人教版数学九年级上册第二十一章 一元二次方程四步探究案

第二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
学习目标
1、理解一元二次方程的概念；
2、知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；
3、会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
学习重点:
1. 由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。判定一个数是否是方程的根；
学习难点:
1. 由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
教学流程
【导课】
问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x cm，
则盒底的长为__________，宽为__________.
得方程_____________________________
整理得_____________________________ ②
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每 ( http: / / www.21cnjy.com )两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：全部比赛的场数为___________.
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他_________个队各赛1场，
所以全部比赛共_________________场.
列方程____________________________
化简整理得________________________ ③
【阅读质疑 自主探究】
请回答下面问题：
（1）方程①②中未知数的个数各是多少？
（2）它们最高次数分别是几次？
方程①②的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程.
【多元互动 合作探究】
1.一元二次方程:_____________________________________________.
2.一元二次方程的一般形式：____________________________ .
其中ax2是________，_____是二次项系数；bx是__________，_____是一次项系数；_____是常数项.（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉.）
3.一元二次方程的解（根）：_____________________________________________.
例：将方程3x(x﹣1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
【训练检测 目标探究】
1.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： 新|课 |标|第 |一| 网 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
（1）3x2－x=2 （2）7x－3=2x2; （3）(2x－1)－3x(x－2)=0
2．下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？-4、 -3、 -2、 -1、 0、 1、 2、 3、 4．
3．若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是_________．
4.若关于x的方程（m+3）+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和．
【迁移应用 拓展探究】
：1、判断下列方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项：
（1）2x2+3x+5 （2）（x+5）（x+2）=x2+3x+1
（3）（2x-1）（3x+5）=-5 （4）（3x+1）（x-2）=-5x
2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
3、关于x的方程（k-3）x2+2x-1=0，当 k 时，是一元二次方程。
4、根据题意，列出方程：（1）有一面积为5 ( http: / / www.21cnjy.com )4平方米的长方形，将它的一边剪短5米，另一边剪短2米，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
（2）三个连续的整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？
4、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x-1)=6
4-7x2=0
4、关于x的方程（k2-1）x2+2（k-1）x+2k+2=0 当k 时是一元二次方程；当 k 时是一元一次方程。
布置作业
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教后反思
授课时间： 累计课时：
21.2用直接开平方法解一元二次方程
学习目标
1、会用直接开平方法解形如=p(p≥0)
2、（mx+n）=p(p≥ 0)的方程
学习重点:
1. 用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
学习难点:
1. 应用直接开平方法 解特殊的一元二次方程。
教学流程
【导课】
预习课本第5页问题1完成下列问题：
设一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积是
一桶油漆可刷的面积为
列方程为
方程的根为x= ．
5.判断下列方程是否为一元二次方程，若是请写出二次项系数，一次项系数和常数项
（1）x2＝16；　　 （2）45－x2＝0；　
6.解方程 x2-10=39；
【阅读质疑 自主探究】
如x2 = 25的根为x= +5或 -5，那么（x＋3）2 =5 的根为多少？
（ 提示将x＋3看做一整体）
解： x＋3 = （ ）
得：x＋3 = （ ） 或 x＋3 = （ ）
即： x1＝_____，x2＝_____.
由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±HYPERLINK "http://www.xkb1.com"，达到降次转化之目的．
【多元互动 合作探究】
1.解方程：
（1）x2-12=0 （2）2x2-3=0
（3）（x＋6）2- 9 = 0 （4）x2+4x+4=0
2．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
3．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
【训练检测 目标探究】
1、五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个连续整数吗？
2、一个面积为120平方米的矩形苗圃，它的长比宽多2米，求苗圃的周长？
3、一名跳水运动员进行10 ( http: / / www.21cnjy.com )m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系：h=10+2.5t-5t2,那么他最多有多长时间完成规定的动作？
【迁移应用 拓展探究】
阅读课本33页“做一做”，设梯子底端滑动的距离x（m）则得(x+6)2+72=102
化为一般形式为： ______________________________。
（1）小明认为底端也滑动了1米，他的说法正确吗？简述你的观点：__________________________
（2）滑动距离可能是2米，3米吗？为什么？____________________________
你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？
x的整数部分是几？十分位是几？
x 0 0.5 1 1.5 2
x2+12x-15
所以______ < x < ______。
进一步计算
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x-15
所以______ < x < ______因此x 的整数部分是______,十分位是______布置作业
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教后反思
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21.2用配方法解一元二次方程
学习目标
1、会用配方法解一元二次方程；
2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
学习重点:
1. 用配方法解一元二次方程；
学习难点:
1.配方的过程。
教学流程
【导课】
1、（学生活动）解下列方程：
（1）x2-6x+9=4 （2）（x＋1）2－4＝0；
2、练一练 ：配方、填空。
（1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2；
（2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2；
（3）x2＋x＋（ ）＝（x＋ ）2；
从这些练习中你发现了什么特点
(1)________________________________________________
(2)________________________________________________
【阅读质疑 自主探究】
一、探究新知 怎样解方程x2＋6x＋4=0？
解（1）移项，得x2+6x＝____.
