xy=52-4×=16，
∴.
故答案为： 或 .
【分析】（1）由图形可知：大正方形的面积=4个矩形的面积+小正方形的面积，据此即可求解；
（2）由（1）知（x-y）2=(x+y)2-4xy，据此计算即可；
（3）由即可求解.
15．（2023七下·天桥期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请你用两种不同的含a，b的式子表示图2大正方形的面积：
方法1： ，方法2： ．
观察图2请你写出三个代数式，，ab之间的数量关系： ．
（2）直接应用：根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求的值．
②已知的值．
（3）拓展应用：两个正方形，如图3摆放，边长分别是x，y，若，，求图中阴影部分面积和．
【答案】（1）；；
（2）解：①∵
又：，代入得
②令，
∴，
∴
∴
（3）解：由题知：，
∴
∴
∴
图中阴影部分面积为：
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）方法1：可以直接用正方形的面积计算公式来求：（a+b）2；方法2：把正方形的面积看成两个矩形和两个小正方形的面积和：ab+ab+a2+b2=a2+2ab+b2；所以（a+b）2=a2+2ab+b2；
故第1空答案为：（a+b）2；第2空答案为：a2+2ab+b2；第3空答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
【分析】（1）先直接用大正方形的边长的平方写出大正方形的面积得：（a+b）2，再用两个矩形和两个小正方形的面积和表示大正方形的面积得：a2+2ab+b2，根据它们是同一个正方形的面积得出这两个式子相等即可；
（2）①由已知a+b=8，得出（a+b）2=a2+2ab+b2=64，得出2ab=64-（a2+b2），即可求得ab；②设a=2023-x，b=x-2021，则就可以理解为已知a2+b2，求ab，先计算a+b=2，然后通过变形可求得ab的值，也就是（2023-x）（x-2021）的值；
（3）已知中的BE=2也就是y-x=2，然后根据（x-y）2和x2+y2之间的关系，变形求出2xy的值，再求出（x+y）2的值，求它的算术平方根求得（x+y）的值，然后根据三角形面积计算公式求阴影部分的面积：，然后整理带入求值即可。
1 / 1初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册1.6完全平方公式）
一、选择题
1．小萌在利用完全平方公式计算一个多项式的平方时，得到正确结果。但不小心把最后一项污染了，你认为这一项是（ ）
A．5y2 B．10y2 C．100y2 D．25y2
2．下列运算正确的是（ ）
A．x2＋x2＝x4 B．(a－b)2＝a2－b2
C．(－a2)3＝－a6 D．3a2·2a3＝6a6
3．（2023七下·南明月考）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．4
4．（2023七下·渠县月考）运用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2计算（x+）2，则公式中的2ab是（ ）
A． B．x C．2x D．4x
5．（2023七下·浙江期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长(x>y) ．则①x-y=n；②xy= ；③x2-y2=mn；④x2+y2= ，中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
6．（2020七下·西湖期末）已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
7．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
8．（2022七下·清城期中）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片（）如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3．已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．（2022七下·沈北新期中）已知 ．
10．填空：
（1）4x2- +9y2=(2x-3y)2．
（2）p2-3p+ =(p- )2．
11．如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b的长方形，若长方形的周长为 16，面积为 15.75，则图中阴影部分的面积= .
12．（2021七下·淳安期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝8，ab＝10，则S1+S2= ；当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3= .
三、综合题
13．（2019七下·涡阳期末）计算：
（1）（-1）2+ -5-（2004-π）0
（2）[（2x+y）2-y（y+4x）-8x]÷2x．
14．（2023七下·南明月考） 如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若，，则 ；
（3）拓展应用：若，求的值．
15．（2023七下·天桥期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请你用两种不同的含a，b的式子表示图2大正方形的面积：
方法1： ，方法2： ．
观察图2请你写出三个代数式，，ab之间的数量关系： ．
（2）直接应用：根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求的值．
②已知的值．
（3）拓展应用：两个正方形，如图3摆放，边长分别是x，y，若，，求图中阴影部分面积和．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方式
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A.∵x2＋x2＝2x2，故错误，A不符合题意；
B.∵(a－b)2＝a2－2ab＋b2，故错误，B不符合题意；
C.∵(－a2)3＝－a6，故正确，C符合题意；
D.∵3a2·2a3＝6a5，故错误，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A根据同类项定义以及合并同类项法则计算即可判断错误；
B根据完全平方差公式展开即可判断错误；
C根据积的乘方和幂的乘方计算即可判断正确；
D根据单项式乘以单项式法则计算即可判断错误；
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（ ）2=a2+4ab+4b2，且一张类卡片面积为ab，
∴ 需要类卡片的张数为4张.
故答案为：D.
【分析】由题意知拼成的正方形的面积等于各类卡片的面积之和，据此解答即可.
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（x+）2=x2+x+
∴公式中的2ab是x.
故答案为：B
【分析】 利用完全平方公式，先去括号，可得到 公式中的2ab是x，据此可得答案.
