上海市金山中学2023-2024学年高三下学期3月学科素养测试数学试卷 2024.3
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知集合，则______.
2.已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数______.
3.一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤回归实验实际；⑥检验结果，请写出正确的序号顺序______.
4.2022年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷战胜法国队冠222卡塔尔世界杯也缓缓落下来帷幕，下表是连续八届世界杯足球赛的进球总数：
则进球总数的第60百分位数是______.
5.设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，则______.
6.我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______.
7.在中，分别是角的对边，若，则外接圆的半径为______.
8.已知直线恒过点，点在直线上，则的最小值为______.
9.已知无穷数列是各项均为正整数的等比数列，且，数列满足，则数列所有项的和为______.
10.函数，若方程恰有3个根，则实数的取值范围为______.
11.普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列” ，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列，下列说法正确的有 ．
①若，则从开始出现数字2；
②若，2，3，，，则的最后一个数字均为；
③可能既是等差数列又是等比数列
12.已知正数，满足，则______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.下列关于复数的说法，正确的是
A．复数是最小的纯虚数
B．在复数范围内，模为1的复数共有1，，和四个
C．与是一对共轭复数
D．虚轴上的点都表示纯虚数
14.对四组数据进行统计，获得右侧散点图，关于其样本相关系数的比较，下列结论正确的是（ ）
下面关于相关系数的比较，正确的是（ ）
A． B． C． D．
15.函数在区间上的零点个数是
A．3 B．4 C．5 D．6
16.已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为
A． B． C． D．1
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
直角梯形中，平面.
（1）求证：；
（2）已知三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的大小.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数
（1）求函数的对称中心和单调递减区间；
（2）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某公司男女职工人数相等，该公司为了解职工是否接受去外地长时间出差，进行了如下调查：在男女职工中各随机抽取了100人，经调查，男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20．
（1）根据所给数据，完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否接受去外地长时间出差与性别有关联？
单位：人．
性别 接受 不接受 合计
男
女
合计
（2）若将频率视为概率，用样本估计总体，从该公司中随机抽取5人，记其中接受去外地长时间出差的人数为，求的数学期望．
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，其中
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点的直线交椭圆于、两个不同的点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的倾斜角的取值范围；
（3）当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数、．
（1）当，时，求函数图像过点的切线方程；
（2）当时，既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围；
（3）当，时，、分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围上海市金山中学2023-2024学年高三下学期3月学科素养测试数学试卷1解析
2024.3
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知集合，则______.
【答案】
【解析】
2.已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数______.
【答案】
【解析】由题意知
3.一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤回归实验实际；⑥检验结果，请写出正确的序号顺序______.
【答案】②③①④⑥⑤
【解析】略
4.2022年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷战胜法国队冠222卡塔尔世界杯也缓缓落下来帷幕，下表是连续八届世界杯足球赛的进球总数：
则进球总数的第60百分位数是______.
【答案】169
【解析】
则进球总数的第60百分位数是169
5.设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，则______.
【答案】0
【解析】
6.我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______.
【答案】0.98
【解析】
7.在中，分别是角的对边，若，则外接圆的半径为______.
【答案】
【解析】
8.已知直线恒过点，点在直线上，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
则的最小值为
9.已知无穷数列是各项均为正整数的等比数列，且，数列满足，则数列所有项的和为______.
【答案】或
【解析】设数列的公比为，则由题意，均为正整数
因为，所以
解得或
故或
①当时，
则数列所有项的和为
②当时，
则数列所有项的和为
10.函数，若方程恰有3个根，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】画出函数的图象，如图所示：
，
若方程恰有3个根，则恰有3个根，
即函数与直线有3个交点，
当时，和有3个交点；
直线和相切时，设切点是，由，
故，故，解得：，
故，
故直线和相切时，有2个交点，
综上，
11.普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列” ，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列，下列说法正确的有 ．
①若，则从开始出现数字2；
②若，2，3，，，则的最后一个数字均为；
③可能既是等差数列又是等比数列
【答案】②③
【解析】对①，，，，，①错；
对②，由外观数列的定义，每次都是从左到右描述，故一开始的，2，3，，始终在最右边，即最后一个数字，②对；
对③，取，则，此时既为等差数列，也为等比数列，③正确
12.已知正数，满足，则______.
