学案3 牛顿运动定律的案例分析（一）
[学习目标定位] 1.掌握应用牛顿运动定律解决动力学问题的基本思路和方法.2.学会处理动力学的两类基本问题．
一、牛顿运动定律的适用范围
研究表明，通常宏观物体做低速(即远小于光速)运动时，都服从牛顿运动定律．
二、动力学的两类基本问题
1．从受力确定运动情况
求解此类题的思路是：已知物体的受力情况， ( http: / / www.21cnjy.com )根据牛顿第二定律，求出物体的加速度，再由物体的初始条件，根据运动学规律求出未知量(速度、位移、时间等)，从而确定物体的运动情况．
2．从运动情况确定受力
求解此类题的思路是：根据物体的运动情况，利 ( http: / / www.21cnjy.com )用运动学公式求出加速度，再根据牛顿第二定律就可以确定物体所受的力，从而求得未知的力，或与力相关的某些量，如动摩擦因数、劲度系数、力的角度等．
三、解决动力学问题的关键
对物体进行正确的受力分析和运动情况分析，并抓住受力情况和运动情况之间联系的桥梁——加速度.
一、从受力确定运动情况
已知物体的受力情况求得a，
→求得s、v0、vt、t.
例1 如图1所示，质量m＝2 kg的物体静 ( http: / / www.21cnjy.com )止在水平地面上，物体与水平面间的动摩擦因数为0.25，现对物体施加一个大小F＝8 N、与水平方向成θ＝37°角斜向上的拉力，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求：
图1
(1)画出物体的受力图，并求出物体的加速度；
(2)物体在拉力作用下5 s末的速度大小；
(3)物体在拉力作用下5 s内通过的位移大小．
解析 (1)对物体受力分析如图：
由图可得：
解得：a＝1.3 m/s2，方向水平向右
(2)vt＝at＝1.3×5 m/s＝6.5 m/s
(3)s＝at2＝×1.3×52 m＝16.25 m
答案 (1)见解析图 1.3 m/s2，方向水平向右
(2)6.5 m/s (3)16.25 m
二、从运动情况确定受力
已知物体运动情况求得a物体受力情况．
例2 民用航空客机的机舱除 ( http: / / www.21cnjy.com )通常的舱门外还设有紧急出口，发生意外情况的飞机着陆后，打开紧急出口的舱门，会自动生成一个由气囊组成的斜面，机舱中的乘客就可以沿斜面迅速滑行到地面上．若某型号的客机紧急出口离地面高度为4.0 m，构成斜面的气囊长度为5.0 m．要求紧急疏散时，乘客从气囊上由静止下滑到地面的时间不超过2.0 s(g取10 m/s2)，则：
(1)乘客在气囊上下滑的加速度至少为多大？
(2)气囊和下滑乘客间的动摩擦因数不得超过多少？
解析 (1)由题意可知，h＝4.0 m，L＝5.0 m，t＝2.0 s.
设斜面倾角为θ，则sin θ＝.
乘客沿气囊下滑过程中，由L＝at2得a＝，代入数据得a＝2.5 m/s2.
(2)在乘客下滑过程中，对乘客受力分析如图所示，沿x轴方向有mgsin θ－f＝ma，
沿y轴方向有N－mgcos θ＝0，
又f＝μN，联立方程解得
μ＝≈0.92.
答案 (1)2.5 m/s2 (2)0.92
针对训练 质量为0.1 kg的弹性球从 ( http: / / www.21cnjy.com )空中某高度由静止开始下落，该下落过程对应的v—t图像如图2所示．弹性球与水平地面相碰后离开地面时的速度大小为碰撞前的.设球受到的空气阻力大小恒为f，取g＝10 m/s2，求：
图2
(1)弹性球受到的空气阻力f的大小；
(2)弹性球第一次碰撞后反弹的高度h.
