北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明 单元达标测试题 （含解析）

北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》
单元达标测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，11，12 D．1，3，
2．如图，在中，，为中线，，则（ ）
A． B． C． D．
3．到三角形三个顶点距离相等的点是（　　）
A．三边高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条内角平分线的交点
4．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，方格纸由4个完全相同的正方形组成，则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，分别是上的点，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．已知等腰中，，两腰的垂直平分线交于点，已知，则等腰三角形的顶角为（　　）
A． B． C．或 D．或
8．已知：如图，在与中，，，，、、三点在同一直线上，连接、，以下四个结论：①，②，③，④，其中正确的个数（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（满分32分）
9．已知等腰三角形的两条边长a，b满足．
（1）等腰三角形的底边长为 ；
（2）等腰三角形的面积为 ，等腰三角形腰上的高为 ．
10．如图，在中，是角平分线，若，则点到的距离为 ．
11．如图，是射线上一动点，，若为等腰三角形，则的度数可能是 ．
12．如图，点，在同侧，且，且，点在射线上．若，则 ．
13．已知在中，是边上的高，垂足为点D，点E在射线上，连接，若，，，则 ．
14．如图所示，是的角平分线，，垂足分别为E，，，，则的长是 ．
15．如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，．
（1）若，则的度数是 ．
（2）若，，则，之间的数量关系是 ．
16．如图，，点，，，在射线ON上，点，，，在射线OM上，，，，均为等边三角形．如果，则的边长为 ．
三、解答题（满分56分）
17．如图，在中，，，，于点，点在上，且．
(1)若的周长是，求线段的长；
(2)求的度数．
18．如图，在中，于点D，，，．

(1)求的长；
(2)判断的形状，并说明理由．
19．如图，在中，，平分，垂直平分，交的延长线于点，于点，求证：．
20．如图，在中，的平分线交于点平分．求证：
(1)；
(2)．
21．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，分别在三幅图中的线段上画出格点P，使点P满足以下要求：
(1)在图①中，连结，使最小；
(2)在图②中，连结、，使；
(3)在图③中，连结、，使为直角三角形．
22．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．一次函数的图象与轴、轴分别交于点A、点，与正比例函数的图象交于点．
(1)求；
(2)在轴是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，在中，是角平分线，，延长到点，使，过点作，垂足为．
(1)求证：；
(2)判断是否垂直平分线段？并说明理由；
(3)若为线段（不与重合）上任意一点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数．
24．在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展与应用：如图3，当时，点为平分线上的一点，且，分别连接，，，，试判断的形状，并说明理由．
参考答案
1．解：A.，不能构成直角三角形；
B. ，不能构成直角三角形；
C. ，不能构成直角三角形；
D. ，能构成直角三角形；
故选D．
2．解：∵在中，，
∴，
∵为中线，
∴，
∴
∴．
故选：A．
3．解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，
故选：B
4．解：∵是的垂直平分线，，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：C．
5．解：如图，
由题意可知，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
6．解：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
7．解：分两种情况：
当在的内部，如图1，连接，

两腰的垂直平分线交于点P，
，
，，
，
∴，
，
，
，
；
当在的外部，如图2，连接，

由题意得：，
，，
，
，
，
，
，
则等腰三角形的顶角为或，
故选：C．
8．解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，故结论④正确；
∴，，故结论①正确；
∵，，
∴，故结论③正确；
∴，
∴，故结论②正确；
∴正确的个数是．
故选：A．
9． 解：（1）∵，，
∴，
∴，
∴，
当腰长为6时，则此时三角形三边的长为6，6，12，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为12时，则此时三角形三边的长为6，12，12，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意，
∴等腰三角形的底边长为6，
故答案为：6；
（2）如图，在等腰中，分别是的高，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
又∵，
∴，
∴等腰三角形的面积为，等腰三角形腰上的高为，
故答案为：，．
10．解：如图，过点D作于点E，
∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
即点D到的距离．
故答案为：5．
11．解：当时，
，
，
当时，
，
，
当时，
，
，
综上所述，的度数可能是或或，
故答案为：或或．
12．解：
作交的延长线于点，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．解：如图所示，当点在的延长线上时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，当点在线段上时，
∵，
∴．
故答案为：或．
14．解：过D作，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：3．
15．解：（1）∵为的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵∵为的角平分线，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
16．解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴．
故的边长为1．
同理可得，，
故的边长为．
，
故的边长为．
…，
∴的边长为．
当时，的边长为．
故答案为：．
17．（1）解：∵，，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，
∴线段的长为；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为．
18．解：（1）∵，
∴在中，，
，即，
解之得：，
∴的长为9；
（2）是直角三角形，
理由：在中，，
， 即，
解之得：，
在中，， ，
，
∴是直角三角形．
19．证明：连接和，
是的垂直平分线，
，
平分，，
，，
在和中，
，
，
．
20．（1）证明：∵
∴
∴
（2）证明：∵平分
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，为等腰三角形，
∵平分，
∴，
即：垂直平分，
∴
21．（1）解：如图①，在线段上取格点P，
则点P即为所求；
（2）解：如图②，作线段的垂直平分线，
则点P即为所求；
（3）解：如图③，在线段上取格点P，
则点P即为所求．
22．（1）解：将点代入得：
，
解得：．
（2）存在，理由如下：
当时，，
，
当时，，
解得：，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
当时，如图：

是等腰三角形，
，
，
，
当，且点在点的下方时，如图：
是等腰三角形，
，
，
，
，
当，且点在点的上方时，如图：

是等腰三角形，
，
，
，
当,故M与O重合时，是等腰三角形.
综上所述，点的坐标为：或或或．
23．（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是角平分线，，，
∴，
∴．
（2）垂直平分线段；
理由：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
垂直平分线段；
（3）如图，当，则，
∴；
如图，当，则，
∴
综上所述，为或．
24．（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
则．
（2）仍然成立，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
则．
（3）是等边三角形，理由如下：
∵，平分，
∴，
∵，，
∴和是等边三角形，
∴，，
根据(2)得，
∴，，
∵，
∴，
在和中
∴，
∴，，
∴，
故是等边三角形．