北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形 解答题优生辅导训练（含解析）

2023-2024学年北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》
解答题优生辅导训练（附答案）
1．如图，在等边三角形中，是上的一点，是延长线上一点，连接、，已知．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)当，时，求的面积．
2．如图，在中，，，是边上的一点，将沿所在直线翻折得到，且，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的度数．
3．如图，在中，，，平分交于点，过点作，交的延长线于点．
(1)求的度数；
(2)求证：是等腰三角形.
4．如图，在中，平分，点E是上一点，，且．

(1)若，求的度数；
(2)求证：．
5．中，，平分，垂足为点E．连接，交于点F．
(1)证明．
(2)求的周长；
(3)求的面积．
6．在中，，为的角平分线，点E是边的中点．过点E作延长线的垂线，垂足为点G，交于点F，交的延长线于点H．
(1)求证：；
(2)探究：在线段上是否能找到一点P，使得．如果能够，请找出并证明之；
(3)证明：．
7．如图，在等边中，点M为上任意一点，延长至点N，使，连接交于点P．

(1)求证：；
(2)作于点H，设，请用含的式子表示的长度．
8．如图，中，，的角平分线交于点，的角平分线交于点，、相交于点．
(1)与相等吗？请说明你的理由；
(2)若连接，并延长交于点．你有哪些新发现？请写出两条，并就其中的一条发现进行证明．
9．如图，在中，，点D在内部，连接、、，，，点E在外部，连接、、，，．

(1)求的度数；
(2)判断的形状并加以证明．
10．如图，在中，，，D为的中点，过点A作，过点B作于F，与交于点E，连接、．
(1)求证：；
(2)试证明是等腰三角形．
11．在中，，沿着翻折使得点的对应点落在上，折痕为．
(1)如图1，若，试判断与的关系，并说明理由；
(2)如图2，若，，，求线段的长度．
12．如图，在中，，点是上一点，于点，于点．
(1)若点是的中点，求证：；
(2)若，求的度数．
13．如图，为等边三角形，相交于点于点．

(1)求证：；(2)求的度数；(3)求的长．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)P为直线上一点，，求点P的坐标；
(3)若点Q在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
15．（1）如图1所示，已知线段，则线段长度的最小值为______．
（2）如图2所示，与均为等腰直角三角形，，点在线段上，若，求长．
（3）如图3所示，为等腰三角形，，以为边在其上方作等腰直角三角形，连接，求线段的最小值．
16．（1）如图①，中，，平分，交于E，于D，与交于点F，．线段和的数量关系是 ．
（2）如图②，中，，平分，，垂足E在的延长线上．试探究线段和的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图③，中，，点D在线段上，，，垂足为E，与相交于点F．试探究线段与的数量关系，并证明你的结论．
17．在中，于点D，，
(1)如图1，求证∶；
(2)如图2，E是上一点，F是延长线上一点，连接，求证∶；
(3)如图3，在（2）的条件下，作交AC于点G，若，求的长．
18．如图，已知，，连接，过点作的垂线段，使，连接．
(1)如图1，求点坐标；
(2)如图2，若点从点出发沿轴向左平移，连接，作等腰直角，，连接，当点在线段上，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若、、三点在一条线上，求此时的度数及点坐标．
19．如图1，是等边三角形，点M，N分别是边上的动点，点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图1，当点M，N分别在边上运动时（端点除外），相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由；
(3)如图2，当点M，N分别在的延长线上运动时，直线相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由．
20．数学活动：折纸与证明．
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．
如图1，在中，，怎样证明呢？

如图2，把沿的平分线翻折，因为，所以，点C落在上的点处．于是，由，，可得．
感悟与应用：
（1）如图3，是的高，．若，，求的长．小龙同学的解法是：将沿折叠，点C落在边上的点处……，画出图形并写出完整的解题过程；
（2）如图4，是的角平分线，．线段、、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明．
参考答案
1．（1）证明：是等边三角形，
，
，，，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：设，则，
，，
，
，
，
，是等腰直角三角形，
如图，过作于，
是等腰直角三角形，
，
，
的面积．
2．（1）证明：，，
，
由翻折的性质得：，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：由折叠的性质得：，
，
，
．
3．（1）解：，，
，
平分，
，
；
（2）证明：，
，
，，
，
，
，
是等腰三角形．
4．（1）解： ，平分，
是的一个外角，
.
（2）证明：如图，过点E作于点F，