答案 (1)0.2 N (2)0.375 m
解析 (1)由v－t图像可知，弹性球下落过程的加速度为
a1＝＝ m/s2＝8 m/s2
根据牛顿第二定律，得mg－f＝ma1
所以弹性球受到的空气阻力
f＝mg－ma1＝(0.1×10－0.1×8) N＝0.2 N
(2)弹性球第一次反弹后的速度v1＝×4 m/s＝3 m/s
根据牛顿第二定律mg＋f＝ma2，得弹性球上升过程的加速度为a2＝＝ m/s2＝12 m/s2
根据v－v＝－2a2h，得弹性球第一次反弹的高度
h＝＝ m＝0.375 m.
三、整体法和隔离法在连接体问题中的应用
1．整体法：把整个连接体系统看做一 ( http: / / www.21cnjy.com )个研究对象，分析整体所受的外力，运用牛顿第二定律列方程求解．其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力．
2．隔离法：把系统中某一物体(或一 ( http: / / www.21cnjy.com )部分)隔离出来作为一个单独的研究对象，进行受力分析，列方程求解．其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力，容易看清单个物体的受力情况或单个过程的运动情形，问题处理起来比较方便、简单．
注意 整体法主要适用于各物体的加速度相同，不需要求内力的情况；隔离法对系统中各部分物体的加速度相同或不相同的情况均适用．
例3 如图3所示，两个用轻线相连的位于光滑水 ( http: / / www.21cnjy.com )平面上的物块，质量分别为m1和m2.拉力F1和F2方向相反，与轻线沿同一水平直线，且F1>F2.试求在两个物块运动过程中轻线的拉力T的大小．
图3
解析 以两物块整体为研究对象，根据牛顿第二定律得
F1－F2＝(m1＋m2)a①
隔离物块m1，由牛顿第二定律得F1－T＝m1a②
由①②两式解得T＝
答案
很多动力学问题中，是先分析 ( http: / / www.21cnjy.com )合力列牛顿第二定律方程，还是先分析运动情况列运动学方程，并没有严格的顺序要求，有时可以交叉进行．但不管是哪种情况，其解题的基本思路都可以概括为六个字：“对象、受力、运动”，即：(1)明确研究对象；(2)对物体进行受力分析，并进行力的运算，列牛顿第二定律方程；(3)分析物体的运动情况和运动过程，列运动学方程；(4)联立求解或定性讨论．
1．(从受力确定运动情况 ( http: / / www.21cnjy.com ))一个滑雪运动员从静止开始沿山坡滑下，山坡的倾角θ＝30°，如图4所示，滑雪板与雪地间的动摩擦因数是0.04，求5 s内滑下来的路程和5 s末速度的大小(运动员一直在山坡上运动)．
图4
答案 58.2 m 23.3 m/s
解析 以滑雪运动员为研究对象，受力情况如图所示．
研究对象的运动状态为：垂直于山坡方向，处于平衡状态；沿山坡方向，做匀加速直线运动．
将重力mg沿垂直于山坡方向和平行于山坡方向分解，据牛顿第二定律列方程：
N－mgcos θ＝0①
mgsin θ－f＝ma②
又因为f＝μN③
由①②③可得：a＝g(sin θ－μcos θ)
故s＝at2＝g(sin θ－μcos θ)t2
＝×10×(－0.04×)×52 m≈58.2 m
vt＝at＝10×(－0.04×)×5 m/s≈23.3 m/s
2．(从运动情况确定受力)一物体沿斜面 ( http: / / www.21cnjy.com )向上以12 m/s的初速度开始滑动，它沿斜面向上以及沿斜面向下滑动的v－t图像如图5所示，求斜面的倾角θ以及物体与斜面间的动摩擦因数μ.(g取10 m/s2)
图5
答案 30°
解析 由题图可知上滑过程的加速度大小为：
a上＝ m/s2＝6 m/s2，
下滑过程的加速度大小为：a下＝ m/s2＝4 m/s2
上滑过程和下滑过程对物体受力分析如图
上滑过程
a上＝＝gsin θ＋μgcos θ
下滑过程
a下＝gsin θ－μgcos θ，
联立解得θ＝30°，μ＝
3．(整体法和隔离法的应用)如图6所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，质量分别为m1和m2的物块A、B，用劲度系数为k的轻弹簧相连．当用力F沿倾角为θ的固定光滑斜面向上拉两物块，使之共同加速运动时，弹簧的伸长量为多少？
图6
答案
解析 对整体分析得：F－(m1＋m2)gsin θ＝(m1＋m2)a①
隔离A得：kx－m1gsin θ＝m1a②
联立①②得x＝学案3 牛顿运动定律的案例分析（二）
[学习目标定位] 1.学会分析含有弹簧的瞬时问题.2.掌握临界问题的分析方法.3.会分析多过程问题．
1.牛顿第二定律的表达式F＝ma，其中加速度a与合力F存在着瞬时对应关系，a与F同时产生、同时变化、同时消失；a的方向始终与合力F的方向相同．
2．解决动力学问题的关键是做好两个分析：受力情况分析和运动情况分析，同时抓住联系受力情况和运动情况的桥梁：加速度.
