兴文二中高2023级高一下学期开学考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小感，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（）
A. B.
C. D.
3. 半径为,圆心角为所对的弧长为（ ）
A. B. C. D.
4. 设，则“”是“”（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知，，，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6. 放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（ ）（参考数据：）
A. B.
C. D.
7. 已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 若，则下列不等式成立的有（ ）
A. B.
C. D.
11. 函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A.
B. 的解析式为
C. 是图象一个对称中心
D. 的单调递减区间是，
12. 已知实数，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共10个小题，共90分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. __________.
14. 已知函数为偶函数，则__________.
15. 已知，，则_______．
16. 已知实数m，n满足，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知，.
（1）求的值；
（2）求值.
18. 已知定义在R上的函数，满足.
（1）求的解析式；
（2）若点在图像上自由运动，求的最小值.
19. 已知定义在上的函数，对于，恒有.
（1）求证：是奇函数；
（2）若是增函数，解关于x的不等式.
20. 随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的数据如下表所示：
60 70 80 90 100
8.8 11 13.6 16.6 20
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②.
（1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号电动汽车从地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）.若不充电，该电动汽车能否到达地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从地到达地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值.
21. 已知函数，.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数在区间上有两个零点，求取值范围.
（3）若函数有且仅有3个零点，求所有零点之和.
22. 若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”．
（1）函数是否有“飘移点”？请说明理由；
（2）证明函数在上有“飘移点”；
（3）若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围．兴文二中高2023级高一下学期开学考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小感，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集的定义直接求解即可.
【详解】因为集合，
所以，
故选：B
2. 命题“，”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定得到其否定形式，进行判断即可.
【详解】“，”的否定为“，”.
故选：D
3. 半径为,圆心角为所对的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据弧度制下的弧长公式，将圆心角化成弧度制后，代入公式即可求解.
【详解】由题意，圆心角，
根据弧长公式，则
故选：C
【点睛】本题考查弧度制下的弧长公式，属于基础题.
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的包含关系，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】若，则， ，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
5. 已知，，，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别将与比较大小，从而得到的大小关系.
【详解】因为，，，
故，
故选：A
6. 放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（ ）（参考数据：）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据时，代入函数关系式中，可得的值，进而代入求解即可.
【详解】由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天，
即，则，
所以质量为的锶89经过30天衰减后，
质量大约为．
故选：D．
7. 已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知函数为增函数，然后列出式子计算即可.
【详解】由题可知：任意的实数，都有成立
所以函数为上的增函数，所以，得到，即
故选：C
8. 已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】因为得，则，
所以由题意可得，，解得.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由二次函数的性质判断A；对于B，将函数写成分段函数，结合指数函数的性质、复合的性质判断其单调区间，再利用偶函数的定义及图象判断其奇偶性；对于C，将函数写成分段函数，结合对数函数的性质、复合的性质判断其单调区间，再利用偶函数的定义及图象判断其奇偶性；由幂函数的性质判断D.
【详解】解：对于A，因为，易知为偶函数，由二次函数的性质可知，函数在上单调递增，不符题意；
对于B，因为，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，，，
当时，，，
其图象如图所示：
所以为偶函数，且在上单调递减，符合题意；
对于C，，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；
当时，，；
当时，，；
其图象如图所示：
所以为偶函数，且在上单调递减，符合题意；
对于D，由幂函数的性质可知为奇函数，在上单调递减，不符合题意.
故选：BC．
10. 若，则下列不等式成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】举出反例得到CD错误，根据不等式基本性质得到A正确，再A的基础上，利用不等式的基本性质得到B正确.
【详解】不妨令，则，，CD错误；
因为，不等式两边同乘以得：，
不等式两边同乘以得：，故，A正确；
因为，，相乘得：，B正确.
故选：AB
11. 函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A.
B. 的解析式为
C. 是图象的一个对称中心
D. 的单调递减区间是，
【答案】ABD
【解析】
【分析】先利用三角函数的图象求得的解析式，再利用三角函数平移的性质与正弦函数的性质即可得解.
【详解】依题意，由图象可知，，则，故A正确；
因为，所以，则，所以，
因为的图象过点，所以，
则，即，
又，则，所以，
将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象，
纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，
向左平移个单位长度，得到函数的图象，故B正确；
因为，故C错误；
令，解得，
所以的单调递减区间是，，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知实数，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式可判断BC；由可得，利用基本不等式及1的妙用，可判断A；设，利用对勾函数的单调性可判断D.
【详解】因，所以，解得，
当且仅当取等号，则，所以C正确；
，所以B正确；
由可得，，
则，所以A正确；
设，则函数在上单调递增，则，所以D错误.
故选：ABC.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共10个小题，共90分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式和特殊角的函数值计算可得结果.
【详解】.
故答案为：.
14. 已知函数偶函数，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据两函数相乘的奇偶性可得为奇函数，再根据奇函数满足化简求解即可.
