30.4 课时3 根据二次函数的函数值解决问题
【练基础】
必备知识1 几何图形中的二次函数关系
1.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,E为AC边上的点且AE=2EC,点D在BC边上且满足BD=DE,设BD=y,S△ABC=x,则y与x的函数关系式为 ( )
A.y=x2+
B.y=x2+
C.y=x2+2
D.y=x2+2
2.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm,动点P从点A开始沿边AB向B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合).若P、Q分别从A、B同时出发,则当四边形APQC的面积最小时,经过了 ( )
A.1秒 B.2秒 C.3秒 D.4秒
必备知识2 行驶问题中的二次函数模型
3.一辆汽车刹车后行驶的距离s(单位:米)关于行驶时间t(单位:秒)的函数解析式是s=15t-6t2,那么行驶的距离s与行驶时间t之间的函数图像大致是 ( )
4.汽车刹车后行驶的距离s(单位:米)关于行驶的时间t(单位:秒)的函数解析式为s=-6t2+bt(b为常数).已知当t=时,s=6,则汽车刹车后行驶的最大距离为 ( )
A. 米 B.8 米 C. 米 D.10 米
5.如图,从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(m)与小球运动时间t(s)之间的函数关系式为h=-5t2+30t,那么小球从抛出至落到地面
所需要的时间是 ( )
A.6 s B.4 s
C.3 s D.2 s
【练能力】
6.在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,点P、Q同时由点B出发,终点都是点D,速度都是1 cm/s.点P的运动路径是B→A→D,点Q的运动路径是B→C→D,设线段PQ与矩形边围成的阴影部分面积为S,则S与t之间的函数图像为 ( )
7.“泱泱华夏,浩浩千秋.于以求之 旸谷之东.山其何辉,韫卞和之美玉…”这是武汉16岁女孩刘天羽用文言文写中华人民共和国成立70周年阅兵的观后感.小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上,并决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将文章发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发,每个好友转发之后,又邀请n个互不相同的好友转发,依此类推.已知经过两轮转发后,共有111个人参与了宣传活动,则n的值为 .
8.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+6x-5的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其顶点为P,连接PA、AC、CP,过点C作y轴的垂线l.
(1)求P、C两点的坐标.
(2)直线l上是否存在点Q,使△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍 若存在,请求出点Q的坐标;若不1存在,请说明理由.
【练素养】
9.随着城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润y1与投资额x成正比例关系,如图1;种植花卉的利润y2与投资额x成二次函数关系,如图2(注:利润与投资额的单位为万元).今年这位专业户投入8万元资金种植花卉和树木.
(1)分别求出利润y1与y2关于投资额x的函数表达式.
(2)如何安排投资才能获得22万元的利润
(3)设这位专业户投入m万元资金种植树木,获得的利润为w万元,求w的最小值.
10.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,A(2,2),AC∥y轴,AC=AB=2,抛物线L:y=-(x-t)2+t(t>0)的顶点为M,与y轴的交点为N.
(1)设P为BC的中点,直接写出直线AP的函数表达式: .
(2)求点N最高时的坐标.
(3)抛物线有可能经过点C吗 请说明理由.
(4)在L的位置随t的值变化而变化的过程中,求点M在△ABC内部所经过路线的长.
参考答案
练基础
1.A 2.C 3.D 4.C 5.A
练能力
6.A 7.10
8.【解析】(1)∵y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,
∴顶点P(3,4),
令x=0,得y=-5,
∴C(0,-5).
(2)存在.
令y=0,则x2-6x+5=0,解得x=1或x=5,
∴A(1,0),B(5,0).
设直线PC的解析式为y=kx+b(k≠0),则有解得
∴直线PC的解析式为y=3x-5,设直线交x轴于点D,则D,
如图,设直线PQ交x轴于点E,当BE=2AD时,△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍.
∵AD=,∴BE=,
∴E或E',
则直线PE的解析式为y=-6x+22,
∴Q,
直线PE'的解析式为y=-x+,
∴Q',-5.
综上所述,Q为或.
练素养
9.【解析】(1)设y1=kx(k≠0),y2=ax2(a≠0).