一、瞬时加速度问题
根据牛顿第二定律，加速度a与合力F存在 ( http: / / www.21cnjy.com )着瞬时对应关系：合力恒定，加速度恒定；合力变化，加速度变化；合力等于零，加速度等于零．所以分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析该时刻物体的受力情况及运动状态，再由牛顿第二定律求出瞬时加速度．应注意两类基本模型的区别：
(1)刚性绳(或接触面)模型：这种不发生明显形变就能产生弹力的物体，剪断(或脱离)后，弹力立即改变或消失，形变恢复几乎不需要时间．
(2)弹簧(或橡皮绳)模型：此种物体的特点是形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时问题中，其弹力的大小往往可以看成是不变的．
例1 如图1中小球质量为m，处于静止状态，弹簧与竖直方向的夹角为θ.则：
图1
(1)绳OB和弹簧的拉力各是多少？
(2)若烧断绳OB瞬间，物体受几个力作用？这些力的大小是多少？
(3)烧断绳OB瞬间，求小球m的加速度的大小和方向．
解析 (1)对小球受力分析如图甲所示
其中弹簧弹力与重力的合力F′与绳的拉力F等大反向
则知F＝mgtan θ；F弹＝
(2)烧断绳OB的瞬间，绳的拉力消失，而 ( http: / / www.21cnjy.com )弹簧还是保持原来的长度，弹力与烧断前相同．此时，小球受到的作用力是弹力和重力，大小分别是G＝mg，F弹＝.
(3)烧断绳OB的瞬间，重力和弹簧弹力的合力 ( http: / / www.21cnjy.com )方向水平向右，与烧断绳OB前OB绳的拉力大小相等，方向相反，(如图乙所示)即F合＝mgtan θ，
由牛顿第二定律得小球的加速度a＝＝gtan θ，方向水平向右．
答案 (1)mgtan θ
(2)两个 重力为mg 弹簧的弹力为
(3)gtan θ 水平向右
针对训练1 如图2所示，轻弹簧上端与 ( http: / / www.21cnjy.com )一质量为m的木块1相连，下端与另一质量为M的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态．现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1、2的加速度大小分别为a1、a2.重力加速度大小为g.则
有( )
图2
A．a1＝0，a2＝g B．a1＝g，a2＝g
C．a1＝0，a2＝g D．a1＝g，a2＝g
答案 C
解析 在抽出木板后的瞬间，弹簧对木块1 ( http: / / www.21cnjy.com )的支持力和对木块2的压力并未改变．木块1受重力和支持力，mg＝N，a1＝0，木块2受重力和压力，根据牛顿第二定律a2＝＝g，故选C.
