2024年九年级中考复习数学专题：等腰三角形（含解析版）

中考复习专题：等腰三角形　
一．选择题（共12小题）
1．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m﹣n等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
2．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（　　）
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的角平分线
D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）
3．如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（　　）
A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC
4．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
7．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，P为边长为2的正三角形内任意一点，过P点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则PD+PE+PF的值为（　　）
A． B． C．2 D．2
9．如图，△ABC的面积为20，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（　　）
A．2 B． C． D．3
　
二．填空题（共14小题）
11．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=　 　．
12．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　 　．
13．如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=　 　．
14．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为　 　．
15．在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为　 　（用含a的式子表示）．
16．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为　 　．
17．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=　 　cm．
18．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=　 　．
19．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为　 　．
20．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2017次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为　 　．
21．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　 　．
22．如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为　 　．
23．在△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高为12，则△ABC的面积为　 　．
24．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5，则四边形ABCD的面积为=　 　，BD的长为　 　．
　
三．解答题（共4小题）
25．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．
（1）若AD=2，求AB；
（2）若AB+CD=2+2，求AB．
26．如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm；
请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF的面积）．
27．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．
（1）求sinB的值；
（2）如果CD=，求BE的值．
28．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证：AD=BE；
②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．
　
参考答案
　
一．选择题（共12小题）
1．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m﹣n等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
【解答】解：设空白出图形的面积为x，
根据题意得：m+x=9，n+x=6，
则m﹣n=9﹣6=3．
故选B．
2．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（　　）
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的角平分线
D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）
【解答】解：作∠E的平分线，
可得点P到AB和CD的距离相等，
因为AB=CD，
所以此时点P满足S△PAB=S△PCD．
故选D．
3．如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（　　）
A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC
【解答】解：如图
过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，
∴△BDE∽△CDA，
∴=，
又∵AD是角平分线，
∴∠E=∠DAC=∠BAD，
∴BE=AB，
∴=，
∴AB：AC=BD：CD．
故选：A．
　
4．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠C=∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，
∴∠A=∠ADE，
∴DE=AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故选D．
5．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．
∴AB=2，
①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4），
∵点（0，4）与直线AB共线，
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．
故选A
6．如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【解答】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD=DE，
∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC，
∴S△ADC═S△ABC=×12=6，
故选C．
7．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、中作∠B的角平分线即可；
C、过A点作BC的垂线即可；
D、中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可；
只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
故选B．
8．如图，P为边长为2的正三角形内任意一点，过P点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则PD+PE+PF的值为（　　）
A． B． C．2 D．2
【解答】解：如图，连接PA、PB、PC，，
∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴△ABC的面积为：
；
∵SABC=SAPB+SAPC+SBPC
=×2×PD+×2×PF+×2×PE
=PD+PE+PF
∴PD+PE+PF=，
即PD+PE+PF的值为．
故选：B．
9．如图，△ABC的面积为20，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【解答】解：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，
则有h=h1+h2，S△ABC=BC h=2，
∴S阴影=S△AGH+S△CGH=GH h1+GH h2=GH （h1+h2）=GH h．
∵四边形BDHG是平行四边形，且BD=BC，
∴GH=BD=BC，
∴S阴影=×（ BC h）=S△ABC=5．
故选A．
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（　　）
A．2 B． C． D．3
【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，
∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴AC===4，
∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，
∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，
∴AG=BG=2
∵S△ABC= AB BC=×2×2=4，
∴S△ADC=2，
∵=2，
∵△DEF∽△DAC，
∴GH=BG=，
∴BH=，
又∵EF=AC=2，
∴S△BEF= EF BH=×2×=，
故选C．
方法二：S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED，
易知S△ABE+S△BCF=S四边形ABCD=3，S△EDF=，
∴S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED=6﹣3﹣=．
故选C．
二．填空题（共14小题）
11．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=　3　．
【解答】解：△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD=AE=2，AC=AB=5，
∴CE=BD=AB﹣AD=3，
故答案为3．
12．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　4：5：6　．
【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB OD）：（BC OF）：（AC OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．
故答案为：4：5：6．
13．如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=　70°　．
【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；
又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），
∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．
故答案为：70°．
14．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为　　．
【解答】解：如图所示：
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴，
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，
∴，
解得：x=，
则EH=．
故答案为：．
15．在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为　3a　（用含a的式子表示）．