方程左边配方，得x2+2·x·3＋__2＝-4＋___，
即 （______）2＝____.
所以 x+3＝____ .
原方程的解是　　x1＝_____，x2＝_____.
二、总结归纳：
上面，我们把方程x2+6x+4＝0变形 ( http: / / www.21cnjy.com )为(x+3)2＝5，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_____ 数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
三、试一试（相信自己能行），解下列方程
（1）x2-8x+1=0 （2）2x2+1=3x
四、总结规律： 用配方法解一元二次方程有哪些步骤？
;
:
:
.
【多元互动 合作探究】
解下列方程
（1）x2＋8x－2＝0 （2）x -2x-3=0
（3）3x +6x-4=0 （4）x(x+4)=8x+12
【训练检测 目标探究】
解下列方程：(1)x2+12x+25=0 (2)x2+4x=10　 (3)x2-6x=11
(4)x2-2x-4=0　（5）x2-4x-12=0
【迁移应用 拓展探究】
1、（1）x2-4x+ =（x- ）2；（2）x2-x+ =（x- ）2
2、方程x2-12x=9964经配方后得（x- ）2=
3、当x=-1满足方程x2-2（a+1）2x-9=0 时，a=
4、已知：方程（m+1）x2m+1+（m-3）x-1=0，试问：
（1）m取何值时，方程是关于x 的一元二次方程，求出此时方程的解；
（2）m 取何值时，方程是关于x 的一元一次方程
5、关于x的一元二次方程（a+1）x2+3x+a2-3a-4=0的一个根为0，则a的值为（ ）
A、-1 B、4 C、-1或 4 D、1
6、不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
A、总不小于2 B 、总不小于7 C、 可为任何实数 D、可能为负数
布置作业
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21.2用公式法解一元二次方程
学习目标
1、使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由此培养学生的分析、综合和计算能力．
2、使学生掌握公式法解一元二次方程的方法．
学习难点:
1. 用公式法解简单系数的一元二次方程；
学习重点:
1. 求根公式的推导过程
教学流程
【导课】
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;
3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.
ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
【阅读质疑 自主探究】
一、探究新知 (引导学生讨论)用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
解：因为a≠0，方程两边都除以a，得 _____________________＝0.
移项，得 x2＋x＝________， 配方，得 x2＋x＋______＝______－,
即 (____________) 2＝___________。
因为a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，
得 _____________________________.
所以 x＝_______________________
即 x＝_________________________
二、总结归纳：
(a≠0)的求根公式．用此公式解一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程的方法叫做公式法．应用求根公式解一元二次方程的关键在于：(1)将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)；
(2)将各项的系数a，b，c代入求根公式．
三、合作交流：b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？
四、展示反馈 （学生在合作交流后展示小组学习成果）
当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿的实数根x1＝x2＝＿＿＿＿＿；
当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
　例1 解方程x2-3x+2=0. 例2 解方程2x2+7x=4.
【多元互动 合作探究】
利用配方法推导一元二次方程的求根公式，若给出一个一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）你觉得应如何利用配方法求解？
ax2+bx+c=0（a≠0）方程的两边同时除以a可得到： 。
把上式中的常数项移项可得：
如果对上式进行配方，方程两边应加上什么式子，这个式子是怎样得到的？
。
配方后可得： 。
思考：对于上式能不能直接利用直接开平方，为什么？
结论：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当 时，它的根是：
x= 。式子 称为求根公式，用 解一元二次方程的方法称为公式法。
【训练检测 目标探究】
1、用公式法解下列方程：
（1）x2+2x-35=0 （2）5x ( http: / / www.21cnjy.com )2-15x-10=0 (3)9x2+6x+1=0 (4)16x2+8x=3
2、一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长。
【迁移应用 拓展探究】
1、方程3x-2x+4=0中，b2－4ac =（ ）,则该一元二次方程（ ）实数根。
2、不解方程，判断方程x-4x+4=0的根的情况。
3、应用公式法解下列方程:(1) 2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；
(3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x.
