数学人教A版（2019）必修第二册6.2.4向量的数量积 课件（共20张ppt）

(共20张PPT)
6.2.4向量的数量积
前备知识
功：在物理课中我们学过功的概念，那么右图中
力对小车所做的功是？
如果一个物体在力的作用下产生位移，
那么力所做的功，其中是与的夹角.
【思考】功是什么量？力和位移呢？
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.
任务一：向量夹角的概念
【思考1-1】类比功的概念，定义两个向量的数量积，首先需要定义夹角的概念。
夹角：已知两个非零向量， ，
O是平面上的任意一点，作OA= ，OB= ，则∠AOB=θ 叫做向量与的夹角，
记作:<，>
范围： [0,π]
关键点：共起点
任务一：向量夹角的概念
【思考1-2】特殊情况。
与同向
与反向
与垂直，记作
任务一：向量夹角的概念
【练习】已知等边三角形ABC,求：
(1)
(2)
(3)
任务二：根据功总结数量积的概念
【思考2-1】类比功的求法，你能给出向量的数量积的定义吗？
数量积：已知两个非零向与，它们的夹角为，
我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，
记作： ，即.
规定：零向量与任意向量的数量积为0.
夹角公式：
任务二：根据功总结数量积的概念
【例1】已知，，与的夹角，求.
解：
【例2】设，， 求与的夹角.
解：由，得
因为，所以
任务二：根据功总结数量积的概念
【思考2-2】探索数量积的相关性质，设非零向量的夹角是
（1） · >0 其中 同向时， · =
特别的：
（2） · <0 其中 反向时， · =
（3） · =0
（4） -
求模
判断垂直
任务二：根据功总结数量积的概念
【练习】判断
（1）则。
（2），向量夹角为锐角。
（3），向量夹角为钝角。
任务三：理解投影向量的概念
【思考3-1】设，是两个非零向量，作出向量在向量上的投影向量。
方法2：作，.
过点作直线的垂线，垂足为，
则就是向量在向量上的投影向量.
投影向量：方法1：，，
过和，分别作所在直线的垂线，
垂足分别为，，得到，
我们称上述变换为向量向向量投影，
叫做向量在向量上的投影向量。
任务三：理解投影向量的概念
【思考3-2】探索投影向量与数量积的关系。设与方向相同的单位向量为，与的夹角为， 在向量上的投影向量 。
，
任务四：数乘的运算律
【思考4-1】探究证明数乘运算的运算律
交换律：(1)
数乘结合律：(2)
证明：
分配律：(3)
任务四：数乘的运算律
分配律：(3)
任务四：数乘的运算律
【练习】判断
【1】，则
【2】
任务四：数乘的运算律
【例3】我们知道，对任意，恒有.对任意向量，，是否也有下面类似的结论？
(1).
【思考4-2】对任意向量，，是否也有下面类似的结论？
(1)
多项式一样展开吗？
任务四：数乘的运算律
【例4】已知，，与的夹角为60°，求.
解：
任务四：数乘的运算律
【例5】已知，，且与不共线.当为何值时，向量与互相垂直？
解：与互相垂直的充要条件是
即 所以解得.
也就是说，当时，与互相垂直.
【思考4-3】当为何值时，向量与夹角为锐角？
向量与夹角为锐角
与不共线。
任务五：数量积的应用
【例6】在直角三角形ABC中，∠C，AC＝3，取点D使2，则 _______.
解：．
（） 2 6．
任务五：数量积的应用
【例7】||＝||＝4，，60°，则||＝_____
解：由题意可得||
4
任务五：数量积的应用
【例8】已知向量，的夹角为60°，且，则
与的夹角等于_______.
解：由题意可得2×1× cos60°＝1，
∴||，||2
而( 24+1﹣2＝3
由此可得cosθ．
再由 0°≤θ≤180°，可得θ＝60°