【解答】解：由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE=BE，
则BE=EF=a，
∴BF=2a，
∵∠B=30°，
∴DF=BF=a，
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a；
故答案为：3a．
16．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为　　．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴AB=BD+AD=BD+CD，
设CD=x，则BD=4﹣x，
在Rt△BCD中，
CD2=BC2+BD2，即x2=32+（4﹣x）2，
解得x=．
故答案为：．
17．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=　4　cm．
【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，
∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，
∴∠ABC=∠A=45°，
∵∠GMB=∠A，
∴∠GMB=∠A=22.5°，
∵BG⊥MG，
∴∠BGM=90°，
∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．
∵MD∥AC，
∴∠BMD=∠A=45°，
∴△BDM为等腰直角三角形
∴BD=DM，
而∠GBH=22.5°，
∴GM平分∠BMD，
而BG⊥MG，
∴BG=EG，即BG=BE，
∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，
∴∠MHD=∠E，
∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，
∴∠GBD=∠HMD，
∴在△BED和△MHD中，
，
∴△BED≌△MHD（AAS），
∴BE=MH，
∴BG=MH=4．
故答案是：4．
　
18．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=　π　．
【解答】解：（1）图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°
∵∠C=90°
∴四边形OECF为矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF为正方形
设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r
∴3﹣r+4﹣r=5，r==1
∴S1=π×12=π
（2）图2，由S△ABC=×3×4=×5×CD
∴CD=
由勾股定理得：AD==，BD=5﹣=
由（1）得：⊙O的半径==，⊙E的半径==
∴S1+S2=π×+π×=π
（3）图3，由S△CDB=××=×4×MD
∴MD=
由勾股定理得：CM==，MB=4﹣=
由（1）得：⊙O的半径=，：⊙E的半径==，：⊙F的半径==
∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π
∴图4中的S1+S2+S3+S4=π
则S1+S2+S3+…+S10=π
故答案为：π．
　
19．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为　27　．
【解答】解：∵点A、D关于点F对称，
∴点F是AD的中点．
∵CD⊥AB，FG∥CD，
∴FG是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，
∴CG=AC=9．
∵点E是AB的中点，
∴GE是△ABC的中位线，
∵CE=CB=12，
∴GE=BC=6，
∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．
故答案为：27．
20．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2017次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为　（﹣2015，﹣﹣1）　．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2，
∴点C到x轴的距离为1+2×=+1，
横坐标为2，
∴C（2，+1），
第2017次变换后的三角形在x轴下方，
点C的纵坐标为﹣﹣1，
横坐标为2﹣2017×1=﹣2015，
所以，点C的对应点C′的坐标是（﹣2015，﹣﹣1），
故答案为：（﹣2015，﹣﹣1）．
　
21．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　2或2或2　．
【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=4，
∴AP=AB sin60°=4×=2；
当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴BP===2，
在直角三角形ABP中，
AP==2，
情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=2，
故答案为：2或2或2．
22．如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为　8cm2或2cm2或2cm2　．
【解答】解：分三种情况计算：
（1）当AE=AF=4时，如图：
∴S△AEF=AE AF=×4×4=8（cm2）；
（2）当AE=EF=4时，如图：
则BE=5﹣4=1，
BF===，
∴S△AEF= AE BF=×4×=2（cm2）；
（3）当AE=EF=4时，如图：
则DE=7﹣4=3，
DF===，
∴S△AEF=AE DF=×4×=2（cm2）；
故答案为：8或2或2．
23．在△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高为12，则△ABC的面积为　126或66　．
【解答】解：分两种情况：①当∠B为锐角时，如图1所示，
在Rt△ABD中，
BD===5，
在Rt△ADC中，
CD===16，
∴BC=BD+CD=21，
∴△ABC的面积为×21×12=126；
②当∠B为钝角时，如图2所示，
在Rt△ABD中，
BC=CD﹣BD=16﹣5=11，
所以△ABC的面积为×11×12=66；
故答案为：126或66．
24．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5，则四边形ABCD的面积为=　31　，BD的长为　2　．
【解答】解：连接AC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线与点E．
因为∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
由于AC2+CD2=25+100=125，AD2=（5）2=125，
∴AC2+CD2=AD2．
所以∠ACD=90°．
所以S四边形ABCD=S△ABD+S△ACD
=
=×3×4+×5×10
=6+25=31．
∵∠DEC=90°，∴∠DCE+∠CDE=90°，
所以∠DCE+∠ACB=90°，
∴∠CDE=∠ACB，又∵∠ABC=90°，
∴△ABC∽△CED
∴CE=6，DE=8．
∴BE=BC+CE=10，
在Rt△DEB中，
DB=
==2
故答案为：31，2
三．解答题（共4小题）
25．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．
（1）若AD=2，求AB；
（2）若AB+CD=2+2，求AB．
【解答】解：（1）过D点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，
∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，
∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，
△ADE与△BCF为等腰直角三角形，
∵AD=2，
∴AE=DE==，
∵∠ABC=105°，
∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，
∴BE===，
∴AB=；
（2）设DE=x，则AE=x，BE===，
∴BD==2x，
∵∠BDF=60°，
∴∠DBF=30°，
∴DF==x，
∴BF===，
∴CF=，
∵AB=AE+BE=，
CD=DF+CF=x，
AB+CD=2+2，
∴AB=+1
26．如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm；
请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF的面积）．
【解答】解：如图，以MN为边，可作等边三角形PMN；
△PMF的面积为400．（求解过程如下）．
连接PE，
∵△MEF和△PMN为等边三角形，
∴∠PMN=∠EMF=∠MFE=60°，MN=MP，ME=MF，
∴∠PME=∠NMF，
在△MPE和△MNF中，
，
∴△MPE≌△MNF（SAS），
∴∠MEP=∠MFE=60°，
∴∠PEN=60°，
∴PE∥MF，
∴S△PMF=S△MEF=EF2=400．
27．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．
（1）求sinB的值；
（2）如果CD=，求BE的值．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
又∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACH=90°
∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，
∵AH=2CH，
∴由勾股定理得AC=CH，
∴CH：AC=1：，
∴sinB=；
（2）∵sinB=，
∴AC：AB=1：，
∴AC=2．
∵∠CAH=∠B，
∴sin∠CAH=sinB==，
设CE=x（x＞0），则AE=x，则x2+22=（x）2，
∴CE=x=1，AC=2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∵AB=2CD=2，
∴BC=4，
∴BE=BC﹣CE=3．
28．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证：AD=BE；
②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．
【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，
∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE．
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，
∴AC=BC，DC=EC．
在△ACD和△BCE中，有，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
②解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC．
∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，
∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，
∴∠BEC=130°．
∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．
（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，
∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD=90°，DM=EM．
在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，
∴DE=2DM=2×=2CM．
∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，
∴∠BEN=180°﹣120°=60°．
在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，
∴BE==BN．
∵AD=BE，AE=AD+DE，
∴AE=BE+DE=BN+2CM．