∵点P(1,2)在y1=kx(k≠0)的图像上,
∴k=2.
∵Q(2,2)在y2=ax2(a≠0)的图像上,
∴2=22×a,
∴a=,
∴利润y1与y2关于投资额x的函数表达式分别为y1=2x,y2=x2.
(2)设这位专业户投入x万元资金种植树木,那么种植花卉的投入资金为(8-x)万元,根据题意,得2x+(8-x)2=22,
化简得x2-12x+20=0,解得x1=2,x2=10.
∵0故需投入2万元资金种植树木,6万元资金种植花卉,才能获得22万元的利润.
(3)由题意知,这位专业户投入m万元资金种植树木,则种植花卉的投入资金为(8-m)万元,
∴他获得的利润w=2m+(8-m)2,
化简得w=m2-6m+32=(m-6)2+14.
∵0≤m≤8,
∴当m=6时,w取最小值,最小值为14.
10.【解析】(1)∵∠BAC=90°,A(2,2),AC∥y轴,AC=AB=2,∴B(4,2),C(2,4).∵P为BC的中点,∴P(3,3),A(2,2),设直线AP的函数表达式为y=kx+b,将点P(3,3),A(2,2)代入,得解得,∴直线AP的函数表达式为y=x,故答案为y=x.
(2)当x=0时,y=-(x-t)2+t=-t2+t=-(t-1)2+,∴y的最大值为,即抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为,∴点N最高时的坐标为.
(3)不可能,理由如下:把点C(2,4)代入y=-(x-t)2+t,得4=-(2-t)2+t,化简为t2-6t+12=0.∵(-6)2-4×1×12<0,∴原方程没有实数根,即抛物线不可能经过点C.
(4)由y=-(x-t)2+t,可知顶点M(t,t),∴在L的位置随t的值变化而变化的过程中,点M都在直线y=x上移动,且经过直线y=x上的点A,P,如图所示.
在Rt△ABC中,AC=AB=2,∴BC==2,∴AP=,∴点M在△ABC内部所经过路线的长为.
230.4 课时1 抛物线型运动问题
【练基础】
必备知识1 二次函数在运动中的应用
1.一个网球发射器向空中发射网球,网球飞行的路线呈一条抛物线,如果网球距离地面的高度h(米)关于运行时间t(秒)的函数解析式为h=-t2+t+1(0≤t≤20),那么网球到达最高点时距离地面的高度是 ( )
A.1米 B.1.5米
C.1.6米 D.1.8米
2.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球的行进高度y(m)与水平距离x(m)间的函数关系式为y=-(x-4)2+3,由此可知铅球推出的距离是( )
A.2 m B.8 m
C.10 m D.12 m
3.如图,小明在校运动会上掷铅球时,铅球的运动路线是抛物线y=-(x+1)(x-7),若铅球落在A点,则OA= 米.
必备知识2 二次函数在桥梁等建筑中的应用
4.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y=-x2,当水面离桥拱顶的高度DO是2 m时,水面的宽度AB为 ( )
A.-10 m B.-5 m
C.5 m D.10 m
5.有一座拱桥洞呈抛物线形状,这个桥洞的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中,则抛物线对应的函数关系式为 .
6.如图,这是一款抛物线形落地灯的示意图,灯柱AB的高为1.5 m,防滑螺母C为抛物线支架的最高点,距灯柱的水平距离为1.6 m,灯罩D距离地面1.86 m,若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE为 ( )
A.3.2 m
B.3 m
C.2.88 m
D.1.6 m
【练能力】
7.图2是图1中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O、B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线y=-(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面上,有AC⊥x轴,若OA=10米,则桥面离水面的高度AC为 ( )
A.16 米 B. 米
C.16 米 D. 米
8.(改编)一位运动员在离篮筐水平距离4 m处起跳投篮,球运行路线可看作抛物线,当球离开运动员的水平距离为1 m时,它与篮筐同高,球运行中的最大高度为3.5 m,最后准确落入篮筐,已知篮筐到地面的距离为3.05 m,该运动员投篮出手点距离地面的高度为 m.
9.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚,尺寸如图所示,若菜农的身高为1.8 m,他在不弯腰的情况下,在棚内的横向活动范围是 m.