平分，，
，
在和中，
.
，
，，
，
.
5．（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即的周长为12；
（3）解：由（2）知，
在中，，
又，
∴，
解得，
∴，
∴．
6．（1）解：证明：∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：在线段上能找到一点P，使得，
作，交于点P，则，
证明：∵点E是边的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
．
（3）解：证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
7．（1）证明：如图，在等边中过点作与交于，

∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
，
；
（2）∵于点，且是等边三角形，
∴是的中点，
又∵由（1）知，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴．
8．解：（1），理由，
∵，
∴（等边对等角） ，
∵两条角平分线、相交于点，
∴，
∴（等角对等边）；
（2） 是的角平分线， （答案不唯一） ，
证明：∵，，，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等），
即是的角平分线；
证明：∵，，，
∴ ，
∴（全等三角形的对应角相等），
即是的角平分线，
∵是等腰三角形，且是的角平分线
∴．（等腰三角形三线合一）
9．（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
（2）是等边三角形，证明如下：
∵，则，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
10．解：（1）∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
在和中
∴
（2）由（已证）得
∵D为的中点，即
∴
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴
在和中
∴
∴
由（1）得
∴
∴是等腰三角形．
11．解：（1）且，理由如下：
由翻折可知，
，，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
；
（2），，
，，
设，则，
在中，，
，
即的长度为0.9
12．（1）证明：如图，连接，
，
，点是的中点，
∴，，
，
，
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
在中，，
∴，
，
，
∴．
13．（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∴
14．（1）解：设直线对应的函数表达式为：，
∵直线交坐标轴于点，，
∴，
解得：，
∴直线对应的函数表达式为：；
（2）解：由题意可知：，，
在中，，
由折叠性质可知：，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得，，
∴，
∵P在直线上，
∴设，
∵，
∴，
解得，或，
①当时，，
②当时，，
∴或；
（3）解：设，
∵点，，
∴，， ，
①当时，
则，
解得（舍去）或，
∴点Q的坐标为；
②当时，
则，即或18，
∴点Q的坐标为或；
③当时，
则，
解得：，
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或或或．
15．（1）解：∵线段，
当在线段上时，取得最小值；
∴线段长度的最小值为；
故答案为：．
（2）解：∵与均为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴；
在中，，
∴；
（3）解：如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，
由（2）可得，
∴，
当在上时，取得最小值，
∵，则当在上时，取得最小值，
此时，
∴．
16．解：（1），平分，
，，
又，
，
在在和中
，
，
．
故答案为：；
（2）．理由如下：
如图②，延长，交于点G，
，
，
又，
，
，
．
在和中
，
．
又CD平分，
，
由得
，
，
是BG的中点，
，
．
（3）．理由如下：
过点D作交于H，交的延长线于点G，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
．
又，
∴由（2）可知，
，
，
，
即平分，
∴由（2）可知，
是的中点，
，
．
17．（1）证明：设，则，
，
∴，
，
∵，
，
∴，
；
（2）证明：如图，作于H，

∴，
在和中，
∵，
∴，
，
∵，
∴在和中，
∵，
∴，
∴；
（3）如图，延长至点M，使，连接，

设，
∴，
∵，
∴，
在中，，
，
∴，
∵，
，
∵，
，
∴，
，
∴，
，
∵，
又∵，
，
∵，
，
∴，
，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
．
18．（1）解：如图1，过作轴于，则，
∵，，
∴，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
∵点C在第四象限，
点坐标为；
（2）解：，．
证明：如图2，延长交轴于，交于，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
又，
，即，
；
（3）解：是等腰直角三角形，
，
当、，三点共线时，，
由（2）可知，，
，，
，
，
∴
，，
∴，
∴
∵点Q在第四象限，
点坐标为．
19．（1）证明：点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发
，
是等边三角形
，，
在和中，
；
（2）解：，是定值，理由如下：
，
；
（3）解：，是定值，理由如下：
点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发
，
是等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
．
20．解：（1）将沿折叠，点C落在边上的点处，如图，
∵，
∴点落在上的点处，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下，
证明：把沿的平分线翻折，使点C落在上的点处．
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
∴，
即．