【详解】因函数为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，
由得
所以.
故答案为：1.
15. 已知，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】计算得到，，利用换底公式计算得到答案.
【详解】，故，，，.
故答案为：
16. 已知实数m，n满足，则______.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，根据函数的单调性可得，进而根据对数的运算性质即可求解.
【详解】由可得，
记，由于函数单调递减，所以单调递增，
由可得，
又，因此，
由可得，
所以，可得，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简条件式及所求式子，即可得出结果；
（2）根据同角三角函数的基本关系式可得，利用齐次式的解法即可得出结果．
【小问1详解】
因为，所以.
则.
【小问2详解】
因为，，所以，
则.
所以.
18. 已知定义在R上的函数，满足.
（1）求的解析式；
（2）若点在图像上自由运动，求的最小值.
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）用替换已知中的，然后解方程；
（2）利用基本不等式求最值.
【小问1详解】
因为，①
所以，②
由①②可解得：.
【小问2详解】
由题知：，
∴
（当且仅当，即时取“＝”）.
∴的最小值为8.
19. 已知定义在上的函数，对于，恒有.
（1）求证：是奇函数；
（2）若是增函数，解关于x的不等式.
【答案】19. 证明见解析
20. 答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用赋值法求出，再令结合奇函数的定义即可判断；
（2）利用单调性，将不等式转化为，然后对进行分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可．
【小问1详解】
取，则，解得，
取，则，
所以，
故奇函数；
【小问2详解】
不等式，即，
又为上的单调递增函数，
则，即，
当时，不等式的解集为；
当时，解得，不等式的解集为．
当时，解得，不等式的解集为．
20. 随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的数据如下表所示：
60 70 80 90 100
8.8 11 13.6 16.6 20
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②.
（1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号电动汽车从地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）.若不充电，该电动汽车能否到达地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从地到达地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值.
【答案】（1）选择函数模型①，
（2）需要，最少用时为小时.
【解析】
【分析】（1）由表格中的数据，由增长速度可知，选择函数模型①，代入数据计算系数可得函数解析式；
（2）计算行驶耗电量，判断是否需要充电，表示出总时间，利用基本不等式求所用时间的最小值.
【小问1详解】
与的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型①，
由题意有：解得：
所以.
【小问2详解】
设耗电量为，则，
任取，
，
由，，，，
则有，即，
所以函数在区间单调递增， ，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达地.
又设行驶时间与充电时间分别为，总和为，若能到达地，
则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量，
即，解得，
所以总时间，
当且仅当，即时取等，所以该汽车到达地的最少用时为小时.
【点睛】方法点睛：
函数模型的选择有：
一、观察法寻找自变量与函数值的变化规律，如线性关系较明确的，可直接待定系数法求出解析式；
二、对于规律不明显的，则要先作出散点图（作图要恰当选择单位等），再观察散点图的特征，看这些点的分布最近接哪类初等函数，一般有直线型的，指数型的，正（余）弦波型的等，选一个或2个模型带入比较，最后确定一个误差较小的． 在解决一般应试题时，一定要仔细研读题意，并且注意联系实际生活常识（或现有理论）等，一步到位的选择模型．
21. 已知函数，.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围.
（3）若函数有且仅有3个零点，求所有零点之和.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的单调增区间即可得出答案；
（2）由题可知在区间内有两个相异的实根，即图像与的图像有两个不同的交点结合图像可得结果.
（3）关于成中心对称，而关于成中心对称，设三个零点为，则，即可得出答案.
【小问1详解】
由，得.
故函数的单调递增区间为：
【小问2详解】
若函数在区间上有两个零点，
令，即与在区间上有两个交点，
令，由，则，
即与在区间上有两个交点，
画出与在区间上的图象，如下：
由图可知：.
【小问3详解】
函数有且仅有3个零点，
因为关于成中心对称，
而关于成中心对称，
设三个零点为，则，
所以所有零点之和.
22. 若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”．
（1）函数是否有“飘移点”？请说明理由；
（2）证明函数在上有“飘移点”；
（3）若函数在上有“飘移点”，求实数a取值范围．
【答案】（1）不存在，理由见详解
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意整理得，通过判断该方程是否有解；
（2）根据题意可得，构建函数，结合零点存在性定理分析证明；
（3）根据题意整理得，利用换元结合基本不等式运算求解.
【小问1详解】
不存在，理由如下：
对于，则，整理得，
∵，则该方程无解，
∴函数不存在“飘移点”.
【小问2详解】
对于，则，整理得，
∵在内连续不断，且，
∴在内存在零点，则方程在内存在实根，
故函数在上有“飘移点”.
【小问3详解】
对于，则，即，
∵，则，
令，则，
∴，
又∵，当且仅当，即时等号成立，
则，，
∴，即，
故实数a的取值范围为.