10.如图,某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物,大门的宽度为8米,两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米,则校门的高度是多少 (结果精确到0.1米)
【练素养】
11.如图,已知女排球场的长度OD为18米,位于球场中线处的球网AB的高度为2.24米,一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去,排球的飞行路线是抛物线的一部分,当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时,到达最高点G,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)若排球运行的最大高度为2.8米,求排球飞行的高度p(单位:米)与水平距离x(单位:米)之间的函数关系式(不要求写自变量x的取值范围).
(2)在(1)的条件下,这次所发的球能够过网吗 如果能够过网,是否会出界 请说明理由.
(3)若李明同学发球要想过网,又使排球不会出界(排球压线属于没出界),求二次函数中二次项系数的最大值.
参考答案
练基础
1.D 2.C 3.7 4.D 5.y=-(x-20)2+16
6.C 【解析】如图,以A为坐标原点,AE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据题意知,抛物线的顶点C的坐标为(1.6,2.5),设抛物线的表达式为y=a(x-1.6)2+2.5,将点B(0,1.5)代入,得2.56a+2.5=1.5,解得a=-,
所以抛物线的表达式为y=-(x-1.6)2+2.5.当y=1.86时,-(x-1.6)2+2.5=1.86,解得x1=0.32(舍去),x2=2.88.所以茶几到灯柱的距离AE为2.88 m.
故选C.
练能力
7.B 8.2.25 9.3
10.【解析】如图,以地面为x轴,大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系,
则抛物线过O(0,0)、E(8,0)、A(1,4)、B(7,4)四点.
设该抛物线解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
则解得
故函数解析式为y=-x2+x.
当x=4时,y=-+=≈9.1米.
答:校门的高度是9.1米.
练素养
11.【解析】(1)由排球运行的最大高度为2.8米,得顶点的坐标点G为(6,2.8),则设抛物线的解析式为p=a(x-6)2+2.8,∵点C的坐标为(0,2),点C在抛物线上,∴2=a(0-6)2+2.8,解得a=-,∴p=-(x-6)2+2.8,则排球飞行的高度p(单位:米)与水平距离x(单位:米)之间的函数关系式为p=-(x-6)2+2.8.
(2)当x=9时,p=-(9-6)2+2.8=2.6>2.24,当x=18时,p=-(18-6)2+2.8=-0.4<0,故这次发球可以过网且不出边界.
(3)设抛物线的解析式为p=a(x-6)2+h,将点C代入得36a+h=2,即h=2-36a,∴此时抛物线的解析式为p=a(x-6)2+2-36a,根据题意,不过边界时有a(18-6)2+2-36a≤0,解得a≤-,要使网球过网,a(9-6)2+2-36a≥2.24,解得a≤-,故李明同学发球要想过网,又使排球不会出界(排球压线属于没出界),二次函数中二次项系数的最大值为-.
230.4 课时2 二次函数的最值问题
【练基础】
必备知识1 最大面积问题
1.为搞好环保,某公司准备修建一个长方体的污水处理池,已知池底面积y(m2)与一边长x(m)之间的函数关系式为y=-(x-25)2+625,则池底的最大面积是 ( )
A.600 m2 B.625 m2
C.650 m2 D.675 m2
2.如图,已知矩形ABCD的面积y(m2)与边AB的长x(m)之间的函数关系式为y=-x2+16x,则当y取得最大值时,AB的长是 ( )
A.4 m
B.6 m
C.8 m
D.64 m
必备知识2 最大利润问题
3.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时,每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加1个,则能获取的最大利润是 ( )
A.600元 B.625元 C.650元 D.675元
4.便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周的利润y(元)与每件的销售价格x(元)之间的关系满足y=-2(x-20)2+1558,由于某种原因,价格范围只能为15≤x≤22,那么一周可获得的最大利润是( )
A.20元 B.1508元
C.1550元 D.1558元
【练能力】
5.某商家通过“直播带货”使商品的网上零售额得以迅速增长.该商家销售一种进价为10元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足y=-10x+400,若每天至少销售60件,且销售单价不低于30元,则想保证销售这种商品每天的利润最大,销售单价应为 ( )
A.20元 B.25元
C.30元 D.35元
6.某快餐店销售A,B两种快餐,每份利润分别为12元,8元,每天卖出份数分别为40份,80份.该店为了增加利润,准备减少每份A种快餐的利润,同时增加每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份A种快餐利润每减少1元可多卖2份,每份B种快餐利润每增加1元就少卖 2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是 元.
