31.3 课时1 频率的稳定性
【练基础】
1.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是 ( )
A.频率等于概率
B.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近
C.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近
D.试验得到的频率与概率不可能相等
2.用频率估计概率,可以发现,某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9,下列说法正确的是 ( )
A.种植10棵幼树,结果一定是“有9棵幼树成活”
B.种植100棵幼树,结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”
C.种植10n棵幼树,恰好有“n棵幼树不成活”
D.种植n棵幼树,当n越来越大时,种植幼树成活的频率会越来越稳定于0.9
3.在“抛掷正六面体”的试验中,正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”,当试验次数很大时,数字“1”朝上的频率接近的值是 .
4.已知不透明的袋中只装有黑、白两种球,这些球除颜色外都相同,其中白球有9个,黑球有n个,若随机地从袋子中摸出一个球,记录下颜色后,放回袋子中并摇匀,经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近,则n的值为 .
5.在对某次试验数据整理的过程中,某个事件发生的频率随试验次数的变化而变化的折线图如图所示,这个图形中折线的变化特点说明随着试验次数的增大,该事件发生的频率 .
【练能力】
6.在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有60个,这些球除颜色外其他完全相同,小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45,则布袋中白色球的个数可能是 ( )
A.24 B.18 C.16 D.6
7.在一只暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球,这a个球中红球只有3个,每次将球搅拌均匀后,任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在20%,那么可以推算a大约是 ( )
A.15 B.12
C.9 D.4
8.为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大,小明做了大量重复试验,发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%,则下列说法错误的是 ( )
A.钉尖着地的频率是0.4
B.随着试验次数的增加,钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近
C.前10次试验结束后,钉尖着地的次数一定是4次
D.前10次试验结束后,钉尖着地的次数不一定是4次
9.小明抛掷一枚质地不均匀的硬币,重复抛掷了这枚硬币1000次,所得结果如下.
抛掷 次数n 100 200 300 400 500 600 700 800 1000
“正面朝上” 次数m 63 151 221 289 358 429 497 566 701
“正面朝上” 频率
(1)计算并完成表格.(结果精确到0.01)
(2)画出出现“正面朝上”的频率的折线统计图.
(3)随着试验次数的增大,出现“正面朝上”的频率是否趋于稳定 如果稳定,你认为它在哪个常数附近摆动
【练素养】
10.如图,地面上有一个不规则的封闭图形ABCDEF,为求得它的面积,小明在此封闭图形内画出一个半径为1 m的圆后,站在封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内投掷小石子(可把小石子近似地看成点),相关数据记录如下表所示.
投掷小石子的总次数小石子所落的有效区域 50 150 300 …
小石子落在圆内(含圆上)的次数m 14 48 89 …
小石子落在圆以外的阴影部分(含外缘上)的次数n 30 95 180 …
(1)当投掷的次数很大时,m∶n的值越来越接近 .(结果精确到0.1)
(2)若以小石子落在有效区域的次数(即m+n)为总数,则随着投掷次数的增大,小石子落在圆内(含圆上)的频率稳定在 .(结果精确到0.1)
(3)利用(2)中所得频率的稳定值,估计整个封闭图形ABCDEF的面积.(结果用π表示)
参考答案
练基础
1.B 2.D 3. 4.6
5.逐渐稳定到50%附近
练能力
6.A 7.A 8.C
9.【解析】(1)=0.63,≈0.76,≈0.74,≈0.72,≈0.72,≈0.72,=0.71,≈0.71,≈0.70.
完成的表格如下所示.
抛掷 次数n 100 200 300 400 500 600 700 800 1000
“正面朝上” 次数m 63 151 221 289 358 429 497 566 701
“正面朝上” 频率 0.63 0.76 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71 0.71 0.70
(2)所画出现“正面朝上”的频率的折线统计图如图所示.
(3)随着试验次数的增大,出现“正面朝上”的频率趋于稳定,它在0.70附近摆动.
练素养
10.【解析】(1)0.5.
提示:≈0.47,≈0.51,≈0.49,…
所以当投掷的次数很大时,m∶n的值越来越接近0.5.
(2)0.3.
(3)设封闭图形ABCDEF的面积为a m2,根据题意得=0.3,
解得a=,所以封闭图形ABCDEF的面积约为 m2.