布置作业
课本P17 第四题、第五题（1）（3）（5）
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21.2用因式分解法解一元二次方程
学习目标
1、使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法，
2、用因式分解法解一元二次方程．
学习重点:
1. 将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解．
学习难点:
1. 用因式分解法解一元二次方程．
教学流程
【导课】
1、知识准备： 将下列各题因式分解
am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2=
因式分解的方法：
2、解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法） （2）4x2-49=0（用公式法）
（3）x2+x+=0（用配方法或用公式法）
【阅读质疑 自主探究】
（1）由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．
（2）对于一元二次方程，先 ( http: / / www.21cnjy.com )因式分解使方程化为__________ _______的形式，再使_________________________，从而实现_____ ____________
【多元互动 合作探究】
例1 解下列方程：
(1)3x(x+2)=5(x+2)； (2)(3x+1)2-5=0． (3)x2-3x-10=0；
【训练检测 目标探究】
1、用因式分解法解下列方程:
(1)、(2x-1)2+ ( http: / / www.21cnjy.com )3(1-2x)=0 (2)、(1-3x)2=16(2x+3)2 (3)、x2+6x-7=0
2、若方程x2+ax-2a=0的一根为1,则a的取值和方程的另一根分别是
A.1,-2 B.-1,2 C.1,2 D.-1,-2
【迁移应用 拓展探究】
1、用分解因式法解方程并思考做题依据：
（1）x2-6x=0 （2）3（x-5）2=2（5-x） （3）2（x-3）2=x2-9
（4）4x2-4x+1=0 （5）4（x-2）2=9（x+3）2
2、解方程2x（x-1）=x-1时，有 ( http: / / www.21cnjy.com )的同学在方程的两边同时除以（x-1），得2x=1，解方程得x=0.5,这种做法对吗 如果不对,请你写出正确的答案并与同学交流.
布置作业
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21.3实际问题与一元二次方程（一）
学习目标
1、掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
2、通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．
学习重点:
1. 掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
学习难点:
1. 引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．
教学流程
【导课】
1．一元二次方程有哪些解法？回忆一元二次方程解的情况．
2.列一元一次方程解应用题的步骤？
【阅读质疑 自主探究】
探究1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人
二、总结归纳：
列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审 （2）设 （3）列 （4）解
（5）验——检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去。 （6）答
【多元互动 合作探究】
1、解方程：x2-x-6＝0； 2．3x2-11x+10＝0； 3．4x2+8x-1＝0．
2、要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛
【训练检测 目标探究】
1、甲乙两个小朋友的年龄相差4岁，两个人的年龄相乘积等于45，你知道这两个小朋友几岁吗？
2、一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m，在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246㎡，求小路的宽度。
【迁移应用 拓展探究】
例1：如图：某海军基地位于A处，在其正 ( http: / / www.21cnjy.com )南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。小岛F位于BC中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。
已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）
在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点：
（1）要求DE的长，需要如何设未知 ( http: / / www.21cnjy.com )数？ （2）怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？
（3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？
（4）选定后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？
学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即： 速度等量：V军舰=2×V补给船
时间等量：t军舰=t补给船 三边数量关系：布置作业
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21.3实际问题与一元二次方程（二）
学习目标
1、掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。
2、如何解决增长率与降低率问题。解决增长 ( http: / / www.21cnjy.com )率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x增长（或降低）率,n为增长（或降低）的次数,b为增长（或降低）后的量。
学习重点:
1. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。
学习难点:
1. 如何解决增长率与降低率问题。解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,
教学流程
【导课】
探究2 两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,
随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是4500元,生产1吨乙种药品的成
本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
分析:甲种药品成本的年平均下降额为：
乙种药品成本的年平均下降额为:
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为 元,
两年后甲种药品成本为 元,依题意得
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少 比较:两种药品成本的年平均下降率。
思考：经过计算,你能得出什么结论 成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 应怎样全面地比较对象的变化状况
（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）
二、总结归纳：