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由拼图可知，m=x+y，n=x-y，
因此①正确；
由于mn=（x+y）（x-y）=x2-y2，
因此③正确；
由于xy表示一个小长方形的面积，由拼图可知，4xy=S大正方形 S小正方形，
即4xy=m2 n2，
故，
因此②不正确；
由于x2+y2
=（x+y）2-2xy
，
因此④不正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：C．
【分析】根据两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍进行计算即可.
6．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可.
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7=（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2=（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故答案为：A．
【分析】平方具有非负性，（x+1）2最小是0，（y﹣2）2 最小是0，（x+1）2+（y﹣2）2+2最小是2，即总不小于2
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：图3中的阴影部分的面积为：（a b）2，
图2中的阴影部分的面积为：（2b a）2，
由题意得，（a b）2 （2b a）2＝2ab 6，
整理得，b2＝2，
则小正方形卡片的面积是2，
故答案为：A．
【分析】分别表示出图2和图3中阴影部分的面积可得（a b）2 （2b a）2＝2ab 6，再求出b2＝2，即可得到小正方形卡片的面积是2。
9．【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴原式＝，
故答案为：49．
【分析】将代数式变形为，再将代入计算即可。
10．【答案】（1）12xy
（2）；
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）∵（2x-3y）2
=（2x）2-2·2x·3y+（3y）2
=4x2-12xy+9y2
即4x2-12xy+9y2=（2x-3y）2；
故答案为：12xy.
（2）∵，
即；
故答案为：；.
【分析】（1）根据完全平方公式将（2x-3y）2展开即可得出答案；
（2）根据完全平方公式： a2±2ab+b2=（a±b）2 即可求解得出答案.
11．【答案】12.5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题可得：
即
故答案为：12.5.
【分析】根据长方形的周长为16，面积为15.75，得到结合图形用含a，b的式子表示S1，S2，S3，利用完全平方公式计算出的值，从而求解.
12．【答案】34；20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：如图1，S1=a2-b2；
图2：S2=2b2-ab；
∴ S1+S2= a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab=82-3×10=34；
图3：S3=a2+b2-a2-b（a+b）=(a2+b2-ab)=（S1+S2）=×40=20；
故答案为：34，20.
【分析】根据拼图可用a、b的代数式表示S1， S2；进而根据a+b=8， ab=10，求出S1+S2的值即可；
由第一问可知，当S1+S2=40时，就是a2+b2- ab=40，再利用a、b的代数式表示S3， 变形后再整体代入计算即可求出答案.
13．【答案】（1）解：原式=1+2-5-1
=-3
（2）解：原式=（4x2+4xy+y2-y2-4xy-8x）÷2x
=（4x2-8x）÷2x
=2x-4．
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先算负指数幂、0指数幂与乘方，再算加减；（2）先利用完全平方公式和整式的乘法计算合并，再算除法．
14．【答案】（1）
（2）或
（3）解：∵，
又
，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图形可知：大正方形的面积=4个矩形的面积+小正方形的面积，
∴ ；
故答案为： .
（2）由（1）知：（x-y）2=(x+y)2-4xy，
∵， ，
∴（x-y）2=(x+y)2-4xy=52-4×=16，
∴.
故答案为： 或 .
【分析】（1）由图形可知：大正方形的面积=4个矩形的面积+小正方形的面积，据此即可求解；
（2）由（1）知（x-y）2=(x+y)2-4xy，据此计算即可；
（3）由即可求解.
15．【答案】（1）；；
（2）解：①∵
又：，代入得
②令，
∴，
∴
∴
（3）解：由题知：，
∴
∴
∴
图中阴影部分面积为：
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）方法1：可以直接用正方形的面积计算公式来求：（a+b）2；方法2：把正方形的面积看成两个矩形和两个小正方形的面积和：ab+ab+a2+b2=a2+2ab+b2；所以（a+b）2=a2+2ab+b2；
故第1空答案为：（a+b）2；第2空答案为：a2+2ab+b2；第3空答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
【分析】（1）先直接用大正方形的边长的平方写出大正方形的面积得：（a+b）2，再用两个矩形和两个小正方形的面积和表示大正方形的面积得：a2+2ab+b2，根据它们是同一个正方形的面积得出这两个式子相等即可；
（2）①由已知a+b=8，得出（a+b）2=a2+2ab+b2=64，得出2ab=64-（a2+b2），即可求得ab；②设a=2023-x，b=x-2021，则就可以理解为已知a2+b2，求ab，先计算a+b=2，然后通过变形可求得ab的值，也就是（2023-x）（x-2021）的值；
（3）已知中的BE=2也就是y-x=2，然后根据（x-y）2和x2+y2之间的关系，变形求出2xy的值，再求出（x+y）2的值，求它的算术平方根求得（x+y）的值，然后根据三角形面积计算公式求阴影部分的面积：，然后整理带入求值即可。
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