231.3 课时2 用频率估计概率
【练基础】
1.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个,这些球除颜色外都相同.小明通过多次实验发现,摸出红球的频率稳定在0.25左右,则袋子中红球的个数最有可能是 ( )
A.5 B.10 C.12 D.15
2.如图,这是某小组做“用频率估计概率”的试验时绘出的某一结果出现的频率的折线图,则符合这一结果的试验可能是 ( )
A.抛一枚硬币,出现正面朝上
B.掷一个正六面体的骰子,出现3点朝上
C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
D.从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球,取到的是黑球
3.在一个不透明的袋子里,有若干个完全相同的蓝色玻璃球,现将只有颜色不同的10个同款红色玻璃球放入袋中,充分混合后随机倒出20个,其中红色玻璃球有2个,由此可估计袋子里原有蓝色玻璃球 ( )
A.50个 B.80个 C.90个 D.100个
4.某射手在相同条件下进行射击训练,结果如下:
射击次数n 10 20 40 50
击中靶心的频数m 9 19 37 45
击中靶心的频率 0.900 0.950 0.925 0.900
射击次数n 100 200 500 1000
击中靶心的频数m 89 181 449 901
击中靶心的频率 0.890 0.905 0.898 0.901
该射手击中靶心的概率的估计值是 (结果精确到0.01).
【练能力】
5.如图,在正方形ABCD内,有一个内切圆☉O.利用电脑设计程序:在正方形内随机产生一些点,当点数很多时,电脑自动统计正方形内的点数为a,☉O内的点数为b(在正方形边上和圆上的点不统计).利用频率估计概率的思想,可推得π的大小约是 ( )
A.
B.
C.
D.
6.下列说法正确的是 ( )
①在不同条件下,两个人做同一个试验,根据第一个人得出该事件发生的频率可以估计第二个人得出该事件发生的频率;
②在相同条件下,做的试验次数越多,某事件发生的频率就和该事件的概率越接近;
③抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正、反面的概率都是0.5,所以抛掷硬币2次,一定会出现正面1次,出现反面1次.
A.①② B.②
C.②③ D.①②③
7.一个不透明的口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个,小红通过多次摸球试验,发现摸到红球的频率为30%,摸到蓝球的频率为20%,估计这个口袋中有 个红球, 个黄球, 个蓝球.
8.一个布袋里装有10个只有颜色不同的球,这10个球中有m个红球,从布袋中摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀;再摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀……通过大量重复试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.2左右,则m的值为 .
9.某景点为吸引游客,设置了一种游戏,其规则如下:凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球(每个球除颜色外,其他都相同)的不透明纸箱中,随机摸出一个球,摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.据统计,参与这种游戏的游客共有60000人,景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个.
(1)求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率.
(2)请你估计纸箱中白球的数量.
【练素养】
10.一个口袋中放有红、蓝、黄三种颜色的小球若干个,这些小球除颜色不同外其余均相同.小明进行了大量的摸球实验:随机摸出一球,记下颜色放回去,搅拌均匀再摸出一球,记下颜色再放回去……实验结束后,小明根据记录绘制了如图所示的尚不完整的频数直方图,并统计出:摸出黄球的次数是200,摸出红球的次数比摸出蓝球次数的2倍少100,摸出黄球的频率为.
(1)小明共摸了多少次球
(2)补全直方图.
(3)若口袋中共有12个小球,请用小明的实验结论估计其中红球的个数.
参考答案
练基础
1.A 2.D 3.C 4.0.90
练能力
5.B 6.B 7.60 100 40 8.2
9.【解析】(1)参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为=0.25.
(2)由(1)可估计随机摸出一个球是红球的概率为0.25.
设袋子中白球的数量为x,则=0.25,
解得x=36,经检验,x=36是分式方程的解且符合实际,
所以估计纸箱中白球的数量为36个.
练素养
10.【解析】(1)根据题意,可得200÷=1000(次),∴小明共摸了1000次球.
(2)设摸出蓝球x次,根据题意可得x+(2x-100)+200=1000,解得x=300,∴2x-100=500(个),补全直方图如图所示:
(3)∵实验中摸出红球的次数为500,∴摸出红球的频率为=,由此估计随机摸出一个小球是红球的概率是,∴估计口袋中有红球12×=6(个).
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