类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长 ( http: / / www.21cnjy.com )(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－)
【阅读质疑 自主探究】
1、某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒。设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是
Ａ．36（1－x）2＝36－25　　　　Ｂ．36（1－2x）＝25　
Ｃ．36（1－x）2＝25　　　 　Ｄ．36（1－x2）＝25
某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增产的百分率是多少？
3、某印刷厂一月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印182万册，问二、三月份平均每月的增长率是多少？
【多元互动 合作探究】
例1 新华商场销售某种冰箱，每台进货价 ( http: / / www.21cnjy.com )为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能销售8台；而销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱定价应为多少元？
分析：（1）本题的主要等量关系是 。
（2）如果设每台冰箱降价x元， ( http: / / www.21cnjy.com )那么每台冰箱的定价是 元，每台冰箱的利润为 元，平均每天销售冰箱的数量为 台。
【训练检测 目标探究】
1、某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年 ( http: / / www.21cnjy.com )卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张。商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
2、某服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元。若每件降价1元，则每天可多售5件。如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
【迁移应用 拓展探究】
1、在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm的一个长条，剩下的长方形钢板的面积为4800 cm2。求原正方形钢板的面积。
2、有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
21.3实际问题与一元二次方程（三）
学习目标
1、掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2、根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题。
学习重点:
1. 根据面积与面积之间的等量关系建立一元导学流程
学习难点:
1. 根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题。
教学流程
【导课】
探究3 如图，要设计一本书的封面，封面 ( http: / / www.21cnjy.com )长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
思考： (1)本体中有哪些数量关系？
（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
（4）你有几种解法？
解法一：设上下边衬宽均为9xcm,左右边衬宽均为7xcm,则有：
解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm。
【阅读质疑 自主探究】
1、直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）．
A． B．5 C． D．7
【多元互动 合作探究】
1．已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长。
2、变式训练：已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c能等于15吗？【训练检测 目标探究】
如图，在一块长为22米、宽为 ( http: / / www.21cnjy.com )17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为 .
2、如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．
【迁移应用 拓展探究】
某商场将进货价为30元的台灯以40元售 ( http: / / www.21cnjy.com )出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
布置作业
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
21.4一元二次方程总复习
学习目标
1、一元二次方程的概念
2、一元二次方程的四种解法
3、一元二次方程的实际应用
学习重点:
1. 一元二次方程的四种解法
学习难点:
1. 一元二次方程的实际应用
教学流程
【导课】
1、一元二次方程的概念及一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
2、一元二次方程的解法：①直接开平方法
②配方法
③公式法
④因式分解法
3、求根公式：当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为
4、根的判别式： 当b2-4ac＞0时，方程有 实数根．
当b2-4ac=0时， 方程有 实数根．
当b2-4ac＜0时，方程 实数根．
5、一元二次方程的应用；
6、列方程解应用题的一般步骤；
7、问题中方程的解要符合实际情况．
【阅读质疑 自主探究】
一、填空
1．下列是关于x的一元二次方程的有_______ ① ②③ ④⑤ ⑥
2．一元二次方程3x2=2x的解是 ．
3．一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0，则m的值是 ．
4．关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是__________．
5．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是 ．
二、选择题：
6．已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则m2+n2的值是（ ）
A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 2
若等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2-9x+20=0的一个根,则这个三角形的周长是（ ）
A.16 B.18 C.16或18 D.21
一个两位数的十位数字与个位数字和是7，把这个两位数加上45后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（ ）
A．16 B．25
C．34 D．61
9. 如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修
建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积
需要551米2，则修建的路宽应为（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
10.为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【多元互动 合作探究】
1、解下方程：
(1)x(x-1)=3-3x (2)x2-4x-4=0
(3)x2+x-1=0 (4)（2y-1）2 -2（2y-1）-3=0
