30.5 二次函数与一元二次方程的关系 分层作业 （含答案）2023-2024学年初中数学冀教版九年级下册

30.5　二次函数与一元二次方程的关系
【练基础】
必备知识1 抛物线与x轴的交点
1.二次函数y=5x2-3x+4与y=4x2-x+3的图像的交点有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
2.若函数y=mx2+2x+1的图像与x轴只有一个公共点,则常数m的值是　 .
3.二次函数y=x2的图像与一次函数y=2x-1的图像的交点坐标为　 .
必备知识2 利用二次函数求一元二次方程的近似解
4.二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表,则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是 ( )
x … 6.17 6.18 6.19 …
y … -0.03 -0.01 0.02 …
A.-0.03B.-0.01C.6.18D.6.175.试写出一个二次函数关系式,当y=0时,使它对应的一元二次方程的一个根为0,另一个根在1到2之间:　 .
【练能力】
6.若m,n(mA.mC.a7.已知一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的两个实数根x1、x2满足x1+x2=4和x1·x2=3,那么二次函数y=ax2+bx+c的图像有可能是 ( )
8.抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n交于点A(-2,5),B(3,)两点,则关于x的一元二次方程a(x+1)2+c-n=(m-b)(x+1)的两根之和是　 .
9.抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示,那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是　 .
10.已知二次函数y=x2-mx+m-2.
(1)求证:无论m取何值,此二次函数的图像与x轴总有两个交点.
(2)当二次函数图像经过点(3,6)时,试确定m的值,并写出此二次函数的解析式.
11.已知二次函数y=-x2-2x+2.
(1)填写下表,并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像.
(2)结合函数的图像,直接写出方程-x2-2x+2=0的近似解(指出在哪两个连续整数之间即可).
x ... -4 -4 -2 -1 0 1 2 ...
y ... ...
12.已知二次函数y=-2x2-4x+6.
(1)用配方法求出函数的顶点坐标.
(2)求出该二次函数图像与x轴的交点坐标.
(3)该图像向右平移　 个单位长度,可使平移后所得图像经过坐标原点.请直接写出平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标为　 .
【练素养】
13.如图,二次函数y=-x2+2x+m的图像与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.
(1)求m的值.
(2)求点B的坐标.
(3)该二次函数图像上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0),使S△ABD=S△ABC,求点D的坐标.
14.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x+c(c为常数)的对称轴如图所示.
(1)当c=-3时,点(x1,y1)在抛物线y=x2-2x+c上,求y1的最小值.
(2)若抛物线与x轴有两个交点,自左向右分别为点A,B,且OA=OB,求抛物线的表达式.
参考答案
练基础
1.B　2.0或1　3.(1,1)　4.C　5.y=x2-x(答案不唯一)
练能力
6.A　7.C　8.-1　9.(1,0)
10.【解析】(1)证明:令y=0,则x2-mx+m-2=0,∴Δ=m2-4(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4≥4>0,
∴无论m为何值,y=x2-mx+m-2与x轴总有两个交点.
(2)∵y=x2-mx+m-2过点(3,6),
∴9-3m+m-2=6,∴m=,
∴y=x2-x-.
11.【解析】 (1)填表如下:
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 ...
y ... -6 -1 2 3 2 -1 -6 ...
所画图像如图所示.
(2)由图像可知,方程-x2-2x+2=0的两个近似解分别在-3~-2之间和0~1之间.
12.【解析】(1)y=-2x2-4x+6=-2(x+1)2+8,∴抛物线的顶点坐标为(-1,8).
(2)当y=0时,-2(x+1)2+8=0,解得x=1或x=-3,∴抛物线y=-2x2-4x+6与x轴的交点坐标为(1,0),(-3,0).
(3)∵抛物线y=-2x2-4x+6与x轴的交点坐标为(1,0),(-3,0),∴将抛物线y=-2x2-4x+6向右平移3个单位长度,可使平移后所得图像经过坐标原点,平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标为(4,0).
故答案为3;(4,0).
练素养
13.【解析】(1)把A(3,0)代入二次函数y=-x2+2x+m得-9+6+m=0,解得m=3.
(2)由(1)可知,二次函数的解析式为y=-x2+2x+3,当x=0时,有y=3,∴C(0,3),当y=0时,有-x2+2x+3=0,∴x2-2x-3=0,∴(x+1)(x-3)=0,∴x=-1或x=3,∴B(-1,0).
(3)∵S△ABD=S△ABC,当y=3时,有-x2+2x+3=3,∴-x2+2x=0,∴x2-2x=0,∴x(x-2)=0,∴x=0或x=2.
∵x>0,∴点D的坐标为(2,3).
14.【解析】(1)当c=-3时,抛物线的表达式为y=x2-2x-3,
∴抛物线开口向上,二次函数y=x2-2x-3有最小值,
∴y最小==-4,
∴y1的最小值为-4.
(2)抛物线与x轴有两个交点,
①如图1,当点A,B都在原点的右侧时.
设A(m,0),∵OA=OB,
∴B(2m,0).
∵抛物线y=x2-2x+c的对称轴为直线x=1,
由抛物线的对称性得1-m=2m-1,解得m=,
∴A.
∵点A在抛物线y=x2-2x+c上,
∴0=-+c,解得c=,
此时抛物线的表达式为y=x2-2x+.
②如图2,当点A在原点的左侧,点B在原点的右侧时.
设A(-n,0),∵OA=OB,且点A,B在原点的两侧,∴B(2n,0).
由抛物线的对称性得n+1=2n-1,解得n=2,
∴A(-2,0).
∵点A在抛物线y=x2-2x+c上,
∴0=4+4+c,解得c=-8,
此时抛物线的表达式为y=x2-2x-8.
综上所述,抛物线的表达式为y=x2-2x+或y=x2-2x-8.
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