二、动力学中的临界问题分析
若题目中出现“最大”、“最小”、“刚好” ( http: / / www.21cnjy.com )等词语时，一般都有临界状态出现．分析时，可用极限法，即把问题(物理过程)推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件．在某些物理情景中，由于条件的变化，会出现两种不同状态的衔接，在这两种状态的分界处，某个(或某些)物理量可以取特定的值，例如具有最大值或最小值．
常见类型有：
(1)隐含弹力发生突变的临界条件
弹力发生在两物体的接触面之间，是一种被动力，其大小由物体所处的状态决定，运动状态达到临界状态时，弹力发生突变．
(2)隐含摩擦力发生突变的临界条件
摩擦力是被动力，由物体间的相对运动趋势决定，静摩擦力为零是状态方向发生变化的临界状态；静摩擦力最大是物体恰好保持相对静止的临界状态．
例2 如图3所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球．
图3
(1)当滑块至少以多大的加速度a向左运动时，小球对滑块的压力等于零？
(2)当滑块以a′＝2g的加速度向左运动时，线中拉力为多大？
解析 (1)假设滑块具有向左的加速度a时，小球受重力mg、线的拉力F和斜面的支持力N作用，如图甲所示．由牛顿第二定律得
水平方向：Fcos 45°－Ncos 45°＝ma，
竖直方向：Fsin 45°＋Nsin 45°－mg＝0.
由上述两式解得
N＝，F＝.
由此两式可以看出，当加速度a增大时，球所受的支持力N减小，线的拉力F增大．
当a＝g时，N＝0，此时小球虽与斜 ( http: / / www.21cnjy.com )面接触但无压力，处于临界状态，这时绳的拉力为F＝＝mg.所以滑块至少以a＝g的加速度向左运动时小球对滑块的压力等于零．
(2)当滑块加速度a>g时，小球将“ ( http: / / www.21cnjy.com )飘”离斜面而只受线的拉力和重力的作用，如图乙所示，此时细线与水平方向间的夹角α<45°.由牛顿第二定律得F′cos α＝ma′，F′sin α＝mg，解得F′＝m＝mg.
答案 (1)g (2)mg
针对训练2 在例2中，当滑块加速度多大时，线的拉力为零？此时滑块运动状态可能是怎样的？
答案 见解析
解析 当线的拉力恰好为零时，小球受力情况如图所示：小球受重力mg、弹力N′，两个力的合力方向水平向右．合力大小为mgtan 45°.
根据牛顿第二定律：mgtan 45°＝ma
得：a＝gtan 45°＝g
滑块的加速度方向水平向右，可能的运动状态有：向右做加速度大小为g的匀加速直线运动；向左做加速度大小为g的匀减速直线运动．
三、多过程问题分析
1．当题目给出的物理过程较复杂，由多个 ( http: / / www.21cnjy.com )过程组成时，要明确整个过程由几个子过程组成，将过程合理分段，找到相邻过程的联系点并逐一分析每个过程．(联系点：前一过程的末速度是后一过程的初速度，另外还有位移关系等．)
2．注意：由于不同过程中力发生了变化，所以加速度也会发生变化，所以对每一过程都要分别进行受力分析，分别求加速度．
例3 质量为m＝2 kg的物 ( http: / / www.21cnjy.com )体静止在水平面上，物体与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.5，现在对物体施加如图4所示的力F，F＝10 N，θ＝37°(sin 37°＝0.6)，经t1＝10 s后撤去力F，再经一段时间，物体又静止，(g取10 m/s2)则：
图4
(1)说明物体在整个运动过程中经历的运动状态．
(2)物体运动过程中最大速度是多少？
(3)物体运动的总位移是多少？
解析 (1)当力F作用时，物体做匀加速直线运动，撤去F的瞬间物体的速度达到最大值，撤去F后物体做匀减速直线运动直至速度为零．
(2)撤去F前对物体受力分析如图，有：
Fsin θ＋N1＝mg
Fcos θ－f＝ma1
f＝μN1
s1＝a1t
vt＝a1t1，联立各式并代入数据解得
s1＝25 m，vt＝5 m/s
(3)撤去F后对物体受力分析如图，有：
f′＝μN2＝ma2，N2＝mg
2a2s2＝v，代入数据得s2＝2.5 m
物体运动的总位移：s＝s1＋s2得s＝27.5 m
答案 (1)见解析 (2)5 m/s (3)27.5 m
1．(瞬时加速度问题)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )5所示，质量分别为m和2m的A和B两球用轻弹簧连接，A球用细线悬挂起来，两球均处于静止状态，如果将悬挂A球的细线剪断，此时A和B两球的瞬时加速度aA、aB的大小分别是( )
图5
A．aA＝0，aB＝0 B．aA＝g，aB＝g
C．aA＝3g，aB＝g D．aA＝3g，aB＝0
答案 D
解析 分析B球原来受力如图甲所示
F′＝2mg
剪断细线后弹簧形变瞬间不会恢复，故B球受力不变，aB＝0.