某商场将进货价为30元的台灯以40元售 ( http: / / www.21cnjy.com )出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
4、 某印刷厂1月份印刷了书籍60万册，第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？
【训练检测 目标探究】
5、 为了营造人与自然和谐共处的生态环境 ( http: / / www.21cnjy.com )，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城市绿化一体化城市．某校甲，乙两班师生前往郊区参加植树活动．已知甲班每天比乙班少种10棵树，甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天，求甲，乙两班每天各植树多少棵？
6、 甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的 ( http: / / www.21cnjy.com )价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg．
（1）乙班比甲班少付出多少元？
（2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？
购苹果数 不超过30kg 30kg以下但不超过50kg 50kg以上
每千克价格 3元 2.5元 2元
【迁移应用 拓展探究】
1、判断下列方程哪些是一元二次方程
（1）4x2－5x－1=x (2) 9x4－5=0 (3) +x－5=3 (4) ax2+(b－1)x+c=0 (a≠0)
2、判断关于x 的方程x2－nx(x－n－1)=5x是不是一元二次方程，如果是，指出其二次
项系数，一次项系数及常数项。
　　
3、用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）36（2x－1）2－1=0 (2)(x－3)(2x－5)=4(x+3)
(3)3x2－5x+9=2(x－1) (4) 4(x－1)2－3(x－1)=7
4、如果关于x的一元二次方程：x2－2(a+1)x+a2=0有两个整数根，a为整数，且12＜a＜60，求这个方程的两个根。
布置作业
《检测试题》
一、选择题（每题3分，共21分）：
1、把方程2x(x-3)=(x+1)(x-2)+3化成ax2+bx+c=0的形式后,a,b,c的值分别是（ ）
A.3、7、1 B.2、-5、-1　　　C.1、-5、-1 D.3、-7、-1
2、方程①x2-1=x; ②2x2-y-1=0; ③3x2-+1=0; ④中.其中是一元二次方程的是（ ）　A. ①④ B. ①③④　　　C.① D. ①②
3、方程x2=x的解是（ ）A.1 B.1或-1　　　　　C.0 D.1或0
4、在一幅长80cm，宽50cm的矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图。如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么满足的方程是 （ ）
A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0 C.x2-130x-1400=0 D.x2-65x-350=0
5、方程y2-4=2y配方，得（ ）
A.(y+2)2=6 B. (y-1)2=5　　　C. (y-1)2=3 D. (y+1)2=-3.
6、已知m2-13m+12=0,则m的取值为（ ）
A.1 B.12　　　C.-1和-12 　 D.1和12
7、不解方程判别方程2x2+3x – 4=0的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根。 B. 有两个不相等的实数根。 C.只有一个实数根。 D. 没有实数根。
8、把方程(2x-1)(3x+2)= x 2 +2化成一般形式后，二次项的系数和常数项分别是：
A、5 、-4 B、5 、1 C、5、 4 D、1、 -4
9、关于x的一元二次方程x -2x+2k=0有实数根，则k的取值范围是 （ ）
A k< B k≤ C k> D k≥
10、已知关于x的方程x -mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是（ ）
A . 5 B -1 C 5或-1 D -5或1
二、 填空题每 （题3分 共24分）
11、若关于x的方程2x2-3x+c = 0的一个根是1，则另一个根是 .
12、一元二次方程 x2-3x- 2 = 0的解是 .
13、如果（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a+b的值是 .
12、关于x一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根，则k的最小整数值是______。
14、已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，则α+β的值为 .
15、已知，是方程的两实数根，则的值为______　
16、方程3(x2-1)=x的二次项系数是 ，一次项是 ，常数项是 。
17、方程(3-x)(5x-1)=0的解是x1= ，x2= 。
18、x=-2是方程2x2+mx-4=0的一个根，则m的值是 。
19、若一个等腰三角形三边长均满足方程x2-6x +8=0，则此三角形的周长为 。
20、、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可）。
三、解方程 （每小题8分，共32分）
21、（直接开平方法） 22、（配方法）
23、x2-5x+6=0 （因式分解法） 24、（公式法）
四、解答题（10分+ 15分+15分 ， 共40 分）
25、已知关于x的方程x -2（m+1）x+m2=0
(1) 当m取什么值时，一元二次方程没有实数根？
（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的差的平方。
26、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天 ( http: / / www.21cnjy.com )可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？
27、某工程队在我市实施棚户区改造过程中 ( http: / / www.21cnjy.com )承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2
求：（1）该工程队第二天第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数.
28、方程(m+1)x|m|+1+(m-3)x-1=0. （(1)题4分，(2) 题8分共12分）：
（1）m取何值时，方程是一元一次方程
（2）m取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解。
29、某果园有100棵桃树，一棵桃 ( http: / / www.21cnjy.com )树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量。试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个。如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？
30、1、填空：（6分）
（1）方程x2+2x+1=0的根为x1= ，x2= ，则x1+x2= ;x1 x2= .
（2）方程x2-3x-1=0的根为x1= ，x2= ，则x1+x2= ;x1 x2= .
（3）方程3x2+4x-7=0的根为x1= ，x2= ，则x1+x2= ;x1 x2= .
2、由上述（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并证明你的猜想。（6分）
板书设计
教后反思
授课时间： 累计课时：
A
B
C
D
16米
草坪
第21题图