7.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)的总长为21 m,则能建成的饲养室总占地面积最大为 m2.
8.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用32 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB、BC两边),设AB=x m.
(1)若花园的面积为252 m2,求x的值.
(2)若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是17 m 和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.
9.某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出3万件;若按每件6元的价格销售,每月能卖出2万件,假定每月销售的件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系.
(1)试求y与x之间的函数关系式.
(2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大 每月的最大利润是多少
10.“小摊点,大民生”,地摊经济作为国家解决就业和民生问题的一项政策,关系着千家万户.九年级数学兴趣小组的同学为了了解某夜市地摊经济的情况,对某服装摊点展开了调查,发现某种运动服的月销量与售价满足一次函数关系,具体信息如下表:
售价/(元/件) 200 210 220 230 …
月销量/件 200 180 160 140 …
已知该运动服的进价为每件160元,设每件售价为x元,月销量为y件.
(1)求出y关于x的函数表达式.
(2)若销售该运动服的月利润为w元,求出w关于x的函数表达式,并求出月利润最大时的售价.
(3)由于每件运动服的进价降低了a元,商家决定回馈顾客,打折销售,结果发现,月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低10元/件,则a的值是多少
【练素养】
11.某网点尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品,经过统计得到此商品价格在第x天(x为正整数)销售的相关信息,如表所示:
销售量n/件 n=50-x
销售价格m/(元/件) m=20+x
(1)请计算第几天该商品的价格为25元/件.
(2)求网店第几天的销售额为792元.
(3)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式,这30天中第几天获得的利润最大 最大利润是多少
参考答案
练基础
1.B 2.C 3.B 4.D
练能力
5.C 6.1264 7.48
8.【解析】(1)由AB=x m,可知BC=(32-x)m,根据题意得x(32-x)=252,
解得x1=18,x2=14.
答:x的值为18或14.
(2)根据题意,得S=x(32-x)=-(x-16)2+256.
∵在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是17 m和6 m,∴6≤x≤15,
∴当x=15时,S最大=-(15-16)2+256=255 m2.
答:花园面积的最大值是255 m2.
9.【解析】(1)由题意可设y=kx+b,
把(5,30000),(6,20000)代入,
得
解得
所以y与x之间的关系式为y=-10000x+80000.
(2)设利润为W,W=(x-4)(-10000x+80000)=-10000(x-4)(x-8)=-10000(x2-12x+32)=-10000[(x-6)2-4]=-10000·(x-6)2+40000,所以当x=6时,W取得最大值,最大值为40000元.
答:当销售价格定为6元时,每月的利润最大,每月的最大利润为40000元.
10.【解析】(1)设y关于x的函数表达式为y=kx+b,
把(200,200),(210,180)代入,
得
解得
∴y关于x的函数表达式为y=-2x+600.
(2)w=(x-160)(-2x+600)=-2(x-230)2+9800,
当x=230时,w取得最大值,最大值为9800,
即当售价为230元/件时,月利润最大,最大利润为9800元.
(3)设调整后的售价为t元/件,则调整后每件运动服的利润为(t-160+a)元,销量为(-2t+600)件,月利润w=(t-160+a)(-2t+600)=-2t2+(920-2a)t+600a-96000,
当t=230-时,月利润w最大,
则230-=230-10,解得a=20.
练素养
11.【解析】(1)当m=25时,20+x=25,解得x=10,所以第10天时该商品的销售价格为25元/件.
(2)根据题意,可列方程为(50-x)=792,解得x=26或x=-16(舍去).
答:网店第26天的销售额为792元.
(3)根据题意可得y=n(m-10)=(50-x)=-(x-15)2+,当x=15时,最大利润是.
答:这30天中第15天获得的利润最大,最大利润是元.
2