分析A球原来受力如图乙所示
T＝F＋mg，F′＝F，故T＝3mg.
剪断细线，T变为0，F大小不变，物体A受力如图丙所示
由牛顿第二定律得：F＋mg＝maA，解得aA＝3g.
2．(动力学中的临界问题)如图6所示，质量 ( http: / / www.21cnjy.com )为4 kg的小球用细绳拴着吊在行驶的汽车后壁上，绳与竖直方向夹角为θ＝37°.已知g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
图6
(1)当汽车以a＝2 m/s2向右匀减速行驶时，细线对小球的拉力和车后壁对小球的支持力的大小．
(2)当汽车以a＝10 m/s2向右匀减速行驶时，细线对小球的拉力和车后壁对小球的支持力的大小．
答案 (1)50 N 22 N (2)40 N 0
解析 (1)当汽车以a＝2 m/s2向右匀减速行驶时，小球受力分析如图．
由牛顿第二定律得：
T1cos θ＝mg，T1sin θ－N＝ma
代入数据得：T1＝50 N，N＝22 N
(2)当汽车向右匀减速行驶时，设车后壁弹力为0时(临界条件)的加速度为a0，受力分析如图所示．
由牛顿第二定律得：T2sin θ＝ma0，
T2cos θ＝mg
代入数据得：a0＝gtan θ＝10× m/s2＝7.5 m/s2
因为a＝10 m/s2>a0
所以小球飞起来，N′＝0
设此时绳与竖直方向的夹角为α，
由牛顿第二定律得：T2′＝＝40 N
3．(多过程问题)冬奥会四金得主王濛于201 ( http: / / www.21cnjy.com )4年1月13日亮相全国短道速滑联赛总决赛．她领衔的中国女队在混合3 000米接力比赛中表现抢眼．如图7所示，ACD是一滑雪场示意图，其中AC是长L＝8 m、倾角θ＝37°的斜坡，CD段是与斜坡平滑连接的水平面．人从A点由静止下滑，经过C点时速度大小不变，又在水平面上滑行一段距离后停下．人与接触面间的动摩擦因数均为μ＝0.25，不计空气阻力，(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
图7
(1)人从斜坡顶端A滑至底端C所用的时间；
(2)人在离C点多远处停下？
答案 (1)2 s (2)12.8 m
解析 (1)人在斜坡上下滑时，受力如图所示．
设人沿斜坡下滑的加速度为a，沿斜坡方向，由牛顿第二定律得
mgsin θ－f＝ma
f＝μN
垂直于斜坡方向有N－mgcos θ＝0
由匀变速运动规律得L＝at2
联立以上各式得a＝gsin θ－μgcos θ＝4 m/s2
t＝2 s
(2)人在水平面上滑行时，水平方向只受到地面的摩擦力作用．设在水平面上人减速运动的加速度为a′，由牛顿第二定律得μmg＝ma′
设人到达C处的速度为v，则由匀变速直线运动规律得
人在斜面上下滑的过程：v2＝2aL
人在水平面上滑行时：0－v2＝－2a′s
联立以上各式解得s＝12.8 m