【答案】
【解析】，都为正数，，
当且仅当，即时，等号成立．
构造函数，，
，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
可知在处取得最大值，故（1），即，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，又，
，且，，
即，．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.下列关于复数的说法，正确的是
A．复数是最小的纯虚数
B．在复数范围内，模为1的复数共有1，，和四个
C．与是一对共轭复数
D．虚轴上的点都表示纯虚数
【答案】C
【解析】对于，复数不能比较大小，故错误，
对于，令复数，
则，故错误，
对于，由共轭复数的定义可得，与是一对共轭复数，故正确，
对于，虚轴上的点包括，该数为实数，故错误．
故选：．
14.对四组数据进行统计，获得右侧散点图，关于其样本相关系数的比较，下列结论正确的是（ ）
下面关于相关系数的比较，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由图可知：所对应的图中的散点呈现正相关 ，而且对应的相关性比对应的相关性要强，故，所对应的图中的散点呈现负相关，且根据散点的分布情况可知,因此，
故选：B
15.函数在区间上的零点个数是
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】函数在区间，上的零点个数，转化为方程在区间，上的根的个数，
由，得或，
解得：或或，
所以函数在区间，上的零点个数为3．
故选：．
16.已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】方法一：设，，
，即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，，．
，
，
，
，，，则关于的二次函数开口向上，
当时，取得最小值，即，
令，则，
函数在，上单调递增，在，上单调递减，
，即，
的最大值为．
方法二：令，，，，
则，
点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
取的中点，
，
，
，
点在直线上，
当时，取到最小值，此时，
而当直线与圆相切时，最大，也即最大，为，
的最大值为．
故选：．
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
直角梯形中，平面.
（1）求证：；
（2）已知三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）在梯形中，，
解得，
满足，所以，
面，所以，
因为是面的两条相交直线，
所以面，
面，
所以.
（2），
解得，面，所以，
因为，因为是面的两条相交直线，
所以面，
故是在面上的投影，
所以即为直线与面所成的角，
在中，解得，
所成角大小为.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数
（1）求函数的对称中心和单调递减区间；
（2）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值
【答案】（1）；（2）最大值为3，最小值为
【解析】
令，，则，，
所以的对称中心为，，
令
所以的单调递减区间为
（2）
当时，
所以当，即时，取得最大值3；
当，即时，取得最小值．
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某公司男女职工人数相等，该公司为了解职工是否接受去外地长时间出差，进行了如下调查：在男女职工中各随机抽取了100人，经调查，男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20．
（1）根据所给数据，完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否接受去外地长时间出差与性别有关联？
单位：人．
性别 接受 不接受 合计
男
女
合计
（2）若将频率视为概率，用样本估计总体，从该公司中随机抽取5人，记其中接受去外地长时间出差的人数为，求的数学期望．
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，其中
【答案】（1）有关联；（2）
【解析】
（1）依题意，列出列联表如下：
性别 接受 不接受 合计
男 40 60 100
女 20 80 100
合计 60 140 200
零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关，
所以，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005；
（2）由题意，接受去外地长时间出差的频率为，
所以接受去外地长时间出差的概率为．
随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，5，
由题意，得，
所以的数学期望．
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点的直线交椭圆于、两个不同的点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的倾斜角的取值范围；
（3）当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）因为，所以；
又点在图像上即，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）可得
①当直线的斜率不存在时，，以线段为直径的圆交轴于
点在以线段为直径的圆的外部，符合，此时，
②当直线的斜率存在时，设直线，设、，
由得，
解得或（i）
∵点在以线段为直径的圆的外部，则，
又
解得或 （ii）
由（i）、（ii）得实数的范围是或，
由①、②得直线的倾斜角的范围是；
（3）设直线，又直线的倾斜角为锐角，由（2）可知，
记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：.
令，解得，所以点S为；同理点T为.
所以，，.
由，，可得：，，
所以，
由（2）得，，
所以
综上所以的范围是.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数、．
（1）当，时，求函数图像过点的切线方程；
（2）当时，既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围；
（3）当，时，、分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）已知、，函数定义域为，
当，时，，
可得，
此时，
易知，
所以函数过点， 的切线方程为，
即为；
（2）当时，，
可得，
因为函数既存在极大值，又存在极小值，
所以必有两个不等的实根，
此时，
令，
解得或，且，
所以且；
不妨考虑当的情况下，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数分别在，取得极大值和极小值，满足条件，
当的情况下，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数分别在，取得极大值和极小值，满足条件，
综上，实数的取值范围为
（3）当，时，，
由（2）得，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取得极大值；在 取得极小值，
因为恒成立，
所以对任意的恒成立，
此时，
则，
所以，
整理得，，
不妨设，函数定义域为，
可得，
令方程，
可得△，
当△，即时，，单调递增；
所以（1），
即，符合条件；
当△，即时，
设方程的两个根分别为，，
可得，，
不妨设，
当时，，单调递减，
所以当时，（1），
即，不符合条件；
综上，实数的取值范围为
